【2020年高考必備】全國版高考數(shù)學必刷題：第二十單元概率與統(tǒng)計的綜合應(yīng)用

1、第二十單元概率與統(tǒng)計的綜合應(yīng)用真題回訪考點一概率1.(2015 年全國I卷)投籃測試中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通過測試.已知某同學每次投籃投中的概率 為 0.6,且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為().A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312【解析】3 次投籃投中 2 次的概率為F(k=2)=X0.62x(1-0.6),投中 3 次的概率為P(k=3)=0.63,所以通 過測試的概率為P(k=2)+F(k=3)=X0.62X(1-0.6)+0.63=0.648.故選 A.【答案】A2.(2015 年全國n卷)某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從A,

2、B 兩地區(qū)分別隨機調(diào)查了20 個用戶，得到用戶對產(chǎn)品的滿意度評分如下：A 地區(qū):6273819295857464537678869566977888827689B 地區(qū)：7383 625191465373648293486581745654766579(1)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計算岀具體值，給岀結(jié)論即可)；456789(2)根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度從低到高分為三個等級滿意度評分低于 70 分70 分到 89 分不低于 90 分滿意度等級不滿意滿意非常滿意記事件C“A 地區(qū)用戶的滿意度等級高于B 地區(qū)用

3、戶的滿意度等級”.假設(shè)兩地區(qū)用戶的評價結(jié)果相互獨立.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，求C的概率.【解析】(1)兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖如下：A MM46 1513 4 66 4 262 4 5 58 8643713 4 6 99 ft 6 5 2 181137 5 5 291 3通過莖葉圖可以看出,A 地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于B 地區(qū)用戶滿意度評分的平均值；A 地區(qū)用戶滿意度評分比較集中,B 地區(qū)用戶滿意度評分比較分散.記&表示事件：“ A 地區(qū)用戶的滿意度等級為滿意或非常滿意”；CA2表示事件：“ A 地區(qū)用戶的滿意度等級為非常滿意 ”；G 表示事件：

4、“B 地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”；G2 表示事件：“ B 地區(qū)用戶的滿意度等級為滿意”，貝UC1與C1獨立,6 與CB2獨立,Ci與C)2互斥,C=COi UC32O2.RC)=RGiGiU G26)=P CiGJ+RCC)=PCi)ROi)+RO2)RO2).由所給數(shù)據(jù)得 Oi,G2,G,G2發(fā)生的頻率分別為 一,一,一,一,故RO1) -,P( O2) -,P(C1) -,P(CB2) =-,P(C)= X iX =0.48.考點二離散型隨機變量的期望與方差3._ (20i7 年全國H卷)一批產(chǎn)品的二等品率為 0.02,從這批產(chǎn)品中每次隨機取一件，有放回地抽取 i00 次,X表示 抽到

5、的二等品件數(shù)，則DX .【解析】由題意得XBi00,0.02),.DX=00X0.02X(i-0.02)=i.96.【答案】i.964.(20i6年全國n卷)某險種的基本保費為a(單位:元),繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度岀險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險次數(shù)01234 5保費0. 85aa1. 25a1.5a1. 75a2a設(shè)該險種一續(xù)保人一年內(nèi)岀險次數(shù)與相應(yīng)概率如下一年內(nèi)出險次數(shù)01234 5概率0. 300. 150.200. 200. 100. 05(1) 求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率；(2) 若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保

6、費高岀60%的概率；(3) 求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值【解析】(1)設(shè)A表示事件“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”，則事件A發(fā)生當且僅當一年內(nèi)岀險次數(shù)大于 1，故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.(2) 設(shè)B表示事件“一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高岀60%，則事件B發(fā)生當且僅當一年內(nèi)岀險次數(shù)大于 3,故P(B)=0. 1+0. 05=0.15.又P(AB=PB),故P(B|A)=_.因此所求概率為一.(3)記續(xù)保人本年度的保費為X,則X的分布列為X0. 85aa1. 25a1. 5a1. 75a2aP0. 300. 150.200. 200. 100. 0

7、5EX=).85aX0.30+aXO.15+1.25aX0.20+1.5aX0.20+1.75aX0.10+2aX0.05=1.23a.因此續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值為1.23.5.(2017 年山東卷)在心理學研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者 接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用.現(xiàn)有 6 名男志愿者A，A,A,A4,A,A 和 4 名女志愿者BBBB,從中隨機抽取 5 人接受甲種心理暗示，另 5 人接受乙種心理暗示.(2)用X表示接受乙

8、種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望EX.【解析】(1)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含Ai但不包含Bi的事件為M則P(MJ(2)由題意知,X的可能取值為 0,1,2,3,4,則RX=0)=J,P(X=1)=一，RX=2)一，RX=3) ，P(X=4)=因此X的分布列為X01234PX的數(shù)學期望EX=0 xP(X=0)+1XP(X=1)+2XP(X=2)+3xP(X=3)+4xRX=4)=0+1X+2X +3X+4X=2.6.(2016 年山東卷)甲、乙兩人組成 “星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語.在一輪活動 中，如果兩人都猜對，則“星隊”得 3 分;如果只有一人

9、猜對，則“星隊”得 1 分;如果兩人都沒猜對，則“星隊 得 0 分.已知甲每輪猜對的概率是-,乙每輪猜對的概率是-;每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響，各輪結(jié)果亦互不影響假設(shè)“星隊”參加兩輪活動，求：(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A 但不包含 Bi的概率；(1) “星隊”至少猜對 3 個成語的概率；(2) “星隊”兩輪得分之和X的分布列和數(shù)學期望EX.【解析】(1)記事件A“甲第一輪猜對”，記事件B: “乙第一輪猜對”，記事件 C: “甲第二輪猜對”，記事件D“乙第二輪猜對”，記事件E:星隊至少猜對 3 個成語”.由題意,E=ABCDBCD+ACD+ABD+ABC,由事件的獨立性與互斥性

10、，RE)=PABCDpBCD+RA CD+PAhD+RABC)=PA)RB)P(C)P(D+p)RB)RC)P(D)+PA)p)P(C)P(D)+RA P(B) PT)P(D)+P(A)P(B)P(Q PH丄一一+2丄一一.L,所以“星隊”至少猜對 3 個成語的概率為-.(2)根據(jù)題意，隨機變量X可能的取值為 0,1,2,3,4,6.由事件的獨立性與互斥性，得RX=0)二X_X_ X_=,P(X=1)=2X -RX=2)亠X_X_X-4 X-X_X_ 4 X-X_X_ + X-X_X_=,P(X=3)X - X - X -+X - X - X -JP(X=4)=2X -P(X=5) X-X-

11、X-=可得隨機變量X的分布列為X012346P所以數(shù)學期望EXX+1X-+2X一+3X-+4X-+6X.7.(2017 年全國皿卷)某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶 4 元，售價每瓶 6 元，未售 岀的酸奶降價處理，以每瓶 2 元的價格當天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫(單 位C)有關(guān).如果最高氣溫不低于 25,需求量為 500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間20,25),需求量為 300 瓶;如果最 高氣溫低于 20,需求量為 200 瓶.為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫10,15)15,20

12、)20,25)25,30)30,35)35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率(1) 求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位:瓶)的分布列.(2) 設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元),當六月份這種酸奶一天的進貨量n(單位:瓶)為多少時，丫的數(shù)學期望達到最大值?【解析】(1)由題意知，X的所有可能取值為 200,300,500,由表格數(shù)據(jù)知P(X=200)=0.2,P(X=300)一=0.4,F(X=500) -=0.4.因此X的分布列為X200300500P0.20. 40.4(2)由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為500,至少為 2

13、00,因此只需考慮 200n 500.當 300 n 500 時, 若最高氣溫不低于 25，則 Y=6n-4n=2n;若最高氣溫位于區(qū)間20,25),則 Y=6X300+2(n-300)-4n=1200-2n;若最高氣溫低于 20,則Y=3X200+2(n-200)-4n=800-2n.因此EY=nX0.4+(1200-2n)X0.4+(800-2n)X0.2=640-0.4n.當 200 n 0.5,確定n的最小值.(3) 以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在n=19 與n=20 之中選其一，應(yīng)選用哪個？【解析】(1)由柱狀圖及以頻率代替概率可得，一臺機器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為

14、8,9,10,11 的概率分別為 0.2,0.4,0.2,0.2.從而P(X=16)=0.2X0.2=0.04;RX=17)=2X0.2X0.4=0.16;P(X=18)=2X0.2X0.2+0.4X0.4=0.24;P(X=19)=2X0.2X0. 2+2X0.4X0.2=0.24;P(X=20)=2X0.2X0.4+0.2X0.2=0.2;P(X=21)=2X0.2X0.2=0.08;P(X=22)=0.2X0.2=0.04.所以X的分布列為X16171819202122P0. 040. 160.240.240. 20. 080. 04(2) 由(1)知P(X 18)=0.44,P(X 1

15、9)=0.68,故n的最小值為 19.(3)記丫表示 2 臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位：元).當n=19時,EY=19X200X0.68+( 19X200+500)X0.2+(19X200+2X500)X0.08+(19X200+3X500)X0.04=4040;當n=20 時,EY=!0X200X0. 88+(20X200+500)X0.08+(20X200+2X500)X0.04=4080.所以當n=19 時所需費用的期望值小于當n=20 時所需費用的期望值，故應(yīng)選n=19.考點三正態(tài)分布9. （2015 年山東卷）已知某批零件的長度誤差（單位:毫米）服從正態(tài)分布N0,32）,從

16、中隨機取一件，其長度誤差落在區(qū)間（3,6）內(nèi)的概率為（）.附:若隨機變量E服從正態(tài)分布N卩，b）,則P（g-bEg+b）=68.26%P（卩-2bEg+2b）=95.44%A.4.56%B.13.59%C.27.18% D.31.74%【解析】由正態(tài)分布的概率公式知P（-3E3）=0.6826,P（-6E6）=0.9544,故R3vE 1） 及X的數(shù)學期望.(2)天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(11 -3a，卩+3b)之外的零件，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過 程可能岀現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查.1試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性.2下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的 16 個零件

17、的尺寸：9 95 10. 12 9.96 9 96 10.01 9 92 9 98 10.0410. 26 9. 91 10. 13 10. 02 9.22 10.04 10.05 9. 95經(jīng)計算得一xi=9.97,s=廠=_- 一 -0.212,其中xi為抽取的第i個零件的尺寸,i=1,2，,16.人人用樣本平均數(shù)-作為1的估計值，用樣本標準差s作為a的估計值，利用估計值判斷是否需對當天的生產(chǎn)人人 人人過程進行檢查？剔除(-3,+3 )之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計1和a(精確到 0.01).2 16 -附:若隨機變量Z服從正態(tài)分布N 1,a),則F(1-3aZ 1)=1-P(X=0)=1-

18、0.9974 -0.0408.X的數(shù)學期望EX=6X0.0026=0.0416.(2)如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，那么一個零件尺寸在(1-3a,1+3a)之外的概率只有 0.0026，一天內(nèi)抽取的 16 個零件中，出現(xiàn)尺寸在(1-3a,1+3a)之外的零件的概率只有0.0408,發(fā)生的概率很小，因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能岀現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的.人人2由-=9.97,s- 0 212，得1的估計值為=9.97,a的估計值為=0.212,由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個零人人 人人件的尺寸在(-3 ,+3 )之外,因此需

19、對當天的生產(chǎn)過程進行檢查.人人 人人剔除(-3 ,+3 )之外的數(shù)據(jù) 9.22,剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 一X(16X9.97-9.22)=10.02.因此1的估計值為 10.02.=16x0.2122+16X9.972- 1591.134,人人 人人2 2剔除(-3 ,+3 )之外的數(shù)據(jù) 9.22,剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為-X(1591.134-9.22-15x10.02)- 0.008,於蟲搭搭込好搭込込衛(wèi)壬壬込込命題調(diào)研|!： ： ： ： ： ： ： ： ： ： ： ： ： ： ： ： ： ：高頻考點：相互獨立事件的概率、二項分布、正態(tài)分布、超幾何分布、離散型隨機變量的均值與方差命題特點：離散型隨

20、機變量主要考查離散型隨機變量及其分布列、離散型隨機變量的均值和方差的概念重點考查n次獨立重復試驗的模型及二項分布，試題往往涉及古典概型、二項式定理等內(nèi)容，其難度不會太大 正態(tài)分布主要考查隨機變量在某一區(qū)間取值的概率，但題型可能較靈活，背景更新穎. 20. 1 離散型隨機變量及其分布列曲搭禽筒搭脳汨 Jf 必 ItloiRL 酬込IF離散型隨機變量隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為 _，所有取值可以- 列出的隨機變量，稱為_隨機變量.離散型隨機變量的分布列及其性質(zhì)1.一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為X1，X2,Xi，Xn，X取每一個值Xi（i=1,2，n）的概率RX=x）=p，以表格的形

21、式表示如下：XX1X2XiXnP因此b的估計值為0.09.上表稱為離散型隨機變量X的_2.離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)：(1)pi0(i=1,2,，n);(2)_=1.三 常見的離散型隨機變量的分布列1.兩點分布：若隨機變量X服從兩點分布，其分布列為X01P1-pp其中p=RX=1)稱為成功概率.2.超幾何分布：在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則P(X=k)=_,k=0,1,2,m其中 m=minMn，且nWN,M N,n,MNN*，稱隨機變量X服從超幾何分布即X01mP?左學右考1若隨機變量X的分布列中概率為P(X=i)=_(i=1,2,3)則P(x=2)等于().A

22、._C._D._2設(shè)某項試驗的成功率是失敗率的2 倍，用隨機變量X去描述 1 次試驗的成功次數(shù)，則P(X=0)等于().A.0 B._C._D._隊別北京上海天津八一人數(shù)4635若要求選出兩位隊員代表發(fā)言，設(shè)其中來自北京隊的人數(shù)為E，求隨機變量E的分布列.知識清單一、 隨機變量離散型二、 1.p1p2pipn概率分布列2.(2)pi+ p2+pn三、 2.- -基礎(chǔ)訓練1.【解析】由題意知，一+=1，二一=1，.a=3，.p(X=2)=.【答案】C2.解析】由已知得X的所有可能取值為 0,1,且P(X=1)=B.-3為了參加廣州亞運會，從四支較強的排球隊中選出18 人組成女子排球國家隊，隊員來

23、源人數(shù)如下表2RX=0).由P(X=1)+PX=0)=1,得P(X=0)=-.【答案】C3.【解析】E的所有可能取值為 0,1,2.P(E=0)=一,P(E=1)=,P(E=2)J=_,故E的分布列為012P題型一離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)X的分布列為X01234P0.20. 10. 10. 3m求:(1)2X+1 的分布列；|X- 1|的分布列.,0.2+0.1+0.1+0.3+m=,所以m=3,且 2X+和|X-1|的值(列表)為X012342X+113579【例i】 已知離散型隨機變量【解析】由分布列的性質(zhì)|X- 1|10123(1)2X+1 的分布列為2X+113579P0. 20.

24、 10. 10. 30. 3|X- 1|的分布列為|X-1|0123P0. 10. 30. 30. 3(1)利用分布列中各概率之和為1 可求參數(shù)的值，此時要注意檢驗，以保證每個概率值均為非負數(shù).(2)若X是隨機變量，則n=|X-11仍然是隨機變量，求它的分布列可先求出相應(yīng)隨機變量的值，再根據(jù)互斥事件概率加法公式求對應(yīng)事件的概率，進而寫岀分布列.【變式訓練 1】(1)設(shè)隨機變量丫的分布列為Y-123Pm則“_w丫_”的概率為().A. -B. -C.-D. -(2)設(shè)隨機變量X的概率分布列如下表X012Pa若F(x)=RXwx),則當x的取值范圍是1,2)時，F(xiàn)(x)等于().A.- B.- C

25、- D.-【解析】(1)由題意知r+m+=1，解得m=.-=pY=2)+RY=3)=+_二.(2)由分布列的性質(zhì)，得a+-+-T，解得a.又x1,2)所以F(x)=P(XWx)=+=.【答案】(1)C (2)D題型二兩點分布【例 2】若離散型隨機變量X的分布列如圖，則常數(shù)c的值為().X01P9c2-c3-8cA. -或-B.- C.- D.1【解析】由隨機變量的分布列的性質(zhì)知2 29c-C0,3-8c0,9c -C+3-8c=1,解得C=-.【答案】C求離散型隨機變量X的分布列的步驟：(1) 找出隨機變量X的所有可能取值Xi(i=1,2,3,n);(2) 求出各取值的概率PX=x)=p;(3

26、) 列成表格并用分布列的性質(zhì)檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確【變式訓練 2】若隨機事件A在一次試驗中發(fā)生的概率為p(0p1)，用隨機變量E表示A在一次試驗發(fā)生的次數(shù)，求D(E)的最大值.【解析】由題意可知，E服從兩點分布，其分布列為E01P1-PP所以E(E)=0X(1-P)+1xp=p2 2 2D(E)=(-p)x(1-p)+(1-p)xp=p-p,由二次函數(shù)知識可得D(E)的最大值為-題型三超幾何分布【例 3】為了研究一種新藥的療效，選 100 名患者隨機分成兩組，每組各 50 名，一組服藥，另一組不服藥.一段時間后，記錄了兩組患者的生理指標x和y的數(shù)據(jù)，并制成下圖，其中“*”表示服

27、藥者，“+”表示未服藥 者.(1) 從服藥的 50 名患者中隨機選出一人，求此人指標y的值小于 60 的概率；(2) 從圖中 AB,C,D 四人中隨機選出兩人，記E為選出的兩人中指標x的值大于 1.7 的人數(shù)，求E的分布 列；(3) 試判斷這 100 名患者中服藥者指標y數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標y數(shù)據(jù)的方差的大小.(只需寫出結(jié)論)【解析】(1)由題圖可知，在服藥的 50 名患者中，指標y的值小于 60 的有 15 人,所以從服藥的 50 名患者 中隨機選出一人，此人的指標y的值小于 60 的概率為一=0.3.(2)由題圖知，AB,C,D 四人中，指標x的值大于 1.7 的有 2 人:A 和 C

28、.所以E的所有可能取值為 0,1,2.RE=0)=一二,RE=1 )=二,P(E=2)二.所以E的分布列為E012P(3)在這 100 名患者中，服藥者指標y數(shù)據(jù)的方差大于未服藥者指標y數(shù)據(jù)的方差超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù).超幾何分布的特征是：(1)考 察對象分兩類；(2)已知各類對象的個數(shù);(3)從中抽取若干個個體，考查某類個體數(shù)X的概率分布.超幾何分布 主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質(zhì)是古典概型.【變式訓練 3】某校高一年級學生身體素質(zhì)體能測試的成績(百分制)分布在50,100內(nèi)，同時為了了解學 生愛好數(shù)學的情況，從中隨機抽取了n名

29、學生，這n名學生體能測試成績的頻率分布直方圖如圖所示，各分數(shù)段的“愛好數(shù)學”的人數(shù)情況如表所示.組數(shù)體能成績分組愛好數(shù)學的人數(shù)占本組的頻率第一組50,60)1000.5第二組60,70)195P第三組70,80)1200.6第四組80,90)a0.4第五組90,100300. 3(1) 求n,p的值;(2)用分層抽樣的方法，從體能成績在70,90)的“愛好數(shù)學”學生中隨機抽取 6 人參加某項活動現(xiàn)從 6 人中隨機選取 2 人擔任領(lǐng)隊，記體能成績在80,90)內(nèi)領(lǐng)隊人數(shù)為X人，求X的分布列.【解析】(1)由頻率分布直方圖中小長方形面積等于對應(yīng)概率，得第一組的頻率為 0.02X10=0.2,第一組

30、的人數(shù)為一=200,由總數(shù)等于頻數(shù)除以頻率得n =1000,第二組的頻率為1-(0.02+).025+0.015+).01)x10=0.3,第二組的人數(shù)為 1000X0. 3,因此 p -=0.65.(2)80,90)內(nèi)人數(shù)為 0.015x10 x1000=150,a=150X0.4=60,再根據(jù)分層抽樣得在70,80)內(nèi)抽出 4 人，在80,90)內(nèi)抽出 2 人，隨機變量 X=0,1,2,RX=0)二,RX=1)=,P(X=2)=二故X的分布列為X012P方法一公式法直接用公式計算離散型隨機變量的分布列，主要考查兩種類型：一是以排列、組合知識為基礎(chǔ)，以摸球、 選取、數(shù)字等古典概型的求解為背景

31、；二是以相互獨立事件、獨立重復試驗等概率的求解為基礎(chǔ)求解其分布列.【突破訓練 1】研究塞卡病毒(Zika Virus )某種疫苗的過程中，為了研究小白鼠連續(xù)接種該種疫苗后岀現(xiàn)Z癥狀的情況，做接種試驗，試驗設(shè)計每天接種一次，連續(xù)接種 3 天為一個接種周期.已知小白鼠接種后當天岀現(xiàn)Z癥狀的概率為假設(shè)每次接種后當天是否岀現(xiàn)Z癥狀與上次接種無關(guān).(1) 若岀現(xiàn)Z癥狀即停止試驗，求試驗至多持續(xù)一個接種周期的概率；(2) 若在一個接種周期內(nèi)岀現(xiàn) 2 次或 3 次Z癥狀，則這個接種周期結(jié)束后終止試驗，試驗至多持續(xù) 3 個周期，設(shè)接種試驗持續(xù)的接種周期數(shù)為E,求E的分布列.【解析】(1)試驗至多持續(xù)一個接種周

32、期分三種情況：第一天岀現(xiàn)Z癥狀;直至第二天岀現(xiàn)Z癥狀;直至第三天岀現(xiàn)Z癥狀.試驗至多持續(xù)一個接種周期的概率Pi=+x-+-X- x_=+.(2)隨機變量E=1,2,3,設(shè)事件C為“在一個接種周期內(nèi)出現(xiàn) 2 次或 3 次Z癥狀”，則P(E=1)=P(0=- x-+-=,P(E=2)=1-P(QXP(C)= X-=P(E=3)= 仁仁P(0 x1-P(C)lX1=所以E的分布列為E123P方法二方程法解題步驟1利用題干條件列方程；2利用方程計算概率問題適用情況適用于基本事件的個數(shù)可以用集合理論來說明的問題【突破訓練 2】某工廠在試驗階段生產(chǎn)岀了一種零件，該零件有A B兩項技術(shù)指標需要檢測，設(shè)各項技

33、術(shù)指標達標與否互不影響.若有且僅有一項技術(shù)指標達標的概率為一,至少有一項技術(shù)指標達標的概率為按質(zhì)量檢驗規(guī)定：兩項技術(shù)指標都達標的零件為合格品.(1) 求一個零件經(jīng)過檢測為合格品的概率；(2) 依次任意抽岀 5 個零件進行檢測，求其中至多 3 個零件是合格品的概率；(3) 依次任意抽取該零件 4 個，設(shè)E表示其中合格品的個數(shù)，求E(E)與D(E).【解析】(1)設(shè)A、B兩項技術(shù)指標達標的概率分別為P、已由題意得所以一個零件經(jīng)過檢測為合格品的概率為PiXP二.(3)依題意知，E服從二項分布，即EB，故E()=4X-=2，D()=4X-X-=1.(2)任意抽岀 5 個零件進行檢測，其中至多3 個零件

34、是合格品的概率為1-1.（2017 萊蕪模擬改編）設(shè)X是一個離散型隨機變量，其分布列為X-101P2-3q2q【解析】由分布列的性質(zhì)知解得q- .【答案】C2.（2017 福州調(diào)研）已知隨機變量E和n，其中n=4E-2,且E（n）=7，若E的分布列如下表，則n的值為（）.E1234Pmn-【解析】n=4E-2?E(n)=4E(E)-2? 7=4xE( )-2?耳E)=?-=1x-+2xm+5xn+4x,又-+m+n+=1,聯(lián)立可解得n=-，故選 A.【答案】A3.（2017 咸陽模擬）在 15 個村莊中有 7 個村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選 10 個村莊，用X表示這 10 個村莊中交通不方便的

35、村莊數(shù)，則下列概率中等于 的是（）.則q的值為（A.1).B._ 士 一C.-D.-+A.-B.D.-A.P(X=6) B.P(X6)C.P(X=4) D.P(XW4)【解析】X服從超幾何分布，RX=k -，故k=4,故選 C.【答案】C4.(2017 臨沂月考)若隨機變量X的分布列為X-2-10123P0. 10. 20.20. 30. 10. 1則當pXa)=0.8 時，實數(shù)a的取值范圍是().A.(-32B.1,2C.(1,2D.(1,2)【解析】由隨機變量X的分布列知,P(X-1)=0.1,PX0)=0.3,P(X1)=0.5,P(X2)=0.8,則當RXa=0.8 時,實數(shù)a的取值范

36、圍是(1,2.【答案】C5. (2017 宜昌模擬)若離散型隨機變量X的分布列為X01P只29c -c3-8c則常數(shù)c=_,P(X=)=_【解析】由分布列的性質(zhì)知，解得C=-，故P(X=1 )=3-8 X-.【答案】- -6.(2016 年南寧二模)設(shè)隨機變量X的概率分布列為X1234Pm一則P(|X-2|=1)=_.【解析】由-+_+m+=1解得m=.由|X-2|=1,解得X=1 或X=3,所以P(|X- 2|=1)=P(X=1)+RX=3)=-+-J.【答案】一7.（2017 珠海模擬改編）在一個口袋中裝有黑、白兩個球，從中隨機取一個球，記下它的顏色，然后放回，再取一 個球，又記下它的顏色

37、，求兩次取出白球數(shù)X的分布列.【解析】X的所有可能取值為 0,1,2.RX=0)亠,P(X=1)=二,P（X=2）=所以X的分布列為X012P8. （2017 聊城模擬）隨機變量X的分布列如下X-101Pabc其中a,b,c成等差數(shù)列，則P（|X|=1）等于（）.A.- B.- C. D.-【解析】Ta,b,c成等差數(shù)列,.2b=a+c.又a+b+c=1,.b=,.P(|X|=1)=a+c二.【答案】D9._ （2017 淮南模擬）袋中有 4 個紅球和 3 個黑球，從袋中任取 4 個球，取到 1 個紅球得 1 分，取到 1 個黑球得 3 分，設(shè)得分為隨機變量X則RXw6）=.【解析】P（X 1

38、75 且y 75 時，該產(chǎn)品為優(yōu)等品.現(xiàn)從上述 5 件產(chǎn)品中，隨機抽取 2 件，求抽取的 2 件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)X的分布列.【解析】5 件抽測品中有 2 件優(yōu)等品，則X的可能取值為 0,1,2.F（X=0）=0. 3,F（X=1）=一=0.6,RX=2）=0. 1.故優(yōu)等品數(shù)X的分布列為X012P0. 30. 60. 111. （2017 渭南檢測）有一種密碼，明文由三個字母組成，密碼由明文的這三個字母對應(yīng)的五個數(shù)字組成編碼規(guī)則如下表.明文由表中每一排取一個字母組成，且第一排取的字母放在第一位，第二排取的字母放在第 二位,第三排取的字母放在第三位，對應(yīng)的密碼由明文所取的這三個字母對應(yīng)的數(shù)字按相同

39、的次序排成一組 組成.(如:明文取的三個字母為AFP則與它對應(yīng)的五個數(shù)字(密碼)就為 11223)第一排明文字母ABC密碼數(shù)字111213第二排明文字母EFG密碼數(shù)字212223第三排明文字母MNP密碼數(shù)字123(1) 假設(shè)明文是BGN求這個明文對應(yīng)的密碼.(2)設(shè)隨機變量X表示密碼中所含不同數(shù)字的個數(shù).1求P(X=2)；2求隨機變量X的分布列.【解析】(1)這個明文對應(yīng)的密碼是 12232.(2)因為表格的第一行均含數(shù)字 1,第二行圴含數(shù)字 2,所以當X=2 時，只能取表格第一、二列中的數(shù)字作為密碼.所以P(X=2)=.由題意可知,X的可能取值為 2,3.所以P(X=3)=1-P(X=2)=

40、1-=.所以X的分布列為1X230012.(2017 濰坊模擬)袋中裝有黑球和白球共 7 個,從中任取 2 個球都是白球的概率為-.現(xiàn)在甲、乙兩人從 袋中輪流摸取 1個球，甲先取，乙后取，然后甲再取 取后不放回，直到兩人中有一人取到白球為止，每個球在 每一次被取岀的機會是相等的，用X表示終止時所需要的取球次數(shù).(1)求袋中原有白球的個數(shù)(2)求隨機變量X的分布列；(3)求甲取到白球的概率.【解析】(1)設(shè)袋中原有 n 個白球，由題意知-=_所以n(n-1 )=6,解得n=3 或n=-2(舍去).即袋中原有 3 個白球.(2)由題意知,X的可能取值為 1,2,3,4,5.RX=1=;RX=2)j

41、=_；F(X=3)=RX=4)=F(X=5)=- =一.所以取球次數(shù)X的分布列如下表所示X12345P(3)因為甲先取，所以甲只可能在第 1 次、第 3 次和第 5 次取球.設(shè)“甲取到白球”的事件為A,則P(A)=F(X=1 或X=3 或X=5).因為事件“X=1 ”“X=3”“X=5 ”兩兩互斥，所以P(A)=PX=1)+RX=3)+RX=5)h+i=13. (2017 武威模擬)盒內(nèi)有大小相同的 9 個球，其中 2 個紅色球,3 個白色球,4 個黑色球.規(guī)定取出 1 個紅色球 得 1 分，取出 1 個白色球得 0 分,取出 1 個黑色球得-1 分.現(xiàn)從盒內(nèi)任取 3 個球.(1)求取出的 3

42、 個球中至少有 1 個紅球的概率；(2)求取出的 3 個球得分之和恰為 1 分的概率;(3)設(shè)X為取出的 3 個球中白色球的個數(shù)，求X的分布列.【解析】(1)P=1-J.(2) 記“取出 1 個紅色球,2 個白色球”為事件B“取出 2 個紅色球,1 個黑色球”為事件C則所求概率為P(B+C=RB)+RC)=+J.(3)X的可能取值為 0,1,2,3,X服從超幾何分布，所以P(X=k)=- ,k=0,1,2,3.故P(X=0)=,P(X=1)=P(X=2)=一,RX=3)d 所以X的分布列為X0123P 20. 2 二項分布與正態(tài)分布 淞嵌曲腳汩閔血*知識口賢條件概率1._ 定義:設(shè)AB為兩個事

43、件，且RA)0,稱RB|A)=_ 為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率2性質(zhì):(1)0P(B|A)w1.(2)_如果B和C是兩個互斥事件，那么F(BUC|A)=_.二事件的相互獨立性1._ 定義:設(shè)AB為兩個事件，若P(AB=，則稱事件A與事件B相互獨立.2. 性質(zhì) 若事件A與B相互獨立 則A與一廠與B與一也都相互獨立RB|A) =_,P(A|B)=_.三獨立重復試驗與二項分布1. 獨立重復試驗在相同條件下重復做的n次試驗稱為n次獨立重復試驗，其中A(i=1,2，,n)是第i次試驗的結(jié)果 貝 URAAA3A)=_.2. 二項分布在n次獨立重復試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗

44、中事件A發(fā)生的概率為p,則F(X=k)=_ (k=0,l,2，n)，此時稱隨機變量X服從_，記作_,并稱p為成功概率.四正態(tài)分布1.定義如果對于任何實數(shù)a,b(ab),隨機變量X滿足F(aX b)=$叮(x)dx,其中0“,x)=,x (-g，+汽那么稱隨機變量X服從正態(tài)分布，記為_.2. 正態(tài)曲線的性質(zhì)曲線位于x軸_，與x軸不相交，與x軸之間的面積為 1;(2) 曲線是單峰的，它關(guān)于直線 _ 對稱；(3) 曲線在_ 處達到峰值二;(4) 當卩一定時,曲線的形狀由(T 確定,(T_,曲線越“瘦高”表示總體的分布越集中 2_，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；(5) 當d一定時，曲線的位置由

45、 卩確定，曲線隨著 卩的變化而沿x軸平移.3.正態(tài)分布在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值只-dXw+d)=;1-2dXw1+2_d)=;-3d2C- 1)=RXVC43)，求c的值.知識清單、1.- 2.(2)P(B|A)+F(C|A)二、1.P(A)P(B) 2.P(B)P(A)三、1.P(A)P(A)P(A)P(A)2.pk(l-p)n-k二項分布XB n,p)四、1.XNg,b2)2. (1)上方 (2)x=g(3)x=g(4)越小 越大3. (1)0.6826(2)0.9544(3)0.9974基礎(chǔ)訓練1.【解析】記事件A表示“一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，事件B表示“隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”R

46、A)=0.75RAB=0.6.由條件概率，得P(B|A)=0.8.【答案】A2.【解析】三次均反面朝上的概率是-=,所以至少一次正面朝上的概率是1一-=.【答案】D3.【解析】由題意知，第 12 次取到紅球，前 11 次中恰有 9 次紅球和 2 次白球.因為每次取到紅球的概率為 -, 所以PX=12)=X - X - X=X - X -.【答案】D4.【解析】/XN3,12),.正態(tài)曲線關(guān)于x=3 對稱.又 vp(X2c-1)=F(Xc+3),題型一條件概率【例 1】先后擲一枚質(zhì)地均勻的骰子(骰子的六個面分別標有1,2,3,4,5,6 這六個數(shù))兩次，落在水平桌面后記正面朝上的點數(shù)分別為x,y

47、.設(shè)事件A為“x+y為偶數(shù)”，事件B為“x,y中有偶數(shù)，且x工y”，則概率RB|A)=().【解析】(法一)事件A為“x+y為偶數(shù)”，其所包含的基本事件數(shù)有(2,2),(4,4),(6,6),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(4,6),(6,4),(1,1),(3,3),(5,5),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1),(3,5),(5,3),共 18 種.事件AB為“x,y中有偶數(shù)，且X工y,x+y為偶數(shù)”,其包含的基本事件數(shù)有(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(4,6),(6,4)，共 6 種.由條件概率計算公式，可得P(B|A)=-.(法二)正面朝

48、上的點數(shù)(x,y)的不同結(jié)果共有=36(種).事件A為“x+y為偶數(shù)”，事件A為“x,y都為偶數(shù)”，事件A為“x,y都為奇數(shù)”，事件A包含事件A和事件A,且事件A與事件A為互斥事件，其中RA)= =亠亠, ,P( (A?)=)=二，二，所以RA) )=-4=-.事件B為“x,y中有偶數(shù)，且x工y”所以事件AB為“x,y都為偶數(shù)，且x工y”所以P(AB=根據(jù)條件概率公式，P(B)=【答案】B(1)利用定義,分別求PA)和P(AB,得RB|A)=，這是求條件概率的一般方法.(2)借助古典概型概率 公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A),再求事件A與事件B的交事件中包含的基本事件數(shù)n(AB,得.2

49、c-1+c+3=3x2,c二.關(guān)鍵能力A.-B. -C.一D. -P(B|A)=.【變式訓練 1】(1)某種電路開關(guān)閉合后，會岀現(xiàn)紅燈或綠燈閃爍，已知開關(guān)第一次閉合后岀現(xiàn)紅燈的概率為為- -，兩次閉合都岀現(xiàn)紅燈的概率為 -，則在第一次閉合后岀現(xiàn)紅燈的條件下第二次岀現(xiàn)紅燈的概率(2)如圖，EFGI是以0為圓心,1 為半徑的圓的內(nèi)接正方形.將一顆豆子隨機地扔到該圓內(nèi)，用A表示事件記為事件A，“第二次閉合后岀現(xiàn)紅燈”記為事件B,則RA)二二, ,P(AE)d,正方形(2)由題意可得，事件A發(fā)生的概率 RA) 形=圓事件AB表示“豆子落在EOHV,則RAB=圓故P(B|A)=【答案】- (2)-題型二

50、相互獨立事件的概率【例 2】甲、乙兩個實習生每人加工一個零件，加工為一等品的概率分別為-、-,兩個零件是否加工為一等品相互獨立，則這兩個零件中恰有一個加工為一等品的概率為 _.【解析】設(shè)事件A為“甲實習生加工的零件為一等品”，事件B為“乙實習生加工的零件為一等品” 則P(A)=-,RB)=-,所以這兩個零件中恰有一個加工為一等品的概率為“豆子落在正方形EFGH內(nèi)，B表示事件“豆子落在扇形0日朗日朗影部分) )內(nèi)”則P( (B|A) )=【解【解析】(1) “第一次閉合后出現(xiàn)紅燈Rf)+PTB)=RA) PL)+PT) RB)=- x- +- x-=.【答案】(2)依題意,5 位空降兵空降到地點

51、C相當于 5 次獨立重復試驗求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的主要方法：1利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解；2正面計算較煩瑣(如求用“至少”表述的事件的概率)或難以入手時，可從其對立事件入手計算.【變式訓練 2】(1)已知某射擊運動員每次擊中目標的概率都是0.8，則該射擊運動員射擊 4 次至少擊中3 次的概率為().A.0.85B.0.8192 C.0.8D.0.75(2)國慶節(jié)放假，甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分別為- -、- -、-.假定三人的行動相互之間沒有影響，那么這段時間內(nèi)至少有一人去北京旅游的概率為().A. B._ C._ D.【解析】(1)P=X0.83X0.2+X0.84

52、=0.8192,故選 B.(2)由于甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分別為- -、- -、- -，因此他們不去北京旅游的概率分別為- -、- -、-,-,所以至少有一人去北京旅游的概率為P=1- - X _ X _ =.【答案】(1)B (2)B題型三獨立重復試驗與二項分布【例 3】某架飛機載有 5 位空降兵依次空降到ABC三個地點，每位空降兵都要空降到A，B，C中的任意一 個地點，且空降到每一個地點的概率都是-，用X表示地點C空降的人數(shù).求：(1) 地點A空降 1 人，地點BC各空降 2 人的概率；(2) 隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.【解析】(1)設(shè)“地點A空降 1 人，地點B,C各空降 2

53、 人”為事件Ml易知基本事件的總數(shù)n =35=243 個, 事件M發(fā)生包含的基本事件m=30 個.(2)依題意,5 位空降兵空降到地點C相當于 5 次獨立重復試驗故所求事件M的概率P(M)h=. XB -，且 X 的取值可能為 0,1,2,3,4,5.p(x=0)=xx2=一,隨機變量X的分布列為X012345PE(X)=np=5X1.利用獨立重復試驗概率公式p(X=k)= pk(i-p)n-k的三個條件：(1)在一次試驗中某事件A發(fā)生的概率是一個常數(shù)p;(2)n次試驗不僅是在完全相同的情況下進行的重復試驗,而且各次試驗的結(jié)果是相互獨立的;(3)該公式表示n次試驗中事件A恰好發(fā)生了k次的概率.

54、2.判斷一個隨機變量是否服從二項分布，關(guān)鍵有兩點：一是獨立性，即一次試驗中，事件發(fā)生與不發(fā)生二者必取其一；二是重復性，即試驗是獨立重復地進行了n次.【變式訓練 3】社區(qū)服務(wù)是綜合實踐活動課程的重要內(nèi)容，某市教育部門在全市高中學生中隨機抽取了故P(X=k)=X _xX25-k.RX=1)=xRX=2)=XRX=3)=XP(X=4)=XP(X=5)=XX 24=一J3X2 =,X22=一JX21=,X20=一.200 位學生參加社區(qū)服務(wù)的數(shù)據(jù)，按時間段75,80),80,85),85,90),90,95),95,100(單位:小時)進行統(tǒng)計.其頻 率分布直方圖如圖所示.(1) 求抽取的 200 位

55、學生中，參加社區(qū)服務(wù)時間不少于 90 小時的學生人數(shù)，并估計從全市高中學生中任意選取 1 人,其參加社區(qū)服務(wù)時間不少于90 小時的概率；(2) 從全市高中學生(人數(shù)很多)中任意選取 3 位學生，記X為 3 位學生中參加社區(qū)服務(wù)時間不少于 90 小時 的人數(shù)，試求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望E(X).【解析】(1)根據(jù)題意，參加社區(qū)服務(wù)在時間段90,95)內(nèi)的學生人數(shù)為 200X0.06X5=60;參加社區(qū)服務(wù)在 時間段95,100)內(nèi)的學生人數(shù)為 200X0.02X5=20.所以抽取的 200 位學生中，參加社區(qū)服務(wù)在不少于90 小時的學生人數(shù)為 80.所以從全市高中學生中任意選取1 人,其參

56、加社區(qū)服務(wù)時間不少于90 小時的概率為PJ=.(2)由(1)可知,從全市高中學生中任意選取1 人,其參加社區(qū)服務(wù)時間不少于90 小時的概率為-.由已知得隨機變量X的可能取值為 0,1,2,3,則P(X=0)=X-X-=,P(X=1)=X-X-=一,P(X=2)=X_X一 ,F(X=3)=X - X -=,隨機變量X的分布列為X0123P所以E(X)=3X-=-題型四正態(tài)分布【例 4】在如圖所示的正方形中隨機投擲10000 個點，則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(0,1)的密度曲線)的點的個數(shù)的估計值為().2附若XNA,b)，則P(卩-bX 卩+b)=0.6826,P(g-2aX 卩+2a)

57、=0.9544.A.2386B.2718C.3413D.4772【解析】由XN,1)知,R-1X1)=0.6826,AP(0X 1)=X0.6826=0.3413,故S陰影部分0.3413.設(shè)落在陰影部分中點的個數(shù)的估計值為X則-=-, x=0000X0. 3413=3413,故選 C.【答案】C利用 3b原則求概率問題時，要注意把給岀的區(qū)間或范圍與g,b進行對比聯(lián)系，確定它們屬于(g-b,g+b),(g-2b,g+2b),(g-3b,g+3b)中的哪個.【變式訓練 4】已知二項式-的展開式中Xs的系數(shù)為 20,若隨機變量E服從正態(tài)分布N(0,52),則從中隨機取一個實數(shù)落在區(qū)間(3,6)內(nèi)的

58、概率為 _._ 2附:若隨機變量E服從正態(tài)分布g,b)，則P(g-bEg+b)=0.6826,P(g-2bEg+2b)=0.9544.2 6-r12-3r【解析】二項展開式的通項公式為Tr+1=(x) -= x，令 12-3r=S，得r=,=20,=3,S=3,由題意知，R3vE6)=【答案】0.1359=0.1359方法利用對稱性求解正態(tài)分布問題利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性研究相關(guān)概率問題，涉及的知識主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x=g對稱，及曲線與x軸之間的面積為 1.掌握下面兩個結(jié)論：(1) P(Xa=1-P(Xa);(2)P(X g+a).【突破訓練】(1)某班有 50 名同學，一次數(shù)學考試的

59、成績E服從正態(tài)分布N(110,101 2),已知R100W E 110)=0.34,估計該班學生數(shù)學成績在120 分以上有人.2(2)已知隨機變量XNl,a),若P(0X2)=0.4，則P(X0)=().A.0.6 B.0.4C.0.3D.0.2【解析】(1)數(shù)學成績E的正態(tài)曲線關(guān)于直線x=110 對稱,vp(100 120)=RE w100)=X(1-0.34x2)=0.16.故數(shù)學成績在 120 分以上的人數(shù)約為 0.16X50=8.(2)P(X 0)=X 1-P(0X.JXN1,/),/.p(X1)=,故選 C.【答案】C2 (2017聊城模擬)在某項測量中，測量結(jié)果X服從正態(tài)分布N(4

60、,a2)(a0),若X在(0,8)內(nèi)取值的概率為0.6, 則X在(0,4)內(nèi)取值的概率為().A.0.2 B.0.3C.0.4D.0.6【解析】由正態(tài)分布，得P(0X4)=F(4X8).又因為F(0X4)+P(4X8)=F(0X5.【答案】C4.(2017 武漢模擬)小趙、小錢、小孫、小李到4 個景點旅游，每人只去 1 個景點，設(shè)事件A為“4 個人去的景點不相同”，事件B為“小趙獨自去 1 個景點”，則PA|B)=().A. 一 B._ C. D.【解析】小趙獨自去 1 個景點，則有 4 個景點可選.剩下的三人只能在小趙剩下的3 個景點中選擇，有3X3X3=27 種，所以小趙獨自去 1 個景點，其他