北京四中高中數(shù)學(xué) 奇偶性提高知識講解 新人教A版必修1

1、函數(shù)的奇偶性 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解函數(shù)的奇偶性定義；2.會利用圖象和定義判斷函數(shù)的奇偶性；3.掌握利用函數(shù)性質(zhì)在解決有關(guān)綜合問題方面的應(yīng)用.【要點梳理】要點一、函數(shù)的奇偶性概念及判斷步驟1函數(shù)奇偶性的概念偶函數(shù)：若對于定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)稱為偶函數(shù).奇函數(shù)：若對于定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)稱為奇函數(shù).要點詮釋：（1）奇偶性是整體性質(zhì)；（2）x在定義域中，那么-x在定義域中嗎？-具有奇偶性的函數(shù)，其定義域必定是關(guān)于原點對稱的；（3）f(-x)=f(x)的等價形式為：， f(-x)=-f(x)的等價形式為：；（4）由定義不

2、難得出若一個函數(shù)是奇函數(shù)且在原點有定義，則必有f(0)=0；（5）若f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則必有f(x)=0.2.奇偶函數(shù)的圖象與性質(zhì)（1）如果一個函數(shù)是奇函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點為對稱中心的中心對稱圖形；反之，如果一個函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點為對稱中心的中心對稱圖形，則這個函數(shù)是奇函數(shù).（2）如果一個函數(shù)為偶函數(shù)，則它的圖象關(guān)于軸對稱；反之，如果一個函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，則這個函數(shù)是偶函數(shù).3.用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟（1）求函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，若不關(guān)于原點對稱，則該函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，若關(guān)于原點對稱，則進行下一步；（2）結(jié)合函數(shù)的定

3、義域，化簡函數(shù)的解析式；（3）求，可根據(jù)與之間的關(guān)系，判斷函數(shù)的奇偶性.若=-，則是奇函數(shù)；若=，則是偶函數(shù)；若，則既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；若且=-，則既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)要點二、判斷函數(shù)奇偶性的常用方法（1）定義法：若函數(shù)的定義域不是關(guān)于原點對稱，則立即可判斷該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；若函數(shù)的定義域是關(guān)于原點對稱的，再判斷與之一是否相等.（2）驗證法：在判斷與的關(guān)系時，只需驗證=0及是否成立即可.（3）圖象法：奇（偶）函數(shù)等價于它的圖象關(guān)于原點（軸）對稱.（4）性質(zhì)法：兩個奇函數(shù)的和仍為奇函數(shù)；兩個偶函數(shù)的和仍為偶函數(shù)；兩個奇函數(shù)的積是偶函數(shù)；兩個偶函數(shù)的積是偶函數(shù)；一個奇函數(shù)與

4、一個偶函數(shù)的積是奇函數(shù).（5）分段函數(shù)奇偶性的判斷判斷分段函數(shù)的奇偶性時，通常利用定義法判斷.在函數(shù)定義域內(nèi)，對自變量的不同取值范圍，有著不同的對應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)叫做分段函數(shù).分段函數(shù)不是幾個函數(shù)，而是一個函數(shù).因此其判斷方法也是先考查函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，然后判斷與的關(guān)系.首先要特別注意與的范圍，然后將它代入相應(yīng)段的函數(shù)表達式中，與對應(yīng)不同的表達式，而它們的結(jié)果按奇偶函數(shù)的定義進行比較.要點三、關(guān)于函數(shù)奇偶性的常見結(jié)論奇函數(shù)在其對稱區(qū)間a,b和-b，-a上具有相同的單調(diào)性，即已知是奇函數(shù)，它在區(qū)間a,b上是增函數(shù)（減函數(shù)），則在區(qū)間-b，-a上也是增函數(shù)（減函數(shù)）；偶函數(shù)在其對稱區(qū)

5、間a,b和-b，-a上具有相反的單調(diào)性，即已知是偶函數(shù)且在區(qū)間a,b上是增函數(shù)（減函數(shù)），則在區(qū)間-b，-a上也是減函數(shù)（增函數(shù)）.【典型例題】類型一、判斷函數(shù)的奇偶性例1. 判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)； (2)f(x)=x2-4|x|+3 ；(3)f(x)=|x+3|-|x-3|； (4)； (5)； (6)【思路點撥】利用函數(shù)奇偶性的定義進行判斷.【答案】（1）非奇非偶函數(shù)；（2）偶函數(shù)；（3）奇函數(shù)；（4）奇函數(shù)；（5）奇函數(shù)；（6）奇函數(shù)【解析】(1)f(x)的定義域為，不關(guān)于原點對稱，因此f(x)為非奇非偶函數(shù)； (2)對任意xR，都有-xR，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(

6、x)，則f(x)=x2-4|x|+3為偶函數(shù) ；(3)xR，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，f(x)為奇函數(shù)；(4)，f(x)為奇函數(shù)；(5)xR，f(x)=-x|x|+x f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，f(x)為奇函數(shù)；(6)，f(x)為奇函數(shù).【總結(jié)升華】判定函數(shù)奇偶性容易失誤是由于沒有考慮到函數(shù)的定義域.函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的前提條件，因此研究函數(shù)的奇偶性必須“堅持定義域優(yōu)先”的原則，即優(yōu)先研究函數(shù)的定義域，否則就會做無用功.如在本例（5）中若不研究定義域，在去掉的絕對值符號時就十分麻煩

7、.舉一反三：【變式1】判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】（1）奇函數(shù)；（2）偶函數(shù)；（3）非奇非偶函數(shù)；（4）奇函數(shù)【解析】(1)的定義域是，又，是奇函數(shù)（2）的定義域是，又，是偶函數(shù)（3），為非奇非偶函數(shù)（4）任取x>0則-x<0，f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)任取x<0，則-x>0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)x=0時，f(0)=-f(0) xR時，f(-x)=-f(x) f(x)為奇函數(shù).【高清課堂：函數(shù)的奇偶性3

8、56732例2（1）】【變式2】已知f(x)，g(x)均為奇函數(shù)，且定義域相同，求證：f(x)+g(x)為奇函數(shù)，f(x)·g(x)為偶函數(shù).證明：設(shè)F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)則F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-f(x)+g(x)=-F(x)G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·-g(x)=f(x)·g(x)=G(x)f(x)+g(x)為奇函數(shù)，f(x)·g(x)為偶函數(shù).【高清課堂：函數(shù)的奇偶性356732例2（2）】【變式3】設(shè)函數(shù)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇

9、函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是 （ ）.A+|g(x)|是偶函數(shù) B-|g(x)|是奇函數(shù)C| +g(x)是偶函數(shù) D|- g(x)是奇函數(shù)【答案】A例2.已知函數(shù)，若對于任意實數(shù)都有，判斷的奇偶性.【答案】奇函數(shù)【解析】因為對于任何實數(shù)，都有，可以令為某些特殊值，得出.設(shè)則，.又設(shè)，則，是奇函數(shù).【總結(jié)升華】判斷抽象函數(shù)的單調(diào)性，可用特殊值賦值法來求解.在這里，由于需要判斷與之間的關(guān)系，因此需要先求出的值才行.舉一反三：【變式1】 已知函數(shù)，若對于任意實數(shù)，都有，判斷函數(shù)的奇偶性.【答案】偶函數(shù)【解析】令得，令得由上兩式得：，即是偶函數(shù).類型二、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用(求值，求解析式，與單調(diào)性結(jié)合)例

10、3. f(x)，g(x)均為奇函數(shù)，在上的最大值為5，則在（-）上的最小值為 【答案】 -1【解析】考慮到均為奇函數(shù)，聯(lián)想到奇函數(shù)的定義，不妨尋求與的關(guān)系+= ， 當(dāng)時， 而， 在上的最小值為-1 【總結(jié)升華】本例很好地利用了奇函數(shù)的定義，其實如果仔細(xì)觀察還可以發(fā)現(xiàn)也是奇函數(shù)，從這個思路出發(fā)，也可以很好地解決本題過程如下：時，的最大值為5，時的最大值為3，時的最小值為-3，時，的最小值為-3+2=-1舉一反三：【變式1】已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).【答案】-26【解析】法一：f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=

11、-40-8a+2b=108a-2b=-50 f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26法二：令g(x)=f(x)+8易證g(x)為奇函數(shù)g(-2)=-g(2) f(-2)+8=-f(2)-8f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.【總結(jié)升華】本題要會對已知式進行變形，得出f(x)+8= x5+ax3-bx為奇函數(shù)，這是本題的關(guān)鍵之處，從而問題便能迎刃而解.例4. 已知是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，求的解析式【答案】【解析】是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時， =又奇函數(shù)在原點有定義，【總結(jié)升華】若奇函數(shù)在處有意義，則必有，即它的圖象必過原點（0，0）舉一反三：【

12、高清課堂：函數(shù)的奇偶性 356732 例3】【變式1】（1）已知偶函數(shù)的定義域是R，當(dāng)時，求的解析式.（2）已知奇函數(shù)的定義域是R，當(dāng)時，求的解析式.【答案】（1）；（2）例5. 定義域在區(qū)間2，2上的偶函數(shù)，當(dāng)x0時，是單調(diào)遞減的，若成立，求m的取值范圍【思路點撥】根據(jù)定義域知1m，m1，2，但是1m，m在2，0，0，2的哪個區(qū)間內(nèi)尚不明確，若展開討論，將十分復(fù)雜，若注意到偶函數(shù)的性質(zhì)：，可避免討論【答案】【解析】由于為偶函數(shù)，所以，因為x0時，是單調(diào)遞減的，故，所以，解得故m的取值范圍是【總結(jié)升華】在解題過程中抓住偶函數(shù)的性質(zhì)，將1m，m轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，避免了對由于單調(diào)性不同導(dǎo)致1m

13、與m大小不明確的討論，從而使解題過程得以優(yōu)化另外，需注意的是不要忘記定義域類型三、函數(shù)奇偶性的綜合問題例6. 已知是偶函數(shù)，且在0，+）上是減函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間【思路點撥】本題考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求法。復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性共同決定，即“同增異減”?！敬鸢浮?，1和（，1【解析】 是偶函數(shù)，且在0，+）上是減函數(shù)，在（，0上是增函數(shù)設(shè)u=1x2，則函數(shù)是函數(shù)與函數(shù)u=1x2的復(fù)合函數(shù)當(dāng)0x1時，u是減函數(shù)，且u0，而u0時，是減函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，可得是增函數(shù)當(dāng)x1時，u是增函數(shù)，且u0，而u0時，是增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，可得是增函數(shù)同理可得當(dāng)1x0或

14、x1時，是減函數(shù)所求的遞增區(qū)間為0，1和（，1【總結(jié)升華】（1）函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合問題主要有兩類：一類是兩個性質(zhì)交融在一起（如本例），此時要充分利用奇偶函數(shù)的圖象的對稱性，從而得到其對稱區(qū)間上的單調(diào)性；另一類是兩個性質(zhì)簡單組合，此時只需分別利用函數(shù)的這兩個性質(zhì)解題（2）確定復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性比較困難，也比較容易出錯確定x的取值范圍時，必須考慮相應(yīng)的u的取值范圍本例中，x1時，u仍是減函數(shù)，但此時u0，不屬于的減區(qū)間，所以不能取x1，這是應(yīng)當(dāng)特別注意的例7. 設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f(x)=x2+|x-a|+1，xR，試討論f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值.【思路點撥】對a進行討論，把絕對

15、值去掉，然后把f(x)轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)求最值問題?！敬鸢浮慨?dāng)a=0時，函數(shù)為偶函數(shù)；當(dāng)a0時，函數(shù)為非奇非偶函數(shù).當(dāng).【解析】當(dāng)a=0時，f(x)=x2+|x|+1，此時函數(shù)為偶函數(shù)；當(dāng)a0時，f(x)=x2+|x-a|+1，為非奇非偶函數(shù).(1)當(dāng)時，且上單調(diào)遞增，上的最小值為f(a)=a2+1.(2)當(dāng)時，上單調(diào)遞減，上的最小值為上的最小值為綜上：.舉一反三：【變式1】 判斷的奇偶性【答案】當(dāng)時，函數(shù)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；當(dāng)時，函數(shù)是奇函數(shù)【解析】對進行分類討論若，則，定義域關(guān)于原點對稱，函數(shù)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)當(dāng)時，是奇函數(shù)綜上，當(dāng)時，函數(shù)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；當(dāng)時，函數(shù)是奇函數(shù)例8

16、. 對于函數(shù)，若存在x0R，使成立，則稱點（x0，x0）為函數(shù)的不動點（1）已知函數(shù)有不動點（1，1），（3，3），求a，b的值；（2）若對于任意的實數(shù)b，函數(shù)總有兩個相異的不動點，求實數(shù)a的取值范圍；（3）若定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)存在（有限）n個不動點，求證：n必為奇數(shù)【答案】（1）a=1，b=3；（2）（0，1）；（3）略【解析】 （1）由已知得x=1和x=3是方程ax2+bxb=x的根，由違達定理a=1，b=3（2）由已知得：ax2+bxb=x（a0）有兩個不相等的實數(shù)根，1=(b1)2+4ab0對于任意的實數(shù)b恒成立即b2+(4a2)b+10對于任意的實數(shù)b恒成立也就是函數(shù)的圖象與橫軸無交點又二次函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線，從而2=(4a2)24