2018版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章解析幾何9.3圓的方程理

1、第九章解析幾何 9.3 圓的方程理基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)知識(shí)梳理圓的定義與方程定義平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫做圓方程標(biāo)準(zhǔn)2 2 2(xa) + (yb) =r(r0)圓心(a,b)半徑為r一般2 2x+y+Dx+Ey+F= 0充要條件：Ci+E24F0一DE圓心坐標(biāo)：(一-,)半徑r=劉& +呂一 4F【知識(shí)拓展】1 確定圓的方程的方法和步驟確定圓的方程主要方法是待定系數(shù)法，大致步驟為(1) 根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；(2) 根據(jù)條件列出關(guān)于a,b，r或D E、F的方程組；(3) 解出a、b、r或D E F代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程.2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)和圓

2、的位置關(guān)系有三種.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2+ (yb)2=r2，點(diǎn)Mxo,yo)(1)點(diǎn)在圓上：(xoa)2+ (y。b)2=r2;22 2(3)點(diǎn)在圓內(nèi)：(xoa) + (y。一b) 0.(V)222 2點(diǎn)在圓外：(xoa) + (y。一b) r;32 2 .(4)方程x+ 2ax+y= 0 一 定表示圓.(x)若點(diǎn)Mxo,yo)在圓x3+y2+Dx+Ey+F= 0 外，則x0+y0+Dx+Eyo+F 0.(V)考點(diǎn)自測(cè)1.(教材改編)將圓x2+y2 2x- 4y+ 1 = 0 平分的直線是()A.x+y 1 = 0B.x+y+ 3= 0C.xy+ 1 = 0D.xy+ 3= 0答案 C解析圓

3、心是(1,2)，所以將圓心坐標(biāo)代入檢驗(yàn)選項(xiàng) C 滿足.2 22 .已知圓 C：(x 3) + (y 4) = 1 和兩點(diǎn)Am,0), 0m0)(m0)，若圓32D.(x 1) + (y 1) = 2答案 D解析 圓的半徑r= ,12+ 12= 2,A圓的方程為(x 1)2+ (y1)2= 2.C上存在點(diǎn)P,使得/APB=90， 貝A. 7B . 6 C . 5 D . 44答案則圓心C的坐標(biāo)為(3,4)，半徑r= 1,且|AB= 2m因?yàn)?APB=90,連接OP易知 IOP= 2lAB=m要求m的最大值，即求圓C上的點(diǎn)P到原點(diǎn)O的最大距離.因?yàn)?|OC= ”.疔 + 4 = 5,所以 |OPm

4、a= |OC+r= 6,即m的最大值為 6.3.(2015 北京)圓心為(1,1)且過(guò)原點(diǎn)的圓的方程是()A.(x 1)2+ (y 1)2= 12 2B.(x+ 1) + (y+ 1) = 122C.(x+ 1) + (y+ 1) = 24.(教材改編)圓C的圓心在x軸上，并且過(guò)點(diǎn)A 1,1)和B(1,3)，則圓C的方程為答案(x 2)2+y2= 10解析 設(shè)圓心坐標(biāo)為C(a,0),點(diǎn)A 1,1)和B(1,3)在圓C上，ICA=|CB,即 ta+ +1 = ；a + 9,解得a= 2,圓心為C(2,0),半徑 |CA=?+12+1 =10,圓C的方程為(x 2)2+y2= 10.5.(2016

5、 浙江)已知a R,方程ax+ (a+ 2)y+ 4x+ 8y+ 5a= 0 表示圓，則圓心坐標(biāo)是，半徑是_.答案(一 2, 4)5解析根據(jù)題意，畫(huà)出示意圖,5解析由已知方程表示圓，則a2=a+ 2,解得a= 2 或a= 1.當(dāng)a=2 時(shí)，方程不滿足表示圓的條件，故舍去.當(dāng)a= 1 時(shí)，原方程為x2+y2+ 4x+ 8y 5= 0,化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+ 2)2+ (y+ 4)2= 25,表示以(一 2, 4)為圓心，半徑為 5 的圓.題型分類深度剖析題型分類深度剖析題型一求圓的方程例 1 (1)(2016 天津)已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點(diǎn)M0, .5)在圓C上，且圓心到直線 2xy=

6、0 的距離為 45,則圓C的方程為_(kāi).52 2x y(2)(2015 課標(biāo)全國(guó)I) 一個(gè)圓經(jīng)過(guò)橢圓 16+ : = 1 的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 _ .2232225答案(1)(x 2) +y= 9(2)x 2 +y=-解析(1)因?yàn)閳AC的圓心在x軸的正半軸上，設(shè)C(a,0)，且a0,所以圓心到直線 2xy= 0 的距離d= = 455,6解得a= 2,所以圓C的半徑r= |CM=.4+ 5 = 3, 所以圓C的方程為(x 2)2+y2= 9.由題意知圓過(guò)(4,0) , (0,2) , (0， 2)三點(diǎn)， (4,0) , (0， 2)兩點(diǎn)的垂直平分線方程為y+ 1

7、 = 2(x 2),3i35令y=0，解得x=，圓心為(2，0 ,半徑為思維升華(1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫(xiě)出方程.(2)待定系數(shù)法1若已知條件與圓心(a, b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a,b, r的方程組，從而求出a, b,r的值；2若已知條件沒(méi)有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程， 依據(jù)已知條件列出關(guān)于D EF的方程組，進(jìn)而求出D E、F的值.總.!1莎I(2016 湖北八校聯(lián)考)已知圓C關(guān)于y軸對(duì)稱，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0)，且被x軸分成兩段弧，弧長(zhǎng)之比為1 : 2,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 _答案x2+ (y#)2=4解析圓C關(guān)于y

8、軸對(duì)稱，.可設(shè)C(0 ,b),題型二與圓有關(guān)的最值問(wèn)題2 2例 2 已知點(diǎn)(x,y)在圓(x 2) + (y+ 3) = 1 上.求x+y的最大值和最小值. 解 設(shè)t=x+y,貝 Uy= x+1,t可視為直線y= x+1在y軸上的截距， x + y 的最大值和最小值就是直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)直線縱截距的最大值和最小值，即直線與圓相切時(shí)在y軸上的截距.由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑,解得t= ,2 1 或t= ,2 1.x+y的最大值為 2 1，最小值為2 1.引申探究設(shè)圓C的半徑為r,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+ (yb)2=r2,43,依題意，得$1|b|=2,解得b=于是圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

9、|2 +22z.x+ (y士437i.在本例的條件下，求x的最大值和最小值.ZY解y可視為點(diǎn)（x,y）與原點(diǎn)連線的斜率，X的最大值和最小值就是與該圓有公共點(diǎn)的過(guò)原點(diǎn) 的直線斜率的最大值和最小值，即直線與圓相切時(shí)的斜率.設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線的方程為y=kx,由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，即|2kJ3|=1，解得k=- 2 + F 或k= 2.X的最大值為2 + 3 彳，最小值為2-3.2 .在本例的條件下，求 .x2+y2+ 2x 4y+ 5 的最大值和最小值.解x2+y2+ 2x 4y+ 5= .x+2+y22,求它的最值可視為求點(diǎn)（x,y）到定點(diǎn)（1,2）的距離的最值，可轉(zhuǎn)化為圓心 （

10、2 , 3）到定點(diǎn)（一 1,2）的距離與半徑的和或差.又圓心 到定點(diǎn)（一 1,2）的距離為.34, - X2+y2+ 2x4y+ 5 的最大值為34 + 1，最小值為，34 1.思維升華與圓有關(guān)的最值問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略（1）與圓有關(guān)的長(zhǎng)度或距離的最值問(wèn)題的解法.一般根據(jù)長(zhǎng)度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解.（2）與圓上點(diǎn)（x,y）有關(guān)代數(shù)式的最值的常見(jiàn)類型及解法形如u= 口型的最值問(wèn)題，可xa轉(zhuǎn)化為過(guò)點(diǎn)（a,b）和點(diǎn)（x,y）的直線的斜率的最值問(wèn)題；形如t=ax+by型的最值問(wèn)題， 可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線的截距的最值問(wèn)題；形如（xa）2+ （yb）2型的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)

11、（a,b）的距離平方的最值問(wèn)題.：丄山!泌- 已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程x2+y2 4x+ 1 = 0.求：（1） 丫的最大值和最小值；xyx的最小值；x2+y2的最大值和最小值.解（1）如圖，方程x2+y2 4x+ 1 = 0 表示以點(diǎn)（2,0）為圓心，以.3 為半徑的圓.yF0X8設(shè)y=k,即y=kx，則圓心(2,0)到直線y=kx的距離為半徑，即直線與圓相切時(shí)，斜率取得X最大值、最小值.設(shè)yx=b,貝 Uy=x+b,當(dāng)且僅當(dāng)直線y=x+b與圓切于第四象限時(shí)，在y軸上的截距b取最小值,即b= 2,故(yx)min= 2 6.(3)x2+y2是圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離的平方，故連接OC與圓交于B點(diǎn)，

12、并延長(zhǎng)交圓于C,貝 U(x2+y2)max= |OC|2= (2 + 西)2= 7+ 4 書(shū),(x2+y2)min=|OB2= (2 3)2= 7 4 3.題型三 與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題例 3 (2017 濰坊調(diào)研)已知圓x2+y2= 4 上一定點(diǎn)A(2,0),巳 1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P, Q為圓 上的動(dòng)點(diǎn).(1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程；若/PBQ=90,求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程.解(1)設(shè)AP的中點(diǎn)為Mx,y),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，P點(diǎn)坐標(biāo)為(2x 2,2y).因?yàn)镻點(diǎn)在圓x+y= 4 上,所以(2x 2) + (2y) = 4,故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x 1)2+y2= 1.設(shè)PQ的中點(diǎn)

13、為Nx,y)，在 RtPBQ中|PN= IBN.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接ON則ONL PQ所以 |OP2= ION2+1PN|2= |ON2+|BN2,所以x2+y2+ (x 1)2+ (y 1)2= 4.故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x2+y2xy 1 = 0.思維升華求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法(1)直接法，直接根據(jù)題目提供的條件列出方程；(2)定義法，根據(jù)圓、直線等定義列方程；由點(diǎn)到直線的距離公式，得|29幾何法，利用圓的幾何性質(zhì)列方程；代入法，找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式等.跟蹤訓(xùn)練3(2016 天津模擬)設(shè)定點(diǎn)M 3,4)，動(dòng)點(diǎn)N在圓x2+y2

14、=4 上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)M ON為兩邊作平行四邊形MON，求點(diǎn)P的軌跡.解 如圖所示，設(shè)Rx,y) ,Nxo,yo)，則線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為故 2=字，務(wù)寧.從而忙x+3，2222yo=y 4.2 2又N(x+ 3,y 4)在圓上，故(x+ 3) + (y 4) = 4.因此所求軌跡為圓：(x+ 3) + (y 4) = 4,思想與方法系列21利用幾何性質(zhì)巧設(shè)方程求半徑典例 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y=x2 6x+1 與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上，求圓C的方程.思想方法指導(dǎo)本題可采用兩種方法解答，即代數(shù)法和幾何法.(1) 一般解法(代數(shù)法)：可以求出曲線y=x2 6x+ 1 與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)，設(shè)

15、圓的方程為一 般式，代入點(diǎn)的坐標(biāo)求解析式.(2) 巧妙解法(幾何法)：利用圓的性質(zhì)，知道圓心一定在圓上兩點(diǎn)連線的垂直平分線上，從而設(shè)圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)式，簡(jiǎn)化計(jì)算，顯然幾何法比代數(shù)法的計(jì)算量小，因此平時(shí)訓(xùn)練多采用幾何法解題.規(guī)范解答|, yj,線段MN的中點(diǎn)坐,出尹.由于平行四邊形的對(duì)角線互相平分,但應(yīng)除去兩點(diǎn)9125, I 和卑，28(點(diǎn)P在直線OM上的情況).標(biāo)為10解 一般解法(代數(shù)法)曲線y=x2 6x+ 1 與y軸的交點(diǎn)為(0,1)，與x軸的交點(diǎn)為(3 + 2 2,0) , (3 22, 0)，設(shè)圓的方程是x+y+Dx+Ey+F= 0(D+E 4F0),111 +E+F= 0,則有 3

16、+ 2 22+D卄 2 2+F= 0,:-222+D3 - 22+F= 0,故圓的方程是x2+y2-6x 2y+ 1= 0.巧妙解法(幾何法)曲線y=x2 6x+ 1 與y軸的交點(diǎn)為(0,1)，與x軸的交點(diǎn)為(3 + 2 2,0) , (3 2 2, 0) 故可設(shè)C的圓心為(3 ,t)，則有 33+ (t 1)2= (22)2+t2,解得t= 1.則圓C的半徑為 32+t12= 3,所以圓C的方程為(x 3)2+ (y 1)2= 9.練出高分練出高分1. (2016 南昌檢測(cè))圓心在y軸上，且過(guò)點(diǎn)(3,1)的圓與x軸相切，則該圓的方程是()A.x2+y2+ 10y= 0B.x2+y2 10y=

17、 02 2 2 2C. x+y+ 10 x= 0D. x+y 10 x= 0答案 B解析 根據(jù)題意，設(shè)圓心坐標(biāo)為(0 ,r)，半徑為r,則 32+ (r 1)2=r2, 解得r= 5,可得圓的方程為x2+y210y= 0.2.(2016 昆明一模)方程|x| 1= , 1y12所表示的曲線是()A. 一個(gè)圓B.兩個(gè)圓C.半個(gè)圓D.兩個(gè)半圓答案 D3 .若直線ax+ 2by 2= 0(a0,b0)始終平分圓6,解得E= 2,F=1，解析由題意得x|12+|x| 1 0,X1即x 1,2 2+y= 1,或 1x+12+y2=1XW1.12故原方程表示兩個(gè)半圓.1 2x+y 4x 2y 8 = 0

18、的周長(zhǎng)，則a+的最小值為()A. 1 B . 5 C . 4 2 D . 3+2 2答案 D解析由題意知圓心C(2,1)在直線ax+ 2by 2 = 0 上,2a+ 2b 2= 0,整理得a+b= 1,1212b2ab2a-a+b=(a+b)(a+b)=3+a+K3+2:axb=3+2 2，b2al 0,2 29.已知D是由不等式組/所確定的平面區(qū)域， 則圓x+y=4 在區(qū)域D內(nèi)的弧|x+3y0長(zhǎng)為_(kāi) .圖中陰影部分所在圓心角0=a3所對(duì)的弧長(zhǎng)即為所求.1 1+ _2丁3tan0 =tan(a 3)=11=1,1 -x -2 3易知圖中兩直線的斜率分別為1 12、 3,得 tana1 12，t

19、an3= 3,解析作出可行域15得9 =n4，得弧長(zhǎng)I=9R=nnx2=-n(R為圓的半徑).10.(2016 岳陽(yáng)模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A 1,0) ,B(0 ,3) , q3,0)，動(dòng)點(diǎn)D滿足|面=i，則|6AT屜6D的最大值是_ .答案.7+1解析 設(shè)D(x,y)，由6D=(x 3,y)及| Ct?= 1 知(x 3)2+y2= 1,即動(dòng)點(diǎn)D的軌跡為以點(diǎn)C為圓心的單位圓，又OAF 血OD=( 1,0) + (0 ,3) + (x,y) = (x1,y+3),I OAF OBF OD=*；x1+y+：.3問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓(x 3)2+y2= 1 上的點(diǎn)與點(diǎn)F(1 , 3)間距離的

20、最大值.圓心 Q3,0)與點(diǎn)F(1 , 3)之間的距離為.32+0+ 32= 7, 故，x12+y+ 32的最大值為.7+ 1.11.已知圓C經(jīng)過(guò)F(4 , 2) ,Q 1,3)兩點(diǎn)，且在y軸上截得的線段的長(zhǎng)為4.3,半徑小于 5.(1) 求直線PQ與圓C的方程；若直線I/PQ且I與圓C交于點(diǎn)A,B,且以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線l的方程.解(1)由題意知直線PQ的方程為x+y 2 = 0.設(shè)圓心Q a,b),半徑為r,13由于線段PQ的垂直平分線的方程是y 2=x ,即y=x 1,所以b=a 1.由圓C在y軸上截得的線段的長(zhǎng)為4 3 ,2 2知r= 12 +a,可得(a+ 1)2

21、+ (b 3)2= 12+a2,由得a= 1 ,b= 0 或a= 5 ,b= 4.當(dāng)a= 1,b= 0 時(shí)，r2= 13 ,滿足題意，當(dāng)a= 5 ,b= 4 時(shí)，r2= 37 ,不滿足題意.故圓C的方程為(x 1)2+y2= 13.(2) 設(shè)直線l的方程為y= x+ nmm 2),16A(X1,m-X”，B(x2,m-X2).由題意可知OAL OB即OA-OB=0 ,X1X2+ (m-xi)( m-X2) = 0,化簡(jiǎn)得 2xiX2-mxi+X2)+m= 0.y=-x+m由*22得X+y= 132 22x 2(1)x+m 12 = 0,m-12X1+X2=m+ 1,X1X2=2,2 2代入，得m-12-m-(1 +m+m= 0,.m= 4 或 m=- 3，經(jīng)檢驗(yàn)都滿足題意，.直線I的方程為x+y- 4 = 0 或x+y+ 3= 0.12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓P在x軸上截得線段長(zhǎng)為 2,2,在y軸上截得線段長(zhǎng)為 2 3.(1)求圓心P的軌跡方程；若P點(diǎn)到直線y=x的距離為 ，