工程力學第8章梁的彎曲應力與強度計算.

1、工程力學8.4提高彎曲強度的措施衆(zhòng)的考曲應力與徑度計算8梁的彎曲應力與強度計算8.1梁彎曲時橫截面上的正應力8.2彎曲正應力的強度條件梁的剪應力及其強度條件rXFI 川 IjUra-8梁的彎曲應力與強度計算jf 8梁的彎曲應力與強度計算m n ajUr8.1橫截面上有彎矩又有剪力例如：AC和DB段.Fa8.1.1稱為橫力彎曲（W切彎曲）.橫截面上有彎矩沒有剪力例如5 ra段。稱為純彎曲.稱為純彎曲.8.1純彎曲時橫截面上的正應力單向受力假設，各縱向纖維之間相互不擠壓鯊nt n實驗觀察變形縱向線（de ”n變?yōu)榛【€，凹側 縮短，凸側伸長橫向線帥皿M/0 :仍保持為直線, 發(fā)生了相對轉動.仍與弧線

2、垂直.平面假設梁的橫截面在彎曲變形后仍然保持平面且與變 形后的軸線垂直，只是繞截面的某一軸線轉過了一個角度。梁的彎曲應力與強度計算哉面對稱紬r 8.1設想梁由平行于釉線的眾 務縱向纖維組成，由底部纖維 的伸長連續(xù)地逐漸變?yōu)轫敳坷w 維的編短，中間必定有一層纖 維的長度不變.中性層：中間既不伸長也 不縮短的-層纖維.中性軸：中性層與第的橫«面的交線，垂直于梁的縱向對稱 面.（橫截面繞中性軸轉動）中性釉垂直于縱向對稱面*/8.1變形幾何關系：設橫«面的對稱軸為y軸，向下為 正，中性軸為Z軸（位置未定）.dxV（0 一坨-L方（Q+y）d0= dv = OO = <90 =

3、pilO” _（P+ y）d一/>dO _ y£ = -= *pd0p式a）表明線應變£與它到中性層的距 離成正比-(o)8梁的彎曲應力與強度計算&1皮力8.1皮力M = J Zb dblMy =J wrdA厲=卜必=0<c)My = JmcLA =0M. = J y(T(14 = M<e)rF f三=常*. -I JCU = O p從梁的軸線在中性層內，其長度不變.“(p+y)d0-Qd Spd(9p物理關系=因為縱向纖維之間無正應力，每纖維都是單向拉伸或壓縮。當應力小于比例極限時，由胡克定律知rr = Es將(4)代入上式，得、<t =

4、£ ib)P式G)表明橫«面上任意一點的正應力GT與該點到中性紬的距離y 成正比。在中性軸上：V = 0.(7 =0.將式fT=£-代入式3),Pf fTil4 = f -<14 = 0 JztJA pnS.=() n 軸(中性軸)通 過«面形心Vb = E丄(b)P將式代入式3），得E£zcr M £ >' 2 dA = 0 V軸為對稱軸.必然有人；=（） 將式G）代入式（圧幾 得M = 、Q tt4 = f VA-piA'式中1%為梁彎曲后軸線的曲率。 EL稱為梁的彎曲剛度.My = J dA = 0

5、他 mJ yerdL4 = M£<1A n Af = f P '=0(d)（0）（自然滿足）1 M M p El Uiidiri出& 1 lr«4f4kA人盤皮力I - M由上面兩式，得純彎曲時正應力的計算公式！ M V<7工cr=£(b)將彎矩M和坐標y按規(guī)定的正負代入，所得到的正應力若為 正，即為拉應力，若為負則為壓應力.1點的應力是拉應力或壓應力，也可由彎曲變形直接判定 以中性層為界，梁在凸岀的一側受拉，凹入的一側受壓。只要梁有一縱向對稱面，且載荷作用于這個平面內.上面的 公式就可適用.8.1.2橫力彎曲時橫截面上的正應力&

6、; 1止的耳血力在工程實際中般都是橫力彎曲，此時，梁的橫«面上不但有正應力還有剪應力.因此，梁在純彎曲時所作的平面假設和各縱向纖維之間無擠壓的假設都不成立。雖然橫力彎曲與純彎曲存在這些差異，但是應用純彎曲時正應力計算公式來計算橫力彎曲時的正應力，所得結果誤差不大/足以滿足工程中的«度要求且梁的跨高比加越大，其誤差越小.& 1止的耳金力已知仕liTb f/=6kN/iru 10號槽求最大fe應力和壓應力CD作彎矩圖Mt = *"2 = 3(KX) N. m(2)由型鋼表査得，10號槽鋼/二=256cm' b48cm y, =L52cm(3)求最大應力

7、 (3O0(NnO(l52xlLm)-陰25.6xiam"=g = (3()()b5*4,iaX0%L 3屮 MR引用記號則hf2 6-十泌護=?（皿D/2橫力彎曲時，彎矩隨截面位變化 一般悄況下最大正應 力7喚發(fā)生在彎矩大的截面上，且離中性軸S遠處即max IK = H：稱為彎曲截面模*它與面的幾何形狀有關，單位為m對于寬為b,高為力的矩形楡面/. bh'八 2 hh'W.=> 一 'dux對于直徑為D的圓形截面；.廠/64 Q'8D/232對于內外徑分別為D的空心圓截面8.2上;Id：壯盤儡I瓠邊俱韻如果梁的最大工作應力，不超過材料的許用彎曲

8、應力，梁就是安全的.因此，梁彎曲時的正應力強度條件為對于抗拉和抗壓強度相等的材料（如炭鋼），只要絕對值最大的正應力不超過許用彎曲應力即可.對于抗拉和抗壓不等的材料（如鑄鐵），則最大的拉應力和最 大的壓應力分別不超過各自的許用彎曲應力。8.2由匕聶翻JI融監(jiān)3廠| 耐 It 彩 MSTfiThlMiRfl2 |F2m例：2仙工字鋼梁.若b卜IfiOMPa.試求許可荷載廳解：（1）計算支反力No20gNNrn ；j如 N-ni（2）作彎矩圖M Z = Fit = - N 11）E,3C3）確定許可荷載J = " S同E" W.3叱 I Izr-lV Ja = -(237xlO-

9、XI60xlO")N = 56.9kN2 2_18.2f 耐 WMBT燉 M例：-矩形«面木熱 己初FTOkN, "1,2 nu木材的許用應力 (rT = 10MPa.設梁橫截面的高寬比為h/h=2.試選梁的«面尺寸。解；1計算支反力 行=/；,=2.:5P = 25kN2.作彎矩fflM =F«=l3tNm-inm3 .選擇截面尺寸F 丿！" R IBftAH截面最危險.該截面bir b2h'2b'= 6 6| 8梁的彎曲應力與強度計算8.2MIran=帀=I3<Z mMZ-竺1.昨卅0:6 6強度條件如竺=，

10、咯叩- <刖W. 2/3一1所以1=0.1216 m = l2L6niiiih = 243 mm最后選用125 X 250mm-的截面I5；1A： T字形截面鑄鐵架如圖.傳鐵許用拉應力J=3OMPa,許用壓 應力aJ=l60MPa.已知中性軸位置y, = 52 inm, 的慣性矩為/產763cm“試校核梁的強度。8.2截面對形心軸z£T ：o4ft 山 AHWI JKlbj右匕擁I腸8瓠般mIf25kNrn4kNmX解：1.計算支反力E=25kN/ = IO.5kN2.繪彎矩圖仏 XkN mMc = 2$5kN 迎1soff20M=4kNm3.強度校核曲面；,巧“ = =(gN

11、工£2¥(r m) =273mpu *"cjnu/.763xicr*m叫_(4xlOZm斶xlO訕“問心763xlLn?(裁面：、Mf” (25xiO'Nm)(88xlOm)“ “仆 r if =-763“OF=28.8隔故該梁滿足強度*件。<|*?nI丄;刪晶I最黑監(jiān)38.3 轉©AAtt友什8.3.1梁的彎曲剪應力1矩形«面梁的彎曲剪應力關于橫«面上剪應力的分布規(guī)律，作以下兩個假設：<1)橫截面上各點的剪應力的方 向都平行于剪力尸前(2)剪應力沿面寬度均勻分布.在截面高度h大于寬度b的情況下，以上述假設為基礎得

12、到 的解，與精確解相比有足夠的準確度.訂:;二打人S：r= .f.b力/2-V+28.3 轉©AAtt友什* % f «2匚S；珂迸b(屮,)24- J矩形面梁的彎曲剪應力沿截面高度按拋物線規(guī)律變化.nny-±£,即橫截面上、下邊緣各點處：r = ()r丄空_3Fs“皿2肺 2 AJ=0.即中性軸上各點處:B8梁的彎曲應力與強度計算2.工字形面梁的彎曲剪應力腹板上的剪應力2;8.3 »的*血QA農ftil齊伴a0二8梁的彎曲應力與強度計算r =b(rr_y8.3 »的*血總人農ftil齊伴齊帥")+雪'y s= 0

13、和 V = ±2心畋8 8Ouk/7/ bE fBH， MrLh 8& -I 計算結果表明，7, (0.95-0.97)7腹板內的剪應力近似計算公式r =Ml8梁的彎曲應力與強度計算3圓形截面梁的彎曲剪應力橫截面上彎曲剪應力分布的假設(1) ah弦上各點的剪應力都匯交于D點;(2)山力弦上各點剪應力的垂直分量5為常fi為肋弦的長度;S為ab弦以上的面積對中性軸2的靜矩.8梁的彎曲應力與強度計算8.38.3真ft友條伴"2何孑 sW(F-月34在處，即中性«上各點處:4倫4Er = 7=- =ifnn V m«nX3刃f3A;r(T)5丄;Id：壯

14、昭翊I晶甌俱監(jiān)38.3 僉力人Aft皮齊什8.3 僉力人Aft皮齊什I上;Id；壯艦I蹈I瓠邊俱4.薄壁圓環(huán)形截面梁的彎曲剪應力因為薄a圓環(huán)的壁厚f遠小于平均半徑R.故可以認為剪應力 r沿壁厚均勻分布，方向與圓周相切.最大剪應力仍發(fā)生在中性紬上.其值為r =竺g lbS： = (/?+-f«2/?7 3232/_=£(/? +' 42832梁的剪應力強度條件F $ z 一 "般情況，在剪力為大值的截面的中性軸上，出現大剪 應力彎曲剪應力的強度條件 r細長梁的控制因素通常是彎曲正應力。滿足彎曲正應力強度條件的梁，一般都能滿足剪應力的強度 條件?！靶屑魬姸?/p>

15、校核必須進行剪應力的強度校核的情況;8.3(1)梁的跨度較短或在支座附近作用較大的載荷：以致梁的彎矩較小.而剪力很大.(2)焊接或接的丄字梁如果腹板較薄而面高度很大.以致厚度與高度的比值小于型鋼的相應比值這時.對腹板應進(3)經焊接、鉀接或膠合而成的組合梁，一般需對焊縫.柳釘或膠合面進行剪應力強度校核.8.3例：已知，A=5XkN, n=().I5m. /=im,試選擇工字鋼的型號.(1計算支反力作剪力圖和彎矩圖I 坨kfI50kN選擇工字鋼型號h，、M和,7.5x|O'N mr沖C TT-(2)IIIIIIIII 1 |!|III II nil TU¥， 丄¥A*

16、(3)%= 46,9x IO"n? = 46.9cm'8.3真什 ggsoBia瓠血出強 嚴耐ItT回ST如2卻査型鋼表，選用W號工字鋼，其490cm/.:$： = 839;m M = 45min50x103(4)校核剪應力強度r =»二 八1293MPa> |r3 A" (8.59xIOnH4.5xIO'm)'必須重新選擇更大的截面.現以12.6號工字鋼進疔試算./ s' = I Q8cm %d =5.Omni_"魯r隔瓷)需小嚴Ek因此,要同時滿足正應力和剪應力強度條件，應選12.6號工字 JBir例；梁由3根木

17、條膠合而成?！辈稩MPd, b卜lOMRu b訂=034MPac XIm丁了 O.Sm JF*梁的彎曲應力與強度計算8.3真什解：(1)計算支反力旦o d o©試求許可荷«F_!£JNJI'JIIILI'2F(2)作剪力圖和彎矩圖-W1/ 1 Mlm i39FFI 佗 Lm = T W, = yx(lm)(3)確定許可荷載尸83 ?！爸?Q m “什由彎曲正應力強度條件%如=巴畑1W 3W I 丿F V 3Wjb 3(/加 /6)同 JOlm)(O15m)2(1(bd(rPm _付 "IniIm2x(lm)由彎曲剪應力強度條件E rh =

18、(lxicr p3)(0m)()l5m) =l5.0kN由膠合面上剪應力強度條件jUSSSSElB8.3皮什25；(°訕°5)(o m)(o.w"Pa) 122 X (0 J m )(0-05m )(0.0 5m)= 574kN綜上所述，膠合梁的許可荷載為F = 5.74kN上8.4按強度條件設計梁時，主要是根據梁的彎曲正應力強度條件由上式可見，要提高梁的彎曲強度，即降低«大正應力，可以從兩個方面來考虔，一是合理安排梁的受力情況，以降低大彎矩的數值；二是采用合理的面形狀以提高彎曲面系數W的數值.I «iriiriri'"rff

19、r.ViiVF«fl8.4&4.1合理安»梁的受力«況合理安持作用在梁上的荷可以降低梁的最大彎矩.V J5WPhA/fl叵 F n 食1_£一1于42J|易：7WJ38.4 <*合理布置梁的支座，同樣也可以降低梁的最大彎矩僅為原簡支梁ft大彎矩值的20%.8梁的彎曲應力與強度計算qiL<rHTr理so8.4 <*£丄丄£在工程實際中，圖示的門式起重機的大梁，圖示的圓柱形容as,其支#點都略向中間移動，就考慮了降低由荷載和自重所產生的最大彎矩8.48.4.2采用合理的截面形狀當彎矩值1定時，橫截面上的«大正應力與彎曲截面系數成 反比，即彎曲截面系數W,越大越好.另一方面.橫截面面積越 小，梁使用的材料越少，自$越輕，即橫面面積兒 越小越好因此，合理的橫面形狀應該是截