浙江省杭州市三墩中學(xué)九年級(jí)數(shù)學(xué)《方程（組）及其應(yīng)用》教案 人教新課標(biāo)版

1、三、方程（組）及其應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)：1 掌握本部分的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖基本概念的掌握要到位，不僅要理解更要會(huì)運(yùn)用，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)要求學(xué)生先觀察后動(dòng)手，并保證較高的正確率。2 讓學(xué)生自己總結(jié)交流所學(xué)內(nèi)容，發(fā)展學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)能力和合作交流能力情感目標(biāo)： 通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的教學(xué)，讓學(xué)生初步認(rèn)識(shí)體會(huì)數(shù)學(xué)和社會(huì)，生活的聯(lián)系，同時(shí)滲透環(huán)境保護(hù)為背景的問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生熱愛(ài)生活，熱愛(ài)社會(huì)環(huán)境保護(hù)事業(yè)，決心為實(shí)現(xiàn)和諧社會(huì)而學(xué)好數(shù)學(xué)的思想；同時(shí)，通過(guò)理論聯(lián)系實(shí)際的方式，通過(guò)知識(shí)的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生熱心環(huán)境保護(hù)和節(jié)約資源思想觀點(diǎn)。通過(guò)學(xué)生自己歸納總結(jié)本部分內(nèi)容，使他們?cè)趧?dòng)手操作方面，探索研究方面，語(yǔ)言表達(dá)方面，分類討論、歸納等方面都有所發(fā)展

2、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：重視情景（信息）問(wèn)題的分析，增強(qiáng)學(xué)生的情景分析或信息提取能力，增強(qiáng)學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)解決情景問(wèn)題能力即建模能力難點(diǎn)：提高方程（組），不等式，函數(shù)，直角三角形，相似三角形等知識(shí)的綜合運(yùn)用能力，力爭(zhēng)做到相互聯(lián)系，融會(huì)貫通方程（組）的應(yīng)用二元二次方程組實(shí)際問(wèn)題方 程一元一次方程二元一次方程三元一次方程一元二次方程二元二次方程分 式 方 程二元一次方程組三元一次方程組 教學(xué)過(guò)程：【知識(shí)回顧】1、 知識(shí)脈絡(luò)2、基礎(chǔ)知識(shí)方程的有關(guān)概念含有未知數(shù)的等式叫做方程能使方程兩邊的值相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解，只含有一個(gè)未知數(shù)的方程的解，也叫做根求方程的解的過(guò)程叫做解方程一元一次方程只含有一個(gè)未

3、知數(shù)，且未知項(xiàng)的次數(shù)是1的整式方程叫做一元一次方程，它的標(biāo)準(zhǔn)形式是 一元一次方程的解法二元一次方程（組）含有兩個(gè)未知數(shù)，且未知項(xiàng)的次數(shù)都是1的整式方程，叫做二元一次方程由幾個(gè)方程所組成的一組方程叫做方程組方程組里各個(gè)方程的公共解叫做這個(gè)方程組的解求方程組的解的過(guò)程叫做解方程組含有兩個(gè)未知數(shù)，且未知項(xiàng)的次數(shù)都是1，由這樣的幾個(gè)整式方程所組成的方程組叫做二元一次方程組二元一次方程組的解法其基本思想是消元其基本方法是代入消元法和加減消元法三元一次方程（組）含有三個(gè)未知數(shù)，且未知項(xiàng)的次數(shù)都是1的整式方程，叫做三元一次方程含有三個(gè)未知數(shù)，且未知項(xiàng)的次數(shù)都是1，由這樣的幾個(gè)整式方程所組成的方程組叫做三元一

4、次方程組三元一次方程組的解法其基本思想仍是消元其基本方法仍是代入法和加減法一元二次方程只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程它的一般形式為(是已知數(shù)，)，其中分別叫做二次項(xiàng)，一次項(xiàng)；分別叫做二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)一元二次方程的解法.其基本思想是降次其常用方法:直接開(kāi)平方法、配方法、因式分解法、公式法、十字相乘法一元二次方程(是已知數(shù)，)的根的判別式（）：()當(dāng)時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；()當(dāng)時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；()當(dāng)時(shí)，一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根以上結(jié)論，反之亦成立一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）：若一元二次方程(是已知數(shù)，)的

5、兩根為、，則二元二次方程組（一個(gè)二元一次方程、一個(gè)二元二次方程）含有兩個(gè)未知數(shù)，且未知項(xiàng)的最高次數(shù)為2，由這樣的幾個(gè)整式方程所組成的方程組叫做二元二次方程組二元二次方程組的解法其基本思想是消元、降次其方法主要是代入消元法分式方程分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程分式方程的解法其基本思想是將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程其方法是運(yùn)用等式性質(zhì)在方程兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母解分式方程必須要驗(yàn)根列方程（組）解應(yīng)用題的一般步驟：審清題意；找出等量關(guān)系；設(shè)出直（間）接未知數(shù)；列出方程（組）；解方程（組）；驗(yàn)方程（組）的根；答出完整的語(yǔ)句3、能力要求例1 解二元一次方程組和三元一次方程組： （1） （2）【分析】(1)

6、因?yàn)榉匠讨械牡南禂?shù)為1，所以應(yīng)把方程變形為，然后把它代入方程求出后再求即可（2）三個(gè)未知數(shù)的系數(shù)中最簡(jiǎn)單的系數(shù)是的系數(shù)，故考慮先消去，而消去的方法有+；+×2；×2，我們選擇+和+×2，消去同一個(gè)未知數(shù)，就可以得到關(guān)于與的二元一次方程組，然后解此二元一次方程組【解】(1) 由，得 將代入,得 即 將代入,得 所以原方程組的解是（2）+，得 即 +×2，得 與組成方程組，解這個(gè)方程組得 把，代入，得 所以原方程組的解是【說(shuō)明】本題主要考查學(xué)生的計(jì)算能力教師在復(fù)習(xí)時(shí)要加強(qiáng)計(jì)算能力的培養(yǎng)，為解決綜合題中的計(jì)算打好基礎(chǔ)該題體現(xiàn)了化歸思想方法請(qǐng)學(xué)生嘗試用其它消元方

7、法解這兩個(gè)方程組，并進(jìn)行比較例2 解一元二次方程和二元二次方程組：（1）（2） （3）【分析】（1）解一元二次方程應(yīng)考慮因式分解法，十字相乘法，公式法，配方法等方法本題通過(guò)嘗試，選用公式法較為適宜（2）該題的等式兩邊有相同的式子，應(yīng)移項(xiàng)后提公因式；而不能直接在等號(hào)兩邊除以，否則，方程將失根（3）題中方程是二元一次方程，把它變形為，并把它代入方程，可得到關(guān)于的一元二次方程【解】(1) 原方程中 （2）移項(xiàng)，提取公因式，得 或(3) 由，得 把代入，得 即 解之得 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以原方程組的解是【說(shuō)明】本題考查了一元二次方程和二元二次方程組的解法和計(jì)算能力；該題不但考查了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化（消元、降次）思

8、想，而且還溝通了二次函數(shù)中的問(wèn)題，如：求拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)等問(wèn)題例3 解分式方程：（1）（2）【分析】在確定最簡(jiǎn)公分母前一般先把方程中各分式的分子分母按未知數(shù)降冪排列，（1）的最簡(jiǎn)公分母是，（2）的最簡(jiǎn)公分母是分式方程可轉(zhuǎn)化為一元一次方程或一元二次方程【解】（1）原方程變形為方程兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母，約去分母，得 解這個(gè)方程得 檢驗(yàn)：把代入最簡(jiǎn)公分母，得 是原方程的增根所以原方程無(wú)解（2）原方程變形為方程兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母，約去分母，得 整理得 解這個(gè)方程得 經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根；是原方程的增根所以原方程的根是【說(shuō)明】解分式方程的關(guān)鍵在于確定正確的最簡(jiǎn)公分母和檢驗(yàn)值

9、得注意的是在去分母時(shí)不要遺漏沒(méi)有分母的項(xiàng)該題考查了化歸思想，教學(xué)時(shí)應(yīng)將這種數(shù)學(xué)思想滲透給學(xué)生例4已知：是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，求的值【分析】題中有條件：是方程的兩根；對(duì)此條件的聯(lián)想：根的定義，根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系等；題中要求的值，應(yīng)列出關(guān)于的關(guān)系式【解】因是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，故 設(shè)所以 整理得 解之得 當(dāng)時(shí)，分別都大于m的值1或5例5 為慶?！傲弧眱和?jié)，某市中小學(xué)統(tǒng)一組織文藝匯演，甲、乙兩所學(xué)校共92人（其中甲校人數(shù)多于乙校人數(shù)，且甲校人數(shù)不夠90人），準(zhǔn)備統(tǒng)一購(gòu)買服裝參加演出，下面是某服裝廠給出的演出服裝的價(jià)格表：購(gòu)買服裝的套數(shù)1套至45套46套至90套91套及以上每套

10、服裝的價(jià)格 60元 50元 40元如果兩所學(xué)校分別單獨(dú)購(gòu)買服裝，一共應(yīng)付5000元（1）如果甲、乙兩校聯(lián)合起來(lái)購(gòu)買服裝，那么比各自購(gòu)買服裝共可以節(jié)省多少錢(qián)？（2）甲、乙兩所學(xué)校各有多少學(xué)生準(zhǔn)備參加演出？（3）如果甲校有10名同學(xué)抽調(diào)去參加書(shū)法繪畫(huà)比賽而不能參加演出，請(qǐng)你為兩所學(xué)校設(shè)計(jì)一種最省錢(qián)的購(gòu)買服裝方案【分析】（1）由于甲、乙兩校聯(lián)合起來(lái)購(gòu)買92套服裝，因此每套服裝的價(jià)格為40元（2）由于甲、乙兩校共92人，甲校人數(shù)多于乙校人數(shù)，因此甲校人數(shù)多于46人；又由于甲校人數(shù)不夠90人，因此甲校應(yīng)按每套50元購(gòu)買，乙校應(yīng)按每套60元購(gòu)買（3）利用（2）的結(jié)果分別討論各自購(gòu)買和聯(lián)合購(gòu)買的服裝款；由于

11、91×4090×50，即按每套40元購(gòu)買時(shí)的服裝款有可能比按每套50元購(gòu)買時(shí)的服裝款少，因此，還需與按每套40元購(gòu)買時(shí)的服裝款比較【解】（1）由題意得500092×40=50003680=1320（元）即兩校聯(lián)合起來(lái)購(gòu)買服裝比各自購(gòu)買服裝共可省1320元（2）設(shè)甲、乙兩所學(xué)校分別有名，名學(xué)生準(zhǔn)備參加演出由題意得： 解得：答：甲、乙兩所學(xué)校分別有52名，40名學(xué)生準(zhǔn)備參加演出（3）因?yàn)榧仔Ｓ?0人不能參加演出，所以甲校有5210=42人參加演出若兩校各自購(gòu)買服裝，則需要42×60+40×60=4920（元）；若兩校聯(lián)合起來(lái)購(gòu)買服裝，則需要50&#

12、215;（42+40）=4100（元），此時(shí)比各自購(gòu)買服裝可以節(jié)約49204100=820（元）；但如果兩校聯(lián)合購(gòu)買91套服裝只需40×91=3640（元），此時(shí)又比聯(lián)合購(gòu)買每套50元的服裝可節(jié)約41003640=460（元）所以最省錢(qián)的買服裝方案是兩校聯(lián)合購(gòu)買91套服裝（即比實(shí)際人數(shù)多購(gòu)買9套）例6 已知：如圖，矩形ABCD中，AD=a，DC=b在AB上找一點(diǎn)E，使E點(diǎn)與C、D的連線將此矩形分成的三個(gè)三角形相似，設(shè)AE= x問(wèn)：這樣的點(diǎn)E是否存在?若存在，這樣的點(diǎn)E有幾個(gè)?請(qǐng)說(shuō)明理由【分析】要使RtADE, RtBEC, ECD彼此相似，點(diǎn)E必須滿足AED+BEC=90°,為此，可設(shè)在AB上存在滿足條件的點(diǎn)E使得RtADE RtBEC即可解決【解】依題意，要使分成的三個(gè)三角形相似，則AED+BEC=90°，而B(niǎo)EC+ECB=90°，DCAEB即AED=ECB，則ADEBEC整理得：而當(dāng)即時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)解，即符合條件的點(diǎn)E不存在當(dāng)即時(shí)，方程