工程力學(xué)第8章梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算.

1、工程力學(xué)8.4提高彎曲強(qiáng)度的措施衆(zhòng)的考曲應(yīng)力與徑度計(jì)算8梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算8.1梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力8.2彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件rXFI 川 IjUra-8梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算jf 8梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算m n ajUr8.1橫截面上有彎矩又有剪力例如：AC和DB段.Fa8.1.1稱為橫力彎曲（W切彎曲）.橫截面上有彎矩沒有剪力例如5 ra段。稱為純彎曲.稱為純彎曲.8.1純彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力單向受力假設(shè)，各縱向纖維之間相互不擠壓鯊nt n實(shí)驗(yàn)觀察變形縱向線（de ”n變?yōu)榛【€，凹側(cè) 縮短，凸側(cè)伸長橫向線帥皿M/0 :仍保持為直線, 發(fā)生了相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng).仍與弧線

2、垂直.平面假設(shè)梁的橫截面在彎曲變形后仍然保持平面且與變 形后的軸線垂直，只是繞截面的某一軸線轉(zhuǎn)過了一個(gè)角度。梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算哉面對(duì)稱紬r 8.1設(shè)想梁由平行于釉線的眾 務(wù)縱向纖維組成，由底部纖維 的伸長連續(xù)地逐漸變?yōu)轫敳坷w 維的編短，中間必定有一層纖 維的長度不變.中性層：中間既不伸長也 不縮短的-層纖維.中性軸：中性層與第的橫«面的交線，垂直于梁的縱向?qū)ΨQ 面.（橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)）中性釉垂直于縱向?qū)ΨQ面*/8.1變形幾何關(guān)系：設(shè)橫«面的對(duì)稱軸為y軸，向下為 正，中性軸為Z軸（位置未定）.dxV（0 一坨-L方（Q+y）d0= dv = OO = <90 =

3、pilO” _（P+ y）d一/>dO _ y£ = -= *pd0p式a）表明線應(yīng)變£與它到中性層的距 離成正比-(o)8梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算&1皮力8.1皮力M = J Zb dblMy =J wrdA厲=卜必=0<c)My = JmcLA =0M. = J y(T(14 = M<e)rF f三=常*. -I JCU = O p從梁的軸線在中性層內(nèi)，其長度不變.“(p+y)d0-Qd Spd(9p物理關(guān)系=因?yàn)榭v向纖維之間無正應(yīng)力，每纖維都是單向拉伸或壓縮。當(dāng)應(yīng)力小于比例極限時(shí)，由胡克定律知rr = Es將(4)代入上式，得、<t =

4、£ ib)P式G)表明橫«面上任意一點(diǎn)的正應(yīng)力GT與該點(diǎn)到中性紬的距離y 成正比。在中性軸上：V = 0.(7 =0.將式fT=£-代入式3),Pf fTil4 = f -<14 = 0 JztJA pnS.=() n 軸(中性軸)通 過«面形心Vb = E丄(b)P將式代入式3），得E£zcr M £ >' 2 dA = 0 V軸為對(duì)稱軸.必然有人；=（） 將式G）代入式（圧幾 得M = 、Q tt4 = f VA-piA'式中1%為梁彎曲后軸線的曲率。 EL稱為梁的彎曲剛度.My = J dA = 0

5、他 mJ yerdL4 = M£<1A n Af = f P '=0(d)（0）（自然滿足）1 M M p El Uiidiri出& 1 lr«4f4kA人盤皮力I - M由上面兩式，得純彎曲時(shí)正應(yīng)力的計(jì)算公式！ M V<7工cr=£(b)將彎矩M和坐標(biāo)y按規(guī)定的正負(fù)代入，所得到的正應(yīng)力若為 正，即為拉應(yīng)力，若為負(fù)則為壓應(yīng)力.1點(diǎn)的應(yīng)力是拉應(yīng)力或壓應(yīng)力，也可由彎曲變形直接判定 以中性層為界，梁在凸岀的一側(cè)受拉，凹入的一側(cè)受壓。只要梁有一縱向?qū)ΨQ面，且載荷作用于這個(gè)平面內(nèi).上面的 公式就可適用.8.1.2橫力彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力&

6、; 1止的耳血力在工程實(shí)際中般都是橫力彎曲，此時(shí)，梁的橫«面上不但有正應(yīng)力還有剪應(yīng)力.因此，梁在純彎曲時(shí)所作的平面假設(shè)和各縱向纖維之間無擠壓的假設(shè)都不成立。雖然橫力彎曲與純彎曲存在這些差異，但是應(yīng)用純彎曲時(shí)正應(yīng)力計(jì)算公式來計(jì)算橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力，所得結(jié)果誤差不大/足以滿足工程中的«度要求且梁的跨高比加越大，其誤差越小.& 1止的耳金力已知仕liTb f/=6kN/iru 10號(hào)槽求最大fe應(yīng)力和壓應(yīng)力CD作彎矩圖Mt = *"2 = 3(KX) N. m(2)由型鋼表査得，10號(hào)槽鋼/二=256cm' b48cm y, =L52cm(3)求最大應(yīng)力

7、 (3O0(NnO(l52xlLm)-陰25.6xiam"=g = (3()()b5*4,iaX0%L 3屮 MR引用記號(hào)則hf2 6-十泌護(hù)=?（皿D/2橫力彎曲時(shí)，彎矩隨截面位變化 一般悄況下最大正應(yīng) 力7喚發(fā)生在彎矩大的截面上，且離中性軸S遠(yuǎn)處即max IK = H：稱為彎曲截面模*它與面的幾何形狀有關(guān)，單位為m對(duì)于寬為b,高為力的矩形楡面/. bh'八 2 hh'W.=> 一 'dux對(duì)于直徑為D的圓形截面；.廠/64 Q'8D/232對(duì)于內(nèi)外徑分別為D的空心圓截面8.2上;Id：壯盤儡I瓠邊俱韻如果梁的最大工作應(yīng)力，不超過材料的許用彎曲

8、應(yīng)力，梁就是安全的.因此，梁彎曲時(shí)的正應(yīng)力強(qiáng)度條件為對(duì)于抗拉和抗壓強(qiáng)度相等的材料（如炭鋼），只要絕對(duì)值最大的正應(yīng)力不超過許用彎曲應(yīng)力即可.對(duì)于抗拉和抗壓不等的材料（如鑄鐵），則最大的拉應(yīng)力和最 大的壓應(yīng)力分別不超過各自的許用彎曲應(yīng)力。8.2由匕聶翻JI融監(jiān)3廠| 耐 It 彩 MSTfiThlMiRfl2 |F2m例：2仙工字鋼梁.若b卜IfiOMPa.試求許可荷載廳解：（1）計(jì)算支反力No20gNNrn ；j如 N-ni（2）作彎矩圖M Z = Fit = - N 11）E,3C3）確定許可荷載J = " S同E" W.3叱 I Izr-lV Ja = -(237xlO-

9、XI60xlO")N = 56.9kN2 2_18.2f 耐 WMBT燉 M例：-矩形«面木熱 己初FTOkN, "1,2 nu木材的許用應(yīng)力 (rT = 10MPa.設(shè)梁橫截面的高寬比為h/h=2.試選梁的«面尺寸。解；1計(jì)算支反力 行=/；,=2.:5P = 25kN2.作彎矩fflM =F«=l3tNm-inm3 .選擇截面尺寸F 丿！" R IBftAH截面最危險(xiǎn).該截面bir b2h'2b'= 6 6| 8梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算8.2MIran=帀=I3<Z mMZ-竺1.昨卅0:6 6強(qiáng)度條件如竺=，

10、咯叩- <刖W(wǎng). 2/3一1所以1=0.1216 m = l2L6niiiih = 243 mm最后選用125 X 250mm-的截面I5；1A： T字形截面鑄鐵架如圖.傳鐵許用拉應(yīng)力J=3OMPa,許用壓 應(yīng)力aJ=l60MPa.已知中性軸位置y, = 52 inm, 的慣性矩為/產(chǎn)763cm“試校核梁的強(qiáng)度。8.2截面對(duì)形心軸z£T ：o4ft 山 AHWI JKlbj右匕擁I腸8瓠般mIf25kNrn4kNmX解：1.計(jì)算支反力E=25kN/ = IO.5kN2.繪彎矩圖仏 XkN mMc = 2$5kN 迎1soff20M=4kNm3.強(qiáng)度校核曲面；,巧“ = =(gN

11、工£2¥(r m) =273mpu *"cjnu/.763xicr*m叫_(4xlOZm斶xlO訕“問心763xlLn?(裁面：、Mf” (25xiO'Nm)(88xlOm)“ “仆 r if =-763“OF=28.8隔故該梁滿足強(qiáng)度*件。<|*?nI丄;刪晶I最黑監(jiān)38.3 轉(zhuǎn)©AAtt友什8.3.1梁的彎曲剪應(yīng)力1矩形«面梁的彎曲剪應(yīng)力關(guān)于橫«面上剪應(yīng)力的分布規(guī)律，作以下兩個(gè)假設(shè)：<1)橫截面上各點(diǎn)的剪應(yīng)力的方 向都平行于剪力尸前(2)剪應(yīng)力沿面寬度均勻分布.在截面高度h大于寬度b的情況下，以上述假設(shè)為基礎(chǔ)得

12、到 的解，與精確解相比有足夠的準(zhǔn)確度.訂:;二打人S：r= .f.b力/2-V+28.3 轉(zhuǎn)©AAtt友什* % f «2匚S；珂迸b(屮,)24- J矩形面梁的彎曲剪應(yīng)力沿截面高度按拋物線規(guī)律變化.nny-±£,即橫截面上、下邊緣各點(diǎn)處：r = ()r丄空_3Fs“皿2肺 2 AJ=0.即中性軸上各點(diǎn)處:B8梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算2.工字形面梁的彎曲剪應(yīng)力腹板上的剪應(yīng)力2;8.3 »的*血QA農(nóng)ftil齊伴a0二8梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算r =b(rr_y8.3 »的*血總?cè)宿r(nóng)ftil齊伴齊帥")+雪'y s= 0

13、和 V = ±2心畋8 8Ouk/7/ bE fBH， MrLh 8& -I 計(jì)算結(jié)果表明，7, (0.95-0.97)7腹板內(nèi)的剪應(yīng)力近似計(jì)算公式r =Ml8梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算3圓形截面梁的彎曲剪應(yīng)力橫截面上彎曲剪應(yīng)力分布的假設(shè)(1) ah弦上各點(diǎn)的剪應(yīng)力都匯交于D點(diǎn);(2)山力弦上各點(diǎn)剪應(yīng)力的垂直分量5為常fi為肋弦的長度;S為ab弦以上的面積對(duì)中性軸2的靜矩.8梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算8.38.3真ft友條伴"2何孑 sW(F-月34在處，即中性«上各點(diǎn)處:4倫4Er = 7=- =ifnn V m«nX3刃f3A;r(T)5丄;Id：壯

14、昭翊I晶甌俱監(jiān)38.3 僉力人Aft皮齊什8.3 僉力人Aft皮齊什I上;Id；壯艦I蹈I瓠邊俱4.薄壁圓環(huán)形截面梁的彎曲剪應(yīng)力因?yàn)楸圓環(huán)的壁厚f遠(yuǎn)小于平均半徑R.故可以認(rèn)為剪應(yīng)力 r沿壁厚均勻分布，方向與圓周相切.最大剪應(yīng)力仍發(fā)生在中性紬上.其值為r =竺g lbS： = (/?+-f«2/?7 3232/_=£(/? +' 42832梁的剪應(yīng)力強(qiáng)度條件F $ z 一 "般情況，在剪力為大值的截面的中性軸上，出現(xiàn)大剪 應(yīng)力彎曲剪應(yīng)力的強(qiáng)度條件 r細(xì)長梁的控制因素通常是彎曲正應(yīng)力。滿足彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件的梁，一般都能滿足剪應(yīng)力的強(qiáng)度 條件?！靶屑魬?yīng)力強(qiáng)度

15、校核必須進(jìn)行剪應(yīng)力的強(qiáng)度校核的情況;8.3(1)梁的跨度較短或在支座附近作用較大的載荷：以致梁的彎矩較小.而剪力很大.(2)焊接或接的丄字梁如果腹板較薄而面高度很大.以致厚度與高度的比值小于型鋼的相應(yīng)比值這時(shí).對(duì)腹板應(yīng)進(jìn)(3)經(jīng)焊接、鉀接或膠合而成的組合梁，一般需對(duì)焊縫.柳釘或膠合面進(jìn)行剪應(yīng)力強(qiáng)度校核.8.3例：已知，A=5XkN, n=().I5m. /=im,試選擇工字鋼的型號(hào).(1計(jì)算支反力作剪力圖和彎矩圖I 坨kfI50kN選擇工字鋼型號(hào)h，、M和,7.5x|O'N mr沖C TT-(2)IIIIIIIII 1 |!|III II nil TU¥， 丄¥A*

16、(3)%= 46,9x IO"n? = 46.9cm'8.3真什 ggsoBia瓠血出強(qiáng) 嚴(yán)耐ItT回ST如2卻査型鋼表，選用W號(hào)工字鋼，其490cm/.:$： = 839;m M = 45min50x103(4)校核剪應(yīng)力強(qiáng)度r =»二 八1293MPa> |r3 A" (8.59xIOnH4.5xIO'm)'必須重新選擇更大的截面.現(xiàn)以12.6號(hào)工字鋼進(jìn)疔試算./ s' = I Q8cm %d =5.Omni_"魯r隔瓷)需小嚴(yán)Ek因此,要同時(shí)滿足正應(yīng)力和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件，應(yīng)選12.6號(hào)工字 JBir例；梁由3根木

17、條膠合而成?！辈稩MPd, b卜lOMRu b訂=034MPac XIm丁了 O.Sm JF*梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算8.3真什解：(1)計(jì)算支反力旦o d o©試求許可荷«F_!£JNJI'JIIILI'2F(2)作剪力圖和彎矩圖-W1/ 1 Mlm i39FFI 佗 Lm = T W, = yx(lm)(3)確定許可荷載尸83 矗“直 Q m “什由彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件%如=巴畑1W 3W I 丿F V 3Wjb 3(/加 /6)同 JOlm)(O15m)2(1(bd(rPm _付 "IniIm2x(lm)由彎曲剪應(yīng)力強(qiáng)度條件E rh =

18、(lxicr p3)(0m)()l5m) =l5.0kN由膠合面上剪應(yīng)力強(qiáng)度條件jUSSSSElB8.3皮什25；(°訕°5)(o m)(o.w"Pa) 122 X (0 J m )(0-05m )(0.0 5m)= 574kN綜上所述，膠合梁的許可荷載為F = 5.74kN上8.4按強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)梁時(shí)，主要是根據(jù)梁的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件由上式可見，要提高梁的彎曲強(qiáng)度，即降低«大正應(yīng)力，可以從兩個(gè)方面來考虔，一是合理安排梁的受力情況，以降低大彎矩的數(shù)值；二是采用合理的面形狀以提高彎曲面系數(shù)W的數(shù)值.I «iriiriri'"rff

19、r.ViiVF«fl8.4&4.1合理安»梁的受力«況合理安持作用在梁上的荷可以降低梁的最大彎矩.V J5WPhA/fl叵 F n 食1_£一1于42J|易：7WJ38.4 <*合理布置梁的支座，同樣也可以降低梁的最大彎矩僅為原簡支梁ft大彎矩值的20%.8梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算qiL<rHTr理so8.4 <*£丄丄£在工程實(shí)際中，圖示的門式起重機(jī)的大梁，圖示的圓柱形容as,其支#點(diǎn)都略向中間移動(dòng)，就考慮了降低由荷載和自重所產(chǎn)生的最大彎矩8.48.4.2采用合理的截面形狀當(dāng)彎矩值1定時(shí)，橫截面上的«大正應(yīng)力與彎曲截面系數(shù)成 反比，即彎曲截面系數(shù)W,越大越好.另一方面.橫截面面積越 小，梁使用的材料越少，自$越輕，即橫面面積兒 越小越好因此，合理的橫面形狀應(yīng)該是截