學(xué)而思小學(xué)奧數(shù)知識點(diǎn)梳理(大綱視圖)

1、學(xué)而思小學(xué)奧數(shù)知識點(diǎn)梳理學(xué)而思教材編寫組侍春雷前言小學(xué)奧數(shù)知識點(diǎn)梳理，對于學(xué)而思的小學(xué)奧數(shù)大綱建設(shè)尤其必要，不過， 對于知識點(diǎn)的概括很可能出現(xiàn)以偏概全掛一漏萬的現(xiàn)象，為此，本人參考了單 尊主編的小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克、中國少年報(bào)社主編的華杯賽教材、華 杯賽集訓(xùn)指南以及學(xué)而思的寒假班系列教材和華羅庚學(xué)校的教材共五套 教材，力圖打破原有體系，重新整合劃分，構(gòu)建十七塊體系（其第十七為解題 方法匯集，可補(bǔ)充相應(yīng)雜題），原則上簡明扼要，努力刻畫小學(xué)奧數(shù)知識的主 樹干。概述一、計(jì)算1四則混合運(yùn)算繁分?jǐn)?shù) 運(yùn)算順序分?jǐn)?shù)、小數(shù)混合運(yùn)算技巧般而言： 加減運(yùn)算中，能化成有限小數(shù)的統(tǒng)一以小數(shù)形式； 乘除運(yùn)算中，統(tǒng)一以分?jǐn)?shù)形

2、式。帶分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)的互化繁分?jǐn)?shù)的化簡2簡便計(jì)算湊整思想 基準(zhǔn)數(shù)思想 裂項(xiàng)與拆分提取公因數(shù)商不變性質(zhì)改變運(yùn)算順序 運(yùn)算定律的綜合運(yùn)用 連減的性質(zhì) 連除的性質(zhì) 同級運(yùn)算移項(xiàng)的性質(zhì) 增減括號的性質(zhì) 變式提取公因數(shù)形如：3估算求某式的整數(shù)部分：擴(kuò)縮法4比較大小 通分a.通分母b.通分子 跟“中介 ”比 利用倒數(shù)性質(zhì)若，貝J c>b>a.。形如：，貝y。5定義新運(yùn)算6特殊數(shù)列求和運(yùn)用相關(guān)公式： 1+2+3+4, （n-1）+n+（n-1）+,4+3+2+1=n 二、數(shù)論1奇偶性問題奇奇二偶奇奇=奇 奇偶二奇奇4禺=偶 偶偶=偶偶 偶=偶2位值原則形如： =100a+10b+c 3數(shù)的整除特征

3、：整除數(shù)特征2 末尾是 0、 2、4、6、 8 3 各數(shù)位上數(shù)字的和是 3 的倍數(shù)5 末尾是 0 或 59 各數(shù)位上數(shù)字的和是 9 的倍數(shù)11 奇數(shù)位上數(shù)字的和與偶數(shù)位上數(shù)字的和，兩者之差是 11 的倍數(shù)4和25末兩位數(shù)是 4（或 25）的倍數(shù)8和 125末三位數(shù)是 8（或125）的倍數(shù)7、11、13末三位數(shù)與前幾位數(shù)的差是 7（或 11 或13）的倍數(shù)4整除性質(zhì) 如果 c|a 、c|b ，那么 c|（a b）。如果 bc|a，那么 b|a , c|a。如果 b|a , c|a，且（b,c） =1那么 bc|a。如果 c|b,b|a, 那么 c|a.a 個(gè)連續(xù)自然數(shù)中必恰有一個(gè)數(shù)能被 a 整除

4、。5帶余除法一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)（b0 ,那么一定有另外兩個(gè)整數(shù)q和 r，0?r < b,使得 a=b x q+r當(dāng) r=0 時(shí)，我們稱a 能被 b 整除。16 / 16當(dāng)r工0寸，我們稱不完全商（亦簡稱為商）a=b X q+ra 不能被 b 整除， r 為 a 除以 b 的余數(shù)， q 為 a 除以 b 的。用帶余數(shù)除式又可以表示為a* b=q,r, C?rv b6.唯一分解定理任何一個(gè)大于 1 的自然數(shù) n 都可以寫成質(zhì)數(shù)的連乘積，即n= p1 X p2 X . X pk7.約數(shù)個(gè)數(shù)與約數(shù)和定理設(shè)自然數(shù)n的質(zhì)因子分解式如n= p1 X p2x .那么kn 的約數(shù)個(gè)數(shù)： d(n

5、)=(a1+1)(a2+1)(ak+1)n 的所有約數(shù)和：( 1+P1+P1 +,p1)(1+P2+P2 +,p2),(1+Pk+Pk +,pk)8. 同余定理 同余定義：若兩個(gè)整數(shù)a，b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱a，b 對于模m同余，用式子表示為a三b(mod m) 若兩個(gè)數(shù)a, b除以同一個(gè)數(shù)c得到的余數(shù)相同，則a, b的差一定能被 c整除。 兩數(shù)的和除以的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m 的余數(shù)和。 兩數(shù)的差除以的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m 的余數(shù)差。 兩數(shù)的積除以的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m 的余數(shù)積。9完全平方數(shù)性質(zhì) 平方差：A -B = (A+B)(A-B),其中我們還得注意 A+

6、B, 約數(shù)：約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)的是完全平方數(shù)。約數(shù)個(gè)數(shù)為 3 的是質(zhì)數(shù)的平方。 質(zhì)因數(shù)分解：把數(shù)字分解,使他滿足積是平方數(shù)。 平方和。10孫子定理（中國剩余定理）11輾轉(zhuǎn)相除法12數(shù)論解題的常用方法：枚舉、歸納、反證、構(gòu)造、配對、估計(jì)三、幾何圖形1平面圖形多邊形的內(nèi)角和N邊形的內(nèi)角和=（N-2） X 180B同奇偶性。等積變形（位移、割補(bǔ)） 三角形內(nèi)等底等高的三角形平行線內(nèi)等底等高的三角形公共部分的傳遞性極值原理（變與不變）三角形面積與底的正比關(guān)系S1 : S2 二a： b; S1: S2二S4： S3或者 SIX S3=S2X S4 相似三角形性質(zhì)（份數(shù)、比例） ;S1 ： S2=a2： A2

7、 S1 ： S3： S2： S4= a2： b2： ab： ab ;S=（ a+b） 2燕尾定理ABG:AGOBGEGEG- BE EC;BGABGC= AGF:GFC= AF: FCAGC S BCG= ADG:DGB= AD : DB;差不變原理 知 5-2=3，則圓點(diǎn)比方點(diǎn)多 3。隱含條件的等價(jià)代換 例如弦圖中長短邊長的關(guān)系。 組合圖形的思考方法 化整為零 先補(bǔ)后去 正反結(jié)合2立體圖形規(guī)則立體圖形的表面積和體積公式 不規(guī)則立體圖形的表面積 整體觀照法 體積的等積變形 水中浸放物體：V升水=V物 測啤酒瓶容積：V=V空氣+V水 三視圖與展開圖 最短線路與展開圖形狀問題 染色問題 幾面染色的

8、塊數(shù)與 “芯”、棱長、頂點(diǎn)、面數(shù)的關(guān)系。四、典型應(yīng)用題1植樹問題 開放型與封閉型 間隔與株數(shù)的關(guān)系2方陣問題外層邊長數(shù) -2=內(nèi)層邊長數(shù)（外層邊長數(shù)-1） X 4外周長數(shù)外層邊長數(shù) 2-中空邊長數(shù) 2=實(shí)面積數(shù) 3列車過橋問題車長+橋長二速度X寸間 車長甲+車長乙二速度和 相目遇時(shí)間 車長甲+車長乙二速度差 追及時(shí)間 列車與人或騎車人或另一列車上的司機(jī)的相遇及追及問題 車長=速度和X目遇時(shí)間 車長=速度差 追及時(shí)間4年齡問題差不變原理5雞兔同籠假設(shè)法的解題思想6牛吃草問題原有早量=（牛吃速度-早長速度）X寸間7平均數(shù)問題 8盈虧問題分析差量關(guān)系9和差問題 10和倍問題 11差倍問題 12逆推問

9、題還原法，從結(jié)果入手13代換問題列表消元法 等價(jià)條件代換 五、行程問題1相遇問題路程和二速度和 相目遇時(shí)間2追及問題路程差二速度差追及時(shí)間3流水行船順?biāo)俣?=船速+水速逆水速度 =船速-水速船速 =（順?biāo)俣?+逆水速度）水速 =（順?biāo)俣?-逆水速度）4多次相遇線型路程：甲乙共行全程數(shù) 二相遇次數(shù)X 2-1環(huán)型路程：甲乙共行全程數(shù) =相遇次數(shù)其中甲共行路程二單在單個(gè)全程所行路程X共行全程數(shù)5環(huán)形跑道 6行程問題中正反比例關(guān)系的應(yīng)用路程一定，速度和時(shí)間成反比。速度一定，路程和時(shí)間成正比。時(shí)間一定，路程和速度成正比。7鐘面上的追及問題。 時(shí)針和分針成直線； 時(shí)針和分針成直角。8結(jié)合分?jǐn)?shù)、工程、

10、和差問題的一些類型。9行程問題時(shí)常運(yùn)用 “時(shí)光倒流 ”和“假定看成 ”的思考方法。六、計(jì)數(shù)問題1 加法原理：分類枚舉2乘法原理：排列組合 3容斥原理： 總數(shù)量 =A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC 常用：總數(shù)量 =A+B-AB 4抽屜原理：至多至少問題5握手問題在圖形計(jì)數(shù)中應(yīng)用廣泛 角、線段、三角形， 長方形、梯形、平行四邊形 正方形 七、分?jǐn)?shù)問題1量率對應(yīng)2以不變量為 “ 1”3利潤問題4濃度問題倒三角原理 例：5工程問題 合作問題 水池進(jìn)出水問題6按比例分配八、方程解題1等量關(guān)系 相關(guān)聯(lián)量的表示法 例：甲 +乙=100x100-x 解方程技巧 恒等變形 =3 3xx2二元一次方程組的

11、求解代入法、消元法3不定方程的分析求解以系數(shù)大者為試值角度4不等方程的分析求解九、找規(guī)律 周期性問題 年月日、星期幾問題 余數(shù)的應(yīng)用 數(shù)列問題 等差數(shù)列 通項(xiàng)公式 an=a1+(n-1)d求項(xiàng)數(shù)： n=求和： S= 等比數(shù)列 求和： S= 裴波那契數(shù)列 策略問題 搶報(bào) 30 放硬幣 最值問題 最短線路a. 個(gè)字符陣組的分線讀法b.在格子路線上的最短走法數(shù) 最優(yōu)化問題a.統(tǒng)籌方法 b .烙餅問題十、算式謎1填充型2替代型3填運(yùn)算符號4橫式變豎式5結(jié)合數(shù)論知識點(diǎn)一、數(shù)陣問題1相等和值問題 2數(shù)列分組知行列數(shù)，求某數(shù)知某數(shù)，求行列數(shù)3幻方 奇階幻方問題： 楊輝法羅伯法 偶階幻方問題： 雙偶階：對稱交換法 單偶階：同心方陣法 十二、二進(jìn)制1二進(jìn)制計(jì)數(shù)法 二進(jìn)制位值原則 二進(jìn)制數(shù)與十進(jìn)制數(shù)的互相轉(zhuǎn)化 二進(jìn)制的運(yùn)算2其它進(jìn)制（十六進(jìn)制）十三、一筆畫1一筆畫定理：一筆畫圖形中只能有 0 個(gè)或兩個(gè)奇點(diǎn)； 兩個(gè)奇點(diǎn)進(jìn)必須從一個(gè)奇點(diǎn)進(jìn)，另一個(gè)奇點(diǎn)出；2哈密爾頓圈與哈密爾頓鏈 3多筆畫定理筆畫數(shù) =十四、邏輯推理1等價(jià)條件的轉(zhuǎn)換2列表法3對陣圖競賽問題，涉及體育比賽常識十五、火柴棒問題1移動(dòng)火柴棒改變圖形個(gè)數(shù)2移動(dòng)火柴棒改變算