幾何最值問(wèn)題參考答案與解析

1、完美 WORD 格式編輯幾何最值問(wèn)題一選擇題（共6 小題）1 （ 2015? 孝感一模）如圖，已知等邊ABC 的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)D為 AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為 BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P 為 BD上一點(diǎn)，則PE+PC的最小值為（）A 3B 3C 2D 3考點(diǎn) ： 軸 對(duì)稱 - 最短路線問(wèn)題分析： 由 題意可知點(diǎn)A、點(diǎn)C關(guān)于BD對(duì)稱，連接 AE交BD于點(diǎn)P，由對(duì)稱的性質(zhì)可得，PA=PC，故 PE+PC=A，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，EAE即為PE+PC的最小值解答： 解 ：ABC是等邊三角形，點(diǎn)D為 AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為 BC的中點(diǎn)， BD AC， EC=3，連接AE，線段AE的長(zhǎng)即為PE+PC最小值，點(diǎn) E 是邊 B

2、C的中點(diǎn)， AE BC， AE=3， PE+PC的最小值是3 故選D2 （ 2014? 鄂城區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在直角坐標(biāo)系中有線段AB， AB=50cm， A、 B 到 x 軸的距離分別為10cm和 40cm， B點(diǎn)到 y 軸的距離為30cm，現(xiàn)在在x 軸、 y 軸上分別有動(dòng)點(diǎn)P、 Q，當(dāng)四邊形PABQ的周長(zhǎng)最短時(shí)，則這個(gè)值為（）A 50B 50C 50 50D 50+50考點(diǎn) ： 軸 對(duì)稱 - 最短路線問(wèn)題；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)專題 ： 壓 軸題分析： 過(guò) B點(diǎn)作BMy 軸交 y 軸于E點(diǎn)，截取EM=BE，過(guò)A點(diǎn)作ANx軸交 x 軸于 F 點(diǎn)，截取 NF=AF，連接MN交 X， Y軸分別為P， Q

3、點(diǎn)，此時(shí)四邊形PABQ的周長(zhǎng)最短，根據(jù)題目所給的條件可求出周長(zhǎng)解答： 解 ： 過(guò) B點(diǎn)作BMy軸交 y 軸于 E點(diǎn)， 截取EM=BE， 過(guò) A點(diǎn)作ANx軸交 x 軸于 F點(diǎn)，截取NF=AF，連接MN交 x， y 軸分別為P， Q點(diǎn)，過(guò) M點(diǎn)作MKx軸，過(guò) N點(diǎn)作NKy軸，兩線交于K點(diǎn)MK=40+10=50，作 BLx軸交 KN于 L 點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作AS BP交 BP于 S點(diǎn) LN=AS=40 KN=60+40=100 MN=50 MN=MQ+QP+PN=BQ+QP+AP=5 0四邊形PABQ的周長(zhǎng)=50+50故選D學(xué)習(xí)指導(dǎo)參考資料點(diǎn)評(píng)： 本 題考查軸對(duì)稱最短路線問(wèn)題以及坐標(biāo)和圖形的性質(zhì)，本題關(guān)鍵

4、是找到何時(shí)四邊形的周長(zhǎng)最短，以及構(gòu)造直角三角形，求出周長(zhǎng)3 （2014 秋 ? 貴港期末）如圖，ABBC，ADDC，BAD=11°，0在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N，當(dāng)AMN周長(zhǎng)最小時(shí)，MAN 的度數(shù)為（）A 30°B 40C 50D 60°考點(diǎn)： 軸 對(duì)稱- 最短路線問(wèn)題分析：根 據(jù)要使 AMN的周長(zhǎng)最小，即利用點(diǎn)的對(duì)稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出A 關(guān)于BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)A，A，即可得出AAM+A=HAA=70°，進(jìn)而得出MAB+ NAD=7°，即可得出答案0解答： 解 ：作 A關(guān)于 BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)A，A，連接AA，交BC于M，交

5、CD于N，則A A即為AMN 的周長(zhǎng)最小值，作DA延長(zhǎng)線AH， DAB=11°，0HAA =70°，AA M+ A = HAA =70°，MA A= MAB，NAD= A，MAB+ NAD=7°，0MAN=11° 0 70° =40°故選B點(diǎn)評(píng)： 本 題考查的是軸對(duì)稱最短路線問(wèn)題，涉及到平面內(nèi)最短路線問(wèn)題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出M， N 的位置是解題關(guān)鍵4 （ 2014? 無(wú)錫模擬）如圖，MON=9°，矩形 0ABCD的頂點(diǎn)A， B分別在OM、 ON上，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

6、A隨之在邊OM上運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2， BC= 運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)D 到點(diǎn) O的距離最大時(shí)，OA長(zhǎng)度為（）D： 勾 股定理；三角形三邊關(guān)系；直角三角形斜邊上的中線OE，O、 E、取 AB 的中點(diǎn)，連接OE、 DE，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出利用勾股定理列式求出DE，然后根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊判斷出D 三點(diǎn)共線時(shí)點(diǎn)D 到點(diǎn)O 的距離最大，過(guò)點(diǎn)A 作 AF OD于 F，利用ADE 的余弦列式求出DF，從而得到點(diǎn)F 是 OD的中點(diǎn)，判斷出AF垂直平分OD，再根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得OA=ADOE、 DE，解 ：如圖，取AB

7、的中點(diǎn)，連接MON=9°， 0 OE=AE= AB= × 2=1，三邊形ABCD是矩形， AD=BC= ，在 Rt ADE中，由勾股定理得，DE=2，O、 E、 D三點(diǎn)共線時(shí)點(diǎn)D到點(diǎn) O的距離最大，此時(shí)，OD=OE+DE=1+2=， 3過(guò)點(diǎn) A作 AF OD于 F，則cos ADE= = ，即 =，解得 DF= ， OD=3，點(diǎn) F 是 OD的中點(diǎn)， AF 垂直平分OD， OA=AD= 故選B點(diǎn)評(píng)： 本 題考查了勾股定理，三角形的任意兩邊之和大于第三邊，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，作輔助線并判斷出OD最大時(shí)的情況

8、是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀5 （ 2015? 鞍山一模）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E在邊BC上且CE=1，長(zhǎng)為的線段MN在 AC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)四邊形BMNE的周長(zhǎng)最小時(shí)，則tan MBC的值是（）ABCD 1考點(diǎn) ： 軸 對(duì)稱 - 最短路線問(wèn)題；正方形的性質(zhì)分析： 根 據(jù)題意得出作EF AC且 EF= ，連結(jié)DF交 AC于 M，在AC上截取MN= ，此時(shí)四邊形BMNE的周長(zhǎng)最小，進(jìn)而利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出答案解答： 解 ：作EF AC且 EF= ，連結(jié) DF交 AC于 M，在AC上截取MN= ，延長(zhǎng) DF交 BC于P，作FQ BC于 Q，則四邊形BMNE的周長(zhǎng)最小，由FEQ=

9、 ACB=4°，可求得5FQ=EQ=，1DPC= FPQ，DCP= FQP，PFQPDC，=，=，=，解得：PQ=，PC= ，tan MBC=tan PDC= = 故選：AM， N 的位置是解點(diǎn)評(píng)： 此 題主要考查了正方形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，得出 題關(guān)鍵6 （ 2015? 江干區(qū)一模）如圖，ABC 中，CA=CB， AB=6， CD=4， E是高線CD的中點(diǎn)，以CE為半徑C G是C 上一動(dòng)點(diǎn)，P 是 AG中點(diǎn)，則DP的最大值為（ABC 2D考點(diǎn)： 圓 的綜合題分析：根 據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得點(diǎn)D 是 AB的中點(diǎn)，然后根據(jù)三角形中位線定理可得DP= BG，然后利用兩點(diǎn)之間

10、線段最短就可解決問(wèn)題解答： 解 ：連接BG，如圖 CA=C，B CD AB， AB=6， AD=BD= AB=3又CD=4， BC=5E 是高線CD的中點(diǎn)， CE= CD=2， CG=CE= 2根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：BG CG+CB=2+5= 78、 C、 G三點(diǎn)共線時(shí)，BG取最大值為7P 是 AG中點(diǎn)，D 是 AB 的中點(diǎn)，PD= BG，本 題主要考查了圓的綜合題，涉及了等腰三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理、勾股定理、兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，利用三角形中位線定理將DP轉(zhuǎn)化為BG是解決本題的關(guān)鍵二填空題（共3 小題）7 （ 2014? 江陰市校級(jí)模擬）如圖，線段AB 的長(zhǎng)為4， C為 AB上

11、一動(dòng)點(diǎn)，分別以AC、 BC為斜邊在AB的同側(cè)作等腰直角ACD 和等腰直角BCE，那么DE長(zhǎng)的最小值是2 考點(diǎn) ： 等 腰直角三角形分析： 設(shè) AC=x， BC=4 x，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)，得出CD= x， CD=（ 4 x） ，根據(jù)勾股定理然后用配方法即可求解解答： 解 ：設(shè)AC=x， BC=4 x，ABC，BCD均為等腰直角三角形， CD= x， CD=（ 4 x） ，ACD=4°，5BCD =45°，DCE=9°，0 DE2=CD2+CE2= x2+ （ 4 x） 2=x2 4x+8=（ x 2） 2+4，當(dāng) x 取 2 時(shí)，DE取最小值，最小值為：4故答

12、案為：2點(diǎn)評(píng)： 本 題考查了二次函數(shù)最值及等腰直角三角形，難度不大，關(guān)鍵是掌握用配方法求二次函數(shù)最值8 （ 2012? 河南校級(jí)模擬）如圖，矩形ABCD中，AB=4， BC=8， E 為 CD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P、 Q為 BC邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且PQ=2，當(dāng)BP= 4 時(shí)，四邊形APQE的周長(zhǎng)最小考點(diǎn)： 軸 對(duì)稱- 最短路線問(wèn)題專題： 壓 軸題分析： 要 使四邊形APQE的周長(zhǎng)最小，由于AE與 PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可為此，先在BC邊上確定點(diǎn)P、 Q的位置，可在AD上截取線段AF=DE=2，作F點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)G，連接EG與 BC交于一點(diǎn)即為Q點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作FQ的平行線交BC于一點(diǎn)，即為

13、 P 點(diǎn)， 則此時(shí)AP+EQ=EG最小，然后過(guò)G點(diǎn)作BC的平行線交DC的延長(zhǎng)線于H點(diǎn)，那么先證明GEH=4°，再由5CQ=EC即可求出BP的長(zhǎng)度解答： 解 ：如圖，在AD上截取線段AF=DE=2，作F 點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)G，連接EG與 BC交于一點(diǎn)即為Q點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作FQ的平行線交BC于一點(diǎn)，即為P點(diǎn)，過(guò)G點(diǎn)作BC的平行線交DC的延長(zhǎng)線于H 點(diǎn) GH=DF=， 6 EH=2+4=6，H=90°，GEH=4°5設(shè) BP=x，則CQ=BC BP PQ=8 x 2=6 x，在CQE中，QCE=9°，0CEQ=4°，5 CQ=E，C 6 x=2，解得x=

14、4一道難度較大的題目，對(duì)學(xué)生提出了較高的要求9 （ 2013? 武漢）如圖，E， F 是正方形ABCD的邊AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE=DF連接CF交BD于點(diǎn)G， 連接BE交 AG于點(diǎn)H 若正方形的邊長(zhǎng)為2， 則線段DH長(zhǎng)度的最小值是 1 考點(diǎn)： 正 方形的性質(zhì)專題： 壓 軸題分析： 根 據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD=C，D BAD= CDA， ADG= CDG， 然后利用“邊角邊”證明ABE 和DCF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得1= 2，利用“SAS”證明ADG和CDG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得2= 3，從而得到1= 3，然后求出AHB=9°，取0AB的中點(diǎn)O，連接OH、

15、 OD，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OH= AB=1，利用勾股定理列式求出OD，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知當(dāng)O、 D、 H 三點(diǎn)共線時(shí)，DH的長(zhǎng)度最小解答： 解 ：在正方形ABCD中，AB=AD=C， D BAD= CDA，ADG= CDG，在 ABE和 DCF中，ABEDCF（ SAS） ，1= 2，在ADG和CDG中，ADGCDG（SAS） ，2=3，1=3，BAH+ 3= BAD=9°，01+BAH=9°，0AHB=18°0 90° =90°，取 AB 的中點(diǎn)O，連接OH、 OD，則 OH=AO=AB=1，在 Rt AO

16、D中，OD= ，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，OH+D>H OD，當(dāng)O、 D、 H三點(diǎn)共線時(shí)，DH的長(zhǎng)度最小，最小值=OD OH= 1 （解法二：可以理解為點(diǎn)H 是在 Rt AHB， AB直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)當(dāng)O、 H、 D三點(diǎn)共線時(shí)，DH長(zhǎng)度最?。┕蚀鸢笧椋?1 點(diǎn)評(píng)： 本 題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，確定出DH最小時(shí)點(diǎn)H 的位置是解題關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)三解答題（共1 小題）10 （ 2015? 黃岡中學(xué)自主招生）閱讀下面材料：小偉遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖 1 ， 在ABC（其中BAC是一個(gè)可以變化的角）中，AB=2，

17、 AC=4，以 BC為邊在BC的下方作等邊PBC，求AP的最大值小偉是這樣思考的：利用變換和等邊三角形將邊的位置重新組合他的方法是以點(diǎn)B 為旋轉(zhuǎn)中心將 ABP 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到A BC，連接A A，當(dāng)點(diǎn)A落在AC 上時(shí)，此題可解（如圖2） 請(qǐng)你回答：AP的最大值是6參考小偉同學(xué)思考問(wèn)題的方法，解決下列問(wèn)題：則 AP+BP+CP的最小值是如圖 3， 等腰Rt ABC 邊 AB=4， P為ABC內(nèi)部一點(diǎn)，（或不化簡(jiǎn)為） （結(jié)果可以不化簡(jiǎn)）考點(diǎn)： 旋 轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形專題： 幾 何綜合題分析： （ 1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知A A=

18、AB=BA =2， AP=A C，所以在AAC中，利用三角形三邊關(guān)系來(lái)求AC 即 AP的長(zhǎng)度；（ 2）以B 為中心，將APB 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到A'P'B 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)推知PA+PB+PC=P'A+P'B+PC當(dāng)A' 、 P' 、 P、 C四點(diǎn)共線時(shí)，（ P'A +P'B+PC）最短，即線段 A'C 最短然后通過(guò)作輔助線構(gòu)造直角三角形A DC，在該直角三角形內(nèi)利用勾股定理來(lái)求線段AC 的長(zhǎng)度解答： 解 ： （ 1 ）如圖2，ABP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到A BC，A BA=60°，A B=AB， AP=ACA BA 是等邊三角形， A A=AB=BA =2，在AAC 中，A C< AA +AC，即AP< 6，則當(dāng)點(diǎn)AA、C三點(diǎn)共線時(shí)，AC=AA+AC，即AP=6，即AP的最大值是：6；故答案是：6（ 2）如圖3，Rt ABC是等腰三角形，AB=BC以 B 為中心，將APB 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到A'P'B 則A'B=AB=BC=4， PA=P A，PB=P B， PA+PB+PC= PA +P'B+PC當(dāng) A' 、 P' 、 P、 C四點(diǎn)共線時(shí)，（ P&