2018-2019學年高中數(shù)學考點49軌跡方程庖丁解題新必修2

1、考點 49 軌跡方程要點闡述匚_.曲話”心g”g,.,“.在高考數(shù)學試題中，求動點軌跡是一個難點，也是一個重點求動點軌跡方程常用的方法有：直接法、 定義法、參數(shù)法，相關(guān)點法等.典型例題【例】已知動點Rx,y)與兩定點M 1,0) ,N(1,0)連線的斜率之積等于-1.則動點P的軌跡C的方 程為.【答案】x1 2+y2= 1(x 1).【解析】由題設(shè)知直線PW與冊的斜率存在目均不為霧所以加址加卑二-1,整理得卻滬=1(坯1)即動點p p的軌跡c c的方程為0審二1(X1)【規(guī)律方法】求軌跡方程的一般步驟(1)建立適當坐標系，設(shè)出動點 M 的坐標(x,y).(2) 列出點 M 滿足條件的集合.(3

2、) 用坐標表示上述條件，列出方程 f(x,y) = 0.(4) 將上述方程化簡.(5) 證明化簡后的以方程的解為坐標的點都是軌跡上的點.1.方程y=9 x?表示的曲線是()A. 條射線B. 個圓C.兩條射線D.半個圓【答案】D【解析】方程y= , 9 x2可化為x2+y2= 9(y0),小試牛刀所以方程y= Ox3表示圓x2+y2= 9 位于x軸上方的部分，是半個圓.【易錯易混】要注意到y(tǒng)0,應(yīng)是個半圓.2 .方程x2+y2+2ax-b2=0 表示的圖形是()A. 個圓B.只有當a=0 時，才能表示一個圓C.一個點D. a,b不同時為 0 時，才能表示一個圓【答案】D【解析】當a=b=0 時，

3、原方程變?yōu)閤2+y2=0,表示一個點.當a2+b2=o 時，方程x2+y2+2ax-b2=0 表示一 個圓.3 在ABC中，若頂點B、C的坐標分別是(一 2, 0)和(2, 0)，中線AD的長度是 3,則點A的軌跡方程是( )A.x2+y2= 3B.x2+y2= 42 2 2 2C. x+y=9(yz0)D. x+y=9(XM0)【答案】C【解析】中點 D( 0, 0)，由于|AD為定長 3，所以A點在以D為圓心，3 為半徑的圓上，選 C.【規(guī)律總結(jié)】求軌跡方程時經(jīng)常遇到“去”或“補”的問題，當所求方程包括不合題意的點時，必須去掉；當所求方程不含其他合乎條件的點時，必須補出來(如本例).以上例

4、題所用方法均是由題意所給出的等量關(guān)系直接列出方程所得，故稱“直接法”.4 .已知兩定點A(- 2, 0) ,B(1, 0),若動P滿足|PA=2|PB，則點P的軌跡所包圍的圖形的面積等于()A. nB.4nC. 8nD. 9n【答案】B【解析】設(shè)動點屮的坐標為 g “ 則由|刑電網(wǎng)|,可得刁產(chǎn)次徉產(chǎn) P , 化簡得 4-2) 4 護=4,則軌跡為以 0)為圓 2 為半徑的圓，該圓面積沏 4 血3 2 2 2C. (x- 1) +y=16D.x+ (y- 1) =16【答案】B【解析】設(shè)M(x,y),則M滿足.(x -8)2y2=2一(x -2)2 y2整理得x2+y2= 16 .5 .已知動點

5、M到點(8, 0)的距離等于點M到點(2, 0)的距離的 2 倍，那么點M的軌跡方程是()2 2 2 2A.x+y=32B.x+y=166.已知圓C：x2+ (y 1)2= 5,直線I:mx-y+ 1 m=0.(1)求證：對任意m R,直線I與圓C總有兩個不同的交點；(2)求弦AB的中點M的軌跡方程.【解析】 證明:由已知直線y1二蚣一1),知直線I I恒過走點 陀.1)：丫=1 1,方程為(x 1)2+ (y 1)2= 1.方程表示兩個半圓.2 .動點 A 在圓x2+y2=1 上移動時，它與定點 B(3,0)連線的中點的軌跡方程是 _.【答案】(2x- 3)2+4y2=1【解析】設(shè)中點 M(

6、x,y),則動點 A(2x- 3,2y), / A 在圓x2+y2=1 上，二(2x- 3)2+(2y)2=1, 即所求軌跡方程為(2x-3)2+4y2=1.3 .設(shè)方程x2y2-2(m 3) 2( 4ri y 1m 9，(若該方程表示一個圓，m的取值范圍_，這時圓心的軌跡方程 _.2_20X|【答案】y=4(x3) -1,4V 7丿5【解析】配方得：R(m+3)f +|_y(14m2)l =1+6m7m2該方程表不圓貝U有1+6/n-7M20得朋E（-亍1）,x =用十3此時圓心的軌跡方程刪y y= 4?M1消去加，得J= 4X-3)3-1,由ie(-i,l)得X=HJE岸，斗)-所求的軌跡

7、方程是J = 4（x-3）2 -14 .設(shè)定點M（- 3, 4）,動點N在圓x2+y2=4 上運動，以O(shè)M ON為兩邊作 YMONP求點P的軌跡方程. 【解析】如圖所示，設(shè)P（x，y），N（xo，yo），貝懺段OP的中點坐標為（,），線段MN的中點坐標為（宣3,世4）.2 2 2 2因為平行四邊形的對角線互相平分，故丫=心2 2 2 2 % =x十3則有 即N（x+3，y- 4）.y =y _4又點N在圓x2+y2=4 上，故（x+3）2+ （y- 4）2=4.因此點P的軌跡為圓（除去兩點），2221 289 12其軌跡方程為（x+3） + （y- 4） =4 （除去（-一，一）,（，一），兩點）.555 5XN/ ,rOJ1 3 x數(shù)學文化天津之眼天津之眼，全稱天津永樂橋摩天輪，坐落在天津海河畔，是一座跨河建設(shè)、橋輪合一的摩天輪，兼具觀 光和交通功能是世界上唯一建在橋上的摩天輪，是天津的地標之一.摩天輪直徑為 110 米，輪外裝