3月16日備課奧數(shù)教案

1、初級(jí)班上午上課 9:00-12:00第 1 講 加減法的巧算在進(jìn)行加減運(yùn)算時(shí)， 為了又快又準(zhǔn)確， 除了要熟練地掌握計(jì)算法則外， 還需 要掌握一些巧算方法。加減法的巧算主要是“湊整” ，就是將算式中的數(shù)分成若 干組，使每組的運(yùn)算結(jié)果都是整十、整百、整千的數(shù)，再將各組的結(jié)果求和。 這種“化零為整”的思想是加減法巧算的基礎(chǔ)。先講加法的巧算。加法具有以下兩個(gè)運(yùn)算律： 加法交換律：兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，它們的和不變。即a+b=b+a，其中 a， b 各表示任意一數(shù)。例如， 5+6=6+5。一般地，多個(gè)數(shù)相加，任意改變相加的次序，其和不變。例如，a+b+c+d=d+b+a+c其中 a， b， c，

2、d 各表示任意一數(shù)。 加法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，再加上第三個(gè)數(shù)；或者，先把后 兩個(gè)數(shù)相加，再與第一個(gè)數(shù)相加，它們的和不變。即a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c) ，其中 a， b， c 各表示任意一數(shù)。例如，4+9+7=(4+9)+7=4+(9+7) 。一般地，多個(gè)數(shù)(三個(gè)以上 )相加，可先對(duì)其中幾個(gè)數(shù)相加， 再與其它數(shù)相加。 把加法交換律與加法結(jié)合律綜合起來(lái)應(yīng)用，就得到加法的一些巧算方法。1. 湊整法先把加在一起為整十、 整百、 整千的加數(shù)加起來(lái)， 然后再與其它的數(shù)相 加。例 1計(jì)算：(1)23 54184782；(2) (1350 4968)(51 321650) 。

3、解： (1)23 54184782=(23 + 47) + (18 + 82) + 54=70 + 100+ 54= 224;(2) (1350 4968)(51 321650)= 1350+ 49+ 68+ 51 + 32+1650=(1350+1650)+(49+51)+(68+32)= 3000+ 100+ 100= 3200。2. 借數(shù)湊整法有些題目直觀上湊整不明顯，這時(shí)可“借數(shù)”湊整。例如，計(jì)算976+ 85，可在 85中借出 24，即把 85拆分成 24+61，這樣就可以先用 976加上24，“湊” 成 1000，然后再加 61 。例2計(jì)算：(1)57+64+238+46；(2)4

4、993 + 3996+ 5997+ 848。解：(1)57+64+238+46=57+(62+2)+238+(43+3)=(57+43)+(62+238)+2+3=100+ 300+ 2+ 3= 405;(2) 4993 39965997848=4993+ 3996+ 5997+ (7+ 4+ 3+ 834)=(4993 + 7) + (3996+ 4)+ (5997+ 3)+ 834=5000+ 4000+ 6000+ 834= 15834。 下面講減法和加減法混合運(yùn)算的巧算。加、減法有如下一些重要性質(zhì)：(1) 在連減或加、減混合運(yùn)算中，如果算式中沒(méi)有括號(hào)，那么計(jì)算時(shí)可以帶著運(yùn) 算符號(hào)“搬家

5、”。例如，a-b-c = a-c-b ，a-b+c = a+c-b ，其中 a，b， c 各表示一數(shù)。(2) 在加、減法混合運(yùn)算中，去括號(hào)時(shí)：如果括號(hào)前面是“+”號(hào)，那么去掉括 號(hào)后，括號(hào)內(nèi)的數(shù)的運(yùn)算符號(hào)不變;如果括號(hào)前面是“ - ”號(hào)，那么去掉括號(hào)后， 括號(hào)內(nèi)的數(shù)的運(yùn)算符號(hào)“+”變?yōu)椤?- ”，“ - ”變?yōu)椤?+ ”。例如，a+ (b-c)=a+b-c ，a-(b + c)=a-b-c ， a-(b-c)=a-b+c 。(3) 在加、減法混合運(yùn)算中，添括號(hào)時(shí)：如果添加的括號(hào)前面是“+”號(hào)，那么 括號(hào)內(nèi)的數(shù)的原運(yùn)算符號(hào)不變;如果添加的括號(hào)前面是“ - ”號(hào)，那么括號(hào)內(nèi)的 數(shù)的原運(yùn)算符號(hào)“+”

6、變?yōu)椤啊?，“- ”變?yōu)椤?”。例如，a+ b-c = a+ (b-c) ，a-b + c=a-(b-c) ，a-b-c = a-(b + c) 。 靈活運(yùn)用這些性質(zhì)，可得減法或加、減法混合計(jì)算的一些簡(jiǎn)便方法。3. 分組湊整法例 3 計(jì)算：(1)875-364-236 ;(2)1847-1928 + 628-136-64 ;解：(1)875-364-236=875-(364 + 236)=875-600=275;(2)1847-1928 + 628-136-64=1847-(1928-628)-(136 + 64)=1847-1 300-200 = 347;4. 加補(bǔ)湊整法例 4 計(jì)算： (1

7、)512-382 ;(2)6854-876-97 ;解：(1)512-382=(500 + 12)-(400-18)=500+12-400+18=(500-400) + (12+ 18)= 100+ 30= 130;(2)6854-876-97=6854-(1000-124)-(100-3)=6854-1000+ 124-100+ 3=5854+24+3= 5881;練習(xí) 1(1) 1348-234-76 2234-48-24 。(2) 397-146 288-339 。(3) 自己舉例：四種巧算方法各舉 2 例并驗(yàn)證。課后總結(jié)：第 2 講 橫式數(shù)字謎 ( 一 )在一個(gè)數(shù)學(xué)式子 (橫式或豎式

8、)中擦去部分?jǐn)?shù)字， 或用字母、文字來(lái)代替部分 數(shù)字的不完整的算式或豎式， 叫做數(shù)字謎題目。 解數(shù)字謎題就是求出這些被擦去 的數(shù)或用字母、文字代替的數(shù)的數(shù)值。例如，求算式324+口 =528中所代表的數(shù)。根據(jù)“加數(shù) =和- 另一個(gè)加數(shù)”知， =582-324 = 258。又如，求右豎式中字母A, B所代表的數(shù)字。顯然個(gè)位數(shù)相減時(shí)必須借位，所以，由 12-B = 5 知，B= 12-5 = 7;由 A-1 = 3 知，A= 3+ 1 = 4。解數(shù)字謎問(wèn)題既能增強(qiáng)數(shù)字運(yùn)用能力， 又能加深對(duì)運(yùn)算的理解， 還是培養(yǎng)和 提高分析問(wèn)題能力的有效方法。這一講介紹簡(jiǎn)單的算式 (橫式)數(shù)字謎的解法。解橫式數(shù)字謎，

9、首先要熟知下面的運(yùn)算規(guī)則：(1) 一個(gè)加數(shù) +另一個(gè)加數(shù) =和;(2) 被減數(shù) - 減數(shù) =差;被乘數(shù)X乘數(shù)=積；被除數(shù)十除數(shù)=商。由它們推演還可以得到以下運(yùn)算規(guī)則：由 (1) ，得 和- 一個(gè)加數(shù) =另一個(gè)加數(shù)；其次，要熟悉數(shù)字運(yùn)算和拆分。例如， 8可用加法拆分為8= 08= 1 7= 2 6= 35= 44；24可用乘法拆分為24= 1X 24=2X 12 = 3X 8 = 4X 6(兩個(gè)數(shù)之積)=1X 2X 12= 2X2X6=-(三個(gè)數(shù)之積)=1X 2X 2X 6= 2X 2X 2X 3=-(四個(gè)數(shù)之積)例1下列算式中，*各代表什么數(shù)？ +5= 13-6 ; 28-O= 15+ 7;

10、3XA =54;十 3 = 87; 56 - * = 7。解： 由加法運(yùn)算規(guī)則知，口 =13-6-5 = 2; 由減法運(yùn)算規(guī)則知，O= 28-(15 + 7) = 6; 由乘法運(yùn)算規(guī)則知，= 54-3= 18; 由除法運(yùn)算規(guī)則知， =87X 3= 261; 由除法運(yùn)算規(guī)則知，* = 56- 7= & 例2下列算式中，,O,A，各代表什么數(shù)？ + + =48; 0 + 0+ 6= 21-O;(3) 52-18 -6= 12;(4) 6 X 3-45 *= 13。解：(1) 表示一個(gè)數(shù)，根據(jù)乘法的意義知， +=X 3，故口 =48 - 3= 16。(2) 先把左端 (0+0+ 6)看成一個(gè)

11、數(shù)，就有(0+0+ 6)+0= 21，0X 3= 21-6，0= 15寧 3 = 5。 把5XA, 18-6分別看成一個(gè)數(shù)，得到5XA =12+ 18-6，5XA =15，=15- 5= 3。 把6X 3, 45-分別看成一個(gè)數(shù)，得到45* = 6X 3-13，45-= 5， = 45- 5= 9。例3(1)滿(mǎn)足58V 12X< 71的整數(shù)等于幾？(2) 180是由哪四個(gè)不同的且大于 1 的數(shù)字相乘得到的？試把這四個(gè)數(shù)按從小到 大的次序填在下式的里。180=XXXO(3) 若數(shù)口，滿(mǎn)足 XA =48 和- =3，則口，各等于多少？ 分析與解： (1) 因?yàn)?8- 12= 410，71-

12、12= 511，并且為整數(shù)，所以，只有 =5才滿(mǎn)足原式。(2) 拆分 180 為四個(gè)整數(shù)的乘積有很多種方法，如180= 1 X 4X 5X 90= 1 X 2X 3X 30=但拆分成四個(gè)“大于 1”的數(shù)字的乘積，范圍就縮小了，如180= 2X 2X 5X 9 = 2X 3X 5X 6=若再限制拆分成四個(gè)“不同的”數(shù)字的乘積，范圍又縮小了。按從小到大的 次序排列只有下面一種：180= 2X 3X 5X 6。所以填的四個(gè)數(shù)字依次為 2， 3， 5， 6。 首先，由- =3知，>，因此，在把48拆分為兩數(shù)的乘積時(shí)，有48= 48X 1 = 24X 2= 16X 3= 12X 4= 8X 6，其

13、中，只有48= 12X4中，12-4=3，因此 =12， =4o這道題還可以這樣 解：由十 =3知，二3。把* =48中的換成 X 3,就有(X 3)48,于是得到=48寧3= 16。因?yàn)?6= 4X4,所以 =4。再把 =AX 3中 的換成4,就有 =X 3=4 X 3=12。這是一種“代換”的思想,它在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)用十分廣泛。 下面,我們?cè)俳Y(jié)合例題講一類(lèi)“填運(yùn)算符號(hào)”問(wèn)題。例 4 在等號(hào)左端的兩個(gè)數(shù)中間添加上運(yùn)算符號(hào),使下列各式成立：(1) 4 4 4 4 = 24；(2) 5 5 5 5 5=6 。解： 因?yàn)?+ 4+ 4+ 4V 24,所以必須填一個(gè)“X”。 4X 4= 16,剩

14、下的兩個(gè) 4 只需湊成 8,因此,有如下一些填法：4X 4+ 4+ 4= 24；4+ 4X 4+ 4= 24；4+ 4+ 4X 4= 24。(2) 因?yàn)?5+1=6,等號(hào)左端有五個(gè) 5,除一個(gè) 5 外,另外四個(gè) 5 湊成 1,至少要有 一個(gè)“十”，有如下填法：5 寧 5+5-5+5 = 6;5+ 5 寧 5+ 5-5 = 6;5+ 5X 5寧5寧5=6;5+ 5 寧 5 X 5 寧 5= 6。由例 4 看出,填運(yùn)算符號(hào)的問(wèn)題一般會(huì)有多個(gè)解。 這些填法都是通過(guò)對(duì)問(wèn)題 的綜合觀察、分析和試算得到的,如果只是盲目地“試算”,那么就可能走很多 彎路。例 5 在下式的兩數(shù)中間添上四則運(yùn)算符號(hào),使等式成立

15、：8 2 3 = 3 3 。分析與解： 首先考察右端“ 3 3 ”,它有四種填法：3+3= 6; 3-3 = 0;3X 3 = 9; 3 寧3=1 o再考察左端“ 8 2 3”,因?yàn)橹挥幸粋€(gè)奇數(shù) 3,所以要想得到奇數(shù), 3 的前面 只能填“ + ”或“-”，要想得到偶數(shù)，3的前面只能填“X”。經(jīng)試算，只有 兩種符合題意的填法：8-2 + 3 = 3X 3; 8-2-3 = 3-3。 填運(yùn)算符號(hào)可加深對(duì)四則運(yùn)算的理解和認(rèn)識(shí),也是培養(yǎng)分析能力的好內(nèi)容。練習(xí) 21. 在下列各式中，分別代表什么數(shù)？ +16= 35; 47- =12; -3 = 15;4X =36; 寧 4=15; 84 * =4。2

16、. 在下列各式中，,O,A，各代表什么數(shù)？( +350) - 3=200; (54- O) X 4= 0;360-X 7= 10; 4 X 9- -5=1o3. 在下列各式中，口，0, 各代表什么數(shù)？150- - =;OxO=O+O； X 9+ 2X =22。4.120是由哪四個(gè)不同的一位數(shù)字相乘得到的？試把這四個(gè)數(shù)字按從小到 大的次序填在下式的里：120=口 xxxo5. 若數(shù)口，同時(shí)滿(mǎn)足 X =36 和口 - =5, 則口，各等于多少？6. 在兩數(shù)中間添加運(yùn)算符號(hào)，使下列等式成立：（1） 5 5 5 5 5 = 3; 1 2 3 4 = 1o7. 在下列各式的內(nèi)填上合適的運(yùn)算符號(hào)，使等式成

17、立：12口 4口 4=10口 3o8. 在下列各式的內(nèi)填上合適的運(yùn)算符號(hào)，使等式成立：123口 45 67口 89= 100;123口 45 67口 8口 9= 100;123口 4口 5口 67口 89= 100;123口 4口 5口 6口 7口 8口 9= 100;12口 3口 4口 5口 67口 8口 9= 100;1口 23口 4口 56口 7口 8口 9= 100;12口 3口 4口 5口 6口 7口 89= 100。課后總結(jié)：第3講豎式數(shù)字謎本講只限于乘數(shù)、除數(shù)是一位數(shù)的乘、除法豎式數(shù)字謎問(wèn)題。掌握好乘、除法的基本運(yùn)算規(guī)則（第2講的公式 及推演出的變形式子） 是解乘、除法豎式謎的基

18、礎(chǔ)。根據(jù)題目結(jié)構(gòu)形式，通過(guò)綜合觀察、分析，找出“突 破口”是解題的關(guān)鍵。例1在左下乘法豎式的中填入合適的數(shù)字，使豎式成立。 80E 8 0x x m7 0 0 57 0 0 5分析與解：由于積的個(gè)位數(shù)是5，所以在乘數(shù)和被乘數(shù)的個(gè)位數(shù)中，一個(gè)是 5， 另一個(gè)是奇數(shù)。因?yàn)槌朔e大于被乘數(shù)的7倍，所以乘數(shù)是大于7的奇數(shù)，即只能 是9（這是問(wèn)題的“突破口” ），被乘數(shù)的個(gè)位數(shù)是5o因?yàn)?X 9v 70v8X 9,所以，被乘數(shù)的百位數(shù)字只能是 7。至此，求出被乘 數(shù)是785,乘數(shù)是9（見(jiàn)右上式）。例2在右邊乘法豎式的里填入合適的數(shù)字，使豎式成立。分析與解：由于乘積的數(shù)字不全，特別是不知道乘積的個(gè)位數(shù)，我們

19、只能從最高 位入手分析。乘積的最咼兩位數(shù)是2，被乘數(shù)的最咼位是3，由3 X + =2 0(乘數(shù))(進(jìn)位數(shù))可以確定乘數(shù)的大致范圍，乘數(shù)只可能是 6, 7, 8, 9。到底是哪一個(gè)呢？ 我們只能逐一進(jìn)行試算：(1)若乘數(shù)為6,則積的個(gè)位填2,并向十位進(jìn)4,此時(shí)，乘數(shù)6與被乘數(shù)的十位 上的數(shù)字相乘之積的個(gè)位數(shù)只能是 5(因4+5=9)。這樣一來(lái)，被乘數(shù)的十位上就 無(wú)數(shù)可填了。這說(shuō)明乘數(shù)不能是 6。 若乘數(shù)為7,則積的個(gè)位填9,并向十位進(jìn)4。與 分析相同，為使積的十 位是9,被乘數(shù)的十位只能填5,從而積的百位填4。得到符合題意的填法如右 式。3國(guó)72 0 g回(3) 若乘數(shù)為8,則積的個(gè)位填6,并向

20、十位進(jìn)5。為使積的十位是9,被乘數(shù)的 十位只能填3或&當(dāng)被乘數(shù)的十位填3時(shí)，得到符合題意的填法如右式。當(dāng)被乘數(shù)的十位填8時(shí)，積的最高兩位為3,不合題意。(4) 若乘數(shù)為9,則積的個(gè)位填3,并向十位進(jìn)6。為使積的十位是9,被乘數(shù)的 十位只能填7。而此時(shí)，積的最高兩位是3勺，不合題意。綜上知，符合題意的填法有上面兩種。除法豎式數(shù)字謎問(wèn)題的解法與乘法情形類(lèi)似。例3在左下邊除法豎式的中填入適當(dāng)?shù)臄?shù)，使豎式成立。導(dǎo)口口E Q E4 §1 £分析與解：由48寧8=6即8X6=48知，商的百位填6,且被除數(shù)的千位、百位分 別填4, &又顯然，被除數(shù)的十位填1。由1 =商的

21、個(gè)位X 8知，兩位數(shù)1能被8除盡，只有16-8=2,推知被除數(shù)的個(gè)位填6,商的 個(gè)位填2。填法如右上式。例3是從最高位數(shù)入手分析而得出解的。例4在右邊除法豎式的中填入合適的數(shù)字。使豎式成立。 分析與解：從已知的幾個(gè)數(shù)入手分析。首先，由于余數(shù)是5,推知除數(shù)5,且被除數(shù)個(gè)位填5。 4 innnn由于商4時(shí)是除盡了的，所以，被除數(shù)的十位應(yīng)填 2,且由于3X4=12, 8 X 4=32,推知，除數(shù)必為3或&由于已經(jīng)知道除數(shù)5,故除數(shù)=8。（這是關(guān)鍵！） 從8X 4=32知，被除數(shù)的百位應(yīng)填3,且商的百位應(yīng)填0。從除數(shù)為8,第一步除法又出現(xiàn)了 4, 8X 8=64, 8X 3=24，這說(shuō)明商的千

22、位 只能填8或3。試算知，8和3都可以。所以，此題有下面兩種填法。 岡回4回 園回4回母何into El4*4 8afi冋囚S2E 2練習(xí)41. 在下列各豎式的里填上合適的數(shù)：E303 ?-X2_x5 °口 9 口 ？ 22. 在右式中，“我”、“愛(ài)”、“數(shù)”、“學(xué)”分別代表什么數(shù)時(shí)，乘法豎 式成立？愛(ài)數(shù)學(xué)4我査數(shù)學(xué)3. “我”、“們”、“愛(ài)”、“祖”、“國(guó)”各代表一個(gè)不同的數(shù)字，它 們各等于多少時(shí)，右邊的乘法豎式成立？國(guó)祖愛(ài)們我X4我們愛(ài)袒國(guó)4. 在下列各除法豎式的里填上合適的數(shù)，使豎式成立：u) EII 1 4門(mén)L II 11 2 口o5. 在下式的里填上合適的數(shù)。 丨 II 1

23、目4 0 37SJ0a®sj)4 HElaJM E(301 El或0033 E3 077或E0BE00高級(jí)班，下午上課 2:00-5:00第1講數(shù)字謎（一）數(shù)字謎的內(nèi)容在三年級(jí)和四年級(jí)都講過(guò)， 同學(xué)們已經(jīng)掌握了不少方法。例如 用猜想、拼湊、排除、枚舉等方法解題。數(shù)字謎涉及的知識(shí)多，思考性強(qiáng)，所以 很能鍛煉我們的思維。這兩講除了復(fù)習(xí)鞏固學(xué)過(guò)的知識(shí)外，還要講述數(shù)字謎的代數(shù)解法及小數(shù)的除 法豎式問(wèn)題。例1把+，-，x，十四個(gè)運(yùn)算符號(hào)，分別填入下面等式的O內(nèi)，使等式成 立（每個(gè)運(yùn)算符號(hào)只準(zhǔn)使用一次）：（501307）0（ 1709） =12。分析與解：因?yàn)檫\(yùn)算結(jié)果是整數(shù)，在四則運(yùn)算中只有除法

24、運(yùn)算可能出現(xiàn)分?jǐn)?shù)， 所以應(yīng)首先確定“寧”的位置。當(dāng)“寧”在第一個(gè)。內(nèi)時(shí)，因?yàn)槌龜?shù)是 13,要想得到整數(shù)，只有第二個(gè)括 號(hào)內(nèi)是13的倍數(shù)，此時(shí)只有下面一種填法，不合題意。(5- 13-7 )X( 17+9)。當(dāng)“寧”在第二或第四個(gè)。內(nèi)時(shí)，運(yùn)算結(jié)果不可能是整數(shù)。當(dāng)“十”在第三個(gè)O內(nèi)時(shí)，可得下面的填法：(5+13X 7)-( 17-9) =12。 例2將19這九個(gè)數(shù)字分別填入下式中的中，使等式成立：口口乂口 =* =556&解：將5568質(zhì)因數(shù)分解為5568=2f X 3X 29。由此容易知道，將5568分解 為兩個(gè)兩位數(shù)的乘積有兩種：58 X 96和64 X 87,分解為一個(gè)兩位數(shù)與一個(gè)三

25、位 數(shù)的乘積有六種：12X 464, 16 X 348, 24 X 232,29X 192, 32 X 174, 48 X 116。顯然，符合題意的只有下面一種填法：174X 32=58X 96=5568。例3在443后面添上一個(gè)三位數(shù)，使得到的六位數(shù)能被573整除。分析與解：先用443000除以573,通過(guò)所得的余數(shù)，可以求出應(yīng)添的三位 數(shù)。由443000- 573=77371推知，443000+ (573-71 ) =443502一定能被573整除，所以應(yīng)添 502。例4已知六位數(shù)33口 44是89的倍數(shù)，求這個(gè)六位數(shù)。分析與解：因?yàn)槲粗臄?shù)碼在中間，所以我們采用兩邊做除法的方法求解。先從

26、右邊做除法。由被除數(shù)的個(gè)位是 4,推知商的個(gè)位是6;由左下式知， 十位相減后的差是1,所以商的十位是9。這時(shí)，雖然89 X 96=8544,但不能認(rèn) 為六位數(shù)中間的兩個(gè)內(nèi)是85,因?yàn)檫€沒(méi)有考慮前面兩位數(shù)。9右3 b3 5)DE4 4 s 9)3 3Qg o 1再?gòu)淖筮呑龀?。如右上式所示，a可能是6或7,所以b只可能是7或8。由左、右兩邊做除法的商，得到商是3796或3896。由3796X 89=337844, 3896 X 89=346744知，商是3796,所求六位數(shù)是337844。例5在左下方的加法豎式中，不同的字母代表不同的數(shù)字，相同的字母代 表相同的數(shù)字，請(qǐng)你用適當(dāng)?shù)臄?shù)字代替字母，使

27、加法豎式成立。6008 557 889FORTYTEN + TENSIXTY 3U86分析與解：先看豎式的個(gè)位。由Y+N+N=Y£ Y+ 10,推知N要么是0,要么 是5。如果N=5,那么要向上進(jìn)位，由豎式的十位加法有 T+E+E+仁T或T+10,等 號(hào)兩邊的奇偶性不同，所以 NM5，N=Q此時(shí)，由豎式的十位加法T+E+E=TS T+10, E不是0就是5,但是N=0,所 以 E=5b豎式千位、萬(wàn)位的字母與加數(shù)的千位、萬(wàn)位上的字母不同，說(shuō)明百位、千位 加法都要向上進(jìn)位。因?yàn)?N=0,所以I工0,推知1=1 , 0=9說(shuō)明百位加法向千 位進(jìn)2。再看豎式的百位加法。因?yàn)槭患臃ㄏ虬傥贿M(jìn)

28、1,百位加法向千位進(jìn)2,且 XM0或1,所以R+T+T+A 22,再由R, T都不等于9知，T只能是7或8。若T=7,則R=8, X=3,這時(shí)只剩下數(shù)字2, 4, 6沒(méi)有用過(guò)，而S只比F大1, S, F不可能是2, 4, 6中的數(shù)，矛盾。若T=8,則R只能取6或7。R=6時(shí)，X=3,這時(shí)只剩下2, 4, 7,同上理由， 出現(xiàn)矛盾；R=7時(shí)，X=4,剩下數(shù)字2, 3, 6,可取F=2, S=3, 丫=&所求豎式見(jiàn)上頁(yè)右式。解這類(lèi)題目，往往要找準(zhǔn)突破口，還要整體綜合研究，不能想一步填一個(gè)數(shù)。 這個(gè)題目是美國(guó)數(shù)學(xué)月刊上刊登的趣題，豎式中從上到下的四個(gè)詞分別是40,10, 10 , 60 ,而

29、40+10+10正好是60,真是巧極了！例6在左下方的減法算式中，每個(gè)字母代表一個(gè)數(shù)字，不同的字母代表不 同的數(shù)字。請(qǐng)你填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使豎式成立。ABCBDEFAG6 EFAG十 FFFFFFABCBD分析與解：按減法豎式分析，看來(lái)比較難。同學(xué)們都知道，加、減法互為逆 運(yùn)算，是否可以把減法變成加法來(lái)研究呢（見(jiàn)右上式）？不妨試試看。因?yàn)榘傥患臃ㄖ荒芟蚯贿M(jìn)1,所以E=9, A=1, B=0b如果個(gè)位加法不向上進(jìn)位，那么由十位加法 1+F=10,得F=9,與E=9矛盾， 所以個(gè)位加法向上進(jìn)1,由1+F+仁1Q得到F=8,這時(shí)C=7。余下的數(shù)字有2, 3, 4, 5, 6,由個(gè)位加法知，G比D大2

30、,所以G, D分別可取4, 2或5, 3或6, 4。所求豎式是107021070310704-9814 二 9E15 二 93適888888SSS-解這道題啟發(fā)我們，如果做題時(shí)遇到麻煩，不妨根據(jù)數(shù)學(xué)的有關(guān)概念、法則、 定律把原題加以變換，將不熟悉的問(wèn)題變?yōu)槭煜さ膯?wèn)題。 另外，做題時(shí)要考慮解 的情況，是否有多個(gè)解。練習(xí)11. 在一個(gè)四位數(shù)的末尾添零后，把所得的數(shù)減去原有的四位數(shù)，差是 621819，求原來(lái)的四位數(shù)。2. 在下列豎式中，不同的字母代表不同的數(shù)字，相同的字母代表相同的數(shù)字。 請(qǐng)你用適當(dāng)?shù)臄?shù)字代替字母，使豎式成立：ABABAB + B CA AC A ABC BAAC3. 在下面的算式

31、中填上括號(hào)，使得計(jì)算結(jié)果最大：1* 2寧3寧4寧5寧6寧7寧8 寧9。4. 在下面的算式中填上若干個(gè)（），使得等式成立：1*2*3*4*5*6* 7* 8* 9=2.85. 將19分別填入下式的中，使等式成立： *口=*=3634。6. 六位數(shù)391 是789的倍數(shù)，求這個(gè)六位數(shù)。7. 已知六位數(shù)7口 888是83的倍數(shù)，求這個(gè)六位數(shù)。第2講數(shù)字謎(二)這一講主要講數(shù)字謎的代數(shù)解法及小數(shù)的除法豎式問(wèn)題。例1在下面的算式中，不同的字母代表不同的數(shù)字，相同的字母代表相同的數(shù)字，求abcdec1 abcdeX 3= abcdeL分析與解：這道題可以從個(gè)位開(kāi)始，比較等式兩邊的數(shù)，逐個(gè)確定各個(gè) 字母所代

32、表的數(shù)碼.現(xiàn)在，我們從另一-個(gè)角度解 1血皿與涵0血1只是1所¥ M I I F I I I T r ' - f R " " i H ¥ r IV" T I TB Ir- » r j i在脫置不同iabode,則算鍛為(100000+x)x 3=10x+1，300000+3x=10x+1,7x=299999,x=42857。這種代數(shù)方法干凈利落，比用傳統(tǒng)方法解簡(jiǎn)潔。我們?cè)倏磶讉€(gè)例子。 例2在內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使左下方的乘法豎式成立。X1 II II1 2 4X 8 18112 49 9 2II 110044£刪駆腋躺

33、砧燉訥呱I舫U略社拗ul求豎式。例3左下方的除法豎式中只有一個(gè)8,請(qǐng)?jiān)趦?nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使除法豎 式成立。 80nncwuu98911211107681008396S96100S10080解：豎式中除數(shù)與8的積是三位數(shù)，而與商的百位和個(gè)位的積都是四位饗 所以商為9的。設(shè)除數(shù)為百由亞由豎式特點(diǎn)勉除數(shù)與E的乗積的百樁數(shù)不可能是為即血<900.所也<112$ 又因?yàn)?是蔓數(shù)，所以x=112,被除數(shù)為989X 112=11076&右上式為所求豎式。代數(shù)解法雖然簡(jiǎn)潔，但只適用于一些特殊情況，大多數(shù)情況還要用傳統(tǒng)的方 法。例4在內(nèi)填入適當(dāng)數(shù)字，使下頁(yè)左上方的小數(shù)除法豎式成立。bDDc0

34、分析與解：先將小數(shù)除法豎式化為我們較熟悉的整數(shù)除法豎式（見(jiàn)下頁(yè)右上 方豎式）?？梢钥闯?，除數(shù)與商的后三位數(shù)的乘積是 1000=23X 53的倍數(shù)，即除 數(shù)和商的后三位數(shù)一個(gè)是23=8的倍數(shù)，另一個(gè)是53=125的奇數(shù)倍，因?yàn)槌龜?shù)是 兩位數(shù)，所以除數(shù)是8的倍數(shù)。又由豎式特點(diǎn)知a=9,從而除數(shù)應(yīng)是96口的兩位數(shù)的約數(shù)，可能的取值有 96, 48，32, 24和16。因?yàn)?，c=5, 5與除 數(shù)的乘積仍是兩位數(shù)，所以除數(shù)只能是16,進(jìn)而推知b=6。因?yàn)樯痰暮笕粩?shù)是 125的奇數(shù)倍，只能是125, 375, 625和875之一，經(jīng)試驗(yàn)只能取375。至此， 已求出除數(shù)為16,商為6.375 ,故被除數(shù)為

35、6.375 X 16=102。右式即為所求豎式。6.37516；10296_6012080 亦 0求解此類(lèi)小數(shù)除法豎式題，應(yīng)先將其化為整數(shù)除法豎式，如果被除數(shù)的末尾 出現(xiàn)n個(gè)0,則在除數(shù)和商中，一個(gè)含有因子 2n （不含因子5）,另一個(gè)含有因 子5n （不含因子2）,以此為突破口即可求解。例5 一個(gè)五位數(shù)被一個(gè)一位數(shù)除得到下頁(yè)的豎式（1）,這個(gè)五位數(shù)被另 個(gè)一位數(shù)除得到下頁(yè)的豎式（2）,求這個(gè)五位數(shù)。（1）*（2）"卓尖*)* * * *0 0分析與解：由豎式（1）可以看出被除數(shù)為10*0 （見(jiàn)豎式（1）'），豎式（1）的除數(shù)為3或9。在豎式（2）中，被除數(shù)的前兩位數(shù)10不能

36、被整數(shù)整除，故除數(shù)不是2或5,而被除數(shù)的后兩位數(shù)*0能被除數(shù)整除，所以除數(shù)是4, 6或8。tX* *丄3L*nr當(dāng)豎式（1）的除數(shù)為3時(shí)，由豎式（1）'知，a=1或2,所以被除數(shù)為100*0 或101*0，再由豎式（2）中被除數(shù)的前三位數(shù)和后兩位數(shù)分別能被除數(shù)整除， 可得豎式（2）的除數(shù)為4,被除數(shù)為10020;當(dāng)豎式（1）的除數(shù)為9時(shí)，由能被9整除的數(shù)的特征，被除數(shù)的百位與十 位數(shù)字之和應(yīng)為&因?yàn)樨Q式（2）的除數(shù)只能是4, 6, 8,由豎式（2）知被除 數(shù)的百位數(shù)為偶數(shù)，故被除數(shù)只有 10080, 10260, 10440和10620四種可能，最 后由豎式（2）中被除數(shù)的前三

37、位數(shù)和后兩位數(shù)分別能被除數(shù)整除，且十位數(shù)不 能被除數(shù)整除，可得豎式（2）的除數(shù)為8,被除數(shù)為10440。所以這個(gè)五位數(shù)是10020或10440。練習(xí)21. 下面各算式中，相同的字母代表相同的數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字"求出 abcd, abcxyz：（1）labcdX 3 = abcd5；（2）7X abcxyz = 6 x xyzabco2. 用代數(shù)方法求解下列豎式： 2E3. 在內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使下列小數(shù)除法豎式成立:第3講定義新運(yùn)算（一）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)加、減、乘、除運(yùn)算，這些運(yùn)算，即四則運(yùn)算是數(shù)學(xué)中最基 本的運(yùn)算，它們的意義、符號(hào)及運(yùn)算律已被同學(xué)們熟知。除此之外，還會(huì)有什

38、么 別的運(yùn)算嗎？這兩講我們就來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題。這些新的運(yùn)算及其符號(hào)，在中、小學(xué)課本中沒(méi)有統(tǒng)一的定義及運(yùn)算符號(hào)， 但學(xué)習(xí)討論這些新運(yùn)算，對(duì)于開(kāi)拓思路及 今后的學(xué)習(xí)都大有益處。例1對(duì)于任意數(shù)a， b，定義運(yùn)算“ * ”： a*b=a x b-a-b。求12*4的值。分析與解：根據(jù)題目定義的運(yùn)算要求，直接代入后用四則運(yùn)算即可。12*4=12 X 4-12-4=48-12-4=32。例2己知aAb表示刊的M倍減去啲例如1A2 = 1X3-2x1 = 2o根據(jù)以上的規(guī)定，求10A 6的值1的 'ffj3 對(duì)于數(shù)心 b, 口 d,規(guī)定 5 b, c, d>-2ab-o 已知“ 2,3, x>=2,求x的值。分析與解：按照定義的運(yùn)算,<1, 2, 3, x>=2,x=6。由上面三例看出，定義新運(yùn)算通常是用某些特殊符號(hào)表示特定的運(yùn)算意義。 新運(yùn)算使用的符號(hào)應(yīng)避免使用課本上明確定義或已經(jīng)約定俗成的符號(hào)，如+,-,X,寧，V,>等，以防止發(fā)生混淆，而表示新運(yùn)算的運(yùn)算意義部分，應(yīng)使用通 常的四則運(yùn)算符號(hào)。如例1中，a*b=aX b-a-b，新運(yùn)算符號(hào)使用“*”，而等號(hào) 右邊新運(yùn)算的意義則用四則運(yùn)算來(lái)表示。例臨 礒示兩個(gè)數(shù)20 （翅）=?（2）|-0s 求"？462分析與解：按新運(yùn)算的定義，符號(hào)表示求兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)。因?yàn)闀A（耗）中的