2015高考數(shù)學(xué)（理）（直線及其方程）一輪復(fù)習(xí)學(xué)案

1、第九章解析幾何學(xué)案47直線及其方程導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，確定直線位置的幾何要素.2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.3.掌握確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系自主梳理1直線的傾斜角與斜率(1)直線的傾斜角定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，x軸_與直線l_方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為_傾斜角的范圍為_(2)直線的斜率定義：一條直線的傾斜角的_叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k_，傾斜角是90°的直線斜率不存在過兩

2、點(diǎn)的直線的斜率公式：經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1x2)的直線的斜率公式為k_.2直線的方向向量經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線的一個(gè)方向向量為，其坐標(biāo)為_，當(dāng)斜率k存在時(shí)，方向向量的坐標(biāo)可記為(1，k)3直線的方程和方程的直線已知二元一次方程AxByC0 (A2B20)和坐標(biāo)平面上的直線l，如果直線l上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程_的解，并且以方程AxByC0的任意一個(gè)解作為點(diǎn)的坐標(biāo)都在_，就稱直線l是方程AxByC0的直線，稱方程AxByC0是直線l的方程4直線方程的五種基本形式名稱方程適用范圍點(diǎn)斜式不含直線xx0斜截式不含垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式不含直

3、線xx1 (x1x2)和直線yy1(y1y2)截距式不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線一般式平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用5.線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式若點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，且線段P1P2的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則此公式為線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)公式自我檢測(cè)1(2011·銀川調(diào)研)若A(2,3)，B(3，2)，C三點(diǎn)共線，則m的值為()A.BC2 D22直線l與兩條直線xy70，y1分別交于P、Q兩點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)為(1，1)，則直線l的斜率為()AB.C.D3下列四個(gè)命題中，假命題是()A經(jīng)過定點(diǎn)P(x0，y0)的直線不一定都可以用方程yy0k(xx0)表

4、示B經(jīng)過兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直線都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)來(lái)表示C與兩條坐標(biāo)軸都相交的直線不一定可以用方程1表示D經(jīng)過點(diǎn)Q(0，b)的直線都可以表示為ykxb4(2011·商丘期末)如果A·C<0，且B·C<0，那么直線AxByC0不通過()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限5已知直線l的方向向量與向量a(1,2)垂直，且直線l過點(diǎn)A(1,1)，則直線l的方程為()Ax2y10 B2xy30Cx2y10 Dx2y30探究點(diǎn)一傾斜角與斜率例1已知兩點(diǎn)A(1，5)、B(3，2)，直線l

5、的傾斜角是直線AB傾斜角的一半，求l的斜率變式遷移1直線xsin y10的傾斜角的變化范圍是()A.B(0，)C.D.探究點(diǎn)二直線的方程例2(2011·武漢模擬)過點(diǎn)M(0,1)作直線，使它被兩直線l1：x3y100，l2：2xy80所截得的線段恰好被M所平分，求此直線方程變式遷移2求適合下列條件的直線方程：(1)經(jīng)過點(diǎn)P(3,2)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等；(2)經(jīng)過點(diǎn)A(1，3)，傾斜角等于直線y3x的傾斜角的2倍探究點(diǎn)三直線方程的應(yīng)用例3過點(diǎn)P(2,1)的直線l交x軸、y軸正半軸于A、B兩點(diǎn)，求使：(1)AOB面積最小時(shí)l的方程；(2)|PA|·|PB|最小時(shí)l的方程變

6、式遷移3為了綠化城市，擬在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)建一個(gè)矩形草坪(如圖)，另外EFA內(nèi)部有一文物保護(hù)區(qū)不能占用，經(jīng)測(cè)量|AB|100 m，|BC|80 m，|AE|30 m，|AF|20 m，應(yīng)如何設(shè)計(jì)才能使草坪面積最大？探究點(diǎn)四數(shù)形結(jié)合思想例4已知實(shí)數(shù)x，y滿足yx22x2(1x1)試求的最大值與最小值變式遷移4直線l過點(diǎn)M(1,2)且與以點(diǎn)P(2，3)、Q(4,0)為端點(diǎn)的線段恒相交，則l的斜率范圍是()A，5 B，0)(0,5C(，5，) D，)(，51要正確理解傾斜角的定義，明確傾斜角的范圍為0°<180°，熟記斜率公式k，該公式與兩點(diǎn)順序無(wú)關(guān)已知兩點(diǎn)坐標(biāo)(x1x2

7、)，根據(jù)該公式可以求出經(jīng)過兩點(diǎn)的直線斜率，而x1x2，y1y2時(shí)，直線斜率不存在，此時(shí)直線的傾斜角為90°.2當(dāng)直線沒有斜率(x1x2)或斜率為0(y1y2)時(shí)，不能用兩點(diǎn)式求直線方程，但都可以寫成(x2x1)(yy1)(y2y1)(xx1)的形式直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式都可以化成一般式，但是有些直線的一般式方程不能化成點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式或截距式3使用直線方程時(shí)，一定要注意限制條件以免解題過程中丟解，如點(diǎn)斜式的使用條件是直線必須有斜率，截距式的使用條件是截距存在且不為零，兩點(diǎn)式的使用條件是直線不與坐標(biāo)軸垂直(滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1(20

8、11·臨沂月考)已知直線l經(jīng)過A(2,1)、B(1，m2) (mR)兩點(diǎn)，那么直線l的傾斜角的取值范圍是()A(0，) B.C.D.2若直線l：ykx與直線2x3y60的交點(diǎn)位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是()A.B.C.D.3點(diǎn)P(x，y)在經(jīng)過A(3,0)，B(1,1)兩點(diǎn)的直線上，那么2x4y的最小值是()A2B4C16 D不存在4(2011·宜昌調(diào)研)點(diǎn)A(ab，ab)在第一象限內(nèi)，則直線bxayab0不經(jīng)過的象限是()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限5(2011·包頭期末)經(jīng)過點(diǎn)P(2，1)，且在y軸上的截距等于它在x軸上的截距的2

9、倍的直線l的方程為()A2xy2 B2xy4C2xy3 D2xy3或x2y0二、填空題(每小題4分，共12分)6過兩點(diǎn)A(m22，m23)，B(3mm2,2m)的直線l的傾斜角為45°，則m_.7直線x(a21)y10(aR)的傾斜角的取值范圍是_8設(shè)A、B是x軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，且|PA|PB|，若直線PA的方程為xy10，則直線PB的方程是_三、解答題(共38分)9(12分)已知兩點(diǎn)A(1,2)，B(m,3)，求：(1)直線AB的斜率k；(2)求直線AB的方程；(3)已知實(shí)數(shù)m，求直線AB的傾斜角的范圍10(12分)(2011·秦皇島模擬)已知線段PQ兩端點(diǎn)的

10、坐標(biāo)分別為(1,1)、(2,2)，若直線l：xmym0與線段PQ有交點(diǎn)，求m的范圍11(14分)已知直線l：kxy12k0 (kR)(1)證明：直線l過定點(diǎn)；(2)若直線不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；(3)若直線l交x軸負(fù)半軸于A，交y軸正半軸于B，AOB的面積為S，求S的最小值并求此時(shí)直線l的方程學(xué)案47直線及其方程自主梳理1(1)正向向上0°0°<180°(2)正切值tan 2.(x2x1，y2y1)3.AxByC0直線l上4.yy0k(xx0)ykxb1(a0，b0)AxByC0(A、B不同時(shí)為0)5.自我檢測(cè)1A2.D3.D4.C5.D課堂活動(dòng)區(qū)例

11、1解題導(dǎo)引斜率與傾斜角常與三角函數(shù)聯(lián)系，本題需要挖掘隱含條件，判斷角的范圍關(guān)鍵是熟練掌握好根據(jù)三角函數(shù)值確定角的范圍這一類題型解設(shè)直線l的傾斜角為，則直線AB的傾斜角為2，由題意可知：tan 2，.整理得3tan28tan30.解得tan或tan3，tan 2>0，0°<2<90°，0°<<45°，tan>0，故直線l的斜率為.變式遷移1D直線xsin y10的斜率是ksin ，又1sin 1，1k1.當(dāng)0k1時(shí)，傾斜角的范圍是，當(dāng)1k<0時(shí)，傾斜角的范圍是.例2解題導(dǎo)引(1)對(duì)直線問題，要特別注意斜率不存在的情

12、況(2)求直線方程常用方法待定系數(shù)法待定系數(shù)法就是根據(jù)所求的具體直線設(shè)出方程，然后按照它們滿足的條件求出參數(shù)解過點(diǎn)M且與x軸垂直的直線是y軸，它和兩已知直線的交點(diǎn)分別是和(0,8)，顯然不滿足中點(diǎn)是點(diǎn)M(0,1)的條件故可設(shè)所求直線方程為ykx1，與兩已知直線l1、l2分別交于A、B兩點(diǎn)，聯(lián)立方程組由解得xA，由解得xB.點(diǎn)M平分線段AB，xAxB2xM，即0，解得k.故所求直線方程為x4y40.變式遷移2解(1)設(shè)直線l在x，y軸上的截距均為a，若a0，即l過點(diǎn)(0,0)和(3,2)，l的方程為yx，即2x3y0.若a0，則設(shè)l的方程為1，l過點(diǎn)(3,2)，1，a5，l的方程為xy50，綜上

13、可知，直線l的方程為2x3y0或xy50.(2)由已知：設(shè)直線y3x的傾斜角為，則所求直線的傾斜角為2.tan 3，tan 2.又直線經(jīng)過點(diǎn)A(1，3)，因此所求直線方程為y3(x1)，即3x4y150.例3解題導(dǎo)引先設(shè)出A、B所在的直線方程，再求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出ABO的面積，然后利用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)求最值確定直線方程可分為兩個(gè)類型：一是根據(jù)題目條件確定點(diǎn)和斜率或確定兩點(diǎn)，進(jìn)而套用直線方程的幾種形式，寫出方程，此法稱直接法；二是利用直線在題目中具有的某些性質(zhì)，先設(shè)出方程(含參數(shù)或待定系數(shù))，再確定參數(shù)值，然后寫出方程，這種方法稱為間接法解設(shè)直線的方程為1 (a>2，b>1)

14、，由已知可得1.(1)2 1，ab8.SAOBab4.當(dāng)且僅當(dāng)，即a4，b2時(shí)，SAOB取最小值4，此時(shí)直線l的方程為1，即x2y40.(2)由1，得aba2b0，變形得(a2)(b1)2，|PA|·|PB|·.當(dāng)且僅當(dāng)a21，b12，即a3，b3時(shí)，|PA|·|PB|取最小值4.此時(shí)直線l的方程為xy30.變式遷移3解如圖所示建立直角坐標(biāo)系，則E(30,0)，F(xiàn)(0,20)，線段EF的方程為1(0x30)在線段EF上取點(diǎn)P(m，n)，作PQBC于點(diǎn)Q，PRCD于點(diǎn)R，設(shè)矩形PQCR的面積為S，則S|PQ|PR|(100m)(80n)又1(0m30)，n20(1)

15、S(100m)(8020m)(m5)2(0m30)當(dāng)m5時(shí)，S有最大值，這時(shí)5.所以當(dāng)矩形草坪的兩邊在BC、CD上，一個(gè)頂點(diǎn)在線段EF上，且這個(gè)頂點(diǎn)分EF成51時(shí)，草坪面積最大例4解題導(dǎo)引解決這類問題的關(guān)鍵是弄清楚所求代數(shù)式的幾何意義，借助數(shù)形結(jié)合，將求最值問題轉(zhuǎn)化為求斜率取值范圍問題，簡(jiǎn)化了運(yùn)算過程，收到事半功倍的效果解由的幾何意義可知，它表示經(jīng)過定點(diǎn)P(2，3)與曲線段AB上任一點(diǎn)(x，y)的直線的斜率k，由圖可知：kPAkkPB，由已知可得：A(1,1)，B(1,5)，k8，故的最大值為8，最小值為.變式遷移4C如圖，過點(diǎn)M作y軸的平行線與線段PQ相交于點(diǎn)N.kMP5，kMQ.當(dāng)直線l從

16、MP開始繞M按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到MN時(shí)，傾斜角在增大，斜率也在增大，這時(shí)，k5.當(dāng)直線l從MN開始逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到MQ時(shí)，正切函數(shù)在(，)上仍為增函數(shù)，斜率從開始增加，增大到kMQ，故直線l的斜率范圍是(，5，)課后練習(xí)區(qū)1B2.B3.B4.C5.D627.，)8.xy509解(1)當(dāng)m1時(shí)，直線AB的斜率不存在；(1分)當(dāng)m1時(shí)，k.(3分)(2)當(dāng)m1時(shí)，AB的方程為x1，(5分)當(dāng)m1時(shí)，AB的方程為y2(x1)，即y.(7分)直線AB的方程為x1或y.(8分)(3)當(dāng)m1時(shí)，；當(dāng)m1時(shí)，k(，.(10分)綜合，知直線AB的傾斜角.(12分)10.解直線xmym0恒過A(0，1)點(diǎn)(2分)kAP2，kAQ，(5分)則或2，m且m0.(9分)又m0時(shí)直線xmym0與線段PQ有交點(diǎn)，所求m的范圍是m.(12分)11(1)證明直線l的方程是：k(x2)(1y)0，令，解之得，無(wú)