不等式的證明方法

1、i第二節(jié) 不等式的證明方法考綱傳真通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法.課刖知識全通關(guān)1. 基本不等式定理1:設(shè)a, b R，貝U a2+ b2>2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a= b時(shí)，等號成立.a | b 定理2：如果a, b為正數(shù)，則一尹ab,當(dāng)且僅當(dāng)a= b時(shí)，等號成立.定理3：如果a，b，c為正數(shù)，則a+；+c答b，當(dāng)且僅當(dāng)a= b = c時(shí)，等號成立.定理4：(一般形式的算術(shù) 一幾何平均不等式)如果ai，a2，an為n個(gè)正數(shù)，則a 冷打aia2an，當(dāng)且僅當(dāng)ai=a2=an時(shí)，等號成立.2. 柯西不等式(1) 柯西不等式的代數(shù)形式：設(shè) a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，則

2、(a2 + b2)(c2 + d2)> (ac+ bd)2(當(dāng)且 僅當(dāng)ad= bc時(shí)，等號成立).(2) 柯西不等式的向量形式：設(shè) a，B是兩個(gè)向量，則1如3|a 當(dāng)且僅當(dāng)a或B是零向量，或存在實(shí)數(shù)k,使 aa, B為非零向量)時(shí)，等號成立.柯西不等式的三角不等式：設(shè) xi, yi, X2, y2, X3, y3 R,貝貝寸(xi X2+ (yi y2+p (X2X3(+ (y2曲p (xi X3 f + (yi y3 )2.2(4)柯西不等式的一般形式：設(shè)ai,a2,a3,，an,bi,b2,b3,，bn是實(shí)數(shù)，則(ai +£+ a?)(b2+ b2+ bin)>(ai

3、bi + a2b2+ anbn)2，當(dāng)且僅當(dāng) bj = 0(i = i,2,n)或存在 一個(gè)數(shù)k,使得ai = kbi(i = i,2,，n)時(shí)，等號成立.3. 不等式的證明方法證明不等式常用的方法有比較法、綜合法、分析法等.(I)比較法： 比差法的依據(jù)是：a b>0?步驟是：“作差一變形一判斷差的符號”.變形是手段，變形的目的是判斷差的符號. 比商法：若B>0,欲證A>B，只需證I.(2)綜合法與分析法： 綜合法：利用某些已經(jīng)證明過的不等式和不等式的性質(zhì)，推導(dǎo)出所要證明的不等式，這種方法叫綜合法即“由因?qū)Ч钡姆椒? 分析法：從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的充分條

4、件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些充分條件都已經(jīng)具備，那么就可以判定原不等式成立，這種方法叫作分析法.即“執(zhí)果索因”的方法.基礎(chǔ)自測1. (思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“/'，錯(cuò)誤的打“X” )(1) 比較法最終要判斷式子的符號得出結(jié)論.()(2) 綜合法是從原因推導(dǎo)到結(jié)果的思維方法，它是從已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步推理，最后達(dá)到待證的結(jié)論.()(3) 分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法，是從待證結(jié)論出發(fā)，一步一步地尋求結(jié)論成立的必要條件，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件或已被證明的事實(shí).()(4) 使用反證法時(shí)，“反設(shè)”不能作為推理的條件應(yīng)用.()答案X

5、 V (3)X X222ba2. (教材改編)不等式：x2 + 3>3x；a2 + b2>2(a-b-1):：+£>2,其中恒成立的 是()A .B .C .D .2233222D 由得 x + 3 3x= x 2 + 4>0，所以 x + 3>3x;對于，因?yàn)?a + b 2(a b-1) = (a 1)2+ (b+ 1)2>0,所以不等式成立；對于 ，因?yàn)楫?dāng)abv0時(shí),b a0,即 a+ bV2,故選 D.3.若 a= 3 2, b= .6 5, c= .7 .6,則 a, b, c 的大小關(guān)系為（）a>b>cb>c>a

6、B. a>c>bD. c>a>b1 1 1“分子”有理化得 * 3+ 2，b= 6+ 5，c= .7+ 6，: a>b>c.1 14. 已知a>0, b>0且In(a+ b)= 0,則b的最小值是-4 由題意得，a+ b=1, a>0, b>0,1111b a“尹 b= a+1(a+ b)=2+a+a2+ 2，bb=4,1當(dāng)且僅當(dāng)a= b=時(shí)等號成立.課堂題型全突破考點(diǎn)全面'方法簡潔用綜合法與分析法證明不等式【例11 設(shè)a, b, c, d均為正數(shù)，且a+ b = c+ d.證明：(1) 若 ab>cd,貝U a+ b&

7、gt; c+ d；(2) ,a+ b> .c+ .d是 |a b|v|c d|的充要條件.證明 因?yàn)镃.a+ b)2 = a+ b+ 2 ab,(c+ d)2 = c+ d + 2 cd,由題設(shè) a+ b= c+ d, ab>cd,得(a+ b)2> ( ,c+ d)2.因此,a+ b> . c+ d.22必要性：若 |a b|v|c d|,則(a b) v(c d),99即(a+ b) 4abv (c+ d) 4cd.因?yàn)?a+ b = c+ d,所以 ab>cd.由(1), 得.a+ b> c + d.充分性：若,a+ b> c + _d,則(a+

8、 . b)2>(. c+ .d)2,即 a+ b + 2 . ab>c+ d + 2 , cd.因?yàn)?a+ b = c+ d,所以 ab>cd.于是(a b)2= (a+ b)2 4abv (c+ d)2 4cd = (c d)2.因?yàn)?|a b|v|c d|.綜上， a+ .b>，.c+，d是|a b|v|c d|的充要條件.規(guī)律方法分析法與綜合法常常結(jié)合起來使用，稱為分析綜合法，其實(shí)質(zhì)是既充分利用 已知條件，又時(shí)刻瞄準(zhǔn)解題目標(biāo)，即不僅要搞清已知什么，還要明確干什么，通常用分析法找 到解題思路，用綜合法書寫證題過程.111跟蹤練習(xí) 設(shè) x> 1， y> 1

9、，求證：x+ y+= - + -+ xy.xy x y 7證明由于x> 1，y> 1，1 1 1要證 x+ y+一=一+一+ xy，xy x y只需證 xy(x+ y) + 1 < y+ x+ (xy).22因?yàn)閥+ x+ (xy) xy(x+ y) + 1 = (xy) 1 xy(x + y) (x + y) = (xy + 1)(xy 1) (x +y)(xy 1) = (xy 1)(xyx y+ 1)= (xy 1)(x 1)(y 1)，因?yàn)?x> 1, y> 1,所以(xy 1)(x 1)(y 1)>0，從而所要證明的不等式成立.用放縮法證明不等式【

10、例2】若a，b R，求證:|a+ b| v_JaL +|b|1 + |a+ b|v 1+ |a|+ 1 + |bf證明當(dāng)|a+ b| = 0時(shí)，不等式顯然成立.當(dāng) |a+ b|M 0 時(shí),由 Ov|a+ b|v |a|+ |b|?1 1> 一 |a+ b| |a|+ |b|'所以|a+ b|1 + |a+ b|11+ 1 |a+ b|11 + |a|+ |b|a|+ |b|1+ |a|+ |b|bl=旦 +1+a+|b|1+|a| + |b |1 + |a|1 + |b |規(guī)律方法1在不等式的證明中，“放”和“縮”是常用的推證技巧常見的放縮變換有：1變換分式的分子和分母，如1 1

11、 丈1、 1 1 .2 1 、 2*ew八yf ni)花=1上面不等式中k匕N , k>1；2利用函數(shù)的單調(diào)性；3真分?jǐn)?shù)性質(zhì)“若Ovavb, m>0,則一了 一亍'.2在用放縮法證明不等式時(shí)，“放”和“縮”均需把握一個(gè)度1111跟蹤塚習(xí) 設(shè)n是正整數(shù)，求證： + + v 1.2 n+1 n+ 22n證明由 2nn+ k>n(k= 1,2,，n)，得1 1 1< v ' 2n n+ k n.當(dāng)k= 1時(shí),1v 12n n+1 n；當(dāng)k= 2時(shí),1 1 1v _ -2n n + 2 n；當(dāng)k= n時(shí),丄 v12n n+ n n,1 n 111n2 2n n+

12、 1 + n + 2 十2n n原不等式成立.1題型3|；柯西不等式的應(yīng)用2 2 2 2【例3】（2017江蘇高考）已知a, b, c, d為實(shí)數(shù)，且a + b = 4, c + d = 16,證明:ac+ bdw 8.證明由柯西不等式，得(ac+ bd) (2017 全國卷 U)已知 a>0, b>0, a3 + b3 = 2.證明: 55 < (a2 + b2)(c2 + d2). 因?yàn)?a2 + b2 = 4, c2 + d2= 16,2所以(ac+ bd) < 64,因此 ac+ bd< 8.規(guī)律方法1使用柯西不等式證明的關(guān)鍵是恰當(dāng)變形，化為符合它的結(jié)構(gòu)形

13、式，當(dāng)一個(gè)式子與柯西不等式的左邊或右邊具有一致形式時(shí)，就可使用柯西不等式進(jìn)行證明2利用柯西不等式求最值的一般結(jié)構(gòu)為：2 2（q +勺+十了十十1+ 1+ 1） = n .在使用柯西不等式時(shí)，要注意'12H右邊為常數(shù)且應(yīng)注意等號成立的條件2 2跟蹤練習(xí) 已知大于1的正數(shù)X, y, z滿足x+ y+z= 3,3.求證：x+2y+3z + y+ 2z+ 3X+證明由柯西不等式及題意得,2 2 2xyz+ +x+ 2y+ 3z y+ 2z+ 3x z+ 2x+ 3y(x+ 2y+ 3z) + (y+ 2z102+ 3x) + (z+ 2x+ 3y)(x+ y+z) = 27.又(x + 2y

14、+ 3z) + (y+ 2z + 3為 + (z+ 2x + 3y) = 6(x+ y+ z) = 183,x2_+_y_+_z_ 二亙 衛(wèi) x+ 2y+ 3z y+ 2z+ 3x z+ 2x+ 3y 18.(1) (a+ b)(a5 + b5) > 4； (2) a+ b< 2.2 '當(dāng)且僅當(dāng)x= y= z= .3時(shí)，等號成立.真題自主驗(yàn)效果近年哮題感悟規(guī)律=(a3 + b3)2 2a3b3 + ab(a4 + b4) = 4+ ab(a2- b2)2> 4.33223因?yàn)?a+ b) = a + 3a b+ 3ab + b = 2+ 3ab(a+ b)233(a+ b)3(a+ b3w 2+4(a+ b) = 2+,所以(a+ b)3<8,因此 a+ b<2.2. (2016全國卷U)已知函數(shù)f(x)=1 1 、x 2 + x+2 , M為不等式f(x)v 2的解集.(1) 求 M ;(2) 證明：當(dāng) a, b M 時(shí),|a+ b|v|1 + ab|. 12x, x< 2，1 1解(1)f(x)二 1, 2<xv2，c1i 2x, x>.1當(dāng) x< 2時(shí)，由 f(x) v2 得一2xv2,解得 x> 1;1 1當(dāng)一2<xv 2時(shí)