圖像處理與分析-王偉強(qiáng)-作業(yè)題及答案匯總-2016年版_第1頁(yè)
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1、【作業(yè)1】1、完成課本習(xí)題3.2(a)(b),課本中文版處理第二版的113頁(yè)。可以通過(guò)matlab幫助你分析理解。a:1s=T(r)=irb:E控制函數(shù)的斜坡,也就是函數(shù)的傾斜程度,E越大,函數(shù)傾斜程度越大,如下圖1,圖2所示:圖 2: E二202、一幅8灰度級(jí)圖像具有如下所示的直方圖,求直方圖均衡后的灰度級(jí)和對(duì)應(yīng)概率,并畫(huà)出均衡后 的直方圖的示意圖。(計(jì)算中采用向上取整方法,圖中的0個(gè)不同灰度級(jí)對(duì)應(yīng)的歸一化直方圖為0.170.25 0.21 0.16 0.07 0.08 0.04 0.02)【解答】直方圖均衡采用公式rSr = 幾(w)- 1w=0式中,G為灰度級(jí)數(shù),取8, Pr(w)為灰度

2、級(jí)W的概率,Sr為變換后的灰度,計(jì)算過(guò)程如下表所灰度級(jí)r各級(jí)概率Pr(。累積概率爲(wèi)=°E(w)累積概率X8-1向上取整Sr00.170.170.36110.250.422.36320.210.634.04530.160.795.32640.070.865.88650.080.946.52760.040.986.84770.02177則新灰度級(jí)的概率分別是:Ps(o)= 0Ps(l) = Pr(0)=0.17Ps(2) = 0Ps(3) = Pr =0.25Ps(4) = 0Ps(5) = Pr(2)二 0.21Ps(6) = Pr(3) + Pr(4) = 0.23Ps(7)二 Pr

3、(5)= Pr(6) = Pr(7) = 0.14編寫(xiě)matlab程序并繪制直方圖:s=0:l:7;p=0 0.17 0 0.25 0 0.21 0.23 0.14; bar(s,p);axis(卜18 0 0.3);可以看出,此圖較題目原圖更加“均勻”。【作業(yè)2】1、完成課本數(shù)字圖像處理第二版114頁(yè),習(xí)題3.10o3.10 一幅圖像的灰度PDF.p/r)示于下圖°現(xiàn)對(duì)此田像進(jìn)行灰度變換,使其灰度衷達(dá)式為 下面右圖的假設(shè)灰度值連續(xù),求完成這一要求的變換(尸到刃?!窘獯稹坑蓤D可知pr(r) = 一2廠 + 2,(0 < r < 1)p,z) = 2z,(0 S zS 1)

4、將兩圖做直方圖均衡變換Si(2w + 2)dw = -r2 + 2rS2 = r2(z) = f pz(w)dw = f (2w)dw = z2丿0丿0令上而兩式相等,則z2 = -r2 + 2r因?yàn)榛叶燃?jí)非負(fù),所以z = yj-r2 + 2r2、請(qǐng)計(jì)算如下兩個(gè)向量與矩陣的卷積計(jì)算結(jié)果。(1) 123454321*20-2-101-202-101.rl32041 03230 4 10 52 3214L3 1 0 4 2【解答】(1)設(shè)向量a二1 2 34543 2 1 ,下標(biāo)從-4 到 4,即 a(-4)二 1, a(-3)=2a (4)=1:設(shè)向量 b二20-2,下標(biāo)從到1,即b(-l)=2

5、, b(0)二0, b(l)=-2:設(shè)向量c=a*b,下標(biāo)從5到5。根據(jù)卷積公式可知oo4C(x) = y a(r)b(x 一 r) = y a(r)b(x - 0t=-oot=-4其中,5SXV5,則c(-S)=a(-4)b(-l)=l*2=2c(-4)=a(-4)b(0)+a(-3)b(-l)=l*0+2*2=4c(-3)=a(-4)b(l)+a(-3)b(0)+a(-2)b(-l)=l*(-2)+2*0+3*2=4c(-2)=a(-3)b(l)+a(-2)b(0)+a(-l)b(-l)=2*(-2)+3*0+4*2=4 c(-l)=a(-2)b(l)+a(-l)b(0)+a(0)b(-l

6、)=3*(-2)+4*0+5*2=4 c(0)=a(-l)b(l)+a(0)b(0)+a(l)b(-l)=4*(-2)+5*0+4*2=0 c(l)=a(0)b(l)+a(l)b(0)+a(2)b(-l)=5*(-2)+4*0+3*2=-4 c(2)=a(l)b(l)+a(2)b(0)+a(3)b(-l)=4*(-2)+3*0+2*2=-4 c(3)=a(2)b(l)+a(3)b(0)+a(4)b(-l)=3*(-2)+2*0+l*2=-4 c(4)=a(3)b(l)+a(4)b(0)=2*(-2)+r0=-4c(5)=a(4)b(l)=l*(-2)=-2所以卷積結(jié)果為:244440-4-4-

7、4-4-2(2)設(shè)矩陣-1 0 1 b= 2 0 2-1 0 1.下標(biāo)從(-1,-1)到(1,1),即b(-l,O)=Ob(l,l)=l:設(shè)矩陣rl13023a =0412323100 4i2 30 51 44 2-下標(biāo)從(-2,-2)到(2,2),即 a(-2,-2)=3, a(-2,-l)=2a(2,2)=4;設(shè)矩陣c=a*b=b*a,下標(biāo)從(-3,-3)到(3,3)。根據(jù)卷積公式可知6cgy)=a(s, t)b(x t)工工 a(s,t)d(x-s,y-S=8 t = 00其中,-3<x<3, -3<y <3,則cG3r3)=a(-2r2)b(-lrl)=3*(-

8、l)=-3c(0,0)二 a(ld)b(U)+a(JO)b(lQ)+a(dl)b(ll)+a(0,l)b(0,l)+a(0,0)b(0,0)+a(0,l)b(0,l)+a(l,-l)b(-l,l)+a(l,O)b(-l,O)+a(l,l)b(-l,-l) =3*l+4*2+0*l+2*0+l*0+3*0+l*(-l)+0*(-2)+2*(-l)=8c(3>3)=a(2l2)b(14)=4*l=4所以卷積結(jié)果為:-133204-36444211-37636415-3-1148-10317-7-1125-10615-8564698-313-3242【作業(yè)3】1、高斯型低通濾波器在頻域中的傳遞

9、函數(shù)是H(u,v) = Ae(u2+v2)/2a2根據(jù)二維傅里葉性質(zhì),證明空間域的相應(yīng)濾波器形式為h(x,y)=人2"2尹屆 2(x2+y2)這些閉合形式只適用于連續(xù)變量情況。在證明中假設(shè)已經(jīng)知道如下結(jié)論:函數(shù)eFx2+y2)的傅立葉變換為ef(u2+v2)【解答】Ae-(u2+v2)/2G2eJ27r(ux+vy)du 加8 /-00IDFT(H(u,v) =丿_8丿一82i2nvydu dv-糸(宀丿42巧)血加7#=Ae 一加2(尤2+護(hù))e肘dse2adr/00 8 .Iye-5(u2-j47ra2ux-47r2a4x2+47r2a4x2)丿一8丿一8-v2-j4na2vy-

10、4n2oAy2+4Tt2aAy2')du 加f 00=1f00(u-j2na2x)2(v-j2na2y)21 Ae2以 e"2/t oxe22 e2n a y dudvJ_8 J= u - j2na2x9 s =00=v - j2na2y,則 du=dr, dv二ds,上式寫(xiě)成:r 88r2$2=I1 Ae 一廬e 一松幾%-莎0-2於曠廠石ds00 丿 _800 s2 e喬ds-00因?yàn)楹髢身?xiàng)是高斯分布,在-8到8積分為1,故上式等于:=A2 /I a 2 e-2n2ff2(x2+y2) = h(x, y)命題得證:>2、第二版課本習(xí)題4.6 (a)4.6 ()證明式

11、(4.2.21)的正確性。3/IxfZ)(- !),>, =- M/2,v - M2)(4.2.21)【解答】先來(lái)證明結(jié)論(一1尸打=劌(時(shí)刃根據(jù)歐拉公式展開(kāi)等式右邊e;7r(x+y) = cos(x + y)/r + j sin(x + y)zr因?yàn)閤, y均為整數(shù),故sin(x 4- y)zr = 0,當(dāng) x+y 為奇數(shù)時(shí),cos(x + y)7r = -1當(dāng)x+y為偶數(shù)時(shí),cos(x+y)兀=1故(-iy+y = g刀仗+刃再來(lái)證明題中等式DFTfyX-lY = DFT(/,(xly)e>7r(x+>,)M-1N-1=22心刃嚴(yán)刃宀(汨 x=0 y=0=希Y 5心刃嚴(yán)吩

12、贄鋼小畔磅) x=0 y=0M-1N-1x=0 y=0/(x,y)e_;-2Jd+±J MN9#3、規(guī)察如下所示圖像。右邊的圖像這樣得到:(a)用左側(cè)圖像乘以(-1嚴(yán)+人(b)計(jì)算離散傅里葉變換 (DFT): (c)對(duì)變換取復(fù)共轆:(d)計(jì)算離散傅里葉反變換;(e)結(jié)果的實(shí)部再乘以(-l)x+yo用數(shù)學(xué)方 法解釋為什么會(huì)產(chǎn)生右圖的效果。(忽略中間和右側(cè)的黑白條紋,原題沒(méi)有)#【解答】已知M-lN-1IDFT(F(仏 V) = 乂 F(u,嘆如(而+扌)=u=0 v=0則傅里葉變換的共轆復(fù)數(shù)進(jìn)行傅里葉反變換的結(jié)果如下:M-lN-l(荻)=希工u=0 v=0F(u, v)ej2rr(+u

13、=0 v=0設(shè)原始圖像為fdy),經(jīng)過(guò)(a)變換后得到(一 1嚴(yán)7(兀刃經(jīng)過(guò)(b)變換后得到M-lN-1F(S)£(一1嚴(yán)弓(3)"驚等)u=0 v=0經(jīng)過(guò)(c)變換后得到M7N7F0叭=希£刃-1嚴(yán)7(3)嚴(yán)(K) u=0 v=0經(jīng)過(guò)(d)變換后得到/DFr(r(u,v)嚴(yán)(號(hào))嚴(yán)詐)u=0 v=0u=0 v=0其實(shí)部為(-1嚴(yán)7(-兀,-刃,經(jīng)過(guò))變換后得到(一 1嚴(yán)y(-1嚴(yán)芳(一兀,一 y) =f(-匕一 y)最終效果是將原圖像上下顛倒,左右顛倒,實(shí)現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)180度的效果。 【作業(yè)4】1、請(qǐng)用公式列舉并描述出你所知道的有關(guān)傅里葉變換的性質(zhì)?!窘獯稹?、時(shí)移

14、性2、頻移性3、均值4、共軌對(duì)稱性5、對(duì)稱性6、周期性7、線性8、微分特性9、卷積定理9(/(巧®o, y yo) = F(u,必-伽(守+ 驢)/(x, y)eT細(xì)出 +黔)=pfu 如,空 _ %)§/(龍,諷一 1尸+可=戸伍一尋一知F©0)=昴刀沽乞仁打他)F(tx,v) = F*(u, -v)|F(",e)| = |F(-u,-v)|f(x, y) = f(x + M, ”) = /(x, y + N)=危 + M, + N) F(u, v) = F(u + M, u) = F(u, q + N) = F(u + M, t; + N)&

15、(時(shí)(a, y) + bg(x, y) = a(/(x, y) 4-網(wǎng)g(z,!/)9("?£?")=(角®)吩(f(z,y) = (j27ru)nF(u, v) a(-J27ru)n/(,2/)=唱斡(V2y(x,j/) = 47r2(u2 4- v2)F(u, v)(叭 y)*gw) = f(u,v)g(u,v)9Cf,y)g(z,y) = f(u,u)*g(“,q)10、相關(guān)定理?(/(另,y)°y)=廠他 v)G(u, v)y) o f(r,y) = |F(u,u)|20(廣(i,u) = f倣e)。G(u,©)9(|f (叭

16、 y)2)=囚(s v)o F 他 v)11、相似性0(/(如,切) = F住昇)12、兒種持殊函數(shù)的傅里葉變換6(h, y) o 1A2ira2exp(<27v2(y2x2 + /) Ocos(27ruox + 27rvo2/) o |<5(u 4- un, v 4-vo) 4- 6(u uqv vo) sin(27ruox + 27rvoy) o j'6(u + u(), u + 如)一 5(u -u(),v - v0)2、中文課本173頁(yè)習(xí)題4.214.21在4.6.3節(jié)較詳細(xì)地討論了頻率域過(guò)濾時(shí)需要的圖像延拓。在凌節(jié)中,說(shuō)明了需要延 拓的圖像在圖像中行和列的末尾要填

17、充0值(見(jiàn)下面左圖)。你認(rèn)為如果我們把圖像 枚衣中心,円弭填充0值(見(jiàn)下面右圖)而不改變0值的總數(shù),會(huì)有區(qū)別嗎”請(qǐng)無(wú)釋。11【解答】沒(méi)有區(qū)別,補(bǔ)0延拓的目的是在DFT相鄰隱藏周期之間建立一個(gè)“緩沖區(qū)”。如果把左邊的圖像 無(wú)限復(fù)制多次,以覆蓋整個(gè)平面,那么將形成一個(gè)棋盤(pán),棋盤(pán)中的每個(gè)方格都是本圖片和黑色的擴(kuò)展 部分。假如將右邊的圖片做同樣的處理,所得結(jié)果也是一樣的。因此,無(wú)論哪種形式的延拓,都能達(dá) 到相同的分離圖像的效果。3、(1)假設(shè)我們有一個(gè)0,1上的均勻分布隨機(jī)數(shù)發(fā)生器U(0,l),請(qǐng)基于它構(gòu)造指數(shù)分布的隨機(jī)數(shù)發(fā) 生器,推導(dǎo)出隨機(jī)數(shù)生成方程。(2)若我們有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)發(fā)生器N(

18、0,1),請(qǐng)推導(dǎo)出對(duì) 數(shù)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)生成方程。【解答】(1)設(shè)U(0,l)可生成隨機(jī)數(shù)W,用它來(lái)生成具有指數(shù)CDF的隨機(jī)數(shù)z,其CDF具有下面的形式F(z) =l-eaz,Z > 00 ,Z V 0令 F(z)二w,當(dāng) zNO 時(shí),解方程 1 eaz = w得z = iln(l 一 w)a由于we0,1,由上式可知zMO,因而不存在zvO的情況。 所以隨機(jī)數(shù)生成方程為:z = -扣(1-(7(0,1)(2)設(shè)N(0,l)可生成隨機(jī)數(shù)w,用它來(lái)生成具有對(duì)數(shù)正態(tài)分布CDF的隨機(jī)數(shù)z,其CDF具有下面的形式Cz 1ln(v)-a2F(Z)= I e2b2 dv丿o yj27ib令F(z)=

19、w,解方程Cz 1In(v)-a2i f e b2 dv = w丿o v 2 Tib得 z =所以隨機(jī)數(shù)生成方程為:Z =嚴(yán)(0,l)+a當(dāng)b二1,滬0時(shí),標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)生成方程為:z = eN(o)4、對(duì)于公式給出的逆諧波濾波回答下列問(wèn)題:(a) 解釋為什么當(dāng)Q是正值時(shí)濾波對(duì)公除“胡椒”噪聲有效?(b) 解釋為什么當(dāng)Q是負(fù)值時(shí)濾波對(duì)去除“鹽”噪聲有效?【解答】將原公式變形右、X(sQ 和 9(S,t)屮 倫宀血go(心E(sQGSxy9(s, t)Qg(s, t) 刀(sQ®g(s,r)Q vggt)Q(.、一(盍上式可看做求(x,y)鄰域內(nèi)所有(s,t)點(diǎn)的加權(quán)平均值,

20、權(quán)重的分母是個(gè)常數(shù),只需 考慮分子g(s,t)Q的大小。(a)當(dāng)Q>0時(shí),g(s,r)Q對(duì)g(s,r)有增強(qiáng)作用,由于“胡椒”噪聲值較小,對(duì)加權(quán)平均結(jié)果的影響較小,所以濾波后噪聲點(diǎn)處(x,y)取值和周用其他值更接近,有利于消除“胡椒”噪聲。(b)當(dāng)QvOII寸,g(s,r)Q對(duì)g(s,t)有削弱作用,由于“鹽”噪再值較大,取倒數(shù)后較小,對(duì)加權(quán)平均結(jié)果的影響較小,所以濾波后噪聲點(diǎn)處(x,y)取值和周圍其他值更接近,有利f消除“鹽”噪聲?!咀鳂I(yè)5】1、請(qǐng)證明帶通與帶阻的頻域關(guān)系公式,即課本中的關(guān)系公式Hbp(u,v) = 1 -Hbr(u, v)【解答】g72設(shè)Do是帶寬的徑向中心,W是帶寬

21、,D是D(u,v)距濾波器中心的距離。理想帶通濾波器的頻域公式為:(WW島包譏 1,D0-t<D<D0 + T10, others理想帶阻濾波器的頻域公式為:(WWH”(u)= 6 D°T-D-Do+T11, others由此可知Hbpu.v) = 1一丹血(41?)圖形化表示即為:圖中黑色代表0,白色代表1,左圖是帶阻濾波器,右圖是帶通濾波器??梢园l(fā)現(xiàn)兩圖是“互補(bǔ)” 的,若將對(duì)應(yīng)點(diǎn)數(shù)值相加,則全為1。證法二一張圖像f(x,y)可拆分為帶阻部分fr(x,y)和帶通部分fp(x,y),即f O,y)=幾 O,y) + fP,y)也可看做由帶阻濾波器和帶通濾波器分別卷積后亮加

22、所得:f(x,y) = f(x,y) hbrx,y) + f(x,y) * hbp(xty)等式兩邊取傅里葉變換得F(X V)= F(u9V)+ F(u9 v)Hbp(u9 v)F(u, v) = F(u, v)Hbr(u, v) + Hbp(u, v)Hbr(u,v + Hbpu, v) = 1Hbp(u9 v) = 1- Hbr(u9 v)2、復(fù)習(xí)理解課本中最佳陷波濾波器進(jìn)行圖像恢復(fù)的過(guò)程,請(qǐng)推導(dǎo)出w(xy)最優(yōu)解的計(jì)算過(guò)程,即從公式認(rèn)叭0到(2)(x,y)=匕密心)曲)Z)的推導(dǎo)過(guò)程。S) x,y)【解答】因?yàn)?a鞏兀刃 一(2° + 1)(2力+1) ZZ g(x + s,y

23、 + t) - w(x,y)7(x + s,y + t)s=a t=b一療ay)-w&,y)”(x,y)2所以對(duì)w(x, y)求偏導(dǎo)數(shù),并令其等于0o,a bdo2xf y) d1V1 V1_喬麗必a(2a+l)(2b + l)l 2Jg + s,y + r)-g,y)s=-a t=-b+ W(%,刃Tf(xt y) 一 4(% + s,y+ t)2 = 0令a = ff(x,y) - rj(x + s,y +1), b = gx + s9y + t) - gx9y), N = (2a + l)(2b + 1),則上式可簡(jiǎn)寫(xiě)成a bdw(x,y)N zz (aw(x,y) +b2 s=

24、-a t=-ba bo1 U p d(aw(xfy) + b2 N L L dw(x,y) s=a t=b已知daw(xf y) + b2 =2(awdy) + b)a = 0dwgy)的解為所以a b_,、1 V p 9(x + s+ r)-0(xj)w xy _ N7/(x + s,y + r) 療(x,y)s=-a t=-ba b_=£ y y 90 + S,y + r) 0(x,y)5O + s,y + t) + 帀O,y) 一 N 乙 Zj mo + s,y + r) 療(x,y)5O + s,y + r) + 帀(x,y) s二一a t=-b令9 = 9(x + s,y

25、+ t), 7 = T(x + s,y +1),則上式等于a b_ £ y y gq 一 0(Xy)o +9療0)一 9(Xy)9(Xy) N 乙乙r/2(x + s,y + t) - rj2(x9y)s=-a t=-bUy)z/(x,yj- (x,y)(x,刃 +0)療(乙 刃 一 (x,y)(x,y)*(乙刃-護(hù)(乙刃9(x,y)oa,y) -歹dy)帀(兀,刃廬a,y)-滬匕刃推導(dǎo)成立,3、考慮在x方向均勻加速導(dǎo)致的圖像模糊問(wèn)題。如果圖像在t二0靜止,并用均勻加速Xo(t) = at2/2 加速,對(duì)于時(shí)間T,找出模糊函數(shù)H(u,v),可以假設(shè)快門(mén)開(kāi)關(guān)時(shí)間忽略不計(jì)?!窘獯稹坑啥x

26、可知H(u,v)=f丿0e-;27rux0(t)+vyo(Ol di17#將兀o(t)=中,y0(t) = 0代入得H(u,v)=j2nuat2e -2- dtTejnuat2dt#上述積分難以化簡(jiǎn),故不再推導(dǎo)。4、已知一個(gè)退化系統(tǒng)的退化函數(shù)H(u,v),以及噪聲的均值與方差,請(qǐng)描述如何利用約束最小二乘方 算法計(jì)算出原圖像的估計(jì)?!窘獯稹款l域中原圖像的估計(jì)由下式給出""'叭|H(u,v)|2+ y|P(u,v)|2 ®u,v)其中P(U,V)是拉普拉斯算子的傅里葉變換。定義“殘差”向最曠=g-Hf,由于戸仙“)是y的函數(shù),則/和廠都是y的函數(shù)。令°

27、;(y) = rTr = |r|2, 則它是y的單調(diào)遞增函數(shù)。再調(diào)整y使|r=Hq|2 ± a, a是一個(gè)精確度因子。已知噪聲的均值為他,方差硝,和H(u,v)、P(u,v),(1) 設(shè)定一個(gè)y的初始值,(3)(4)計(jì)算lF,若滿足IIH|2 = |訓(xùn)2 土 a則執(zhí)行第4步,若不滿足,則調(diào)整y大小,然后返回第2步。 使用最新的廠計(jì)算|H(u,v)|2 + y|P(u,v)|2再通過(guò)傅里葉反變換即可得到估計(jì)圖像。 【作業(yè)6】1> rlg,b是RGB彩色空間沿R,G,B軸的單位向星,定義向星dR dG dBu =喬*耳“條方G(u,v)(5)dR dG dB 西廠+西西“gyyf定

28、義為這兩個(gè)向量的點(diǎn)乘:硼=心=|斜+竄on.2_ dR dR dG dG dB dB dx dy dx dy dx dy推導(dǎo)出最大變換率方向&和點(diǎn)(x,y)在&方向上變化率的值F(&)?!窘獯稹恳笞畲笞儞Q率方向,即求使|Ucos 0 + v sin0|2取最大值的0。u cosO 十 vsin 02 u2 cos2 0 十 2uvsin 0 cos 0 十 sin2 01= 2%(l + cos20) +如sin 2%0yy(l - COS 20)=2+ 9yy) + 2 9xx 一 9yy) cos 20 + gxy sin 20將上式對(duì)0求偏導(dǎo)得舊 趙 + 9yy

29、) + | 一 9yy cos 28 + gxy sin 20=-(9XX 一 gyy) sin 20 + 2gxy cos 20令上式等于0,解方程求出&的值-(gXx 一 gyy) sin 20 + 2gxy cos 20 = 0dxx - 9yy) sin 20 = 2gxy cos 20tan 20 =9xy9xx 9yy, = |tan-9xy9xx 9yy此即是最大變換率方向,對(duì)應(yīng)的變化率值為F(0) =+ 9刃)+ 倉(cāng)(g*x - gyy) cos 26 + g*y sin 26【作業(yè)7】1、請(qǐng)根據(jù)課本中Z變換的定義,證明如下結(jié)論。(1) 若尢(n)的Z變換為X(z),則

30、(一1)吹(n)的Z變換為X(z)°(2) 若兀(7i)的Z變換為X(z),貝ijx(-n)的Z變換為X(l/z)o【解答】(1)由Z變換定義可知,兀(71)的Z變換是:00X(z) = x(n)zn00則(-l)nx(n)的Z變換為:00 00 00(-l)nx(n)zn =-00=(-l)"nX(H)Z_n =-00工兀(n)(-z尸=X(-z)-00(2) %(-n)的Z變換為:8x(-n)z-n令nz-n,則上式可寫(xiě)成:00000000 800 -002、若G(z) = -z_2K+1Go(-z-1)成立,請(qǐng)證明gi(n) = (-l)n+1g0(2K - 1 -

31、n)«【解答】己知/(")的Z變換是GJz), 9o(n)的Z變換是G°(z), 根據(jù)Z變換的時(shí)間翻轉(zhuǎn)性兀(-n) 0 X01)可得9o(F <=> G()(z7)根據(jù)Z變換的平移性X(7l - k) o zkX(z)可得go(-(n 一 2K + 1) <=> z2K+1G0(z1)根據(jù)z變換的Z域翻轉(zhuǎn)性(-l)nx(n) <=> X(-z)可得(一 1)2ki%o(2K - 1 - n) <=> (z)2K+iGo(z)i)19(-1 嚴(yán)t(_i)-%(2K - 1 - n) <=> (-l)-2K+

32、iz-2K+】g。(-1)7)因?yàn)?K 1 為奇數(shù),所以(一l)2K-i = -1, (-l)-n = (_i)n,_2K+ 1 為奇數(shù),故(-1)_2K+1 = -1, 上式繼續(xù)推導(dǎo)得(-l)n+igo(2K - 1 - n) <=> -z_2K+1G0(-z_1) = G(z)所以GHz)的Z反變換是(l)n+%o(2K -1-n)乂因?yàn)間g)也是G(z)的Z反變換,所以915) = (-l)n+1g0(2K -1-n)3、假設(shè)課本中給出完美重建濾波器的正交族對(duì)應(yīng)的三個(gè)濾波器間的關(guān)系式是正確的,請(qǐng)以此為基礎(chǔ), 推導(dǎo)ho,hi的關(guān)系?!窘獯稹?己知goW = (-i)n+1hi(

33、n)/(n) = (l)%(n)gi(n) = (-l)n+1g0(2K-l-n)將第1、2個(gè)式子代入第3個(gè)式子得到(-l)nh0(n) = (-l)n+i(-i)2*-i-n+i/ll(2/C -1-n)h0(n) = (-l)2KwH/ii(2K -1-n)/i0(n) = (-l)n+1h1(2/< -1-n) 若0o(n) = (- l)%(n)9iW = (-l)n+1h0(n)i(n)-(-l)n+10(2/<-l-n)則將第1、2個(gè)式子代入第3個(gè)式子得到(-l)n+1h0(n) = (-l)n+l(-l)2K-n血(2K - 1 一 n)ho(n) = (一 1)2K

34、7-f(2K -1-n)h0(n) = (-l)n+1/i1(2K -1-n) 因此,兩種情況的解一致,都是:/i0(n) = (-ir+1/i1(2Z<-l-n)4、請(qǐng)證明完美重建濾波器組的雙正交性質(zhì),即課本282頁(yè)的公式7.1.20?!窘獯稹恳阎獣?shū)上公式 7.1.9, 7.1.10, 7.1.18H。 Go(z) + Hi(z)Gz) = 2Ho(z)G°(z) + 弘(一 z)Gdz) = 016 Ho(z)Go (z) + Ho(一 z)G()(z) = 2調(diào)制矩陣m(z)=H°(z) H0(-z)H】(z)%(z).22#恥)=頑阿心)-2用調(diào)制矩陣的行列式

35、表示Go和GO外頑阿心)(1)先來(lái)證第1個(gè)公式:/仇),血(271 - k)= 5(n) 令P(z) = G(z)Hi(z),將式代入得%)7(噸)=頑為 由于det(/m(-z) = 一 det(Hm(z),則將式兩端同時(shí)乘以H°(z)得Go(z)H°(z) = det')Ho弘(z) = P(z)因此G°(z)Ho(z) = Gi(z)H(z),代入式得G/z) %(z) + G(z)Hl(z) = 2 根據(jù)Z變換的Z域翻轉(zhuǎn)性(-l)nx(n) u> X(-z),對(duì)上式反Z變換得到giWhn 一 k) + (-l)ni(/c)hi(n 一 k)

36、= 25(n) kk由于沖激函數(shù)6(n)在n二0時(shí)等于1,其他情況等于0,且n為奇數(shù)時(shí),上式奇次方項(xiàng)可以相互抵 消,因此只取n為偶數(shù)的情況,用2n代替上式的n可得2gO/h(2n-k) = 26(2n) = 26(n)ki(fe)hi(2n -k)=x(fc), h2n 一 k)> = 5(n) k(2)再來(lái)證第2個(gè)公式:go伙),仏(2兀一/0= 0由式可得%(z)G(z)Gzj- 一得Ho(z)G°(z)弘 G«z) = 0將上面兩式合并得GoO)Go(_z)_% (z)Gz) = O雖(-z)Gi G°(z) + H】(z)Gi (z)Go(z) =

37、0由于G(z)是濾波器,不為0,故可將上式兩端同時(shí)除以G(z)得Hi(z)G°(z) + %(z)Go(z) = 0 根據(jù)Z變換的Z域翻轉(zhuǎn)性(-l)nx(n) Q X(z),對(duì)上式反Z變換得到工 0o(k)屁(71- 紛 + (一1)"乂 00(規(guī)心 一 k) = 0kk由于n為奇數(shù)時(shí),上式奇次方項(xiàng)可以相互抵消,因此只取n為偶數(shù)的情況,用2n代替上式的n 可得29o(k)/h(2n-k) = O k乂 go(k)hK2n 一 k) = 9。(約,h2n 一 k)> = 0 k(3) 最后證第3個(gè)公式:由式可得0i(k)Mo(2n -k)> = 023#H

38、6;(z)G°(z)一得%(z)G】(z) Ho(z)G°(z) = OH°(z)Go(z)將上而兩式合并得G(z) Gi(z)Ho(z)G°(z) = O由于G°(z)是濾波器,Ho(-z)Go (z)Gi (-z) + Ho Go (z)G =0不為0,故可將上式兩端同時(shí)除以G°(z)得Ho(z)Gi(z) + Ho Gi(z) = 0根據(jù)Z變換的Z域翻轉(zhuǎn)性(l)nx(n) 0 X(-z),對(duì)上式反Z變換得到giWh0n- k) + (-l)ni(k)/i0(n- k) = 0由于n為奇數(shù)時(shí),上式奇次方項(xiàng)可以相互抵消,因此只取n為

39、偶數(shù)的情況,用2n代替上式的n 可得2i(k)/io(2n_k) = Ok工 9i(k)/io(2n-k) = 9i(k)/o(2n k)= 0 k5、請(qǐng)圍繞本周課堂講授的內(nèi)容編寫(xiě)至少一道習(xí)題,并給出1己的分析解答。題目形式可以是填空題、 選擇題、判斷對(duì)錯(cuò)題、計(jì)算題、證明題。發(fā)揮你的創(chuàng)造力吧?!绢}目】設(shè)計(jì)一個(gè)系統(tǒng),用下圖的編碼器對(duì)預(yù)測(cè)殘差金字塔進(jìn)行編碼,并畫(huà)出框圖。Level/ input imageDownsampier (rows and columns)24#【解答】對(duì)應(yīng)的解碼器如下圖所示。j級(jí)近似#【作業(yè)8】1、哈爾變換可以用矩陣的形式表示為:T = HFHt其中,F(xiàn)是一個(gè)NxN的圖像

40、矩陣,H是NxN變換矩陣,T是NxN變換結(jié)果。對(duì)于哈爾變換,變換矩 陣H包含基函數(shù)hk(z),它們定義在連續(xù)閉區(qū)間zG0,l, k=0,l,2 N-1,其中N = 2"。為了生成H 矩陣,定義整數(shù)k,即k = 2P + q 1(這里OWpWml,當(dāng)p=0時(shí)q二0或1 ;當(dāng)pHO時(shí),1 WqW2P )??傻?哈爾基函數(shù)為:1h()(z) = h()o(z)=麗,z 6 0,1r p q - 1 q 0.52討hk(z) = hpq(z) =-、0,其它,z G 0,1NxN哈爾變換矩陣的第i行包含了元素hi(z),其中z =-o計(jì)算當(dāng)N=16時(shí)的H“矩陣。N NN【解答】由N=16可知

41、,k=015,根據(jù)公式k = 2P+q - 1計(jì)算p、q如下表所示:k0123456789101112131415P0011222233333333q0112123412345678計(jì)算hk(z)=hpq(Z),得到H矩陣:11111111111111111111111111111111G72V272-V2-V2-72->/20000000000000000V2V2V2近-V2-V2-V2-v722220000000000000000222-2000000000000000022220000100000000000022-2-2H16=42V22近00000000000000002>

42、;/2-2V200000000000000002V2-2>/200000000000000002V22V200000000000000002V2-2V200000000000000002x/22V20000000000000000222近00000000000000002V2-2V22、課本322頁(yè)習(xí)題7.10的(a)與(b)小題。7<10以下列基本要索計(jì)算二元組3,2/的擴(kuò)展系數(shù)并寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的擴(kuò)展:Q)以二元實(shí)數(shù)集合便為基礎(chǔ)的肌"卩和知二1/近,_1 /血兒(b)以R2為基礎(chǔ)的處二1,0人卩和它的對(duì)偶砂1,-1卩祐0,1叫【解答】(a) 由于展開(kāi)函數(shù)0o和©構(gòu)成

43、正交基:z . 1111(oo> = 7=x- + -x-=l<> = x±+(-±)x(-) = i所以展開(kāi)系數(shù)可以保證%<Po + ag =V22+1逅丄血 2 .51_返1一72(b) 由于展開(kāi)函數(shù)利©雙正交:(pQf 01= lxO + Oxl = O 0,00= 1 X 1 4- 1 X (-1) = 0 0o,0o> = 1 x 1 4- 0 X (1) = 1(Pi,01= lx0 + lxl = l所以展開(kāi)系數(shù)= <0ol f> = 1 1孑=15 = 0 1 g = 2可以保證") + 50 =

44、訃+ 2 ; = ;=/3、課本323頁(yè)習(xí)題7.11741說(shuō)明尺度函數(shù):z、 J1 0.25 x < 0.75= 10其他 并未滿足多分辨率分析的第二個(gè)要求?!窘獯稹苛?o.o(x)= 0(兀),則<P1,O(X)= V2(p(2x), cpi 1(%) = y/2(p(2x- 1),三個(gè)函數(shù)的圖像如下所示由上圖可知,(Pq.qW無(wú)法用<p1>o(x)和0“(X)的線性加權(quán)和表示出來(lái),因此本題給定的尺度函數(shù) 0(兀)不滿足多分辨率分析的第2個(gè)要求。4、課本323頁(yè)習(xí)題7.167.16式7.3.S)和式(7.3.6)中的DWT是起始尺度/0的國(guó)數(shù)。(G令7o=l(而不是0

45、)重新計(jì)算例7.8屮西數(shù)f(n)= 11,4,-3,01在區(qū)間0 W w3 內(nèi)的一維DWT。(b)使用()的結(jié)果根據(jù)變換值計(jì)算/(I).【解答】(a)因?yàn)楸绢}是單尺度變換,開(kāi)始尺度jo二1,所以j只能是1,相應(yīng)的k=0或1,根據(jù)書(shū)上公式(7.3.5)和(7.3.6)計(jì)算 M=4 的一維 DWT 系數(shù)。%(1,0)=%(14)=叫(1Q)=叫(1)=所以DWT j,-罟,函數(shù)f(71)的展開(kāi)形式為/(n)(/)10(n) = ;x(lx 邁+ 4x 近3x0 + 0x0)=乙乙/*(n)(p11(n) = -x(lx0 + 4x0-3xV2 + 0x /2)=-乙£/(n)i/;1(o

46、(n) = |x(lxV2-4xV2-3x0 + 0x0)= -攀 /(n)tpi,i(n) = |x(lx0 + 4x0-3 xV2-0xV2)= -攀乙乙f(7i) = ¥【5叭0(九)一 3i,i(n) 一 3ip1<0(n) 一 3i/lfl(n)(b)根據(jù)上式結(jié)果2f (1) 5 x V2 3 x 0 3 x (V2) 3 x 0 = 45、請(qǐng)圍繞本周課堂講授的內(nèi)容編寫(xiě)至少一道習(xí)題,并給出門(mén)己的分析解答。題目形式可以是填空題、 選擇題、判斷對(duì)錯(cuò)題、計(jì)算題、證明題。發(fā)揮你的創(chuàng)造力吧?!绢}目】計(jì)算圖像F = :的哈爾變換?!窘獯稹扛鶕?jù)公式T= HFHt,取變換矩陣H為朋=

47、卻-1113-111-1621-141-3制3=黑【作業(yè)9】1、課本323頁(yè)習(xí)題7.217.21負(fù)()如果圖72»("的三尺度ET濾波器組的輸入是嗆爾尺度函«(y<a> = l,n=O, 而“取其他值時(shí)(n)=O,就哈爾變換而論,變換結(jié)果是什么?(b) 如果輸入是對(duì)應(yīng)的哈爾小波函數(shù)(«)= 11,1,1,1, -1,-1, -L-l|,n=OJ. ,7,那么變換昆怎樣的?(c) 什么樣的輸人序列會(huì)產(chǎn)生00,0,0,00,乩0(的變換并具有非零的系數(shù)W*(2, 2) = 3?【解答】(a)根據(jù)書(shū)上公式7.3.5和7.3.6%曲)=fM(Pj0.

48、kM叫(/) =吉“訕&)X可得當(dāng)尺度 J二3, jo二0, M=8, f(n)=l(n=0,l,7)時(shí)29叫(OQ)=叫QO)叫(")=/(n)o,o(n)=/(n)0LOU)=/(n)ipn(n)=1 x 1) x 4 + (1 x (-1) X 4)= 0X V2X2 + 1X (-V2)X2 + 1XOX4)=OX0X4 + 1X V2X2 + 1X (-V2)X2)=0叫(2,0)=f(n)畑(n) = £(2 2 + 0x6) = 0叫(2,1)=1f(n)t/2,i(n) = (0 x2 + 2- 2 + 0x4) = 02y2叫(2,2)=/(n)f

49、e(n)=尋(0 X 4 + 2 - 2 + 0 X 2) = 0叫(2,3)=/(n)2.3(n) = =(0X6 +2-2) = 0所以變換系數(shù)為:%(0,0),敗(0,0),叫(1,0),叫(1,1),畋(2,0),叫(2,1),叫(2,2),叫(2,3)=(272,0,0,0,0,0,0,0(b)當(dāng)輸入變?yōu)閒(n)二1,1,1,1,-1,(zO,l,7)時(shí),上面8個(gè)公式可以算得:%(0,0)=叫(0,0)=f 5)00,0 5)=叫(IQ)=/(n)ipLo()=叫(")=/(n)n(n)=m)0o,oGO =X 1) X 4 + (1 X (-1) X 4)= 01 X 1

50、) X4 + (1X (-1) X 4)= 2匹x V2 x 2 + 1 x (-V2)x2-lx0x4)=0X0X4-1X V2X2-1X (-V2)X2)=0%(0,0)=/(H)<Po.o(n)=肖(1 x 1)X8 = 27230#%(2,0)=叫(2,1)=叫2)=5)”2,0(“)= =(2 - 2 + 0x6) = 01fWip2.iM = =(0 x2 + 2-2 + 0x4) = 02y/2/(n),2(n) = (0x4-24-24-0x2) = 0叫2,3)=洽勿(訓(xùn)2,3 5) = =(0x6-2 + 2) = 0所以變換系數(shù)為:%(0,0),叫(0,0),叫(1,0),叫(1,1),叫(2,0),叫(2,1),叫(2,2),叫(2,3)=0,271,0,0,0,0,0,0叫2)(c) 因?yàn)閹租?(町= =(0X4 + 2/(4) + (-2)/(5) + 0 X 2) = F所以設(shè)輸入序列 f(n)=0,0,0,0,x,-x,0,0,(n=0,l,.7),則(0x4 + 2% + (2)(兀)+0x2) = y2x = B 2>/2B31#所以輸入序列"y/2 yf2/() = 0,0,0,0, 5, B, 0,02、課本325頁(yè)習(xí)題7.267.26圖7.1中的花

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