多元微分學(xué)的幾何應(yīng)用-ch6_7.

1、I第七節(jié) 多元微分學(xué)的幾何應(yīng)用本節(jié)要點一、曲面的切平面與法線二、曲線的切線與法平面三、梯度在場論中的意義I7趨于工，即有關(guān)系a一、空間曲面的切平面與法線設(shè)Z是空間的一張曲面，M。是曲面上的任一點/是 過的任一平面.萬是平面的法向，平面稱為丫在點 M。處的切平面，如果當(dāng)工上的 動點M在Y上趨于M（）時，萬與H的夾角3 =叫-lim cos 0 = 1.W f MoA/ CS上式等價于M - nlim 1 ,=0.寫:&阿加|.卩情形1設(shè)曲面y的方程為F（a,>*,z） = 0,點Mu el：, 如果函數(shù)尸（；w）在點處可微，且VF（MQh6, 則曲面:在Mo處存在切平面，且有法向量

2、n = VF（MJ,從而相應(yīng)的切平面方程為F*（%'兒，5）（X - 兀）+ F,（5,兒，5）（y -兒）+ "；（%,九，勺）（爲(wèi)一 5）=（）.過M0且與切平面垂直的直線稱為曲面工在點M。處 的法線，由定義不難得到法線方程為文-Xq=y -兒乙-5例1求曲面7丫+= /在點(121)處的切平面AV與法線方程.解令F(x,y, z) = e"+兀2 z - e',貝 ijF, = y c" +2x, F. = xe", F牙=I.因而VF(l,2,l) =(2e = +2,e-l),由此得切平面及法線(2 ©2 + 2)(x

3、 - 1) + e2(y - 2)- (z - 1)=()X 1 y 2 Z I-I*，Y.“72 e* + 2 e* 1例2求曲面z = / + /的一個切平面，使該切平面與 直線十2 = 1，垂直.b + 2乙=2-V + 2 Z = 1,r r的方向向量為y + 22 = 2? = (l,0,2)x(0,l,2)= (-2,-2,l). 曲面在點(X, y, z)處的法向S為H =(/；,.,Aj =(2.r,2y,-l).由題意，知n 5,即2x 2y -I-2 -2 I '得x = l,.y = l,代入曲面方程，得乙=2.故切平面方程為2 X + 2 J - Z - 2 =

4、 0 -例3求乙=X），的一個切平面，使之平行于平面3-¥ + 2y -乙=2.解 設(shè)切點為則切平面的法向為n = /（%,兒，和）=（兒，, -1） 已知平面的法向為兀=W'（%，yo，G）= （3,2,-l）.從而相應(yīng)的切平面方程為又兩平面平行> 得萬/!=> >1 = 33。= 2. = Zo = 63x + 2y 乙=1 2.例4試證J7+需>0）上任何點處的切 平面與各坐標(biāo)軸的截距之和是常數(shù).Ifl J、2頁2賦2賦）為切平面的法向.故切平面為證 設(shè)尸=y/x + y/y + VT - J：（兀0. Vf）. G ）是曲面 上任意點，r（工）

5、1 （ y ）+f"（乙乙0 ） =（）2 Jx。2 Jy。2 JzoJ-X r -*rI = jE + yl y a + J 乙 o Io ,V%d y Q7 5令y = z =（）=> 坷=JE二同理得N = J>/' Z, = J “a.因而截距之和為® + >'1 + Z=（賦 + 賦+賦）4=0.情形2設(shè)曲面V的方程為z = /（.v,y）.點必（）（兒勺） 二函數(shù)F（.v, y,z） = z - / （x. J）在"0（兀），兒，5 ）處可微，則切平面有法向量并=（3（兀，兒），5（5，兒），-1）.相應(yīng)的切平面方程為

6、5 心- "J + 5 心-兒）-（Z - 5）=（） 法線為"_=y - Vg Z - 55（“）兒）5（,兒）-1Y情形3設(shè)曲面y的方程由參數(shù)方程y = y"v h給出，對、上任一點必0（勺0心）對應(yīng)于“Ou平面 I 上點人（"0*0）,如果函數(shù)x（H,v）,y（«,v）,z（w,v）在包 |1 含/乙（知，片）的某一鄰域內(nèi)都是類函數(shù)，并且 "X itX則曲面在點M仆處存在切平面,ds）且法向為IX"o5r'15、求螺旋面X = W cos V,y = » sin V (” > () v e R在

7、點Mo(l0()處的切平面和法線方程.iJkfl =XVzi - *7 *XVzy- Vy點對應(yīng)(n,v) = (1,0),又cos Vsin VW sin V “ cos V(1.0 I所以切平面方程為乙=0,法線方程為二.曲線的切線與法平面1 曲線的切線ZTV設(shè)I是空間的曲線,嘰是曲線上的點，7是曲線上連 M與M。的割線，直線/是直線7， 的極限位置，稱為曲線在M。處 的切線.方向r稱為切向量.其關(guān)系為：liniM 4 M 0M er定理1設(shè)空間曲線的方程為V = x（r）-V = y（f）乙=z（r）點M Jx,兒,5）在曲線上，M0對應(yīng)參數(shù)為G，如果r = （x'a。）. y&

8、#39;（G）, /（G）工 0,則p為切線的切向量,兀-5二且切線方程為y -幾二 2-55）一 /（G）VIrr2 曲線的法平面曲線上過切點且與切線垂直的平面稱為法平面.由定義得到切平面方程為一 “)+ y'(fo)(y 兒)+ z'(fo)(z 5)= 0.例6求曲線x = f,y = r,;： = F在點(1,1,1)處的切線與 法平面方程- 解 曲線上的點對應(yīng)r = 1,故切向量為？ = (1,2,3),切 9 線方程為X - I y - I Z - I1"2"3X + 2y + 3z 6 = 0.= 法平面方程為匚 xr<I八.7 V若曲線

9、作為兩平面的交線f F(.v, V, z ) = 0G(x y. z) = 0r<I JFFXVG G' yFGZ1(*0 ”0 ：!) >J點Mo(%,)dZo)在曲線上，函數(shù)F(a-, y,z),G (x, y,z) 在點M。處的某個鄰域內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)，則曲線在點M °處 的切向量為例9 求球面.v' + v" + Z-=-與橢球面 43.v' + ( V - I)' +=匕的交線對應(yīng)于X = 1的交點處4的切線方程和法平面方程.解當(dāng)"=I時，解方程3-v' + （y 一 1）2 + 乙94174，在點Ow)處

10、，兩曲面的切平(1 A得交點坐標(biāo)1，一,±1I 2)面的法向分別為= (2.v,2y,2z),nj =(6.v, 2( y - l),2z),從而在點fL ,11 處,Hj =(2,1,2),心=(61,2),=(4,&-8),故??？ = (1,2,-2).所以切線及法平面分別為X I 2 V - 1 Z 1= = 14-2x+2y-2c = 0.I 2 丿切平面和法線分別為X I 2 y 1 Z IC .C=,x+2y + 2w = O I42同樣，在點(1,丄處得切向量為? =(1,2,2).從而x + 4y + 6 乙=21 和.V + 2 < = 7.三、梯度在

11、場論中的意義在前面的討論中，我們知道，一個三元函數(shù)“ 可以看成是空間數(shù)量場的數(shù)學(xué)表達(dá)式。為了研究其分布 特征，通常采用等量面的描述方法.即由方程A'（ x, y,z） = c所表示的曲面.這里C是任意常數(shù).數(shù)量面 通過場內(nèi)一點Mo（ro,5）的等fi面.方程為/（X,=尸（5，兒，6）= C.由第一目中的討論知，若F （兀,z）是:場，且VF（M（J工6則VF （M。）為F（X.Z）通過M 0點的 等量面在該點的切平面的法向.又由梯度的意義 是指向F的等量面的高值方向.對平面數(shù)量:場廠（X）=c的情形，方程F（仏y） = cl 表示的曲線稱為等量線.等量線F（x, y） = C可視為 曲線f Z = F ( y), l"C在平面上的投影曲線.該投影曲線又稱為等高線.對等量線F（x,.v） = C在曲線上任意點（x）處