第三章三角恒等變形

1、第三章 三角恒等變形3.1兩角和與差的三角函數(shù)（兩課時(shí)） 洋浦實(shí)驗(yàn)中學(xué) 趙生碧一.教學(xué)目標(biāo)：1.知識與技能（1）能夠推導(dǎo)兩角差的余弦公式；（2）能夠利用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦公式、兩角和的正、余弦公式；（3）能夠運(yùn)用兩角和的正、余弦公式進(jìn)行化簡、求值、證明；（4）揭示知識背景，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣；（5）創(chuàng)設(shè)問題情景，激發(fā)學(xué)生分析、探求的學(xué)習(xí)態(tài)度，強(qiáng)化學(xué)生的參與意識.2.過程與方法通過創(chuàng)設(shè)情境：通過向量的手段證明兩角差的余弦公式，讓學(xué)生進(jìn)一步體會向量作為一種有效手段的同時(shí)掌握兩角差的余弦函數(shù)，然后通過誘導(dǎo)公式導(dǎo)出兩角差的正弦公式、兩角和的正、余弦公式；講解例題，總結(jié)方法，鞏固練習(xí).3.

2、情感態(tài)度價(jià)值觀通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對兩角和與差的三角函數(shù)有了一個(gè)全新的認(rèn)識；理解掌握兩角和與差的三角的各種變形，提高逆用思維的能力.二.教學(xué)重、難點(diǎn) 重點(diǎn): 公式的應(yīng)用.難點(diǎn): 兩角差的余弦公式的推導(dǎo).三.學(xué)法與教學(xué)用具 學(xué)法：(1)自主性學(xué)習(xí)法：通過自學(xué)掌握兩角差的余弦公式. (2)探究式學(xué)習(xí)法：通過分析、探索、掌握兩角差的余弦公式的過程. (3)反饋練習(xí)法：以練習(xí)來檢驗(yàn)知識的應(yīng)用情況，找出未掌握的內(nèi)容及其存在的差距.教學(xué)用具:電腦、投影機(jī).四.教學(xué)設(shè)想 【創(chuàng)設(shè)情境】思考:如何求cos（45-30）0的值.【探究新知】1思考:如何用任意角與 的正弦、余弦來表示cos(-)？你認(rèn)為會是co

3、s(-)=cos-cos嗎? 展示課件在直角坐標(biāo)系作出單位圓，利用向量的方法求解（如教材圖3.1）.學(xué)生思考：以上推導(dǎo)是否有不嚴(yán)謹(jǐn)之處？教師引導(dǎo)學(xué)生分析其中的過程發(fā)現(xiàn)：上述證明僅僅是對與為銳角的情況，但與為任意角時(shí)上述過程還成立嗎？當(dāng)-是任意角時(shí)，由誘導(dǎo)公式總可以找到一個(gè)角0，2），使cos=cos(-) 若0， ，則= cos=cos(-) 若,2)，則2 -0， ，且=cos(2-)=cos=cos(-).結(jié)論歸納: 對任意角與都有cos=cos·cos+sin·sin這個(gè)公式稱為：差角的余弦公式 注意：1.公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)2.對于,只要知道其正弦或余弦，就可以求出cos

4、()展示投影例題講評（學(xué)生先做，學(xué)生講，教師提示或適當(dāng)補(bǔ)充）例1.利用差角余弦公式求cos的值分析: cos= cos= cos= cos思考：你會求sin的值嗎?例2.已知cos , ,求cos的值.【鞏固深化，發(fā)展思維】1.cos·cos+sin·sin= .2.cos·cos+sin·sin= .3.已知sina-sinb=-，cosa-cosb=，aÎ(0, ),bÎ(0, ),求cos(a-b)的值. 展示投影思考：如何利用差角余弦公式導(dǎo)出下列式子：cos= cos·cos- sin·sinsin=sin

5、·cos cos ·sinsin=cos·coscos ·sin (可讓學(xué)生自己講解，教師只是適當(dāng)點(diǎn)撥而已)展示投影例題講評（學(xué)生先做，學(xué)生講，教師提示或適當(dāng)補(bǔ)充）例3.已知sin，cos求cos，sin的值.思考題：已知、都是銳角, cos，cos求cos.學(xué)習(xí)小結(jié).兩角差的余弦公式：cos=cos·cos+sin·sin .兩角和的余弦公式：cos= cos·cos- sin·sin 兩角和的正弦公式： sin=sin·cos cos ·sin 兩角差的正弦公式： sin=cos·

6、coscos ·sin .注意公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)五、評價(jià)設(shè)計(jì)1作業(yè)：習(xí)題3.1 A組第1,2,3題 2（備選題）：求證：cosa+sina=2sin(+a)證一：左邊=2(cosa+ sina)=2(sincosa+cos sina)=2sin(+a)=右邊 （構(gòu)造輔助角）證二：右邊=2(sincosa+cos sina)=2(cosa+ sina)= cosa+sina=左邊3、進(jìn)一步理解這四個(gè)公式的特點(diǎn)六、課后反思：兩角和與差的正切函數(shù)（1課時(shí)）洋浦實(shí)驗(yàn)中學(xué) 趙生碧一、教學(xué)目標(biāo)：1、知識與技能（1）能夠利用兩角和與差的正、余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正切公式；（2）能夠運(yùn)用兩角和與差的

7、正切公式進(jìn)行化簡、求值、證明；（3）揭示知識背景，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣；（4）創(chuàng)設(shè)問題情景，激發(fā)學(xué)生分析、探求的學(xué)習(xí)態(tài)度，強(qiáng)化學(xué)生的參與意識.2、過程與方法借助兩角和與差的正、余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正切公式，讓學(xué)生進(jìn)一步體會各個(gè)公式之間的聯(lián)系及結(jié)構(gòu)特點(diǎn)；講解例題，總結(jié)方法，鞏固練習(xí).3、情感態(tài)度價(jià)值觀通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對兩角和與差的三角函數(shù)有了一個(gè)全新的認(rèn)識；理解掌握兩角和與差的三角的各種變形，提高逆用思維的能力.二、教學(xué)重、難點(diǎn) 重點(diǎn): 公式的應(yīng)用.難點(diǎn): 公式的推導(dǎo).三、學(xué)法與教學(xué)用具 學(xué)法：(1)自主性學(xué)習(xí)+探究式學(xué)習(xí)法：通過通過類比分析、探索、掌握兩角和與差的正切公式的推導(dǎo)過程。

8、 (2)反饋練習(xí)法：以練習(xí)來檢驗(yàn)知識的應(yīng)用情況，找出未掌握的內(nèi)容及其存在的差距。教學(xué)用具:電腦、投影機(jī)四、教學(xué)設(shè)想 【探究新知】1兩角和與差的正切公式 Ta+b ,Ta-b問：在兩角和與差的正、余弦公式的基礎(chǔ)上，你能用tana，tanb表示tan(a+b)和tan(a-b)嗎？（讓學(xué)生回答） 展示投影 cos (a+b)¹0tan(a+b)=tan(a+b)= 當(dāng)cosacosb¹0時(shí)分子分母同時(shí)除以cosacosb得：tan(a-b)=以-b代b得：2運(yùn)用此公式應(yīng)注意些什么？（讓學(xué)生回答）展示投影 注意：1°必須在定義域范圍內(nèi)使用上述公式。即：tana，tanb

9、，tan(a±b)只要有一個(gè)不存在就不能使用這個(gè)公式，只能（也只需）用誘導(dǎo)公式來解；2°注意公式的結(jié)構(gòu)，尤其是符號。）展示投影例題講評（學(xué)生先做，學(xué)生講，教師提示或適當(dāng)補(bǔ)充）例1.求tan15°，tan75°及cot15°的值：解：1° tan15°= tan(45°-30°)= 2° tan75°= tan(45°+30°)= 3° cot15°= cot(45°-30°)= （為什么？）例2.（見課本P134例1）例3.已

10、知tana=，tanb=-2 求cot(a-b)，并求a+b的值，其中0°<a<90°, 90°<b<180°.解：cot(a-b)= tan(a+b)=又0°<a<90°, 90°<b<180° 90°<a+b<270° a+b=135°例4. 求下列各式的值：1° 2°tan17°+tan28°+tan17°tan28° 解：1°原式= 2°

11、tan17°+tan28°=tan(17°+28°)(1-tan17°tan28°)=1- tan17°tan28° 原式=1- tan17°tan28°+ tan17°tan28°=1 展示投影練習(xí)教材P135第1、2、3、4題.學(xué)習(xí)小結(jié)1必須在定義域范圍內(nèi)使用上述公式。即：tana，tanb，tan(a±b)只要有一個(gè)不存在就不能使用這個(gè)公式，只能（也只需）用誘導(dǎo)公式來解；2注意公式的結(jié)構(gòu)，尤其是符號。五、評價(jià)設(shè)計(jì)作業(yè)：習(xí)題3.1 A組第4、5、6、7、8題六、

12、課后反思：3.2二倍角的正、余弦和正切 3.3半角的三角函數(shù)（兩課時(shí)）洋浦實(shí)驗(yàn)中學(xué) 趙生碧一.教學(xué)目標(biāo)：1.知識與技能（1）能夠由和角公式而導(dǎo)出倍角公式；（2）能較熟練地運(yùn)用公式進(jìn)行化簡、求值、證明，增強(qiáng)學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和邏輯推理能力；（3）能推導(dǎo)和理解半角公式；（4）揭示知識背景，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生分析、探求的學(xué)習(xí)態(tài)度，強(qiáng)化學(xué)生的參與意識. 并培養(yǎng)學(xué)生綜合分析能力.2.過程與方法讓學(xué)生自己由和角公式而導(dǎo)出倍角公式和半角公式，領(lǐng)會從一般化歸為特殊的數(shù)學(xué)思想，體會公式所蘊(yùn)涵的和諧美，激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣；通過例題講解，總結(jié)方法.通過做練習(xí),鞏固所學(xué)知識.3.情感態(tài)度價(jià)值觀通過本節(jié)的學(xué)

13、習(xí)，使同學(xué)們對三角函數(shù)各個(gè)公式之間有一個(gè)全新的認(rèn)識；理解掌握三角函數(shù)各個(gè)公式的各種變形，增強(qiáng)學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識、邏輯推理能力和綜合分析能力.提高逆用思維的能力.二.教學(xué)重、難點(diǎn) 重點(diǎn):倍角公式的應(yīng)用.難點(diǎn):公式的推導(dǎo).三.學(xué)法與教學(xué)用具 學(xué)法：(1)自主+探究性學(xué)習(xí)：讓學(xué)生自己由和角公式導(dǎo)出倍角公式，領(lǐng)會從一般化歸為特殊的數(shù)學(xué)思想，體會公式所蘊(yùn)涵的和諧美，激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣。 (2)反饋練習(xí)法：以練習(xí)來檢驗(yàn)知識的應(yīng)用情況，找出未掌握的內(nèi)容及其存在的差距.教學(xué)用具:電腦、投影機(jī).四.教學(xué)設(shè)想 【探究新知】1、復(fù)習(xí)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：2、提出問題：公式中如果，公式會變得如何？3、

14、讓學(xué)生板演得下述二倍角公式：展示投影這組公式有何特點(diǎn)？應(yīng)注意些什么？注意：1每個(gè)公式的特點(diǎn)，囑記：尤其是“倍角”的意義是相對的，如：是的倍角.2熟悉“倍角”與“二次”的關(guān)系（升角降次，降角升次）3特別注意公式的三角表達(dá)形式，且要善于變形： 這兩個(gè)形式今后常用. 展示投影例題講評（學(xué)生先做，學(xué)生講，教師提示或適當(dāng)補(bǔ)充）例1.（公式鞏固性練習(xí)）求值：sin22°30cos22°30=例2.化簡例3、已知，求sin2a，cos2a，tan2a的值。 解： sin2a = 2sinacosa = cos2a = tan2a = 展示投影思考：你能否有辦法用sina、cosa和tan

15、a表示多倍角的正弦、余弦和正切函數(shù)？你的思路、方法和步驟是什么？試用sina、cosa和tana分別表示sin3a，cos3a，tan3a.展示投影例題講評（學(xué)生先做，學(xué)生講，教師提示或適當(dāng)補(bǔ)充）例4. cos20°cos40°cos80° = 例5.求函數(shù)的值域. 解： 降次展示投影學(xué)生練習(xí)：教材P140練習(xí)第1、2、3題展示投影思考（學(xué)生思考，學(xué)生做，教師適當(dāng)提示）你能夠證明： 證：1°在 中，以a代2a，代a 即得： 2°在 中，以a代2a，代a 即得： 3°以上結(jié)果相除得：展示投影這組公式有何特點(diǎn)？應(yīng)注意些什么？注意：1

16、76;左邊是平方形式，只要知道角終邊所在象限，就可以開平方。 2°公式的“本質(zhì)”是用a角的余弦表示角的正弦、余弦、正切 3°上述公式稱之謂半角公式（課標(biāo)規(guī)定這套公式不必記憶） 4°還有一個(gè)有用的公式：（課后自己證）展示投影例題講評（學(xué)生先做，學(xué)生講，教師提示或適當(dāng)補(bǔ)充）例6.已知cos，求的值.例7.求cos的值.例8.已知sin，求的值.展示投影練習(xí)教材P145練習(xí)第1、2、3題.學(xué)習(xí)小結(jié)1公式的特點(diǎn)要囑記：尤其是“倍角”的意義是相對的，如：是的倍角.2熟悉“倍角”與“二次”的關(guān)系（升角降次，降角升次）.3特別注意公式的三角表達(dá)形式，且要善于變形： 這兩個(gè)形式今

17、后常用.4.半角公式左邊是平方形式，只要知道角終邊所在象限，就可以開平方；公式的“本質(zhì)”是用a角的余弦表示角的正弦、余弦、正切.5注意公式的結(jié)構(gòu)，尤其是符號.五、評價(jià)設(shè)計(jì)1作業(yè)：習(xí)題3.2 A組第1、2、3、4題2. 作業(yè)：習(xí)題3.3 A組第1、2、3、4題六、課后反思：3.4三角函數(shù)的和差化積與積化和差 3.5三角函數(shù)的簡單應(yīng)用（兩課時(shí)）洋浦實(shí)驗(yàn)中學(xué) 趙生碧一.教學(xué)目標(biāo)：1.知識與技能（1）能夠推導(dǎo)“和差化積”及“積化和差”公式，并對此有所了解.（2）能較熟練地運(yùn)用公式進(jìn)行化簡、求值、探索和證明一些恒等關(guān)系，進(jìn)一步體會這些三角恒等變形公式的意義和作用，體會如何綜合利用這些公式解決問題.（3）

18、揭示知識背景，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識與建模意識.2.過程與方法讓學(xué)生自己導(dǎo)出“和差化積”及“積化和差”公式，領(lǐng)會這些三角恒等變形公式的意義和作用，體會公式所蘊(yùn)涵的和諧美，激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣；同時(shí)讓學(xué)生初步體會如何利用三角函數(shù)研究簡單的實(shí)際問題.通過例題講解，總結(jié)方法.通過做練習(xí),鞏固所學(xué)知識.3.情感態(tài)度價(jià)值觀通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對三角恒等變形公式的意義和作用有一個(gè)初步的認(rèn)識；理解并掌握三角函數(shù)各個(gè)公式的靈活變形，體會公式所蘊(yùn)涵的和諧美，增強(qiáng)學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力.二.教學(xué)重、難點(diǎn) 重點(diǎn):三角恒等變形.難點(diǎn): “和差化積”及“積化和差”公式的推導(dǎo).三.學(xué)法與教學(xué)用具 學(xué)法：(

19、1)自主+探究性學(xué)習(xí)：讓學(xué)生自己根據(jù)已有的知識導(dǎo)出“和差化積”及“積化和差”公式，領(lǐng)會這些三角恒等變形公式的意義和作用，體會公式所蘊(yùn)涵的和諧美，激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣。 (2)反饋練習(xí)法：以練習(xí)來檢驗(yàn)知識的應(yīng)用情況，找出未掌握的內(nèi)容及其存在的差距.教學(xué)用具:電腦、投影機(jī).四.教學(xué)設(shè)想 【創(chuàng)設(shè)情景】請回憶兩角和的正弦公式、兩角差的正弦公式、兩角和的余弦公式、兩角差的余弦公式；問你能否用sin與sin表示sin·cos和cos ·sin？類似地能否用cos與cos來表示cos·cos和sin·sin？【探究新知】展示投影（在學(xué)生已完成的基礎(chǔ)上進(jìn)行評價(jià)）積化和差

20、公式的推導(dǎo) sin(a + b) + sin(a - b) = 2sinacosb Þ sinacosb =sin(a + b) + sin(a - b)sin(a + b) - sin(a - b) = 2cosasinb Þ cosasinb =sin(a + b) - sin(a - b)cos(a + b) + cos(a - b) = 2cosacosb Þ cosacosb =cos(a + b) + cos(a - b)cos(a + b) - cos(a - b) = - 2sinasinb Þ sinasinb = -cos(a + b

21、) - cos(a - b)展示投影這組公式有何特點(diǎn)？應(yīng)注意些什么？這套公式稱為三角函數(shù)積化和差公式，熟悉結(jié)構(gòu)，不要求記憶，它的優(yōu)點(diǎn)在于將“積式”化為“和差”，有利于簡化計(jì)算。（在告知公式前提下）展示投影練習(xí)1.求的值2.求的值3.在積化和差中若令a + b = q，a - b = ，則， 代入可得什么的式子，做做看：（教師巡視，先觀察學(xué)生做的情況，再決定是否示范） 引導(dǎo)學(xué)生觀察這套公式的特點(diǎn)：這套公式稱為和差化積公式，其特點(diǎn)是同名的正（余）弦才能使用，它與積化和差公式相輔相成，配合使用. 展示投影例題講評（學(xué)生先做，學(xué)生講，教師提示或適當(dāng)補(bǔ)充）例1.教材P148例2.例2.教材P149例3.

22、展示投影練習(xí).教材P149第1、2題. 展示投影例題講評（學(xué)生邊做教師邊提示）例3. 已知cosa - cos b = ，sina - sinb = ，求tan(a + b)的值解：cosa - cos b = ， sina - sin b =， 例4.教材P150例6. （學(xué)生做，教師巡視，鼓勵(lì)學(xué)生用多種方法求解）展示投影練習(xí)1.化簡；2. 教材P151練習(xí)第1、2、3、4題.展示投影例題講評（學(xué)生邊思考教師邊提示）例5.要使半徑為R的半圓形木料截成長方形（如圖），應(yīng)怎樣截取才能使長方形的面積最大？學(xué)生自主學(xué)習(xí)階段學(xué)生閱讀教材P154158相關(guān)內(nèi)容，學(xué)生提問，學(xué)生回答，教師控制課堂節(jié)奏。學(xué)生

23、自主學(xué)習(xí)檢測：教材P158159的相應(yīng)習(xí)題。學(xué)習(xí)小結(jié)嘗試由學(xué)生小結(jié)，學(xué)生補(bǔ)充的形式.五、評價(jià)設(shè)計(jì)1作業(yè)：習(xí)題3.4 A組第1、2、3、4、5、6、7題2. 作業(yè)：習(xí)題3.5 A組第4題（選做）六、課后反思：第三章 三角恒等變形復(fù)習(xí)課（2課時(shí)）洋浦實(shí)驗(yàn)中學(xué) 趙生碧第一部分：基礎(chǔ)知識基本公式常見變形一、兩角和與差公式及規(guī)律 常見變形 二、二倍角公式及規(guī)律 常見變形 ( )三、積化和差與和差化積公式四、學(xué)習(xí)本章應(yīng)注意的問題1、兩角差的余弦公式是本章中其余公式的基礎(chǔ)，應(yīng)記準(zhǔn)該公式的形式.2、倍角公式有升、降冪的功能，如果升冪，則角減半，如果降冪，則角加倍，根據(jù)條件靈活選用.3、公式的“三用”（順用、逆

24、用、變用）是熟練進(jìn)行三角變形的前提.第二部分：基本技能與基本數(shù)學(xué)思想方法1、 整體原則-從角度關(guān)系、函數(shù)名稱差異、式子結(jié)構(gòu)特征分析入手，尋求三角變形的思維指向；2、 角度配湊方法 如等;3、 方程思想；4、 消參數(shù)思想；5、 “1”的代換；6、 關(guān)于間的互相轉(zhuǎn)化；7、 關(guān)于的齊次分式、二次齊次式與間的互相轉(zhuǎn)化；8、 配湊輔助角公式:一般地，其中9、關(guān)于已知條件是的求值、化簡、證明的變形及其思維方法。其中是任意角；等等。第三部分：應(yīng)用舉例（供選用）例已知（） 求（） 若求的值分析求三角函數(shù)式的值，一般先化簡，再代值計(jì)算略解當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，例已知求的值分析已知三角函數(shù)式的

25、值，求其它三角函數(shù)式的值的基本思路：考慮已知式與待求式之間的相互轉(zhuǎn)化略解原式例已知（） 求的值；（） 當(dāng)時(shí)，求的值分析從角度關(guān)系分析入手，尋求變形的思維方向略解（）方法從而，方法設(shè)（）由已知可得 例4已知求的值.分析根據(jù)問題及已知條件可先“化切為弦”。由，只需求出和，問題即可迎刃而解.略解點(diǎn)評 對公式整體把握，可“居高臨下”的審視問題。例5已知求的值.分析要想求出的值，即要求出的值，而要出現(xiàn)和，只需對條件式兩邊平方相加即可。 略解 將兩條件式分別平方，得 將上面兩式相加，得 例6已知方程有兩根，求的最小值.分析 可借助于一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系求出關(guān)于m的解析式。 略解又 解得 故 的最小值為例7已知求的值.分析注意到 可通過與的正、余弦值來求出的值。略解 由已知可得例8 的值等于 （ ）A B C D分析從角度關(guān)系分析入手，嘗試配湊已知