八年級(jí)暑假同步講義：第19講證明舉例

1、八年級(jí)暑假班3 / 19證明舉例內(nèi)容分析幾何證明是八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期第十九章第一節(jié)內(nèi)容，主要對(duì)演繹證明和命題、 公理、定理的概念進(jìn)行講解，重點(diǎn)是真假命題的判定，難點(diǎn)是改寫出已知命題.通 過這節(jié)課的學(xué)習(xí)一方面為我們后面學(xué)習(xí)垂直平分線和角平分線等幾何內(nèi)容提供 依據(jù)，另一方面也為后面學(xué)習(xí)直角三角形性質(zhì)奠定基礎(chǔ).知識(shí)結(jié)構(gòu)模塊一：演繹證明知識(shí)精講1、演繹證明的概念演繹證明：演繹推理的過程就是演繹證明.也就是說演繹證明是指：從已知的概念、條件出發(fā)，依據(jù)已被確認(rèn)的事實(shí)和公認(rèn)的邏輯規(guī)則，推導(dǎo)出某結(jié)論為正確的過程.演繹推理是數(shù)學(xué)證明的一種常用的、 完全可靠的方法.演繹證明是一種嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明, 是我們現(xiàn)在要學(xué)習(xí)的

2、證明方式，簡稱為證明.I例題解析【例1】填空：(1)如圖，因?yàn)?1=60 (已知)，2=60 (已知)，所以/ ().(2)如圖，因?yàn)?ABPCD (已知)，所以 A D (),因?yàn)锳D PBC (已知)，所以 A (),【例2】 已知：如圖， ABC中，AB=AC, AD是外角/ CAE的平分線.求證：AD / BC.【難度】BC于D, EF BC于F,交EF BCAB于G,交CA延長【例3】已知：如圖，AD線于E ,1= 2 .求證：AD平分 BAC ,填寫分析和證明中的空白.分析：要證明 AD平分 BAC,只要證明而已知 1= 2,所以應(yīng)聯(lián)想這兩個(gè)角分別和1= 2的關(guān)系，由已知 BC的兩

3、條垂線可推出/,這時(shí)再觀察這兩對(duì)角的關(guān)系已不難得到結(jié)論.證明： AD BC, EF BC （已知）/（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）（兩直線平行，同位角相等）（已知），即AD平分 BAC （【例4】 求證：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩條邊的距離相等.根據(jù)題意做出圖形， 標(biāo)出必要的字母或符號(hào)，根據(jù)題設(shè)和結(jié)論，結(jié)合圖形寫出“已知”和“求證”【難度】八年級(jí)暑假班班假暑級(jí)年八模塊二：命題、公理、定理知識(shí)精講1、命題：能界定某個(gè)對(duì)象含義的句子叫作定義；對(duì)某一件事情做出判斷的句子叫作命題；其判斷為正確的命題叫作真命題；其判斷為錯(cuò)誤的命題叫作假命題.數(shù)學(xué)命題通常由假設(shè)、結(jié)論兩部分組成，可以寫成“如果那么”的形式，“

4、如果” 開始的部分是題設(shè)，“那么”開始的部分是結(jié)論.2、公理：人們從長期的實(shí)踐中總結(jié)出來的真命題.它們可以作為判斷其他命題真假的原始 依據(jù).3、定理：從公理或其他真命題出發(fā)，用推理方法證明為正確的，并進(jìn)一步作為判斷其他命 題定理真假的依據(jù)，這樣的真命題叫做定理.例題解析【例5】判斷下列語句是不是命題？(1)畫AOB的角平分線；(2)兩條直線相交，有幾個(gè)交點(diǎn)?(3)直角大于銳角；(4)直角大于鈍角；(5)今天可能要下雨；(6)幾何多有樂趣?。　倦y度】【例6】判斷下列命題的真假.(1)平行于同一條直線的兩直線平行;(2)垂直于同一條直線的兩直線平行;(3)同角的余角相等；(4)異號(hào)的兩數(shù)相加得負(fù)數(shù)

5、；(5)乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù).【難度】【例7】 下列描述不屬于定義的是().A.兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；B.正三角形是特殊的三角形；C.在同一平面內(nèi)三條線段首尾相連得到的圖形是三角形；D.含有未知數(shù)的等式叫做方程.【難度】【例8】 把下列命題改寫成“如果，那么”的形式：(1)直角三角形的兩個(gè)銳角互余；如果,那么(2)角平分線上點(diǎn)到角兩邊的距離相等；如果,那么(3)線段垂直平分線上點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等；如果,那么【難度】【例9】舉出下列假命題的反例：(1)兩個(gè)角是銳角的三角形是銳角三角形；(2)相等的角是對(duì)頂角；(3) 一個(gè)角的補(bǔ)角大于這個(gè)角；22(4)右 a b ,則 a

6、 b ;(5)若已知直線a、b、c,若a b , b c,則a c.【難度】【例10】下列說法中，正確的是().A.命題一定是正確的；B.不正確的判斷就不是命題;C.公理都是真命題；D.真命題都是定理.【難度】【例11下列命題是假命題的是().A .有兩角及其中一角的角平分線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；B.有兩角及其中一角的對(duì)邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；C.有兩邊及其中一邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；D.有兩邊及其中一邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.【難度】【例12】已知：如圖，在VABC中，ACB 90 , CD AB于點(diǎn)D,點(diǎn)E在AC上，CE BC ,過E點(diǎn)作AC的垂線，交CD

7、的延長線于點(diǎn)F .求證：AB FC .7 / 19【例13如圖，已知RtVABC中，ACB 90 ,CD AB于D,AE為 A的角平分線，交CD于E ,過E作BC的平行線，交AB于點(diǎn)求證：AF AC .B【例14已知：如圖， AB CD, AD BC ,AE CF .求證： E= F .【例15如圖，四邊形 ABCD中，DE平分 ADC,交AB于點(diǎn)E, BGC GBC , BG平行ED交AD延長線于點(diǎn)P .求證：AD/BC.【難度】【例16如圖，已知VABC中，D是邊BC的中點(diǎn)，E、F分別在邊AB , AC上，且EF/BC,ED FD .求證： AEF AFE .【難度】【例17如圖，點(diǎn)C是A

8、B上的一點(diǎn)，在AB的同旁做等邊VACD和等邊VBCE, AE與CD交于點(diǎn) M, BD與CE相交于點(diǎn) N .求證：CM CN .【難度】班假暑級(jí)年八【例18如圖，已知在VABC中，AD平分 BAC, BE /AD ,交CA延長線于點(diǎn)E, F是BE的中點(diǎn).求證：AF BE .【難度】【例19如圖，已知BE、CF是VABC的高，且BP 求證：AP AQ .【難度】【例20如圖所示，問 1、2、3、4要滿足什么條彳可以證明 AB PCD ?【難度】9/ 19八年級(jí)暑假班【例21】已知：如圖所示，AB=AC, A 90 , AE 求證：FD ED .【難度】E【例22如圖，已知銳角VABC,分別以BC、

9、BA 內(nèi)側(cè)作等腰VBCD和VBAE,延長DA、EC ,父十 求證：DF EF .【難度】【例23如圖，已知D、E兩點(diǎn)分別在 AR AC上，F(xiàn) .求證：FB FC .【難度】BF , BD DC .A ZK3 D C直角邊，皆以B為直角頂點(diǎn)，向VABC氏F .DEAD AE , BD CE , BE、CD 父十點(diǎn)AB C11 / 19八年級(jí)暑假班班假暑級(jí)年八15 / 19【例24】等腰直角三角形 ABC中， A 90 , B的平分線交AC于D ,過點(diǎn)D向BD做垂線，并與BD延長線交于點(diǎn)E .求證：BD 2CE .【難度】【例25如圖，已知： BAC 90 , AB AC, M是AC的中點(diǎn)， AD

10、 BM于E ,交BC于D .求證： AMB DMC .【難度】【例26如圖所示，已知VABC為等邊三角形，延長BC至U D ,延長BA到E ,并且使AE=BD ,連結(jié)CE、DE .求證：EC=ED .【難度】【例27如圖，已知：AC平分BAD , BC求證： B D 180 .CD , AD【例28已知：如圖所示，正方形ABCD 中,F 在 DC 上，E 在 BC 上， EAF 45 .求證：EF BE DF .【例29如圖所示，在VABC中,AB 2ACD是AB的中點(diǎn),求證：BC 2CE .E是AD的中點(diǎn).【例30如圖，已知：在 VABC外作正方形，1求證：AM EF.2【難度】【例31已知

11、：如圖，過 ABC的頂點(diǎn)A,在 和CQ ,設(shè)M為BC的中點(diǎn).求證：MP=MQ.【難度】【例32如圖，已知：在 VABC中，AC E 點(diǎn)，PQ AB 于 Q,PR AC于 R. 求證：PQ PR AB.【難度】假暑級(jí)年八一ABDE和ACGF, M是BC的中點(diǎn).E .JBA內(nèi)任引一射線，過B C作此射線的垂線 BPABP心, ACB 90 , AD AC , P 是 CD 上任意一BAR C八年級(jí)暑假班21 / 19隨堂檢測【習(xí)題1】命題“互余的兩個(gè)角一定是銳角”是 命題(填“真”或“假”).【難度】【習(xí)題2】下列命題中，是真命題的有().A.兩銳角之和是銳角B.鈍角減去銳角得銳角C.鈍角大于它的

12、補(bǔ)角D.銳角小于它的余角【難度】【習(xí)題3】將下列命題改寫成 如果，那么”的形式：(1)同角的余角相等；(2)直角都相等；(3)對(duì)頂角相等；(4)在一個(gè)三角形中，等角對(duì)等邊.【難度】【習(xí)題4】求證“三角形內(nèi)角和等于 180?！保⒄f明其中的因果關(guān)系.【難度】【習(xí)題5】 已知：四邊形 ABCD中，ADPBC, E是線段DC的中點(diǎn)，AE是 BAD的平分線.求證：BE是 ABC的平分線.【難度】【習(xí)題6】如圖，已知：在 VABC中，AD平分 BAC , BD CD.求證：AB AC .【難度】【習(xí)題7】如圖，已知，AD是VABC的角平分線，C 2 B,將VABC沿直線AD翻折,點(diǎn)C落在AB的E處.試判

13、斷VEBD的形狀，并加以證明.A【難度】【習(xí)題8】 如圖，已知 CA AB, E為AB上一點(diǎn)， CE平分 ACD , DE平分 CDB ,CED 90 .求證：AB DB .【難度】【習(xí)題9已知：如圖， ABC中， C 90 , AC BC , AD DB , AE CF .求證：DE DF .【難度】【習(xí)題10】 如圖，已知銳角 VABC ,分別以AB、AC為一直角邊，皆以 A為直角頂點(diǎn),向VABC外側(cè)作等腰VABD和VACE ,聯(lián)結(jié)CD、BE交于點(diǎn)F .求證：CD BE .【難度】【習(xí)題11 如圖，已知：AC 2AB,D是AC中點(diǎn)，E是AD中點(diǎn)，點(diǎn)F在BE延長線上,且 BE EF.求證：B

14、C 2EF , F C .【難度】班假暑級(jí)年八【習(xí)題12 如圖，已知：在正方形 ABCD中，M是DC的中點(diǎn)，BAE 2 DAM .求證：AE BC CE .【難度】課后作業(yè)【作業(yè)1】下列語句中，正確的是().A.相等的角是對(duì)頂角；B.三角形的兩銳角互余；C.判定兩個(gè)三角形全等，至少需要一對(duì)邊相等;D.面積相等的兩個(gè)三角形全等.【難度】【作業(yè)2】把下列命題改寫成“如果那么”的形式，并指出這個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論.(1)對(duì)頂角相等；(2)同位角相等，兩直線平行；(3)同角的余角相等.【難度】【作業(yè)3】 如圖，已知： ABC中，/ B = 2/C, BC = 2AB .求證：/ A = 90 °

15、;【難度】八年級(jí)暑假班【作業(yè)4】已知：如圖，/ 1 = /2, AB>AC.求證：BD>DC.【難度】1【作業(yè)5】已知：如圖，AD/BC, AE、BE分別平分A ; BDDAB和 CBA , DC 過點(diǎn) E.求證：AB AD BC .【難度】【作業(yè)6】已知：AB AC , A 108 ,1求證：BC AB CD.【難度】【作業(yè)7】如圖，已知：在四邊形 ABCD中，求證：CE平分 BCD.【難度】CAB2.A BVcAB / /CD , BE 平分 ABC , AB CD BC . ;ED27 / 19【難度】DA DB , P為等邊 VABC外一點(diǎn),【作業(yè)8】 到三角形三條邊距離相等的點(diǎn)，叫做此三角形的內(nèi)心，由此我們引入如下定義：到三角形的兩條邊距離相等的點(diǎn)，叫做此三角形的準(zhǔn)內(nèi)心.舉例：如圖若AD平分 CAB,則AD上的點(diǎn)E為 ABC的準(zhǔn)內(nèi)心.1應(yīng)用：(1)如圖AD為等邊二角形 ABC的電準(zhǔn)內(nèi)心P在局AD上，且PDAB ,則2/ BPC的度數(shù)為 度.(2)如圖已知直角 VABC中，斜邊AB 5, BC 3 ,準(zhǔn)內(nèi)心P在邊BC上，求CP的長.【作業(yè)9】如