理科數(shù)學第一輪復習不等式的證明(一)

1、不等式的證明(一) 【知識點精講】1. 比較法證明不等式是最基本的方法也是最常用的方法。比較法的兩種形式： 比差法：要證a>b，只須證a-b>0。比商法：要證a>b且b>0，只須證 0。說明：作差比較法證明不等式時， 通常是進行因式分解，利用各因式的符號進行判斷，或進行配方，利用非負數(shù)的性質(zhì)進行判斷；一般地運用比商法時要考慮正負，尤其是作為除式式子的值必須確定符號；證冪指數(shù)或乘積不等式時常用比商法，證對數(shù)不等式時常用比差法。2. 綜合法：利用某些已經(jīng)證明過的不等式作為基礎，再運用不等式的性質(zhì)推導出所要求證的不等式的方法。證明時要注意字母是否為正和等號成立的條件?；静坏?/p>

2、式：(1)若則 當且僅當a=b時取等號。 (2) (3)a,b同號, 3. 分析法：從求證的不等式出發(fā)，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明這個不等式的問題轉化為這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以判定所證的不等式成立。這種證明方法叫做分析法。要注意書寫的格式, 綜合法是分析法的逆過程4. 重點難點: 作差比較法的順序是“作差-變形-判斷差式的正負”；作商比較法的順序是“作商-變形-判斷商式與1的大小”（注意商式的分子分母均正）；綜合法證明不等式是“由因導果”。5. 思維方式: 掌握證明不等式的常用方法，對較復雜的不等式先用分析法探求證明途徑，再用綜合法加以證明。

3、6. 特別注意: 在利用不等式的性質(zhì)或基本不等式時要注意等號、不等號成立的條件。【例題選講】例1、已知a,bR,求證: a2+b2+1>ab+a證明：p= a2+b2+1-ab-a=顯然p>0 得證思維點拔 作差比較法的順序是“作差-變形-判斷差式的正負”. 通常是進行因式分解，利用各因式的符號進行判斷，或進行配方，利用非負數(shù)的性質(zhì)進行判斷例2、P87例1. 設求證【分析】不等式兩端都是多項式的形式，故可用比差法證明或比商法證明?！咀C法一】左邊-右邊= = = = 原不等式成立?！咀C法二】左邊>0，右邊>0。 原不等式成立。思維點拔 用比較法證不等式，一般要經(jīng)歷作差（或

4、商）、變形、判斷三個步驟。變形的主要手段是通分、因式分解或配方。在變形過程中，也可以利用基本不等式放縮，如證法二。 例3、P87例2已知a,b,x,y思維點拔 觀察特征,用比較法或分析法例4、設x>0,y>0且xy,求證證明：由x>0,y>0且xy,要證明只需 即只需由條件,顯然成立.原不等式成立思維點拔 分析法證明不等式是“執(zhí)果索因”, 要注意書寫的格式練習: .若a、b、c是不全相等的正數(shù)，求證：【分析】根據(jù)本題的條件和要證明的結論，既可用分析法由可用綜合法?！咀C法一】（綜合法）：， 又a、b、c是不全相等的正數(shù)，有。 即【證法二】 （分析法）要證即證成立。只需證成立。，。 （*）又a、b、c是不全相等的正數(shù)，（*）式等號不成立。原不等式成立。例5.(P88例3)某食品廠定期購買面粉,已知該廠每天需用面粉6t每噸面粉的價格為1800元,面粉的保管等費用為平均每噸每天3元,購買面粉每次需支出運費900元(1).求該廠多少天購買一次面粉.才能使平均每天所支付的總費用最小;(2)若提供面粉的公司規(guī)定:當一次性購買面粉不少于210t時,其價格可優(yōu)惠9折,問該廠是否考慮利用此優(yōu)惠條件?說明理由. 點評【課堂小結】不等式的比較法、綜合法、分析法合稱三種基本方法，是最常用的方法比較法：比差法：要證a>b，只須證a-b>0。比商法