《線性代數(shù)》知識點歸納整理

1、v1.0可編輯可修改線性代數(shù)知識點歸納整理誠毅學(xué)生編01、余子式與代數(shù)余子式 -2 -02、主對角線-2 -03、轉(zhuǎn)置行列式 -2 -04、行列式的性質(zhì) -3 -05、計算行列式-3 -06、矩陣中未寫出的元素 -4 -07、幾類特殊的方陣 -4 -08、矩陣的運算規(guī)則-4 -09、矩陣多項式-6 -10、對稱矩陣-6 -11、矩陣的分塊-7 -12、矩陣的初等變換-7 -13、矩陣等價-7 -14、初等矩陣-7 -15、行階梯形矩陣 與 行最簡形矩陣 -7 -16、逆矩陣-8 -17、充分性與必要性的證明題-9 -18、伴隨矩陣-9 -19、矩陣的標準形：-10 -20、矩陣的秩：-10 -

2、21、矩陣的秩的一些定理、推論 -10 -22、線性方程組概念 -10 -23、齊次線性方程組與非齊次線性方程組（不含向量） -10 -24、行向量、列向量、零向量、負向量的概念 -12 -25、線性方程組的向量形式-12 -26、線性相關(guān) 與 線性無關(guān)的概念-12 -27、向量個數(shù)大于向量維數(shù)的向量組 必然線性相關(guān) -13 -28、線性相關(guān)、線性無關(guān)；齊次線性方程組的解；矩陣的秩這三者的關(guān)系及其例題 -13 -29、線性表示 與 線性組合 的概念-13 -30、線性表示；非齊次線性方程組的解；矩陣的秩這三者的關(guān)系其例題 -13 -詳見課本P95-96定理例題：課本 P95-96例、線性相關(guān)（

3、無關(guān)）與線性表示的 3個定理 -13 -詳見課本P96定理、課本P97定理、課本P98定理、最大線性無關(guān)組與向量組的秩 -13 -33、線性方程組解的結(jié)構(gòu) -13 -01、余子式與代數(shù)余子式兀素a11 , a12, a13的余子式分別為:M1=a22a23a32a33對Mi的解釋：劃掉第1行、第1歹I，剩下的就是M3a21a22=a31a32a22323這個a32a33個二階行列式a3i a 33a21 a 23ana12a13(1)設(shè)三階行列式4a21a22a23,則a31a32a33-10 - 7 -行列式即元素a”的余子式Mi。其他元素的余子式以此類推。元素a、a% a13的代數(shù)余子式分

4、別為:( 1)1+相1 ,42= (-1)1+2M2, A3=( 1)1+3M3.對Aj的解釋(i表示第i行，j表示第j歹I)：Aj =( 1廣 Mj(N階行列式以此類推)(2)填空題求余子式和代數(shù)余子式時，最好寫原式。比如說，作業(yè) P1第1題：0 43+1 0 40=, 4 = (-1) 3+10 30 3(3)例題：課本P8、課本P21-27、作業(yè)P1第1題、彳業(yè)P1第3題02、主對角線一個n階方陣的主對角線，是所有第 k行第k列元素的全體，k=1,2, 3n、即從左上到右上的一條斜線。與之相對應(yīng)的稱為副對角線或次對角線，即從右上到左下的一條斜線。03、轉(zhuǎn)置行列式行列式稱為行列式。的轉(zhuǎn)置行

5、列式.即元素au與元素aji的位置對調(diào)(i表示第i行，j表示第j歹1)，比如說，a12與a21的位置對調(diào)、a35與a53的位置對調(diào)。04、行列式的性質(zhì)詳見課本P5-8 （性質(zhì)）其中，性質(zhì)可以歸納為這個：一A 、 i = k、.ai1 Ak1 + a2Ak2 + + anAm =（i 表小弟 i 仃，k 表小弟 k 歹fj）熟練掌握行列式的性質(zhì)，可以迅速的簡化行列式，方便計算。例題：作業(yè)P1第2題05、計算行列式（1）計算二階行列式a11 a12 ：a2ia22ai a12方法（首選）：=aia2 ai2a2i （即，左上角x右下角一右上角x左下角）a2ia22方法:a“Ai+a12Ai2 =

6、a“a22 - ai2a2ia2ia22例題：課本P14aiiai2ai3（2）計算三階行列式a2ia22a23a31a32a33aii ai2 ai3i ii+2.i+3.a2i a22 a23 = a” Aii+ ai2 Ai2+ ai3Ai3 = a” - i) Mi + a ( i) M2 + ai3( i)M3a3i a32 a33N階行列式的計算以此類推。通常先利用行列式的性質(zhì)對行列式進行轉(zhuǎn)化，0元素較多時方便計算.（r 是 row, 即行。 c是 column, 即歹U）例題：課本PS課本P9課本Pi4作業(yè)Pi第4題、彳業(yè)P2第3小題（3） n階上三角行列式（0元素全在左下角）與

7、n階下三角行列式（0元素全在右上角）：D= a"a22ann （主對角線上兀素的乘積）例題：課本 P1R 作業(yè)P3第4小題有的題可以通過“從第二行起，將各行的元素對應(yīng)加到第一行”轉(zhuǎn)化成上三角行列式例題：課本P11(4)范德蒙行列式：詳見課本P12-13(5)有的題可以通過“從第二行起，將各行的元素對應(yīng)加到第一行”提取出“公因式” ，得到元素全為1的一行，方便化簡行列式。例題：作業(yè)P2第1小題、作業(yè)P2第2小題06、矩陣中未寫出的元素課本P48下面有注明，矩陣中未寫出的元素都為 007、幾類特殊的方陣詳見課本P30-32(1)上(下)三角矩陣：類似上(下)三角行列式(2)對角矩陣：除了

8、主對角線上的元素外，其他元素都為 0(3)數(shù)量矩陣：主對角線上的元素都相同(4)零矩陣：所有元素都為0,記作O(5)單位矩陣：主對角線上的元素都為1,其他元素全為0,記作E或日(其行列式的值為1)08、矩陣的運算規(guī)則(1)矩陣的加法(同型的矩陣才能相加減，同型,即矩陣 A的行數(shù)與矩陣B的行數(shù)相同；矩陣A的列數(shù)與矩陣B的列數(shù)也相同)：課本 P32 “A+ B'、"A B'加法交換律：A+ B= B+ A加法結(jié)合律：A+ (B+ C) = (A+ B) +C(2)矩陣的乘法(基本規(guī)則詳見課本 P34陰影):數(shù)與矩陣的乘法:I,課本 P33 “kA”II. kA =kn A

9、 (因為k A只等于用數(shù)k乘以矩陣A的一行或一列后得到的矩陣的行列式)同階矩陣相乘(高中理科數(shù)學(xué)選修矩陣基礎(chǔ))：aiiai2biibi2aiibiiai2b21aib12ai2b22x=a2ia22b2ib22az由na22b2ia2ibi2a22b22描述：令左邊的矩陣為，令右邊的矩陣為，令計算得到的矩陣為A的值為:中第i行的每個元素分別乘以中第i列的每個元素,并將它們相加。即A= aii x bii + ai2 x b2iB的值為:中第i行的每個元素分別乘以中第2列的每個元素,并將它們相加。即 B= aii x bi2 + ai2 x b22C的值為:中第2行的每個元素分別乘以中第i列的每

10、個元素,并將它們相加。即 C= a2i x bii + a22 x b2iD的值為:中第2行的每個元素分別乘以中第2列的每個元素,并將它們相加。即 D= a2i x bi2 + a22 x b22.an&2&3bnbi2bi3aiibiiai2b2iai3b3iaiibi2ai2b22ai3b32aiibi3ai2b23ai3b33a2ia22a23 xb2ib22b23 =a2ibiia22b2ia23b3ia21bi2a22b22a23b32a21bi3a22b23a23b33a3i332933b3ib32b33a3ibiia32b2ia33b3ia31bi2a32b22a

11、33b32a31bi3a32b23a33b33描述：令左邊的矩陣為，令右邊的矩陣為，令計算得到的矩陣為A的值為：中第i行的每個元素分別乘以中第i列的每個元素，并將它們相加即 A= aii x bii + ai2 x b2i + ai3 x b3iB、C、D E、F、G H I的值的求法與 A類似。數(shù)乘結(jié)合律：k (lA) = (kl ) A , (kA) B= A (kB) =k (AB)數(shù)乘分配律：(k+l) A= kA+ lA , k (A+ B) =kA+ kB乘法結(jié)合律：(AB) C= A (B。乘法分配律：A (B+ C) =AB+ AC , (A+ B) C= AG BC需注意的:

12、I .課本P34例題兩個不等于零的矩陣的乘積可以是零矩陣II .課本P34例題數(shù)乘的消去律、交換律不成立III . 一般來講，（A場kw Ak Bk,因為矩陣乘法不滿足交換律IV .課本P40習(xí)題第2題：（A+ B） 2不一定等于A2+ 2AB+ B2 , （A+ B） 2不一定等于A2 + 2A計B2, （A+ B） （A B）不一定等于A2-B2.當AB= BA時，以上三個等式均成立（3）矩陣的轉(zhuǎn)置運算規(guī)律：（AT ）T= A（A± . T= AT ± B T（kA）T= kAT（AB） T= BTAT（ABgCTB TAT（ABCDT= DTCTBTAT（4）同階方陣

13、相乘所得的方陣的行列式等于兩個方陣的行列式的乘積：（詳見課本P46）AB = A B（5）例題：課本P3s課本P36-37、課本P40第4大題、課本P40第5大題、課本P51第1 大題、課本P51第4大題、課本P60第4大題、作業(yè)P5全部、作業(yè)P5第3大題、作業(yè) P5第4大題09、矩陣多項式詳見課本P 3610、對稱矩陣（1）對稱矩陣、實對稱矩陣、反對稱矩陣的概念（詳見課本P37）（2）同階對稱（反對稱）矩陣的和、差仍是對稱（反對稱）矩陣數(shù) 與 對稱（反對稱）矩陣的乘積仍是對稱（反對稱）矩陣對稱（反對稱）矩陣的乘積不一定是對稱（反對稱）矩陣11、矩陣的分塊線代老師說這部分的內(nèi)容做了解即可。詳見

14、課本P38-4012、矩陣的初等變換三種行變換與三種列變換：詳見課本P 42例題：作業(yè)P6全部13、矩陣等價若矩陣A經(jīng)過若干次初等變換后變成矩陣 B,則稱矩陣A與矩陣B等價，記為A B14、初等矩陣(1)是由單位矩陣經(jīng)由一次初等變換而得到的矩陣。詳見課本P48-49(2)設(shè)A為mrK n矩陣，則對A施行一次初等行變換相當于在 A的左邊乘上一個相應(yīng)的m階初等矩陣；A施行一次初等列變換相當于在 A的右邊乘上一個相應(yīng)的n階初等矩陣.詳 見課本P50-51(3)課本P51第3大題15、行階梯形矩陣與行最簡形矩陣(1)對任意一個非零矩陣，都可以通過若干次初等行變換(或?qū)Q列)化為行階梯型矩陣(2)行階梯

15、形矩陣與行最簡形矩陣：若在矩陣中可畫出一條階梯線，線的下方全為 0,每個臺階只有一行(臺階數(shù)即是非零行 的行數(shù))，階梯線的豎線(每段豎線的長度為一行)后面的第一個元素為非零元素，也就 是非零行的第一個非零元素，則稱該矩陣為行階梯矩陣。在此基礎(chǔ)上，若非零行的第一個 非零元素為都為1、且這些非零元素所在的列的其他元素都為0、則稱該矩陣為行最簡形矩陣。例題：課本P4s作業(yè)P6全部、課本P51第2大題16、逆矩陣(1)設(shè)A為n階方陣，如果存在n階方陣B,使得AB= BA= E,則稱方陣A是可逆的， 并稱B為A的逆矩陣.(由逆矩陣的定義可知，非方陣的矩陣不存在逆矩陣)(2)如果方陣A可逆，則A的逆矩陣是

16、唯一的，并將 A的逆矩陣記作A 1, AA 1 = EN上(3) n階方陣A可逆的充要條件為|A0,并且，當A可逆時，IA(證明詳見課本P54)例題：課本P59第1大題(4)可逆矩陣也稱為非奇異方陣(否則稱為奇異方陣)(5)性質(zhì)：設(shè)A, B都是n階的可逆方陣,常數(shù)kw0,那么(at)t=aAT也可逆，并且(尺)-1 = (A-1)T(kA)-1 = J A1kA也可逆，并且kAB也可逆,并且(AS -1 =B1A-1A+ B不一定可逆，而且即使 A+ B可逆，一般(A+ B)-1 WA1 + B11 一 1一1一 A1 匚吉 AA=E O AA = E =1 1=> | A A =1 O

17、1A _例題：課本P58例、作業(yè)P7第1題(6)分塊對角矩陣的可逆性： 課本P57(7)由方陣等式求逆矩陣： 課本P58例(8)單位矩陣、所有初等矩陣都是可逆的(初等矩陣是由單位矩陣經(jīng)由一次初等變換而得到的，即初等矩陣可以通過初等變換再變回單位矩陣，而單位矩陣的行列式=1*0可逆，所以初等矩陣可逆)(9)初等矩陣的逆矩陣也是初等矩陣(10)任一可逆方陣都可以通過若干次初等行變換化成單位矩陣(11)方陣A可逆的充要條件是：A可以表示為若干個初等矩陣的乘積(證明：課本P67)(12)利用初等行變換求逆矩陣:A|E初等行變換E|A-1(例題：課本P6&課本P71)(13)形如 M B的矩陣方

18、程，當方陣 A可逆時，有A1 AX = A-1B,即X= A-1B.v1.0可編輯可修改AJBETX矩陣方程的例題：課本P35課本P69、課本P41第6大題、課本P5&課本P5&課本P59第3大題、課本P60第5大題、課本P60第7大題、課本P71第3大題矩陣方程計算中易犯的錯誤： 課本P56 ”注意不能寫成”17、充分性與必要性的證明題(1)必要性：由結(jié)論推出條件(2)充分性：由條件推出結(jié)論例題：課本P41第8大題、作業(yè)P5第5大題18、伴隨矩陣作業(yè)P8全部-9 - 9 -(1)定義：課本P52定義(2)設(shè)A為n階方陣(n>2),則AA=AA= A £ (證明

19、詳見課本P53-54)(3)性質(zhì)：(注意伴隨矩陣是方陣)D A=Aa1(kA)kA (kA)-1 = k nA A-1k=k n1A*(kw0) *| AAA 1 =An IA 1| =j1(因為存在A 所以Aw0 ) = | An-1f*(A)AA 1)* = AA 1 ( A A 1)An A 1 11(A 1)11AA = A n-2A (因為 AA1 =E,所以A-的逆矩陣是A,即(A-)1(AE)* = PA(A*)-1 = (A1)(4)例題：課本P5&課本P55、課本P5& 課本P60第6大題、作業(yè)P7第2題、v1.0可編輯可修改19、矩陣的標準形:(1)定義：課

20、本P61-62(2)任何一個非零矩陣都可以通過若干次初等變換化成標準形20、矩陣的秩：(1)定義：課本P63(2)性質(zhì)：設(shè)A是mK n的矩陣，B是pxq的矩陣，則 若k是非零數(shù)，則R (kA)=R (A) R (A) = R (AT ) 等價矩陣有相同的秩，即若 A B,則R (A)=R (B) 00R (Ax n) < min m , n R (A§ Wmin R(A) , R( B)設(shè)A與B都是mx n矩陣，則R (A+ B)wR (A)+R ( B)(3) n階方陣A可逆的充要條件是：A的秩等于其階數(shù)，即R (A) =n(4)方陣A可逆的充要條件是：A可以表示為若干個初等

21、矩陣的乘積。(證明：P67)(5)設(shè)A是mx n矩陣，P、Q分別是m階與n階可逆方陣，則R (A) = R(PA) = R (AQ = R(PAQ(6)例題：課本P64課本P66、課本P71、作業(yè)P7第3題、彳業(yè)P9全部21、矩陣的秩的一些定理、推論線代老師說這部分的內(nèi)容做了解即可。詳見課本P7022、線性方程組概念線性方程組是各個方程關(guān)于未知量均為一次的方程組。線性方程組經(jīng)過初等變換后不改變方程組的解。23、齊次線性方程組與非齊次線性方程組(不含向量)(1)定義：課本P81(2)方程組的解集、方程組的通解、同解方程組：課本P81(3)系數(shù)矩陣A、增廣矩陣A、矩陣式方程：課本P82(4)矛盾方

22、程組(方程組無解)：課本P85例題(5)增廣矩陣的最簡階梯形：課本P87(6)系數(shù)矩陣的最簡階梯形： 課本P87(7)課本P87下面有注明：交換列只是交換兩個未知量的位置，不改變方程組的解。為了方便敘述，在解方程組時不用交換列。(8)克萊姆法則：D1D2D3x1一,x2一,x3 一DDD初步認知：a“X1+ ax2+ a13X3= bana12a13已知三元線性方程組a2"1+ 222x2+ a23X3= b2,其系數(shù)行列式D=a 21 a22 a 23231x1+ a 32x2+ a33X3= b3a31 a32 a33當A0時，其解為:b1 a12 a13anb1a13an a1

23、2b1b2 a22a23,D2 =a 21 b2 a23,C3=a21 a 22 b2b3 a32a33a31b3a33a31 a32 b3)(D以此類推)(其中D =定義：課本P15使用的兩個前提條件： 課本P18 例題：課本P3、課本P16-17、課本P1&作業(yè)P3第7題(9)解非齊次線性方程組(方程組施行初等變換實際上就是對增廣矩陣施行初等行變換)例題:課本P2& 課本P42、課本P82、課本P84 課本P85、課本P86第1大題、課本 P8&課本P91、作業(yè)P10第1題(10)解齊次線性方程組例題：課本P17、課本P1&課本P8s課本P8&課本P

24、9R課本P91、作業(yè)P1第5題、彳業(yè)P10第2題(11) n元非齊次線性方程組 AX b的解的情況：(R (A)不可能> R ( A)R ( A) < R ( A)=> 無解 (< n =有無窮多個解-10 - 13 -v1.0可編輯可修改R (A)R ( A ) <=> 有解=n =有唯一解特別地，當A是Aw。=有唯一解n階方陣時，可R R (A) R ( A) 無解由行列式來判斷I R ( A) = R( A ) U有J 當A =0 =有無窮多個解、1例題：課本P86第2大題、課本P8&課本P92、作業(yè)P11第三題(12) n元齊次線性方程組 A

25、G O的解的情況：(只有零解和非零解兩種情況，有唯一解的充要條件是只有零解，有無窮多個解的充要條件是有非零解)Jr (A) = n U只有零解(有唯一解，為0)r (A) n有非零解(有無窮多個解)特別地，當A是n階方陣AW0只有零解(有唯一解，為0)時，可由行列式來判斷；A=0 U有非零解(有無窮多個解)例題：課本P24、課本P90-91、作業(yè)P11全部24、行向量、列向量、零向量、負向量的概念詳見課本P92-93將列向量組的分量排成矩陣計算時，計算過程中只做行變換，不做列變換。初等行變換與初等行列變換的使用情況：矩陣、線性方程組、向量涉及行變換；列變換只在矩陣中用。(行列式的性質(zhì)包括行與列

26、的變換)手寫零向量時不必加箭頭。25、線性方程組的向量形式詳見課本P9326、線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念詳見課本P93-94例題：課本P101第6大題、作業(yè)P14第五大題27、向量個數(shù)大于向量維數(shù)的向量組 必然線性相關(guān)線代老師課上提到的結(jié)論。28、線性相關(guān)、線性無關(guān)；齊次線性方程組的解；矩陣的秩這三者的關(guān)系及其例題詳見課本P94定理、定理例題：課本 P94-95例、課本P101第3大題、課22本P101第5 大題、作業(yè)P12第3小題、作業(yè)P12第二大題、作業(yè)P13第三大題、作業(yè)P13第四大題29、線性表示與線性組合的概念詳見課本P9530、線性表示；非齊次線性方程組的解；矩陣的秩這三者的關(guān)系其例

27、題詳見課本P95-96定理例題：課本P95-96例、線性相關(guān)（無關(guān)）與線性表示的3個定理詳見課本P96定理、課本P97定理、課本P98定理、最大線性無關(guān)組與向量組的秩詳見課本P98-100定義、定義、定單位列向量，即“只有一個元素為 1,且其余元素都為0” 的一列向量（求最大線性無關(guān)組 用）例題：課本P100例、課本P101第4大題、作業(yè)P14第六大題33、線性方程組解的結(jié)構(gòu)看此內(nèi)容之前，最好先復(fù)習(xí)下“ n元非齊次線性方程組AX。b的解的情況”與“ n元齊次線性 方程組AXG。的解的情況”。（1） n元齊次線性方程組AXG。解的結(jié)構(gòu) 定理：詳見課本P101-102定義（并理解“基礎(chǔ)解系、通解、

28、結(jié)構(gòu)式通解、向量式通解”）：詳見課本P102 定理：詳見課本P102 解題步驟（“注”為補充說明）（以課本P104例為例）：-12- 15 -v1.0可編輯可修改(I ) A =10000100210073004100注：往“行最簡形矩陣”方向轉(zhuǎn)化(因為在解方程組時不用列變換，所以一般沒法真正轉(zhuǎn)化成行最簡形矩陣，所以說“往方向轉(zhuǎn)化”x1 =2x3 7x4 4x5(II )得到同解方程組x3 3x4 x5注：由xi2x37x44x5 =x2x33x4x5 = 00得到同解方程組21(III )此方程組的一組解向量為：1=1007301041001注：在草稿紙上寫成以下形式，其中未寫出的系數(shù)有的是1有的是0, 一看便知x=2x37x44x5x3 =x4 =x5 =(IV)