中考數(shù)學壓軸題動點與函數(shù)問題解析

1、中考壓軸題動態(tài)幾何與函數(shù)典型例題例題 1(圓與三角形類) )如圖，在平面直角坐標系中，直線A 兩點，C 為該直線上的一動點，以每秒 1 個單位長度的速度從點 A 開始沿直線 BA 向上移 動，作等邊厶 CDE，點 D 和點 E 都在 x 軸上，以點 C 為頂點的拋物線 y=a (x- m)2+n 經(jīng)過點 E.OM 與 x 軸、直線 AB 都相切，其半徑為 3 (1 - 7) a.(1)求點 A 的坐標和/ ABO 的度數(shù)；(2)當點 C 與點 A 重合時，求 a 的值;(3)點 C 移動多少秒時，等邊CDE 的邊 CE 第一次與OM 相切?解：(1)當 x=0 時，y=1 ;當 y=0時，x=

2、 -(2) CDE 為等邊，點(3)如圖，設(shè)切點分別是 Q, N, P,連接 MQ , MN , MP , ME，過點 C 作 CH 丄 x 軸，H為垂足，過 A 作 AF 丄 CH , F 為垂足./ CDE 是等邊三角形，/ ABO=30 BCE=90 , / ECN=90/ CE , AB 分別與OM 相切，/ MPC=ZCNM=90 , 四邊形 MPCN 為矩形，TMP=MN四邊形 MPCN 為正方形 6分 MP = MN=CP=CN=3 (1 - ) a (av0)./ EC 和 x 軸都與OM 相切， EP=EQ.vZNBQ+ / NMQ=180,PMQ=60 / EMQ , =3

3、0 在 RtAMEP 中，tan30=, PE=(亦-3) aU D 的坐標是(-丄二，0),3把點 A ( 0, 1) , D (- J,3E的坐標是(，0)，0), E,0)代入 y=a (x- m)2+n,解得：a= - 3.X+1 分別與兩坐標軸交于A (0, 1), tan30=,0A CE=CP+PE=3(1- ：)a+( :-3)a=-2:a DH=HE=- 二 a, CH= - 3a, BH = - 3 a , OH= - 3 二 a - 二，OE= - 4 =a- 二二 E (- 4 話:a-#：;, 0) C (- 3、；密 a - ；,- 3a) 設(shè)二次函數(shù)的解析式為：

4、y=a (x+3;a+ ;)2- 3a E 在該拋物線上a (- 4 7a -7+37a+7)2- 3a=0 得：a2=i，解之得ai=1,a2= - 1/ av 0, a= - 1 AF=2i： ：, CF=2,. AC=4例 2 （圓與三角形類） 如圖（1）,在厶ABC中，/A= 90,AB=4,AC=3,M是AB上 的動點（不與A, B重合），過M點作MN/ BC交AC于點N.以MN為直徑作OO,并在OO內(nèi)作內(nèi)接矩形AMPN令AM= x.i（1）用含x的代數(shù)式表示M NP的面積S;（2）當x為何值時，OO與直線BC相切？（3）在動點M的運動過程中，記MNP與梯形BCNMI合的面積為y,試

5、求y關(guān)于x的 函數(shù)表達式，并求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？解析(1)TM/BC,/AMN/B,ZANIWZC.AM AN3x ANABAC，即.ANh4X.43cc1 332八C= S.MNP=SAMNx x x . (0vv4)S2 48AMNABC點 C 移動到 4 秒時，等邊 CDE 的邊 CE 第一次與OM 相切.1(2)如圖(2),設(shè)直線BC與OO相切于點在 RtABC中,BC=AB2AC2=5.由(1)知AMNPABC2AMMNABBCMN =5x,4過M點作MQ_ BC于Q則MQ =0D在 RtBMQ與 RtBCA中，/B是公共角,58C BMSABCA.列QMBCAC

6、c55 xBM J32524x，25AB二BM MA x x = 4.2496x= 49 當x=96時,49OO與直線BC相切.(3)隨點M的運動，當P點落在直線BC上時，連結(jié)AP,貝U O點為AP的中點./MMBC /AMN/B,/AOI4 /APC AM8ABPAM AOAB AP故以下分兩種情況討論:OvxW2時，y =SAPMN 當x= 2 時，y最大22832x832.C122vxv4 時，設(shè)PM PN分別交BC于E, F.四邊形AMP是矩形，PIN/ AM PN= AM=x.又MN/ BC四邊形MBFN!平行四邊形.FN=BM=4 x.PF = x - 4 - x = 2x -4.

7、又厶PEFsACBSPEFSABCSPEFy=SMNP S.pEF32-尹-2)當 2vxv4 時，y8-當x時，滿足3圖 (4)-x 22-9x26x _ 6.82vxv4，y最大=2 .10四邊形MEFF能為正方形，其面積為S正方形 MEFN8X=綜上所述，當3時,y值最大，最大值是2ABCDK AB/ CD AB= 7,CD= 1,AD= BC= 5.點M N分別在邊AD BC上運動，并保持MN AB MEL AB NF1AB,垂足分別為E, F.EF=7 2x=7 -221二105（3）能。由 （2）可知，設(shè)AE=X，貝U4EF= 7 2X, ME=-X.3若四邊形MEF為正方形，則M

8、E=EF.即4X3=7 2X解，得21X=例 4 （梯形類） 如圖，在梯形(1)求梯形ABCD勺面積;(2)求四邊形MEFF面積的最大值.(3)試判斷四邊形求出正方形MEFN勺面積; 若不能，請解析（1）分別過D/ AB/ CD - DG= CH DG/ CH四邊形DGH為矩形,GH= CD=1./ DG= CH AD= BC/AG仔/BHC=90, AGBABHC(HL).AG= BH=AB_GH=3.2/在 RtAGD中,AG=3,AD=5,2 DG=4.S梯形A+=16.2(2)TMN/ AB MEL AB NF! AB/ AB/ CD AD= BC /A=ZB./ M=NF, /ME=

9、ZNFB=90二 MEAANFB (AAS -設(shè)AE= x，貝U EF= 7- 2X./ /A=ZA,/MEA=/DG= 90. MEZVADGAAE MEAG DG . M=48矩形海皿 EF =?。?如=才MEF隴否為正方形，若能,C兩點作DGL AB于點G, M=NF, MNNF.例 5 (一元二次曲線類) 如圖 1 拋物線經(jīng)過點A(4 , 0)、B( 1, 0)、C( 0, 2)三點.(1) 求此拋物線的解析式；(2)P是拋物線上的一個動點，過P作PMLx軸，垂足為M是否存在點P,使得以 AP、M為頂點的三角形與OAC相似？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在， 請說明理由；(

10、3)在直線AC上方的拋物線是有一點D,使得DCA勺面積最大，求出點D的坐標.1(x -(x -4)解方程22，得x = 5.此時點P的坐標為(5, -2).x 41(x-1)(x-4)解方程 2 一x 41，得x = 2不合題意.21如圖 4，當點P在點B的左側(cè)時，xv1，PM (x-1)(x-4)，AM =4-x.21解析 (1)因為拋物線與x 軸交于A(4，0)、B( 1，0)兩點，設(shè)拋物線的解析式為1y二a(x-1)(x-4)，代入點C的 坐標(0， 2)，解得a二.所以拋物線的解析式為2115y (x-1)(x-4) x2x-2.222(2)設(shè)點1P的坐標為(x,-(x-1)(x-4)

11、.2如圖2，當點P在x軸上方時，1vxv4，PM1(x -1)(x -4)，AM = 4-x.2如果地PMAOCO=2，那么1-尹-1)&-4)=2 .解得x二5不合題意.AO4-x1 (x_1)(x_4)1=，那么2AM如果 -PMP的坐標為(2，1).CO4 x此時點如圖 3，當點P在點A的右側(cè)時，x4，PM1(x -1)(x-4)，AM =x -42(xT)(x-4)解方程22，得 x=3.此時點P的坐標為(-3,-14).1125設(shè)點D的橫坐標為m（1：m：4）,那么點D的坐標為（m, m2m-2），點E的坐22圖 5圖 6第（3）題解法二：如圖 6，過D點構(gòu)造矩形OAMN那么

12、DCA的面積等于直角梯形CAM的面積減去CDN和厶ADM勺面積.設(shè)點D的橫坐標為（m,n）（1：m : 4），那么111S （2n2） 4 - m（n 2） -n（4 -m）二-m 2n 4.22215由于nm2m -2，所以s - -m24m.k(x1)(x-4)解方程2_4 -x-，得x = 0此時點P與點0重合，不合題意.2綜上所述，符合條件的點 P 的坐標為（2, 1）或（-3,-14）或（5,-2）.一1 1標為(m, m -2).所以DE = (- m 2 25m _2) - J m _2) = -1m22m.2 2 2因此SDAC丄(-422m) 4 =2 22 2-m 4m =

13、 -(m -2)4當m =2時,DCA的面積最大， 此時點12263例 6 (三角形類) 如圖，ABC中,AB=5,AO3, cos 心 .D為射線BA上的點(點D10不與點B重合)，作DE BC交射線CA于點E.(1)若CE= x,BD- y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；(2)當分別以線段BD CE為直徑的兩圓相切時，求DE的長度；(3)當點D在 AB 邊上時，BC邊上是否存在點F,使厶ABCWADEF相似？若存在，請求 出線段BF的長；若不存在，請說明理由.解析圖 1(1)如圖 2,作BHL AC垂足為點H.在 RtABH中,AB=5,cosA=空AB,所1031以AH -=

14、丄AC2 2所以BH垂直平分ACABC為等腰三角形，AB= CB=5.因為DE/BC所以旦二ACDBEC，即5.于是得到y(tǒng) x5ySx，(x0).(2)如圖 3,圖 4,因為DE/BC所以DEAEMN ANBCACBCAC，即-D!|3-x|-?1MN|3才15當兩圓外切時，x6.因此 DE =如圖 5,符合題意的解為5y x,2 6丄xJ|6W.解得x26在ON中,1rNCE230或者x = -10.13x哼，此時 DE=515|6 x|3135當兩圓內(nèi)切時，x x =62當 xv6 時，解得，如圖 6,此時E在CA的延長線上，DE=5(X3)76當 x6 時，解得x =10，如圖 7,圖

15、6(3)因為ABC是等腰三角形， 因此當ABCWADEF相似時, 如圖 8,當D E、FABC的三邊的中點時，圖 7DEF也是等腰三角形.DE為等腰三角形DEF的腰，符合題意,BF= 4.1 .(t,b).平移二次函數(shù)y=-tx2的圖象，得到的拋物線F滿足兩個條件:頂點為Q此時BF= 2.5 根據(jù)對稱性，當F在BC邊上的高的垂足時，也符合題意，此時與x軸相交于B、C兩點(IOBIIOC)，連結(jié)A B.(1)是否存在這樣的拋物線F,使得OA=OB OC?請你作出判斷，并說明理由;(2)3如果AQ/ BC且 tan /ABO=-2，求拋物線F對應的二次函數(shù)的解析式.解析(1)因為平移y=-tx2的

16、圖象得到的拋物線應的解析式為y - -t (x-t)2b.因為拋物線與 x 軸有兩個交點，因此tb 0.令y=0,得OB=t-，OC十JbF對所以|OB| |OC|=|(t-，；：)( t*；：)|=|t2-”宀0A2.即t2當b =2t3時，存在拋物線F使得|OA|OB| JOC |.(2)因為AQ/BC,所以t=b,于是拋物線F為y = _t(x_t)2t.解得x1=t -1, x2=t 1.當t 0時，由|OB I：|OC I，得B (t -1,0).如圖 2,當t -1 . 0時，由tan. ABO = ?二空2 |OB|的解析式為y=3x218x-24.例 8(三角形與矩形)如圖，正

17、方形 ABCD 中，點 A B 的坐標分別為(0, 10),(8, 4),點 C 在第一象限.動點 P 在正方形 ABCD 勺邊上，從點 A 出發(fā)沿 i B-C-D勻速運動，同時動點 Q 以相同速度在 x 軸正半軸上運動，當 P 點到達 D 點時，兩點同時停止運動，設(shè)運動的時間為 t 秒.(1)當 P 點在邊 AB 上運動時，點 Q 的橫坐標x(長度單位)關(guān)于運動時間 t (秒)的函數(shù)圖象如圖所示，請寫出點 Q 開始運動時的坐標及點 P 運動速度；解得t = 3.此時二次函數(shù)如圖 3，當t 1：0時，由tan. ABO二3由|OB |：|OC |，將-1代t,可得t -t =-3.此時二次函數(shù)

18、的解析式為321848 卡yx+x 或y = 3x 18x 24.525125如圖 4,如圖 5,當 t : 0 時,|OA|t|OB|一t1解得 t =-.此時二次5483(2)求正方形邊長及頂點 C 的坐標；（3）在（1）中當 t 為何值時， OPQI 勺面積最大，并求此時 P 點的坐標；如果點 P、Q 保持原速度不變，當點 P 沿 A-B-C-D 勻速運動時，0P 與 PQ 能否相等，若能，寫出所有符合條件的 t 的值；若不能，請說明理由.解：（1）Q（1，0）點 P 運動速度每秒鐘 1 個單位長度. .分（2）過點 B 作 BF 丄 y 軸于點 F，BE 丄 x 軸于點 E，則 BF

19、= 8，0F=BE=4 .AF =10 -4=6.在 Rt AFB 中，AB = 81 2一 62=10.3 分過點 C 作 CG 丄 x 軸于點 G，與 FB 的延長線交于點 H ./ ./ABC =90, AB =BC/ ABFBCH . BH二AF =6, CH =BF =8.OG二FH二8：6 =14, CG二8：4二12.所求 C 點的坐標為(14，12). 4 分(3)過點 P 作 PM 丄 y 軸于點 M，PN 丄 x 軸于點 N，則厶 APMABF .AP _ AM MPtAMa_ _M PABAFBF .1 0 68AM氏4 PMt . PN =OM=10 -t, ON二 PM =3t5555設(shè)厶 OPQ 的面積為 S （平方單位）134732 S= x(10 t)(1+t) =5 十 t- t ( 0W W10.分說明：未注明自變量的取值范圍不扣分.（4）當 t=5或295時，OP 與 PQ 相等.分313例 9 （折疊）已知一個直角三角形紙片OAB，其中NAOB=9OOA=2,OB=4.如圖，將該紙片放置在平面直角坐標系中， 折疊 該紙片，折痕與邊OB交于點C，與邊AB交于點D.（I）若折疊后使點B與點A重合，求點C的坐標；（U）若折疊后點B落在邊OA上的點為B，設(shè)OBx，OC=y，試寫出y關(guān) 于 x 的函數(shù)解析式，并確定y的取值范圍；（川）若折疊后點B落