一元三次方程

1、一元三次方程、一元四次方程、一元五次以上方程一元三次方程求根公式:以下是傳統(tǒng)解法一元二次ax2 +bx+c=0可用求根公式x= 求解，它是由方程系數(shù)直接把根表示出來的公式。這個(gè)公式早在公元9世紀(jì)由中亞細(xì)亞的阿爾花拉子模給出。南宋數(shù)學(xué)家秦九韶至晚在1247 年就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)一元三次方程的求根公式，歐洲人在400 多年后才發(fā)現(xiàn)，但在中國的課本上這個(gè)公式仍是以那個(gè)歐洲人的名字來命名的。 （數(shù)學(xué)九章等）一元三次方程ax3 +bx2 +cx+d=0的求根公式是1545年由意大利的卡當(dāng)發(fā)表在關(guān)于代數(shù)的大法一書中，人們就把它叫做“卡當(dāng)公式”?？墒鞘聦?shí)上，發(fā)現(xiàn)公式的人并不是卡當(dāng)本從，而是塔塔利亞（Tartagli

2、a N.,約14991557）.發(fā)現(xiàn)此公式后，曾據(jù)此與許多人進(jìn)行過解題競(jìng)賽，他往往是勝利者，因而他在意大利名聲大震。醫(yī)生兼數(shù)學(xué)家卡當(dāng)?shù)弥麃喛偸谦@勝的消息后，就千方百計(jì)地找塔塔利亞探聽他的秘密。當(dāng)時(shí)學(xué)者們通常不急于把自己所掌握的秘密向周圍的人公開，而是以此為秘密武器向別人挑戰(zhàn)比賽，或等待懸賞應(yīng)解，以獲取獎(jiǎng)金。盡管卡當(dāng)千方百計(jì)地想探聽塔塔利亞的秘密，但是在很長(zhǎng)時(shí)間中塔塔利亞都守口如瓶?？墒呛髞?，由于卡當(dāng)一再懇切要求，而且發(fā)誓對(duì)此保守秘密，于是塔塔利亞在1539年把他的發(fā)現(xiàn)寫成了一首語句晦澀的詩告訴了卡當(dāng)，但是并沒有給出詳細(xì)的證明。卡當(dāng)并沒有信守自己的誓言，1545年在其所著重要的藝術(shù)一書中向

3、世人公開了這個(gè)解法。他在此書中寫道：這一解法來自于一位最值得尊敬的朋友-布里西亞的塔塔利亞。塔塔利亞在我的懇求之下把這一方法告訴了我，但是他沒有給出證明。我找到了幾種證法。證法很難，我把它敘述如下。從此，人們就把一元三次方程的求根公式稱為卡當(dāng)公式。塔塔利亞知道卡當(dāng)把自己的秘密公之于眾后，怒不可遏。按照當(dāng)時(shí)人們的觀念，卡當(dāng)?shù)淖龇o異于背叛，而關(guān)于發(fā)現(xiàn)法則者是誰的附筆只能被認(rèn)為是一種公開的侮辱。于是塔塔利亞與卡當(dāng)在米蘭市的教堂進(jìn)行了一場(chǎng)公開的辯論。許多資料都記述過塔塔利亞與卡當(dāng)在一元三次方程求根公式問題上的爭(zhēng)論，可信的是，名為卡當(dāng)公式的一元三次方程的求解方法，確實(shí)是塔塔利亞發(fā)現(xiàn)的；卡當(dāng)沒有遵守誓言

4、，因而受到塔塔利亞及許多文獻(xiàn)資料的指責(zé)，卡當(dāng)錯(cuò)有應(yīng)得，但是卡當(dāng)在公布這一解法時(shí)并沒有把發(fā)現(xiàn)這一方法的功勞歸于自己，而是如實(shí)地說明了這是塔塔利亞的發(fā)現(xiàn)，所以算不上剽竊；而且證明過程是卡當(dāng)自己給出的，說明卡當(dāng)也做了工作。卡當(dāng)用自己的工作對(duì)塔塔利亞泄露給他的秘密加以補(bǔ)充，違背誓言，把秘密公之于世，加速了一元三次方程求根公式的普及和人類探索一元n次方程根式解法的進(jìn)程。不過，公式的名稱，還是應(yīng)該稱為方塔納公式或塔塔利亞公式；稱為卡當(dāng)公式是歷史的誤會(huì)。一元三次方程應(yīng)有三個(gè)根。塔塔利亞公式給出的只是一個(gè)實(shí)根。又過了大約200年后，隨著人們對(duì)虛數(shù)認(rèn)識(shí)的加深，到了1732年，才由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉找到了一元三次方程

5、三個(gè)根的完整的表達(dá)式。塔爾塔利亞是意大利人，出生于1500年。他12歲那年，被入侵的法國兵砍傷了頭部和舌頭，從此說話結(jié)結(jié)巴巴，人們就給他一個(gè)綽號(hào)“塔爾塔利亞”(在意大利語中，這是口吃的意思)，真名反倒少有人叫了，他自學(xué)成才，成了數(shù)學(xué)家，宣布自己找到了三次方程的的解法。有人聽了不服氣，來找他較量，每人各出30道題，由對(duì)方去解。結(jié)果，塔爾塔利亞30道三次方程的解全做了出來，對(duì)方卻一道題也沒做出來。塔爾塔利亞大獲全勝。這時(shí)，意大利數(shù)學(xué)家卡當(dāng)出場(chǎng)，請(qǐng)求塔爾塔利把解方程的方法告訴他，可是遭到了拒絕。后來卡當(dāng)對(duì)塔爾塔利假裝說要推薦他去當(dāng)西班牙炮兵顧問，還發(fā)誓，永遠(yuǎn)不泄漏塔爾塔利亞解一元三次方程式的秘密。塔

6、爾塔利亞這才把解一元三次方程的秘密告訴了卡當(dāng)。六年以后，卡當(dāng)不顧原來的信約，在他的著作關(guān)于代數(shù)的大法中，將經(jīng)過改進(jìn)的三次方程的解法公開發(fā)表。后人就把這個(gè)方法叫作“卡當(dāng)公式”塔爾塔利亞的名字反而被湮沒了，正如他的真名在口吃以后被埋沒了一樣。至于一元四次方程ax4 +bx3 +cx2 +dx+e=0求根公式由卡當(dāng)?shù)膶W(xué)生弗拉利找到了。關(guān)于三次、四次方程的求根公式，因?yàn)橐婕皬?fù)數(shù)概念，這里不介紹了。一元三次、四次方程求根公式找到后，人們?cè)谂ふ乙辉宕畏匠糖蟾剑倌赀^去了，但沒有人成功，這些經(jīng)過嘗試而沒有得到結(jié)果的人當(dāng)中，不乏有大數(shù)學(xué)家。后來年輕的挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾于1824年所證實(shí)， n次方程

7、(n5)沒有公式解。不過，對(duì)這個(gè)問題的研究，其實(shí)并沒結(jié)束，因?yàn)槿藗儼l(fā)現(xiàn)有些n次方程(n5)可有求根公式。那么又是什么樣的一元n次方程才沒沒有求根公式呢？不久，這一問題在19世紀(jì)止半期，被法國數(shù)學(xué)家伽羅華利用他創(chuàng)造的全新的數(shù)學(xué)方法所證明，由此一門新的數(shù)學(xué)分支“群論”誕生了。一元三次方程的求根公式用通常的演繹思維是作不出來的，用類似解一元二次方程的求根公式的配方法只能將型如ax3+bx2+cx+d+0的標(biāo)準(zhǔn)型一元三次方程形式化為x3+px+q=0的特殊型。第一步：ax3+bx2+cx+d=0為了方便，約去a得到x3+kx2+mx+n=0令x=y-k/3代入方程(y-k/3)3+k(y-k/3)2+

8、m(y-k/3)+n=0(y-k/3)3中的y2項(xiàng)系數(shù)是-kk(y-k/3)2中的y2項(xiàng)系數(shù)是k所以相加后y2抵消得到y(tǒng)3+py+q=0其中p=(-k2/3)+mq=(2k3/27)-(km/3)+n第二步：方程x3+px+q=0的三個(gè)根為x1=-q/2+(q2/4+p3/27)(1/2)(1/3)+-q/2-(q2/4+p3/27)(1/2)(1/3)x2=w-q/2+(q2/4+p3/27)(1/2)(1/3)+w2-q/2-(q2/4+p3/27)(1/2)(1/3)x2=w2-q/2+(q2/4+p3/27)(1/2)(1/3)+w-q/2-(q2/4+p3/27)(1/2)(1/3)

9、其中w=(-1+3i)/2.推導(dǎo)過程：1、方程x3=1的解為x1=1,x2=-1/2+i3/2=,x3=-1/2-i3/2=22、方程x3=A的解為x1=A（1/3）,x2=A(1/3)*,x3= A(1/3)*23、一般三次方程ax3+bx2+cx+d=0(a0),兩邊同時(shí)除以a,可變成x3+ax2+bx+c=0的形式。再令x=y-a/3,代入可消去次高項(xiàng)，變成x3+px+q=0的形式。設(shè)x=u+v是方程x3+px+q=0的解，代入整理得：(u+v)(3uv+p)+u3+v3+q=0 如果u和v滿足uv=-p/3,u3+v3=-q則成立，由一元二次方程韋達(dá)定理u3和V3是方程y2+qy-p3

10、/27=0的兩個(gè)根。解之得，y=-q/2(q2/4+p3/27)(1/2)不妨設(shè)A=-q/2-(q2/4+p3/27)(1/2),B=-q/2+(q2/4+p3/27)(1/2)則u3=A,v3=Bu= A（1/3）或者A(1/3)*或者A(1/3)*2v= B（1/3）或者B(1/3)*或者B(1/3)*2但是考慮到uv=-p/3，所以u(píng)、v只有三組解：u1= A（1/3）,v1= B（1/3）u2=A(1/3)*,v2=B(1/3)*2u3=A(1/3)*2,v3=B(1/3)*最后：方程x3+px+q=0的三個(gè)根也出來了，即x1=u1+v1= A（1/3）+B（1/3）x2= A(1/3

11、)*+B(1/3)*2x3= A(1/3)*2+B(1/3)*這正是著名的卡爾丹公式。=q2/4+p3/27為三次方程的判別式。當(dāng)=0時(shí)，有一個(gè)實(shí)根和兩個(gè)共軛復(fù)根；當(dāng)0時(shí)，盛金公式（When=B24AC0，Shengjins Formula）：X1=(b(Y1(1/3)Y2(1/3)/(3a)；X2，3=(2bY1(1/3)Y2(1/3)3 (1/2)(Y1(1/3)Y2(1/3)i)/(6a)；其中Y1，2=Ab3a (B(B24AC)(1/2)/2，i2=1。當(dāng)=B24AC=0時(shí)，盛金公式（When=B24AC =0，Shengjins Formula）：X1=b/aK；X2=X3=K/2

12、，其中K=B/A，(A0)。當(dāng)=B24AC0時(shí)，盛金公式（When=B24AC0，1T0時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)根和一對(duì)共軛虛根；：當(dāng)=B24AC=0時(shí)，方程有三個(gè)實(shí)根，其中有一個(gè)兩重根；：當(dāng)=B24AC0時(shí)，方程有三個(gè)不相等的實(shí)根。盛金定理Shengjins Theorems當(dāng)b=0，c=0時(shí)，盛金公式無意義；當(dāng)A=0時(shí)，盛金公式無意義；當(dāng)A0時(shí)，盛金公式無意義；當(dāng)T-1或T1時(shí)，盛金公式無意義。當(dāng)b=0，c=0時(shí)，盛金公式是否成立？盛金公式與盛金公式是否存在A0的值？盛金公式是否存在T-1或T1的值？盛金定理給出如下回答：盛金定理1：當(dāng)A=B=0時(shí)，若b=0，則必定有c=d=0（此時(shí)，方程有一個(gè)三

13、重實(shí)根0，盛金公式仍成立）。盛金定理2：當(dāng)A=B=0時(shí)，若b0，則必定有c0（此時(shí),適用盛金公式解題）。盛金定理3：當(dāng)A=B=0時(shí)，則必定有C=0（此時(shí),適用盛金公式解題）。盛金定理4：當(dāng)A=0時(shí)，若B0，則必定有0（此時(shí)，適用盛金公式解題）。盛金定理5：當(dāng)A0時(shí)，則必定有0（此時(shí)，適用盛金公式解題）。盛金定理6：當(dāng)=0時(shí)，若B=0，則必定有A=0（此時(shí)，適用盛金公式解題）。盛金定理7：當(dāng)=0時(shí)，若B0，盛金公式一定不存在A0的值（此時(shí)，適用盛金公式解題）。盛金定理8：當(dāng)0時(shí)，盛金公式一定不存在A0的值。（此時(shí)，適用盛金公式解題）。盛金定理9：當(dāng)0時(shí)，盛金公式一定不存在T-1或T1的值，即T出

14、現(xiàn)的值必定是-1T1。顯然，當(dāng)A0時(shí)，都有相應(yīng)的盛金公式解題。注意：盛金定理逆之不一定成立。如：當(dāng)0時(shí)，不一定有A0。盛金定理表明：盛金公式始終保持有意義。任意實(shí)系數(shù)的一元三次方程都可以運(yùn)用盛金公式直觀求解。當(dāng)=0(d0)時(shí)，使用卡爾丹公式解題仍存在開立方（When=0,Shengjins formula is not with radical sign, and efficiency higher for solving an equation）。與卡爾丹公式相比較，盛金公式的表達(dá)形式較簡(jiǎn)明，使用盛金公式解題較直觀、效率較高；盛金判別法判別方程的解較直觀。重根判別式A=b23ac；B=bc9

15、ad；C=c23bd是最簡(jiǎn)明的式子，由A、B、C構(gòu)成的總判別式=B4AC也是最簡(jiǎn)明的式子（是非常美妙的式子），其形狀與一元二次方程的根的判別式相同；盛金公式中的式子(B(B24AC)/2具有一元二次方程求根公式的形式，這些表達(dá)形式體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的有序、對(duì)稱、和諧與簡(jiǎn)潔美。以上結(jié)論，發(fā)表在海南師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）（第2卷，第2期；1989年12月，中國海南。國內(nèi)統(tǒng)一刊號(hào)：CN46-1014），第9198頁。范盛金，一元三次方程的新求根公式與新判別法。（NATURAL SCIENCE JOURNAL OF HAINAN TEACHERES COLLEGE , Hainan Province, C

16、hina. Vol. 2, No. 2；Dec，1989）, A new extracting formula and a new distinguishing means on the one variable cubic equation.， Fan Shengjin. PP9198 .-一元四次方程的解法:X4+AX3+BX2+CX+D=0 (i)把x=X+A/4代入(i)，消去三次項(xiàng)，得x4+ax2+bx+c (ii)在(ii)左邊加減(kx2+k2/4)，配方，得x4+kx2+k2/4+ax2+bx+c-kx2-k2/4=0(x2+k/2)2-(k-a)x2-bx+(k2/4-c)=

17、0 (iii)令(k-a)x2-bx+(k2/4-c)為完全平方，就要滿足b2=4(k-a)(k2/4-c)即k3-ak2-4ck+(4ac-b2)=0 (iv)(這是關(guān)于k的一元三次方程，參見KeyTo9的一元三次方程的解法)設(shè)t是(iv)的一個(gè)根，則有b2=4(t-a)(t2/4-c)即(t-a)x2-bx+(t2/4-c)是完全平方(t-a)x2-bx+(t2/4-c) _ _ t2-4c=(xt-a + -)2 2這樣(iii)就成為平方差，可以分解了 _t _ t2-4c(x2+ -)2 -(xt-a + -)2=0 (v)2 2(v)分解成兩個(gè)一元二次方程_ t _ t2-4cx2

18、+ - +xt-a + -=0 (vi) 2 2_ t _ t2-4cx2+ - +xt-a + -=0 (vii) 2 2分別解(vi)(vii)得到原方程的四個(gè)根?舉個(gè)例子給大家看看。一般的一元四次方程總可變換成來x4+px2+qx+r=0求解，因此只需要得到x4+px2+qx+r=0的解法就可以得到一般一元四次方程的解。下面就用例子來討論x4+px2+qx+r=0的解法（注意：要知道該方程的解法必須先懂得一般一元三次方程的解法）。例：解方程x4+3x2-2x+3=0。解：方程變形為x4=-3x2+2x-3，兩邊加上2sx2+s2，使方程右邊是一個(gè)完全平方數(shù)，那么根據(jù)一元二次的判別式，得到

19、22-4(2s-3)(s2-3)=0，即2s3-3s2-6s+8=0解這個(gè)一元三次方程，得到三個(gè)解s=2，s=(-1+33)/4，s=(-1-33)/4。取s=2，兩邊加上4x2+4后，得到(x2+2)2=(x+1)2，因此原方程變?yōu)閮蓚€(gè)方程x2-x+1=0，x2+x+3=0，解這兩個(gè)方程就可以得到方程x4+3x2-2x+3=0的解為x=(1+3i)/2，x=(1-3i)/2，x=(-1+11i)/2，x=(-1-11i)/2。-一般的一元五次方程為什么無公式法求解? 從方程的根式解法發(fā)展過程來看，早在古巴比倫數(shù)學(xué)和印度數(shù)學(xué)的記載中，他們就能夠用根式求解一元二次方程ax2+bx+c=0，給出的

20、解相當(dāng)于+，這是對(duì)系數(shù)函數(shù)求平方根。接著古希臘人和古東方人又解決了某些特殊的三次數(shù)字方程，但沒有得到三次方程的一般解法。這個(gè)問題直到文藝復(fù)興的極盛期（即16世紀(jì)初）才由意大利人解決。他們對(duì)一般的三次方程x3+ax2+bx+c=0，由卡丹公式解出根 x= + ，其中p = ba2，q = a3，顯然它是由系數(shù)的函數(shù)開三次方所得。同一時(shí)期，意大利人費(fèi)爾拉里又求解出一般四次方程x4+ax3+bx2+cx+d=0的根是由系數(shù)的函數(shù)開四次方所得。 用根式求解四次或四次以下方程的問題在16世紀(jì)已獲得圓滿解決，但是在以后的幾個(gè)世紀(jì)里，探尋五次和五次以上方程的一般公式解法卻一直沒有得到結(jié)果。1770年前后，法

21、國數(shù)學(xué)家拉格朗日轉(zhuǎn)變代數(shù)的思維方法，提出方程根的排列與置換理論是解代數(shù)方程的關(guān)鍵所在，并利用拉格朗日預(yù)解式方法，即利用1的任意n次單位根（ n =1）引進(jìn)了預(yù)解式x1+ x2+ 2x3+ n-1xn，詳細(xì)分析了二、三、四次方程的根式解法。他的工作有力地促進(jìn)了代數(shù)方程論的進(jìn)步。但是他的這種方法卻不能對(duì)一般五次方程作根式解，于是他懷疑五次方程無根式解。并且他在尋求一般n次方程的代數(shù)解法時(shí)也遭失敗，從而認(rèn)識(shí)到一般的四次以上代數(shù)方程不可能有根式解。他的這種思維方法和研究根的置換方法給后人以啟示。1799年，魯菲尼證明了五次以上方程的預(yù)解式不可能是四次以下的，從而轉(zhuǎn)證五次以上方程是不可用根式求解的，但他

22、的證明不完善。同年，德國數(shù)學(xué)家高斯開辟了一個(gè)新方法，在證明代數(shù)基本理論時(shí)，他不去計(jì)算一個(gè)根，而是證明它的存在。隨后，他又著手探討高次方程的具體解法。在1801年，他解決了分圓方程xp-1=0（p為質(zhì)數(shù)）可用根式求解，這表明并非所有高次方程不能用根式求解。因此，可用根式求解的是所有高次方程還是部分高次方程的問題需進(jìn)一步查明。 隨后，挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾開始解決這個(gè)問題。1824年到1826年，阿貝爾著手考察可用根式求解的方程的根具有什么性質(zhì)，于是他修正了魯菲尼證明中的缺陷，嚴(yán)格證明：如果一個(gè)方程可以根式求解，則出現(xiàn)在根的表達(dá)式中的每個(gè)根式都可表示成方程的根和某些單位根的有理數(shù)。并且利用這個(gè)定理又證明

23、出了阿貝爾定理：一般高于四次的方程不可能代數(shù)地求解。接著他進(jìn)一步思考哪些特殊的高次方程才可用根式解的問題。在高斯分圓方程可解性理論的基礎(chǔ)上，他解決了任意次的一類特殊方程的可解性問題，發(fā)現(xiàn)這類特殊方程的特點(diǎn)是一個(gè)方程的全部根都是其中一個(gè)根（假設(shè)為x）的有理函數(shù)，并且任意兩個(gè)根q1(x)與q2(x)滿足q1q2(x)=q2q1(x)，q1，q2為有理函數(shù)。現(xiàn)在稱這種方程為阿貝爾方程。其實(shí)在對(duì)阿貝爾方程的研究中已經(jīng)涉及到了群的一些思想和特殊結(jié)果，只是阿貝爾沒能意識(shí)到，也沒有明確地構(gòu)造方程根的置換集合（因?yàn)槿舴匠趟械母加酶鵻1來表示成有理函數(shù)qj(x1)，j=1,2,3,n，當(dāng)用另一個(gè)根xi代替x

24、1時(shí)，其中1in ，那么qj(xi)是以不同順序排列的原方程的根，j=1,2,n。實(shí)際上應(yīng)說根xi=q1(xi),q2(xi),qn(xi)是根x1,x2,xn的一個(gè)置換），而僅僅考慮可交換性q1q2(x)=q2q1(x)來證明方程只要滿足這種性質(zhì)，便可簡(jiǎn)化為低次的輔助方程，輔助方程可依次用根式求解。 阿貝爾解決了構(gòu)造任意次數(shù)的代數(shù)可解的方程的問題，卻沒能解決判定已知方程是否可用根式求解的問題。法國數(shù)學(xué)家伽羅瓦正是處在這樣的背景下，開始接手阿貝爾未競(jìng)的事業(yè)。 伽羅瓦在證明不存在一個(gè)五次或高于五次的方程的一般根式解法時(shí)，與拉格朗日相同，也從方程根的置換入手。當(dāng)他系統(tǒng)地研究了方程根的排列置換性質(zhì)后，提出了一些確定的準(zhǔn)則以判定一個(gè)已知方程的解是否能通過根式找到，然而這些方法恰好導(dǎo)致他去考慮一種稱之為“群”的元素集合的抽象代數(shù)理論。在1831年的論文中，伽羅瓦首次提出了“群”這一術(shù)語，把具有封閉性的置換的集合稱為群，首次定義了置換群的概念。他認(rèn)為了解置換群是解決方程理論的關(guān)鍵，方程是一個(gè)其對(duì)稱性可用群的性質(zhì)描述的系統(tǒng)。他從此開始把方程論問題轉(zhuǎn)化為群論的問題來解決，直接研究群論。他引入了不