考點42 隨機抽樣、用樣本估計總體、變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計案例

1、考點42 隨機抽樣、用樣本估計總體、變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計案例一、選擇題1. (2015·四川高考文科·T3)某學(xué)校為了了解三年級、六年級、九年級這三個年級之間的學(xué)生視力是否存在顯著差異,擬從這三個年級中按人數(shù)比例抽取部分學(xué)生進行調(diào)查,則最合理的抽樣方法是()A.抽簽法B.系統(tǒng)抽樣法C.分層抽樣法D.隨機數(shù)法【解析】選C.因為題干中總體是由差異明顯的三個部分組成的,所以選擇分層抽樣法.2（2015·安徽高考理科·T6）若樣本數(shù)據(jù)，的標(biāo)準(zhǔn)差為，則數(shù)據(jù)，的標(biāo)準(zhǔn)差為（ ）A. B. C. D.【解題指南】應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)差、方差公式和性質(zhì)計算標(biāo)準(zhǔn)差?！窘馕觥窟xC。樣本

2、數(shù)據(jù)，的標(biāo)準(zhǔn)差=，則DX=64，而樣本數(shù)據(jù)，的方差D（2X-1）=，所以其標(biāo)準(zhǔn)差為。3. (2015·北京高考文科·T4)某校老年、中年和青年教師的人數(shù)見下表,采用分層抽樣的方法調(diào)查教師的身體狀況,在抽取樣本中,青年教師有320人,則該樣本的老年教師人數(shù)為()A.90B.100C.180D.300類別人數(shù)老年教師900中年教師1 800青年教師1 600合計4 300【解題指南】分層抽樣總體與樣本中各層的比相同.【解析】選C.設(shè)樣本中老年教師人數(shù)為n人,解得n=180.4(2015·山東高考文科·T6)為比較甲、乙兩地14時的氣溫狀況,隨機選取該月中的5

3、天,將這5天中14時的氣溫數(shù)據(jù)(單位:)制成如圖所示的莖葉圖,考慮以下結(jié)論:甲地該月14時的平均氣溫低于乙地該月14時的平均氣溫;甲地該月14時的平均氣溫高于乙地該月14時的平均氣溫;甲地該月14時的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差小于乙地該月14時的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差;甲地該月14時的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差大于乙地該月14時的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差.其中根據(jù)莖葉圖能得到的統(tǒng)計結(jié)論的編號為()A.B.C.D.【解題指南】由和求解.【解析】選B. ，.5.(2015·新課標(biāo)全國卷理科·T3)根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫排放量(單位:萬噸)柱形圖,以下結(jié)論不正確的是()A.逐年比較,2008年減少二氧化

4、硫排放量的效果最顯著B.2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效C.2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢D.2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)【解析】選D.由柱形圖得,從2006年以來,我國二氧化硫排放量呈下降趨勢,故年排放量與年份負(fù)相關(guān).6(2015·新課標(biāo)全國卷文科·T3)根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫排放量(單位:萬噸)柱形圖,以下結(jié)論不正確的是()A.逐年比較,2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著B.2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效C.2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢D.2006年以來我國二氧化硫年排放量與年

5、份正相關(guān)【解析】選D.由柱形圖得,從2006年以來,我國二氧化硫排放量呈下降趨勢,故年排放量與年份負(fù)相關(guān).7.(2015·湖北高考理科·T2)我國古代數(shù)學(xué)名著數(shù)書九章有“米谷粒分”題:糧倉開倉收糧,有人送來米1534石,驗得米內(nèi)夾谷,抽樣取米一把,數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒,則這批米內(nèi)夾谷約為()A.134石B.169石C.338石D.1 365石【解題指南】簡單隨機抽樣,樣本估計總體.【解析】選B.設(shè)這批米內(nèi)夾谷x石,則由題意知, 即8(2015·湖北高考文科·T2)我國古代數(shù)學(xué)名著數(shù)書九章有“米谷粒分”題:糧倉開倉收糧,有人送來米1534石,驗得米內(nèi)夾

6、谷,抽樣取米一把,數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒,則這批米內(nèi)夾谷約為()A.134石B.169石C.338石D.1 365石【解析】選B.設(shè)這批米內(nèi)夾谷x石,則由題意知,即9. （2015·重慶高考理科·3）重慶市2013年各月的平均氣溫（）數(shù)據(jù)的莖葉圖如下：0 8 91 5 82 0 0 3 3 83 1 2則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（ ）A. B. C. D.【解題指南】直接利用中位數(shù)的概念進行計算即可.【解析】選B.由中位數(shù)的概念可知，該組數(shù)據(jù)的從小到大順序排列的第6和第7個數(shù)據(jù)的平均數(shù)即所要求的中位數(shù)，為20.10. （2015·重慶高考文科·4）同（201

7、5·重慶高考文科·3）重慶市2013年各月的平均氣溫（）數(shù)據(jù)的莖葉圖如下：0 8 91 5 82 0 0 3 3 83 1 2則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（ ）A. B. C. D.【解題指南】直接利用中位數(shù)的概念進行計算即可.【解析】選B.由中位數(shù)的概念可知，該組數(shù)據(jù)的從小到大順序排列的第6和第7個數(shù)據(jù)的平均數(shù)即所要求的中位數(shù)，為20.11(2015·福建高考理科·T4)為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系,隨機調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭,得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表:收入x(萬元)8.28.610.011.311.9支出y(萬元)6.27.58.08.59.8根據(jù)上表

8、可得回歸直線方程=x+,其中=0.76,=-.據(jù)此估計,該社區(qū)一戶年收入為15萬元家庭的年支出為()A.11.4萬元B.11.8萬元C.12.0萬元D.12.2萬元【解題指南】樣本點的中心(,)一定在回歸直線上.【解析】選B.由題意得，,所以=8-0.76×10=0.4,所以=0.76x+0.4,把x=15代入得到=11.8.12. (2015·陜西高考理科·T2)某中學(xué)初中部共有110名教師,高中部共有150名教師,其性別比例如圖所示,則該校女教師的人數(shù)為()A.167B.137C.123D.93【解題指南】根據(jù)扇形統(tǒng)計圖可得初中部女教師所占比例為70%,高中部

9、女教師所占比例為40%,再用各自的總?cè)藬?shù)乘以所占的比例即可求得答案.【解析】選B.初中部女教師人數(shù)為110×70%=77,高中部女教師人數(shù)為150×40%=60,則該校女教師的人數(shù)為77+60=137,故B正確.13. (2015·陜西高考文科·T2)某中學(xué)初中部共有110名教師,高中部共有150名教師,其性別比例如圖所示,則該校女教師的人數(shù)為()A.93B.123C.137D.167【解題指南】根據(jù)扇形統(tǒng)計圖可得初中部女教師所占比例為70%,高中部女教師所占比例為40%,再用各自的總?cè)藬?shù)乘以所占的比例即可求得答案.【解析】選C.初中部女教師人數(shù)為110

10、×70%=77,高中部女教師人數(shù)為150×40%=60,則該校女教師的人數(shù)為77+60=137.14. (2015·湖北高考文科·T4)已知變量x和y滿足關(guān)系y=-0.1x+1,變量y與z正相關(guān),下列結(jié)論中正確的是()A.x與y正相關(guān),x與z負(fù)相關(guān)B.x與y正相關(guān),x與z正相關(guān)C.x與y負(fù)相關(guān),x與z負(fù)相關(guān)D.x與y負(fù)相關(guān),x與z正相關(guān)【解析】選C.因為變量x和y滿足關(guān)系y=-0.1x+1,其中-0.1<0,所以x與y成負(fù)相關(guān);又因為變量y與z正相關(guān),不妨設(shè)z=ky+b(k>0),則將y=-0.1x+1代入即可得到:z=k(-0.1x+1)+

11、b=-0.1kx+(k+b),所以-0.1k<0,所以x與z負(fù)相關(guān).二、填空題15(2015·湖北高考文科·T14)某電子商務(wù)公司對10000名網(wǎng)絡(luò)購物者2014年度的消費情況進行統(tǒng)計,發(fā)現(xiàn)消費金額(單位:萬元)都在區(qū)間0.3,0.9內(nèi),其頻率分布直方圖如圖所示.(1)直方圖中的a=.(2)在這些購物者中,消費金額在區(qū)間0.5,0.9內(nèi)的購物者的人數(shù)為.【解題指南】利用頻率和為1,求得a,由消費金額在區(qū)間0.5,0.9內(nèi)的頻率,求得消費金額在區(qū)間0.5,0.9內(nèi)的購物者的人數(shù).【解析】由頻率分布直方圖及頻率和等于1可得0.2×0.1+0.8×0.1

12、+1.5×0.1+2×0.1+2.5×0.1+a×0.1=1,解得a=3,消費金額在區(qū)間0.5,0.9內(nèi)的頻率為0.2×0.1+0.8×0.1+2×0.1+3×0.1=0.6,所以消費金額在區(qū)間0.5,0.9內(nèi)的購物者的人數(shù)為0.6×10000=6000.答案:(1)3(2)600016(2015·福建高考文科·T13)某校高一年級有900名學(xué)生,其中女生400名.按男女比例用分層抽樣的方法,從該年級學(xué)生中抽取一個容量為45的樣本,則應(yīng)抽取的男生人數(shù)為.【解題指南】首先計算出男生人數(shù),

13、再計算出男女比例,從而確定抽取男生人數(shù).【解析】由題意知,男生人數(shù)=900-400=500,所以抽取比例為男生女生=500400=54,樣本容量為45,所以抽取的男生人數(shù)為45×=25.答案:2517. (2015·江蘇高考·T2)已知一組數(shù)據(jù)4,6,5,8,7,6,那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.【解題指南】利用平均數(shù)的概念計算即可.【解析】,所以這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.答案:618. (2015·廣東高考文科·T12)已知樣本數(shù)據(jù)x1,x2,xn的均值=5,則樣本數(shù)據(jù)2x1+1,2x2+1,2xn+1的均值為.【解析】因為樣本數(shù)據(jù)x1,x2,xn的均值

14、=5,則樣本數(shù)據(jù)2x1+1,2x2+1,2xn+1的均值為2+1=2×5+1=11.答案:11三、解答題19. (2015·廣東高考文科·T17)某城市100戶居民的月平均用電量(單位:度),以160,180),180,200),200,220),220,240),240,260),260,280),280,300)分組的頻率分布直方圖如圖.(1)求直方圖中x的值.(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù).(3)在月平均用電量為220,240),240,260),260,280),280,300)的四組用戶中,用分層抽樣的方法抽取11戶居民,則月平均用電量在220,24

15、0)的用戶中應(yīng)抽取多少戶?【解析】(1)由(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)×20=1得:x=0.0075,所以直方圖中x的值是0.0075.(2)月平均用電量的眾數(shù)是因為，所以月平均用電量的中位數(shù)在內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為，由得：，所以月平均用電量的中位數(shù)是(2) 月平均用電量為的用戶有戶，月平均用電量為的用戶有戶，月平均用電量為的用戶有戶，月平均用電量為的用戶有戶，抽取比例，所以月平均用電量在的用戶中應(yīng)抽取戶。20. (2015·北京高考理科·T16)(13分)A,B兩組各有7位病人,他們服用某種藥物后的康復(fù)時間(單位:

16、天)記錄如下:A組:10,11,12,13,14,15,16B組:12,13,15,16,17,14,a假設(shè)所有病人的康復(fù)時間相互獨立,從A,B兩組隨機各選1人,A組選出的人記為甲,B組選出的人記為乙.(1)求甲的康復(fù)時間不少于14天的概率.(2)如果a=25,求甲的康復(fù)時間比乙的康復(fù)時間長的概率.(3)當(dāng)a為何值時,A,B兩組病人康復(fù)時間的方差相等?(結(jié)論不要求證明)【解題指南】(1)古典概型的概率計算.(2)由乙的康復(fù)時間分別求出對應(yīng)甲的康復(fù)時間,再求概率.(3)利用數(shù)據(jù)平移調(diào)整順序不影響方差可得結(jié)論.【解析】(1) 。(2)當(dāng)a=25時,假設(shè)乙的康復(fù)時間為12天,則符合題意的甲有13天,

17、14天,15天,16天,共4人;若乙的康復(fù)時間為13天,則符合題意的甲有14天,15天,16天,共3人;若乙的康復(fù)時間為14天,則符合題意的甲有15天,16天,共2人;若乙的康復(fù)時間為15天,則符合題意的甲有16天,共1人.當(dāng)乙的康復(fù)時間為其他值時,由于甲的最大康復(fù)時間為16天,均不符合題意.所以符合題意的甲、乙選擇方式共4+3+2+1=10種.因為甲、乙組合情況共種,又因為任何組合情況都是等可能的,故P(t甲>t乙)=.(3)a=11或a=18.21.(2015·新課標(biāo)全國卷理科·T18)(12分)某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度,從A,B兩地區(qū)分別隨機調(diào)查了20個

18、用戶,得到用戶對產(chǎn)品的滿意度評分如下:A地區(qū):6273819295857464537678869566977888827689B地區(qū):7383625191465373648293486581745654766579(1)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖,并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計算出具體值,得出結(jié)論即可).(2)根據(jù)用戶滿意度評分,將用戶的滿意度從低到高分為三個等級:滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意記事件C:“A地區(qū)用戶的滿意度等級高于B地區(qū)用戶的滿意度等級”,假設(shè)兩地區(qū)用戶的評價結(jié)果相互獨立,根據(jù)所給數(shù)據(jù)

19、,以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率,求C的概率.【解析】(1)兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖如圖.通過莖葉圖可以看出,A地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于B地區(qū)用戶滿意度評分的平均值;A地區(qū)用戶滿意度評分比較集中,B地區(qū)用戶滿意度評分比較分散.(2)記CA1表示事件:“A地區(qū)用戶的滿意度等級為滿意或非常滿意”;CA2表示事件:“A地區(qū)用戶的滿意度等級為非常滿意”;CB1表示事件:“B地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”;CB2表示事件:“B地區(qū)用戶的滿意度等級為滿意”;則CA1與CB1相互獨立,CA2與CB2相互獨立,CB1與CB2互斥,C=CB1CA1CB2CA2.P(C)=P(CB1CA1CB2

20、CA2)=P(CB1CA1)+P(CB2CA2)=P(CB1)P(CA1)+P(CB2)P(CA2),由所給數(shù)據(jù)得CA1,CA2,CB1,CB2的頻率分別為，故,.所以22.(2015·新課標(biāo)全國卷文科·T18)某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度,從A,B兩地區(qū)分別隨機調(diào)查了40個用戶,根據(jù)用戶對產(chǎn)品的滿意度評分得到A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖和B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表.A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表滿意度評分分組50,60)60,70)70,80)80,90)90,100頻數(shù)2814106(1)作出B地區(qū)用戶滿意度評分的

21、頻率分布直方圖,并通過此圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度.(不要求計算出具體值,給出結(jié)論即可)(2)根據(jù)用戶滿意度評分,將用戶的滿意度評分分為三個等級:滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意估計哪個地區(qū)的用戶的滿意度等級為不滿意的概率大,說明理由.【解析】(1)通過兩地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖可以看出,B地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于A地區(qū)用戶滿意度評分的平均值;B地區(qū)用戶滿意度評分比較集中,而A地區(qū)用戶滿意度評分比較分散.(2)A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大.記CA表示事件:“A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”;CB表示事件:“B地區(qū)

22、用戶的滿意度等級為不滿意”.由直方圖得P(CA)的估計值為(0.01+0.02+0.03)×10=0.6,P(CB)的估計值為(0.005+0.02)×10=0.25.所以A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大.23. (2015·廣東高考理科·T17)某工廠36名工人的年齡數(shù)據(jù)如下表.工人編號年齡工人編號年齡工人編號年齡工人編號年齡1401036192728342441131204329393401238214130434411339223731385331443233432426401545244233537451639253734378421738

23、26443549943183627423639(1)用系統(tǒng)抽樣法從36名工人中抽取容量為9的樣本,且在第一分段里用隨機抽樣法抽到的年齡數(shù)據(jù)為44,列出樣本的年齡數(shù)據(jù).(2)計算(1)中樣本的平均值和方差.(3)36名工人中年齡在-s與+s之間有多少人?所占的百分比是多少(精確到0.01%)?【解析】（1）由題條件知所抽樣本編號是一個首項為2，公差為4的等差數(shù)列，故其所有樣本編號依次為2,6,10,14,18,22,26,30,34，對應(yīng)樣本的年齡數(shù)據(jù)依次為44,40,36,43,36,37,44,43,37；（2）由（1）知可得其樣本的均值為，方差為: (3)由（2）知，所以，所以年齡在之間的

24、共有23人，所占百分比為：.24 （2015·重慶高考文科·17）隨著我國經(jīng)濟的發(fā)展，居民的儲蓄存款逐年增長.設(shè)某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣儲蓄存款（年底余額）如下表：年份20102011201220132014時間代號t12345儲蓄存款y(千億元)567810 (1)求關(guān)于的回歸方程；（2）用所求回歸方程預(yù)測該地區(qū)2015年的人民幣儲蓄存款.附：回歸方程中，【解題指南】（1）直接利用回歸系數(shù)公式求解即可，（2）利用回歸方程代入直接進行計算即可.【解析】（1）列表計算如下：11515226412337921448163255102550153655120這里又從而故所求回歸方程為

25、（2）將代入回歸方程可預(yù)測該地區(qū)2015年的人民幣儲蓄存款為（千億元）25.(2015·新課標(biāo)全國卷·理科·T19)(12分)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費,需了解年宣傳費x(單位:千元)對年銷售量y(單位:t)和年利潤z(單位:千元)的影響,對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i=1,2,8)數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.(xi-)2(wi-)2(xi-)(yi-)(wi-)(yi-)46.65636.8289.81.61 469108.8表中wi=,=wi.(1)根據(jù)散點圖判斷,y=a+bx與y=c+d哪一個適宜作為年銷售量y

26、關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程.(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x,y的關(guān)系為z=0.2y-x.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題:年宣傳費x=49時,年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少?年宣傳費x為何值時,年利潤的預(yù)報值最大?附:對于一組數(shù)據(jù)(u1,v1),(u2,v2),(un,vn),其回歸線v=+u的斜率和截距的最小二乘估計分別為:=,=-.【解析】(1)由散點圖的變化趨勢可以判斷,y=c+d適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型.(2)令w=,先建立y關(guān)于w的線性回歸方程.由于=-=563-68×6.8=100.6,所以y關(guān)于w的線性回歸方程為=100.6+68w,因此y關(guān)于x的回歸方程為=100.6+68.(3)由(2)知,當(dāng)x=49時,年銷售量y的預(yù)報值=100.6+68=576.6,年利潤z的預(yù)報值=576.6×0.2-49=66.32.根據(jù)(2)的結(jié)果知,年利潤z的預(yù)報值=0.2(10