任意角的三角函數(shù)教案新部編本設(shè)計對比

1、精品教學教案設(shè)計| Excellent teaching plan教師學科教案20 -20學年度第一學期任教學科:任教年級:任教老師:xx市實驗學校11、 任意角的三角函數(shù)（ 1）一、教學內(nèi)容分析三角函數(shù)是描述周期運動現(xiàn)象的重要的數(shù)學模型，有非常廣泛的應(yīng)用 .直角三角形簡單樸素的邊角關(guān)系， 以直角坐標系為工具進行自然地推廣而得到簡明的任意角的三角函數(shù)定義， 緊緊扣住三角函數(shù)定義這個寶貴的源泉， 自然地導(dǎo)出三角函數(shù)線、定義域、符號判斷、同角三角函數(shù)關(guān)系、多組誘導(dǎo)公式、圖象和性質(zhì)。 三角函數(shù)定義必然是學好全章內(nèi)容的關(guān)鍵， 如果學生掌握不好， 將直接影響到后續(xù)內(nèi)容的學習， 由三角函數(shù)定義的基礎(chǔ)性和應(yīng)

2、用的廣泛性決定了本節(jié)教材的重點就是定義本身 .二、學生學習情況分析在初中學生學習過銳角三角函數(shù)。 因此本課的內(nèi)容對于學生來說， 有比較厚實的基礎(chǔ)， 新課的引入會比較容易和順暢。 學生要面對的新的學習問題是， 角的概念推廣了，原先學生所熟悉的銳角三角函數(shù)的定義是否也可以推廣到任意角呢？通過這個問題，讓學生體會到新知識的發(fā)生是可能的，自然的。三、設(shè)計思想教學中注意用新課程理念處理教材， 采用學生自主探索、 動手實踐、 合作交流、閱讀自學，師生互動，教師發(fā)揮組織者、引導(dǎo)者、合作者的作用，引導(dǎo)學生主體參與、揭示本質(zhì)、經(jīng)歷過程.根據(jù)本節(jié)課內(nèi)容、高一學生認知特點，本節(jié)課采用“啟發(fā)探索、講練結(jié)合”的方法組織

3、教學 .四、教學目標1掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號） ；2、理解任意角的三角函數(shù)不同的定義方法；掌握并能初步運用公式一；樹立映射觀點，正確理解三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù).3、 通過單位圓和角的終邊, 探討任意角的三角函數(shù)值的求法, 最終得到任意角三角函數(shù)的定義. 根據(jù)角終邊所在位置不同 , 分別探討各三角函數(shù)的定義域以及這三種函數(shù)的值在各象限的符號. 借助有向線段進一步認識三角函數(shù).4、通過任意三角函數(shù)的定義，認識銳角三角函數(shù)是任意三角函數(shù)的一種特例，加深特殊與一般關(guān)系的理解。5、通過三角函數(shù)的幾何表示，使學生進一步加深對數(shù)形結(jié)合思想

4、的理解，拓展思維空間。通過學生積極參與知識的“發(fā)現(xiàn)”與“形成”的過程，培養(yǎng)合情猜測的能力，從中感悟數(shù)學概念的嚴謹性與科學性。五、 教學重點和難點重點：任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和 函數(shù)值在各象限的符號）；終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等（公式一）.難點：任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和 函數(shù)值在各象限的符號）；六、教學過程設(shè)計教學過程一、復(fù)習引入、回想再認（情景1）我們在初中通過銳角三角形的邊角關(guān)系，學習了銳角的正弦、余 弦、正切等三個三角函數(shù).請回想：這三個三角函數(shù)分別是怎樣規(guī)定的？學生口述后再投影展示，教師再根據(jù)投影進行強調(diào)：對邊

5、tan a =鄰邊對邊鄰邊sin a = ， con a =斜邊斜邊（情景2）我們已經(jīng)把銳角推廣到了任意角，銳角的三角函數(shù)概念也能推廣 到任意角嗎？試試看，可以獨立思考和探索，也可以互相討論！留時間讓學生獨立思考或自由討論，教師參與討論或巡回對學困生作啟發(fā)引 導(dǎo).能推廣嗎？怎樣推廣？針對剛才的問題點名讓學生回答 .用角的對邊、臨 邊、斜邊比值的說法顯然是受到阻礙了，由于1.1節(jié)已經(jīng)以直角坐標系為工具來 研究任意角了，學生一般會想到（否則教師進行提示）繼續(xù)用直角坐標系來研究 任意角的三角函數(shù).請同學們用直角坐標系重新角的始邊與x軸非負半軸 作PMLx軸于M構(gòu)造一個教師對學生回答情況進行點評后布置

6、任務(wù)情景：研究銳角三角函數(shù)定義！師生共做（學生口述，教師板書圖形和比值）：把銳角a安裝（如何安裝？角的頂點與原點重合, 重合）在直角坐標系中，在角a終邊上任取一點 P,根據(jù)銳角三角函數(shù)定義用x、y、tanRtAOMP 則/ MOP=x （銳角），設(shè) P （x,y） （x>0、y>0）, a 的臨邊 OM =x 對邊MP=y斜邊長|OP I =r.對邊 y鄰邊=xr列出銳角a的正弦、余弦、正切三個比x?二一 y精品教學教案設(shè)計| Excellent teaching plan育人猶如春風化雨，授業(yè)不惜蠟炬成灰(情景3)思考：對于確定的角 ，這三個比值是否會隨點P在 的終邊上 的位置的

7、改變而改變呢？顯然，我們可以將點取在使線段OP的長r 1的特殊 位置上，這樣就可以得到用直角坐標系內(nèi)的點的坐標表 示銳角三角函數(shù)：sin MP bOPcos OM aOPtanMP bOM a思考：上述銳角的三角函數(shù)值可以用終邊上一點的坐標表示.那么，角的概念推廣以后，我們應(yīng)該如何對初中的三角函數(shù)的定義進 行修改，以利推廣到任意角呢？本節(jié)課就研究這個問題一一任意角的三角函數(shù)先讓學生想象思考，作出主觀判斷，再用幾何畫板動畫演示，同時作好解釋 說明：引導(dǎo)學生觀察圖3,聯(lián)系相似三角形知識,（圖3）探索發(fā)現(xiàn)：對于銳角a的每一個確定值，三個比值都是 確定的，不會隨P在終邊上的移動而變化.、探究新知1 .

8、探究：結(jié)合上述銳角的三角函數(shù)值的求法，我們應(yīng)如何求解任意角的三角函數(shù)值呢？顯然，我們只需在角的終邊上找到一個點，使這個點到原點的距離為 1,然后 就可以類似銳角求得該角的三角函數(shù)值了 .所以，我們在此引入單位圓的定義：在 直角坐標系中，我們稱以原點O為圓心，以單位長度為半徑的圓.2 .思考：如何利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)的定義？如圖，設(shè) 是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點P(x, y),那么：(1) y叫做 的正弦(sine),記做sin ，即sin y；(2) x叫做的余弦(cossine),記做cos ,即cosx ；(3) _y 叫做的正切(tangent),記做 tan ，即 t

9、an(x0).xx注意：當a是銳角時，此定義與初中定義相同(指出對邊，鄰邊，斜邊所在)； 當a不是銳角時，也能夠找出三角函數(shù)，因為，既然有角，就必然有終邊，終邊 就必然與單位圓有交點P(x,y),從而就必然能夠最終算出三角函數(shù)值.四、探索定義域(情景4) 1、函數(shù)概念的三要素是什么？函數(shù)三要素：對應(yīng)法則、定義域、值域.正弦函數(shù)sin a的對應(yīng)法則是什么？正弦函數(shù)sin a的對應(yīng)法則，實質(zhì)上就是 sin a的定義：對a的每一個 確定的值，有唯一確定的比值 y/r與之對應(yīng)，即a一 y/r= sin a.2、布置任務(wù)情景：什么是三角函數(shù)的定義域？請求出三個三角函數(shù)的定義域，填寫下表：三角函數(shù)sin

10、a cos atan a定義域引導(dǎo)學生自主探索：如果沒有特別說明，那么使解析式有意義的自變量的取值范圍叫做函數(shù)的定 義域，三角函數(shù)的定義域自然是指：使比值有意義的角a的取值范圍.關(guān)于 sin a =y/r、cos a =x/r ,對于任意角 a (弧度數(shù))，r >0, y/r、x/r 包有意義，定義域都是實數(shù)集 R.對于tan a =y/x , a = k九+兀/2時x=0, y/x無意義，tan a的定義域是： a |aCR,且 k k tt + tt /2 .教師指出：sin a、cos a、tan a的定義域必須緊扣三角函數(shù)定義在理解的 基礎(chǔ)上記熟。五、符號判斷、形象識記(情景5)

11、能判斷三角函數(shù)值的正、負嗎？試試看！引導(dǎo)學生緊緊抓住三角函數(shù)定義來分析，r >0,三角函數(shù)值的符號決定于x、 y值的正負，根據(jù)終邊所在位置總結(jié)出形象的識記口訣：sin a= y/r :上正下負橫為0 cos a =x/r ：左負右正縱為 0 tan a =y/x :交叉正負六、練習鞏固、理解記憶1、 自學例1：求5-的正弦、余弦和正切值。32、角a的終邊經(jīng)過點P（3, -4）,求a的正弦，余弦及正切值.課堂練習：p17 題 1、2、3處理：要求取點用定義求解，針對計算過程提問、點評，理解鞏固定義 .強調(diào)：終邊在坐標軸上的角叫軸線角，如 0、冗/2、兀、3冗/2等，今后 經(jīng)常用到軸線角的三

12、角函數(shù)值,要結(jié)合三角函數(shù)定義記熟這些值.七、回顧小結(jié)、建構(gòu)網(wǎng)絡(luò)要求全體學生根據(jù)教師所提問題進行總結(jié)識記，提問檢查并強調(diào)：1 .你是怎樣把銳角三角函數(shù)定義推廣到任意角的？或者說任意角三角函數(shù)具體是怎樣定義的？（建立直角坐標系，使角的頂點與坐標原點重合，-,在終邊上任意取定一點P,-）2 .你如何判斷和記憶正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域？（根據(jù)定義，-）3 .你如何記憶正弦、余弦、正切函數(shù)值的符號？（根據(jù)定義，想象坐標位 置, ）設(shè)計意圖：遺忘的規(guī)律是先快后慢，回顧再現(xiàn)是記憶的重要途徑，在課堂內(nèi)及時總結(jié)識 記主要內(nèi)容是上策.此處以問題形式讓學生自己歸納識記本節(jié)課的主體內(nèi)容，抓住要害，人人參與，及時建

13、構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)，優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)認知能力.八、布置課外作業(yè)1 .書面作業(yè)：習題1.2第1、2題.2 .認真閱讀p20 ”閱讀與思考：三角學與天文學” ，了解三角學在天文學中 的重要作用。12、任意角的三角函數(shù)（1）精品教學教案設(shè)計| Excellent teaching plan一、教學內(nèi)容分析 ：本節(jié)課是三角函數(shù)這一章里最重要的一節(jié)課， 它是本章的基礎(chǔ)， 主要是從通過問題引導(dǎo)學生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過程， 從而很好理解任意角的三角函數(shù)的定義。在課程標準中：三角函數(shù)是基本初等函數(shù)，它是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學模型，在數(shù)學和其他領(lǐng)域中具有重要的作用。 課程標準還要求我們借助單位圓去理解任意

14、角的三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義。在本模塊中， 學生將通過實例學習三角函數(shù)及其基本性質(zhì)， 體會三角函數(shù)在解決具有變化規(guī)律的問題中的作用。二、學生學習情況分析我們的課堂教學常用“高起點、大容量、快推進”的做法，忽略了知識的發(fā)生發(fā)展過程， 以騰出更多的時間對學生加以反復(fù)的訓(xùn)練， 無形增加了學生的負擔，泯滅了學生學習的興趣。 我們雖然刻意地去改變教學的方式， 但仍太多舊時的痕跡， 若為了新課程而新課程又會使得美景變成了幻影， 失去新課程自然與清純之味。 如何讓學生把對初中銳角三角函數(shù)的定義及解直角三角形的知識遷移到學習任意角的三角函數(shù)的定義中？普通高中數(shù)學課程標準（ 實驗 ） 解讀 中在三角函

15、數(shù)的教學中， 教師應(yīng)該關(guān)注以下兩點：第一、根據(jù)學生的生活經(jīng)驗，創(chuàng)設(shè)豐富的情境，例如單調(diào)彈簧振子，圓上一點的運動，以及音樂、波浪、潮汐、四季變化等實例，使學生感受周期現(xiàn)象的廣泛存在， 認識周期現(xiàn)象的變化規(guī)律， 體會三角函數(shù)是刻畫周期現(xiàn)象的重要模型以及三角函數(shù)模型的意義。第二、 注重三角函數(shù)模型的運用即運用三角函數(shù)模型刻畫和描述周期變化的現(xiàn)象（周期振蕩現(xiàn)象） ，解決一些實際問題，這也是課程標準在三角函內(nèi)容處理上的一個突出特點。根據(jù) 課程標準 的指導(dǎo)思想， 任意角的三角函數(shù)的教學應(yīng)該幫助學生解決好兩個問題：其一：能從實際問題中識別并建立起三角函數(shù)的模型；其二： 借助單位圓理解任意角三角函數(shù)的定義并認

16、識其定義域、 函數(shù)值的符 號。三、設(shè)計理念：本節(jié)課通過多媒體信息技術(shù)展示摩天輪旋轉(zhuǎn)及生成的圖像， 讓學生感受到數(shù)學來源于生活，數(shù)學應(yīng)用于生活，激發(fā)同學們學習的樂趣。并通過問題的探究，體驗“數(shù)學是過程的思想” ，改變課程實施過程于強調(diào)接受學習，死記硬背，機械訓(xùn)練的現(xiàn)狀，倡導(dǎo)學生主動參與，樂于探究，勤于動手，培養(yǎng)學生學生收集和處理信息的能力，獲得新知識的能力，分析與解決問題的能力以及交流合作的能 力。四、教學目標：1 .借助摩天輪的情景問題很好地融合初中對三角函數(shù)的定義， 也能很好入在 直角坐標系中，很好將銳角三角函數(shù)的定義向任意角的三角函數(shù)過渡， 從通 過問題引導(dǎo)學生自主探究任意角的三角函數(shù)的生

17、成過程， 從而很好理解任意 角的三角函數(shù)的定義；2 .從任意角的三角函數(shù)的定義認識其定義域、函數(shù)值的符號；3 .能初步應(yīng)用定義分析和解決與三角函數(shù)值有關(guān)的一些簡單問題。五、教學重點和難點：1 .教學重點：任意角三角函數(shù)的定義.2 .教學難點：正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域.具體設(shè)計如下：六、教學過程第一部分一一情景引入問題1:如圖是一個摩天輪，假設(shè)它的中心離地面的高度為h。，它的直徑為2R,逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動一周需要 360 秒，若現(xiàn)在你坐在座艙中，從初始位置OAB發(fā)（如圖1所示）， 過了 30秒后，你離地面的高度h為多少？過了 45秒呢？過了 t秒呢？【設(shè)計意圖】：高中學生已經(jīng)具有豐富的

18、生活經(jīng)驗和一定的科學知識，因此 選擇感興趣的、與其生活實際密切相關(guān)的素材，此情景設(shè)計應(yīng)該有助于學生對知識的發(fā)生發(fā)展的理解。這個數(shù)學模型很好融合初中對三角函數(shù)的定交， 也能放在直角坐標系中，很好地將銳角三角函數(shù)的定義向任意角三角函數(shù)過渡，揭示函數(shù) 的本質(zhì)第二部分一一復(fù)習回顧銳角三角函數(shù)讓學生自主思考如何解決問題：“過了 30秒后，你離地面的高度為多少?圖2H【分析】：作圖如圖2很容易知道：從起始位置OA運動 30秒后到達P點位置，由題意知 AOP 30°,作PH垂直 地面交OA于M又知MH= ho,所以本問題轉(zhuǎn)變成求 PH再 次轉(zhuǎn)變?yōu)榍驪M要求PM就是回到初中所學的解直角三角形的問題即

19、銳角的三角函數(shù)。問題2:銳角的正弦函數(shù)如何定義?【學生自主探究】：學生很容易得到sin|MP|MP|OP | R| MP | Rsin| PH | ho Rsinh h0 Rsin所以學生很自然得到“過了 30秒后，過了 45秒, 你離地面的高度h為多少？”h1 h0 Rsin 300h2 h0 Rsin 450【教師總結(jié)】：t0在銳角的范圍中，h h0 Rsin t0第三部分一一引入新課問題3:請問t的范圍呢？隨著時間的推移，你 離地面的高度h為多少？能不能猜想Ph h0 Rsin t0 ?【分析】：若想做到這一點，就得把銳角的正弦推廣到任意角的正弦。今天我們就要來學習任意角的三函數(shù)角函數(shù)。

20、問題4:如圖建立直角坐標系，設(shè)點P(Xp.p),能你用直角坐標系中角的終邊上的點的坐標來表示銳角的正弦函數(shù)的定義嗎？能否也定義其它函數(shù)(余育人猶如春風化雨，授業(yè)不惜蠟炬成灰弦、正切)？【學生自主探究】：sin|MP | yP |OP | Rcos|OM_| TOP7XpR，tan|MP | yp|OM | xP問題5:改變終邊上的點的位置，這三個比值會改變嗎？為什么?【分析】：先由學生回答問題，教師再引導(dǎo)學生選幾個點，計算比值，獲得具體認識，并由相似三角形的性質(zhì)證明?！驹O(shè)計意圖】：讓學生深刻理解體會三角函數(shù)值不會隨著終邊上的點的位置的改變而改變，只與角有關(guān)系。通過摩天輪的演示，讓學生感受到第一

21、象限角的正弦可以跟銳角正弦的定義 一樣。問題6:大家根據(jù)第一象限角的正弦函數(shù)的定義，能否也給出第二象限角的定義呢？【學生自主探究】：學生通過上面已知知識| MP | yP得到sin-|OP | R學生定義好第二象限角后，讓學生自己算出摩天輪座艙在第150秒時，離地面的高度h ?通過摩天輪知道：h h0 Rsin 1500 h1 h0 Rsin300由此得到：sin1500 12【設(shè)計意圖】：通過這個，讓學生檢驗sin|MP_|0p!yp在第二象限角是否正確?問題7: sin也已在第三象限角或第四象限能成立嗎？|OP|【設(shè)計意圖】：讓學生通過模型，檢驗定義是否正確，從中讓學生自己發(fā)現(xiàn)正、負符號的

22、偏差。1（可以讓學生取t 210,從而h h0 Rsin210°，得至'2100= 1 ,發(fā)現(xiàn)、+一 |MP |MP I這與sin 1不相符，頭際上是sin ）|OP|OP|【教師總結(jié)】：我們通過個模型知道如何在某些范圍內(nèi)如何計算自已此時離 地面的高度，用數(shù)學模型h h0 Rsint0來表示，當摩天輪轉(zhuǎn)動，角度的概念也不知不覺地推廣到任意角，對于任意角的正弦不能只是依賴于角所在的直角三角 形中的對邊的長度比斜邊長度了，我更應(yīng)該用點P的橫坐標來代替|MP |或| MP ,那么這樣就能夠很好表示出正弦的函數(shù)任意角的定義。第三部分一一給出任意角三角函數(shù)的定義如圖3,已知點P(x,y

23、)為角 終邊上的點，點P到頂點。的距離為R,則sin - ( R) R x cos一(R)Rtan(k )x2【分析】：讓學生通過剛才的模型進一步體驗任意角三角函數(shù)的定義要點: 點、點的坐標、點到頂點的距離問題8:當摩天輪的半徑R= 1時，三角函數(shù)的定義會發(fā)生怎樣的變化?！緦W生自主探究】：sin y , cos x , tan - 0 x教師引導(dǎo)學生進行對比，學生通過對比發(fā)現(xiàn)取到原點的距離為 1的點可以使 表達式簡化。教師進一步給出單位圓的定義給出下列表格，讓學生自己補充完整三角函數(shù)定義 一：|OP| 1定義二：|OP| R定義域sinyy R x R y xcostan及時歸納總結(jié)有利學生對

24、所學知識的鞏固和掌握。第三部分一一例題講解例1.(課本P14例2)已知角 終邊經(jīng)過點Po( 3, 4),求角 的正弦、余 弦和正切值?！痉治觥浚鹤寣W生現(xiàn)學現(xiàn)實，得用上面的定義二就可以得到答案。例2.(課本P14例1)求"的正弦、余弦和正切值。3【學生自主探究】：讓學生自己思考并獨立完成。然后與課本的解答相對比 一下，發(fā)現(xiàn)本題的難點?！窘處熤v解】：本題題意很簡單，但是如何入手 卻是難點，關(guān)鍵是對本節(jié)課的三角函數(shù)定義的要點 有沒有領(lǐng)會清楚（任意角三角函數(shù)的定義要點：點、 點的坐標、點到頂點的距離），因此本題的重點之處 是如何利用單位圓找到這個點 P,如圖4可以知道由) ), _11POM一,又點P在第四象BM,得到P（1,這樣就可以很容易得到本題答案32不妨讓學生取R |OP| 4,能否也得到點P的坐標，得到的三角函數(shù)值是否與單位圓的一樣。這樣可以讓學生更深刻體驗三角函數(shù)的定義。第四部分一一鞏固練習練習1.例2變式求的正弦、余弦和正切值。6練習2.問題9:通過觀察摩天輪的旋轉(zhuǎn)，三角函數(shù)的角的終邊所在象限不同，請說說三角函數(shù)在各個象限內(nèi)的三角函數(shù)值的符號 ？獨立完成課本P15的“探 究”?！驹O(shè)計意圖】：練習1、練習2的設(shè)計與例2、例3銜接，主要目的是幫助 學生鞏固三角函數(shù)的本質(zhì)特征，引導(dǎo)學生從定義出發(fā)利用坐標平面內(nèi)的點的坐標 特征自主探究