例談“放縮法”證明不等式的基本策略

1、例談放縮法”證明不等式的基本策略江蘇省蘇州市木瀆第二高級(jí)中學(xué)母建軍215101近年來在高考解答題中，常滲透不等式證明的內(nèi)容，而不等式的證明是高中數(shù)學(xué)中的 一個(gè)難點(diǎn)，它可以考察學(xué)生邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力。特別值得一提 的是，高考中可以用 放縮法”證明不等式的頻率很高，它是思考不等關(guān)系的樸素思想和基 本出發(fā)點(diǎn)，有極大的遷移性，對(duì)它的運(yùn)用往往能體現(xiàn)出創(chuàng)造性。放縮法”它可以和很多知識(shí)內(nèi)容結(jié)合，對(duì)應(yīng)變能力有較高的要求。因?yàn)榉趴s必須有目標(biāo)，而且要恰到好處，目標(biāo)往 往要從證明的結(jié)論考察，放縮時(shí)要注意適度，否則就不能同向傳遞。下面結(jié)合一些高考試 題，例談 放縮”的基本策略，期望對(duì)讀者能有所幫

2、助。1添加或舍棄一些正項(xiàng)（或負(fù)項(xiàng)）2例1、已知an =2n -1（n亡N ）.求證:邑+聖+ .+電(n亡 N*).23a2a3aH1證明：亡具_(dá)1_-2_2(2心-1)11、111,. c-322込-3-歹，"1,2，"3(1+2 +23 222223223.魚+魚+ + an' a2a3an 卅).1£直+亜+23a2a3an n+ <-(n 迂 N an 十2'使不等式一邊放大或縮小，2-2，從而是使和式得若多項(xiàng)式中加上一些正的值，多項(xiàng)式的值變大，多項(xiàng)式中加上一些負(fù)的值，多項(xiàng)式的 值變小。由于證明不等式的需要， 有時(shí)需要舍去或添加一些項(xiàng)

3、， 利用不等式的傳遞性，達(dá)到證明的目的。本題在放縮時(shí)就舍去了 到化簡(jiǎn).1 1 * >n +莎匚(n"N)2、先放縮再求和（或先求和再放縮）例 2、函數(shù) f (x)= 一，求證：f (1) +f (2) + +f (n)1+4x4n11證明：由f（n）=存-耐'-尸:班11 1 得 f (1) +f (2) + +f (n) >1十 1+-+1J2 212、眩2 2n=n 1 (1 +丄+ 丄 + =n 丄(n 丘 N *).< 2 422n+ 2、 丿此題不等式左邊不易求和，此時(shí)根據(jù)不等式右邊特征，先將分子變?yōu)槌?shù)，再對(duì)分母進(jìn)行放縮，從而對(duì)左邊可以進(jìn)行求和.

4、若分子，分母如果同時(shí)存在變量時(shí)，要設(shè)法使其中之一 變?yōu)槌Ａ?，分式的放縮對(duì)于分子分母均取正值的分式。如需放大，則只要把分子放大或分 母縮小即可；如需縮小，則只要把分子縮小或分母放大即可。3、先放縮,證明:后裂項(xiàng)(或先裂項(xiàng)再放縮)n已知an=n，求證：舀nc+i寸(k 1)(k +1) ( Vkn)n=1+Zk=2不-1)(k+1)爲(wèi) U(k 1)k(k + 1)(P(k-1) V (k+ 1)=1 +1 +2Vn7(n+1)1< 2+旋 < 3.2本題先采用減小分母的兩次放縮，再裂項(xiàng)，最后又放縮,有的放矢，直達(dá)目標(biāo)4、放大或縮小因式”例4、已知數(shù)列an滿足an十2 1=an,0 c

5、aj 蘭一，求證:2n 1Z(ak-步嘰 <-證明 T0<a1#,an廠總 a2=a11 1 1遼“貳山當(dāng)心時(shí)*ak/a3蘭花,n 1 n 1 1- 2(ak ak#ak 八忘2(ak 一比十"石佝an 十)"3?n本題通過對(duì)因式ak七放大，而得到一個(gè)容易求和的式子Z (ak -ak + ),kT最終得出證明.5、逐項(xiàng)放大或縮小n(n +1)例5、設(shè)an =用2 + J矛3 + J丙+ Jn(n+1)求證：證明： Jn(n +1) > Jn2 =n Jn(n +1) v J(n 冷)2 = 2n 1<an沖222n +1<2,c c1 + 3

6、+(2n +1) n(n +1)1+2 +3 + n <an <-二 n < Jn(n +1)y"1)本題利用n V Jn(n +1) v 2n十1對(duì)an中每項(xiàng)都進(jìn)行了放縮，從而得到可以求和的數(shù)列，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的。6、固定一部分項(xiàng),放縮另外的項(xiàng);例6、求證:7<41n(n 1)n 13+川+±£=4+二丄+2+丄+<1 +（丄12 22 32n222 2此題采用了從第三項(xiàng)開始拆項(xiàng)放縮的技巧，放縮拆項(xiàng)時(shí)，不一定從第一項(xiàng)開始，須根 據(jù)具體題型分別對(duì)待，即不能放的太寬，也不能縮的太窄，真正做到恰倒好處。7、利用基本不等式放縮例7、已知an=

7、5n-4，證明：不等式J5amn Jaman>1對(duì)任何正整數(shù)m,n都成立.證明：要證 J5amn Jaman >，只要證 5amn >ama因?yàn)閍mn=5mn 4 , ama(5-4)(5n 4) =25mn 20(m +n) +16 ,故只要證5(5mn -4) >1 +25mn -20(m +n) +16 + 2Jaman即只要證20m +20n -3aman因?yàn)?2jaman <am +an =5m+5n-8 c5m+5n-8+(15m+l5n-29) =20m + 2On-37,所以命題得證.本題通過化簡(jiǎn)整理之后，再利用基本不等式由2jaman <a

8、m +an放大即可.8先適當(dāng)組合，排序，再逐項(xiàng)比較或放縮例8、.已知i, m、n是正整數(shù)，且 1 < i< mv n.(1)證明：niAm < mA； ; (2)證明：(1+mn> (1+n)m證明:(1)對(duì)于1 < i w m,且Am:Amim m 1 m _i +1=T 丁T，同理mm mm由于m< n,對(duì)于整數(shù)k=1,2，所以A iA ia； >Am,即miAn>niAmnm由二項(xiàng)式定理有：i 1,m -(1 + m)n=1+C 1 m+C n m2 + +C ；Ai c min n(m i+1),n -i +1m k>m、m“_1_

9、 22_ m(1 + n) =1+C mn+C mn + +C m由(1)知 mA n > niA m (1 < i< mv n），而Ai i Ci = Am Ci C m =)匕 ni!2 2 2 2n, m Cn >n Cm，mncn > 0,22m mn+C mn + +C m n ,二 micin> niCim(1 < m< n )-m0C0= n0cn=1, mC1= ncm=mm m" m mm+ m 十、cm Cn > nCm，m Cn > 0，- 1+Cn m+C2 m2 + +C n mn> 1+C即(1 + m)n> (1 + n)m 成立.以上介紹了用放縮法”證明不等式的幾種常用策略，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)問題的特征 選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，有時(shí)還需要幾種方法融為一體。在證明過程中，適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行放縮，可以 化繁為簡(jiǎn)、化難為易，達(dá)到事半功倍的效果。但放縮的范圍較難把握，常常出現(xiàn)放縮后得 不出結(jié)論或得到相反的現(xiàn)象。因此，使用放縮法時(shí)，如何確定放縮目標(biāo)尤為重要。