三元一次方程及其解法

1、*三元一次方程組及其解法1. 三元一次方程的定義：含有三個(gè)未知數(shù)的一次整式方程2. 三元一次方程組：由三個(gè)一次方程（一元、二元或三元）組成并含有三個(gè)未知數(shù) 的方程組叫做三元一次方程組3. 三元一次方程組的解：能使三個(gè)方程左右兩邊都成立的三個(gè)未知數(shù)的值 解題思路：利用消元思想使三元變二元，再變一元4. 三元一次方程組的解法：用代入法或加減法消元，即通過(guò)消元將三元一次方程 組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，再轉(zhuǎn)化為一元一次方程.例題解析一、三元一次方程組之特殊型x y z 12例 1:解方程組 x2y 5z 22x 4y分析：方程是關(guān)于 x 的表達(dá)式，通過(guò)代入消元法可直接轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，因此確定“消

2、x”的目標(biāo)解法 1:代入法，消 x.解得y 2，z 2.把 y=2 代入，得 x=8.x 8,y 2,是原方程組的解.z 2.根據(jù)方程組的特點(diǎn)，可歸納出此類方程組為： 類型一：有表達(dá)式，用代入法型.針對(duì)上例進(jìn)而分析，方程組中的方程里缺 乙因此利用、消 z,也能達(dá) 到消元構(gòu)成二元一次方程組的目的。解法 2:消乙1X5 得 5x+5y+5z=60-得 4x+3y=38x 4y由、得y4x 3y 38 把分別代入、得5y z 12 6y 5z 22 *解得把 x=8,y=2 代入得 z=2.x 8,y 2,是原方程組的解.z 2.根據(jù)方程組的特點(diǎn)，可歸納出此類方程組為:類型二：缺某元，消某元型.2x

3、 y z15例 2:解方程組 x 2y z16x y 2z17分析：通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)每個(gè)方程未知項(xiàng)的 系數(shù)和相等；每一個(gè)未知數(shù)的系數(shù) 之和也相等，即系數(shù)和相等。具備這種特征的方程組，我們給它定義為“ 輪換方 程組”可采取求和作差的方法較簡(jiǎn)潔地求出此類方程組的解。解：由+得 4x+4y+4z=48,即 x+y+z=12 .1-得 x=3，2-得 y=4，3-得 z=5，x 3, y 4,是原方程組的解.z 5.xy20,典型例題舉例：解方程組 yz19,xz21.解：由+得 2(x+y+z)=60 ，即 x+y+z=30 .4-得 z=10，-得 y=11，-得 x=9，x 9, y 11,是原方程

4、組的解.8,2.*z 10.根據(jù)方程組的特點(diǎn)，由學(xué)生歸納出此類方程組為：類型三：輪換方程組，求和作差型.x: y: z1:2:7例 3 :解萬(wàn)程組 -2x y3z 21分析 1:觀察此方程組的特點(diǎn)是未知項(xiàng)間存在著比例關(guān)系，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn),看見(jiàn)比例式就會(huì)想把比例式化成關(guān)系式求解， 即由 x:y=1:2 得 y=2x;由 x:z=1:7得z=7x.從而從形式上轉(zhuǎn)化為三元一次方程組的一-般形式，即y2x,z7x,，根據(jù)方程組的特點(diǎn)， 可選用“有表達(dá)式， 用代入法”求2xy3z 21.解。解法 1: 由得 y=2x，z=7x，并代入，得x=1.把 x=1，代入 y=2x，得 y=2;把 x=1，代入

5、z=7x，得 z=7.x 1, y 2,是原方程組的解z 7.分析 2:由以往知識(shí)可知遇比例式時(shí)，可設(shè)一份為參數(shù)k，因此由方程x:y:z=1 : 2: 7，可設(shè)為 x=k,y=2k,z=7k.從而也達(dá)到了消元的目的，并把三元通 過(guò)設(shè)參數(shù)的形式轉(zhuǎn)化為一元，可謂一舉多得。解法 2:由設(shè) x=k,y=2k,z=7k，并代入，得 k=1.把 k=1，代入 x=k，得 x=1 ；把 k=1，代入 y=2k，得 y=2；把 k=1，代入 z=7k，得 z=7.x 1, y 2,是原方程組的解.z 7.x y z 111 典型例題舉例：解方程組y:x 3: 2y : z 5: 4分析 1:觀察此方程組的特點(diǎn)

6、是方程、中未知項(xiàng)間存在著比例關(guān)系，由*例 3 的解題經(jīng)驗(yàn)，易選擇將比例式化成關(guān)系式求解，即由得x = - y;由34得 z= - y.從而利用代入法求解。5解法 1:略分析 2:受例 3 解法 2 的啟發(fā)，想使用設(shè)參數(shù)的方法求解，但如何將、 轉(zhuǎn)化為 x:y:z 的形式呢？通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)、中都有 y 項(xiàng)，所以把它作為橋梁， 先確定未知項(xiàng) y 比值的最小公倍數(shù)為 15，由X5 得 y:x=15:10，由X3 得y:z=15:12,于是得到 x:y:z=10:15:12,轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的方程組形式， 就能解決 了。解法 2:由、得 x:y:z=10:15:12.設(shè) x=10k,y=15k,z=12k，

7、并代入，得 k=3.把 k=3，代入 x=10k，得 x=30;把 k=3，代入 y=15k，得 y=45;把 k=3，代入 z=12k，得 z=36.x 30, y -5,是原方程組的解.z 36.根據(jù)方程組的特點(diǎn)，由學(xué)生歸納出此類方程組為：類型四：遇比例式找關(guān)系式，遇比設(shè)元型 .二、三元一次方程組之一般型3x y z 4,例 4：解方程組x y z 6,2x 3y z 12.分析：對(duì)于一般形式的三元一次方程組的求解， 應(yīng)該認(rèn)清兩點(diǎn)：一是確立消 元目標(biāo)一一消哪個(gè)未知項(xiàng)；二是在消元的過(guò)程中三個(gè)方程式如何正確的使用，怎 么才能做到“目標(biāo)明確，消元不亂”，為此歸納出：（一） 消元的選擇1. 選擇同

8、一個(gè)未知項(xiàng) 系數(shù)相同或互為相反數(shù)的那個(gè)未知數(shù)消元；2. 選擇同一個(gè)未知項(xiàng)系數(shù)最小公倍數(shù)最小的那個(gè)未知數(shù)消元。（二） 方程式的選擇采取用不同符號(hào)標(biāo)明所用方程，體現(xiàn)出兩次消元的過(guò)程選擇。3x y z 4*解：xy z 62x 3y z 12*（明確消 Z,并在方程組中體現(xiàn)出來(lái)一一畫(huà)線）解得 把x=2 , y=3代人，得 z=1.x 2,y 3,是原方程組的解.z 1.2x4y3Z9,典型例題舉例：解方程組3xguy5z 11,5x6iy7z 13.分析：通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)未知項(xiàng) y 的系數(shù)的最小公倍數(shù)最小，因此確定消 y。以 方程作為橋梁使用，達(dá)到消元求解的目的。解：X2 得 6x 4y+10z=22,

9、 2x +4y+ 3z=9,+得 8x +13z=31 . X3 得 9x6y+15z=33，5x 6y+7z =13 ,得 4x +8z =20 .x +2z=5 .由、得8x 13z 31,x 2z 5.1把 x=-1 , z=3 代人，得 y -.2x 1,1y ,是原方程組的解.2 + 得 5x+2y=16,（體現(xiàn)第一次使用在后做記號(hào)V） + 得 3x+4y=18,（體現(xiàn)第二次使用在后做不同記號(hào)厶）由、得5x 2y3x 4y16,18.2,3.解得x 1,z 3.*z 3.*在此需要說(shuō)明的是，每一個(gè)三元一次方程組的求解方法都不是唯一的， 需要 進(jìn)一步的觀察，但是學(xué)生只要掌握了最基本的解

10、方程組思想和策略， 就可以以不 變應(yīng)萬(wàn)變，就可以很容易的學(xué)會(huì)三元一次方程組的解法。3.有這樣一個(gè)數(shù)學(xué)題：在等式y(tǒng) ax2bx c中，當(dāng) x=1 時(shí)，y=1 ;當(dāng) y=3 時(shí)，y=9，當(dāng) x=5 時(shí)，y=5.(1)請(qǐng)你列出關(guān)于 a,b,c 的方程組.這是一個(gè)三元三次方程組嗎？(2)你能求出 a,b,c 的值嗎？課堂練習(xí)1.解下列方程組x2 0(1)xy 0yz 0 x y 6(2) y z 8x z 102 解下列方程組zxy(1)xyz 6xy3x y z 17(2) 2x y 2z 13x y 4z 3*4.解方程組4x y z 42x y 2z 8x 2y z 53x 2y 4z5.解方程

11、組 2x 3y 4z5x 5y 6z88226.解方程組2x y z 1x 2y 3z 143x y z 8a b 37.解方程組 b c 4 ,a c 5*同步題庫(kù)四三尢一冼方程紐選釋題請(qǐng)爲(wèi)正確答案前的宇坯填葩梧號(hào)肉) 】.下列各方程組不是三元一說(shuō)方程細(xì)的罡)J+ 2” 43m = 26+E制的解是).3x + 2j +s =39x= P4(A) * / = 4 i(K=5fr+j? = 3(A)L + 7 =7E)卄十z4+ / +z - 6z + x = 2f x + 3j - z = 1(C)bjt-jf + z-3(Dx+y-z=7=13y r3z十$ 十2z = L04.已知下列兩

12、個(gè)方程組:(2+3/s = 92ax + 2by十亍韁=6與苗敗卵+專慮=6有相同的解則蔭、&s4ojf-3 + 2tz - 9(/0ff=l=3,c=2不對(duì)5已知尸滬+馭址莒I時(shí)尸莒時(shí)尸-如當(dāng)曰時(shí)尸斗則關(guān)干字母、是()，匚的值分別題).(DjOltS誡3、e的方程中正確的-P =-a - b + c-20 = -4fl + 2i? + r-4 = d+b+c1-9 =s+b + c20 = -4a + 2fc + c-4 = a-+i?4-c*I 4d.已知 取一卯-爐(忑_卵+滬OQt工叮工U尸式0),那么工卩左為()(A)4：3：9(D)4:3:7(QI 2:7:9(D)展上結(jié)論

13、均不對(duì)I -P =a b+C(C)+r-3j-2&的解為().jc+y-3z = 2c1-5 =ab + C-20 = 4a-2d + r-4 =a-i-b+c*二、填空題L在育程5工-卽+A3中弟L-1$-2貝廠_2.B單項(xiàng)式與|丹訃嚀是同類項(xiàng)鹿忑=_廠_工若已知|i-l代即+1）牛齢2）空-0,則2x-y+z_.4,醐曲,雕么2 心弓弓的値等于_+2y-7z=C產(chǎn)斗三、解下列方程組F十辺3F*三$，并求 媳+卽善咧二10中的用值-k十二H同步題埠四r ID 2D;3C,4C;5.D;6.D.二1.4,22$31詈；4提示由方程組得出仁曲尸址代入式中算）p-1p=7p-3三、ir*

14、2./=LD彳卡,代入等式中求出用=Z - -12-5I W = 1j =(2a+b-c)c)A 詁 n)s = - 2J)jf = (2-fc + c)(B) jr - (a- 264 c)D)x =-才 3 十”十z=L(d+2b + c-)j/+2z 1L 3jf-3j-4 = -3bx-2z=-44*三元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用EG01:某車間有 60 人，生產(chǎn)甲乙丙三種零件，每人每小時(shí)能生產(chǎn)甲 24 個(gè)，或 乙 20 個(gè)，或丙 16 個(gè)，現(xiàn)用零件甲 9 個(gè)，乙 15 個(gè)，丙 12 個(gè)，裝配成某機(jī)件，如 何安排勞動(dòng)力，才能使每小時(shí)生產(chǎn)的零件恰好成套？共有多少套？解：設(shè)生產(chǎn)甲、乙、丙三種零件

15、各有 x 人，y 人，z 人.根據(jù)題意得x+y+z=6024x/9=20y/15=16z/12解得 x=12,y=24,z=2424X12/9=32答：安排生產(chǎn)甲、乙、丙三種零件各有12 人，24 人，24 人，共有 32 套.EG02:甲、乙、丙三個(gè)數(shù)的和是 35，甲數(shù)的 2 倍比乙數(shù)大 5,乙數(shù)的 1/3 (三 分之一)等于丙數(shù)的 1/2 (二分之一)，求這三個(gè)數(shù)。解：設(shè)甲是 x，乙是 y，丙是 z則 x+y+z=35 (1)甲數(shù)的 2 倍比乙數(shù)大 52x-y=5 (2)乙數(shù)的 1/3 (三分之一)等于丙數(shù)的 1/2*y/3=z/2 (3)由和得到y(tǒng)=2x-5,z=2y/3=(4x-10)

16、/3代入(1)x+2x-5+4x/3-10/3=3513x/3=130/3x=10y=2x-2=15 z=2y/3=10所以甲是 10,乙是 15,丙是 10EX:1. 有甲乙丙三種貨物，若購(gòu)物甲種 3 件，乙種 7 件，丙 1 件需要 31.5 元，如 果購(gòu)買甲 4件， 乙 10 件， 丙 1 件共需要 42 元， 若購(gòu)甲乙丙各一件， 需要 10.5 元。 問(wèn)甲乙丙每件各多少元？2. 汽車在平路上每小時(shí)行 30 公里，上坡時(shí)每小時(shí)行 28 公里，下坡時(shí)每小時(shí) 行 35 公里，現(xiàn)在行駛 142 公里的路程用去 4 小時(shí)三十分鐘， 回來(lái)使用 4 小時(shí) 42 分鐘， 問(wèn)這段平路有多少公里？去時(shí)上下

17、坡路各有多少公里？3.某校初中三個(gè)年級(jí)一共有 651 人，初二的學(xué)生數(shù)比初三學(xué)生數(shù)多 10%初 一的學(xué)生數(shù)比初二的學(xué)生數(shù)多 5%求三個(gè)年級(jí)各有多少人？AW: 1 式子：3x+7y+z=31.5 4x+10y+z=42 x+y+z=10.5答案：？ ？這題有問(wèn)題，多解的(只要符合x(chóng)+3y=10.5)就行，真不知樓上怎么算出來(lái)的。2 :去時(shí)上坡 x 平路 y 下坡 zx+y+z=142 x/28+y/30+z/35=4.5 z/28+y/30+x/35=4.7答案：x=42 y=30 z=703:初一：x 初二：y 初三：z x+y+z=651 y=1.1z x=1.05y 答案：x=231y=2

18、20 z=200訓(xùn)練集中營(yíng) 1。現(xiàn)有 1 角，5 角，1 元硬幣各 10 枚從中取出 15 枚，共值 7 元，1 角，5角，1 元各取幾枚？2。甲地到乙地全稱是 3.3KM, 段上坡，一段平路，一段下坡，如果保持上坡 每小時(shí)行 3KM*平路每小時(shí)行 4KM 下坡每小時(shí)行 5KM 那么，從甲地到乙地需行 51 分，從乙地到甲地需行 53.4 分，求從甲地到乙地時(shí)的上坡。平路。下坡的路程各是多少？3。 水費(fèi)價(jià)格：不超過(guò) 6 立方米部分，每立方米 2 元。超過(guò) 6 立方米至 10 立方米 部分，每立方米 4 元。超過(guò) 10 立方米部分，每立方米 8 元。某居民三月和四月 共用水 15 立方米，交水費(fèi)

19、44 元，(四月用水量多于三月用水量)，求三月和四月 用水量？如果某居民某月用水量是 13.5立方米，則他需要交水費(fèi)多少元？4。 某足球聯(lián)賽一個(gè)賽季共進(jìn)行 26 場(chǎng)比賽(即每隊(duì)均賽 26 場(chǎng))，其中勝一場(chǎng)得三 分，平一場(chǎng)得一分，負(fù)一場(chǎng)得 0 分。某隊(duì)在這個(gè)賽季中平局的場(chǎng)數(shù)比負(fù)的場(chǎng)數(shù)多7 場(chǎng)，結(jié)果共得 34 分。這個(gè)隊(duì)在這個(gè)賽季中勝，平，負(fù)各多少場(chǎng)？5。 學(xué)校的籃球數(shù)比排球數(shù)的 2 倍少 3 個(gè)，足球數(shù)與排球數(shù)的比是 2： 3,三種球 共 41 個(gè)，求三種球各有多少6。 一個(gè)水池裝有甲、乙進(jìn)水管和丙出水管，若打開(kāi)甲管 4 小時(shí)，乙管 2 小時(shí)和 丙管 2 小時(shí)，則水池中余水 5 噸；若打開(kāi)甲管 2 小時(shí)，乙管 3 小時(shí)，丙管 1 小時(shí)， 則池中余水 1 噸，求打開(kāi)甲管 22 小時(shí)，乙管 5 小時(shí)，丙管 11 小時(shí)，池中余水多 少噸