期權(quán)價(jià)格的敏感性和期權(quán)的套期保值

1、無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的Delta值為:期權(quán)價(jià)格的敏感性和期權(quán)的套期保值【學(xué)習(xí)目標(biāo)】本章是期權(quán)部分的重點(diǎn)內(nèi)容之一。本章的重要內(nèi)容之一，就是介紹了期權(quán)價(jià)格對(duì)其四個(gè)參數(shù)(標(biāo)的資產(chǎn)市場(chǎng)價(jià)格、到期時(shí)間、波動(dòng)率和無風(fēng)險(xiǎn)利率)的敏感性指標(biāo)，并以此為基礎(chǔ) 討論了相關(guān)的動(dòng)態(tài)套期保值問題。學(xué)習(xí)完本章，讀者應(yīng)能掌握與期權(quán)價(jià)格敏感性有關(guān)的五個(gè) 希臘字母及其相應(yīng)的套期保值技術(shù)。在前面幾章中，我們已經(jīng)分析了決定和影響期權(quán)價(jià)格的各個(gè)重要因素，以及這些因素對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響方向。進(jìn)一步來看，根據(jù) Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式(c二SN(diXeJ(T ±)N(d2)，我們還可以更深入地了解各種因素對(duì)期權(quán)價(jià)

2、格的影響程度，或者稱之為期權(quán)價(jià)格對(duì)這些因素的敏感性。具體地說，所謂期權(quán)價(jià)格的敏感性，是指當(dāng) 這些因素發(fā)生一定的變化時(shí)，會(huì)引起期權(quán)價(jià)格怎樣的變化。本章的重要內(nèi)容之一， 就是對(duì)期權(quán)價(jià)格的敏感性作具體的、量化的分析，介紹期權(quán)價(jià)格對(duì)其四個(gè)參數(shù)(標(biāo)的資產(chǎn)市場(chǎng)價(jià)格、 到期時(shí)間、波動(dòng)率和無風(fēng)險(xiǎn)利率)的敏感性指標(biāo)。如果我們從另一個(gè)角度來考慮期權(quán)價(jià)格的敏感性，我們可以把它看作當(dāng)某一個(gè)參數(shù)發(fā)生變動(dòng)時(shí)，期權(quán)價(jià)格可能產(chǎn)生的變化，也就是可能產(chǎn)生的風(fēng)險(xiǎn)。顯然，如果期權(quán)價(jià)格對(duì)某一參數(shù)的敏感性為零，可以想見，該參數(shù)變化時(shí)給期權(quán)帶來的價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)就為零。實(shí)際上，當(dāng)我們運(yùn)用衍生證券(如期權(quán))為標(biāo)的資產(chǎn)或其它衍生證券進(jìn)行套期保值時(shí)，一

3、種較常用的方法就是分別算出保值工具與保值對(duì)象兩者的價(jià)值對(duì)一些共同的變量(如標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格、 時(shí)間、標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率、無風(fēng)險(xiǎn)利率等)的敏感性，然后建立適當(dāng)數(shù)量的證券頭寸，組成套期保值組合，使組合中的保值工具與保值對(duì)象的價(jià)格變動(dòng)能相互抵消，也就是說讓套期保值組合對(duì)該參數(shù)變化的敏感性變?yōu)榱?，這樣就能起到消除相應(yīng)風(fēng)險(xiǎn)的套期保值的目的。這就是我們?cè)诒菊聦⒁榻B的“動(dòng)態(tài)套期保值”技術(shù)。第一節(jié)Delta與期權(quán)的套期保值期權(quán)的Delta用于衡量期權(quán)價(jià)格對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)市場(chǎng)價(jià)格變動(dòng)的敏感度，它等于期權(quán)價(jià)格變化與標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變化的比率。用數(shù)學(xué)語言表示，期權(quán)的Delta值等于期權(quán)價(jià)格對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的偏導(dǎo)數(shù)；顯然，從幾何

4、上看，它是期權(quán)價(jià)格與標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格關(guān)系曲線切線的斜率。一、期權(quán)Delta值的計(jì)算令f表示期權(quán)的價(jià)格，S表示標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格，表示期權(quán)的 Delta，則：(12.1) cS根據(jù)Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式(c二SN(di) - Xe ®T書N(d2)和相應(yīng)的無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)定價(jià)公式(p =Xe*仃書N(-d2) -SN(-dj)，我們可以算出無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)的Delta值為：:=N(dJ： = -N(-dJ = N(dJ -1其中di的定義與式（11.2）相同。當(dāng)期權(quán)更為復(fù)雜的時(shí)候，相應(yīng)地期權(quán)的Delta值也更為復(fù)雜。例如支付已知紅利率 q （連 續(xù)復(fù)利）的歐式看漲期權(quán)的

5、Delta值為_q（T.=e N（di）第十三章將給出股票指數(shù)期權(quán)、外匯期權(quán)和期貨期權(quán)的相應(yīng)Delta值。二、期權(quán)Delta值的性質(zhì)和特征分析根據(jù)累積標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì)可知，0 ： N（d1） : 1，因此無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)的總是大于0但小于1;而無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的則總是大于-1小于0。反過來，作為無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)空頭，其 Delta值就是總是大于-1小于0;而無收益資產(chǎn)歐式看跌期 權(quán)空頭的則總是大于 0小于1。從d1定義可知，期權(quán)的值取決于S、r、和T-t,根據(jù)期權(quán)價(jià)格曲線的形狀（如圖 10.3和圖10.4所示），我們可知無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)的值與標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的關(guān)

6、系 如圖12.1 （玄）和（b）所示。uh圖12.1無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)和看跌期權(quán)從N （dj函數(shù)的特征還可得出無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)在實(shí)值、平價(jià)和虛 值三種狀況下的值與到期期限之間的關(guān)系如圖12.2（ *和（b）所示。DellaI)cllaDelta值與到期期限之間的關(guān)系圖12.2無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)此外，無風(fēng)險(xiǎn)利率水平越高，無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)的值也越高，如圖（b）看跌期權(quán)12.3（玄）和（b）所示。圖12.3無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)Delta值與r之間的關(guān)系然而，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率（）對(duì)期權(quán)值的影響較難確定，它取決于無風(fēng)險(xiǎn)利率水平S與X的差距、期權(quán)

7、有效期等因素。但可以肯定的是，對(duì)于較深度虛值的看漲期權(quán)和較深度實(shí)值的看跌期權(quán)來說，是的遞增函數(shù)，其圖形與圖12.3（*和（b）相似。三、證券組合的 Delta值事實(shí)上，不僅期權(quán)有 Delta值，金融現(xiàn)貨資產(chǎn)和遠(yuǎn)期、期貨都有相應(yīng)的Delta值。顯然，對(duì)于期權(quán)的標(biāo)的現(xiàn)貨資產(chǎn)來說，其Delta值就等于1。運(yùn)用第三章中關(guān)于遠(yuǎn)期合約價(jià)值的計(jì)算公式（3.1）可知，股票的遠(yuǎn)期合約的同樣恒等于1。這意味著我們可用一股股票的遠(yuǎn)期合約空頭（或多頭）為一股股票多頭（或空頭）保值，且在合約有效期內(nèi)，無需再調(diào)整合約數(shù) 量。但是，期貨合約的 Delta值就不同了。由于期貨是每天結(jié)算的，因此期貨合約的收益變 化源于期貨價(jià)格

8、的變化，也就是說，我們需要運(yùn)用期貨價(jià)格公式計(jì)算出Delta值。因此，無收益資產(chǎn)和支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的期貨合約的值為：支付已知收益率（q）資產(chǎn)期貨合約的值為：, =e（n值得注意的是，這里給出的Delta值都是針對(duì)多頭而言的，和期權(quán)一樣，相應(yīng)空頭的Delta值只是符號(hào)發(fā)生了相反的變化。這樣，當(dāng)證券組合中含有標(biāo)的資產(chǎn)、該標(biāo)的資產(chǎn)的各種期權(quán)和其他衍生證券的不同頭寸時(shí)，該證券組合的值就等于組合中各種資產(chǎn)值的總和(注意這里的標(biāo)的資產(chǎn)都應(yīng)該是相同 的):n.-： - 7 Wi： i( 12.2)i丄其中，Wi表示第i種證券的數(shù)量，i表示第i種證券的值。四、Delta中性狀態(tài)與套期保值由于標(biāo)的資產(chǎn)和相應(yīng)的

9、衍生證券可取多頭或空頭，因此其值可正可負(fù)，這樣，若組合內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)和期權(quán)及其他衍生證券數(shù)量配合適當(dāng)?shù)脑挘麄€(gè)組合的值就可能等于0。我們稱值為0的證券組合處于 Delta中性狀態(tài)。當(dāng)證券組合處于中性狀態(tài)時(shí)，組合的價(jià)值顯然就不受標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)的影響，從而實(shí)現(xiàn)了套期保值。但是值得強(qiáng)調(diào)的是， 證券組合處于中性狀態(tài)只能維持一個(gè)很短的時(shí)間，因?yàn)镈elta實(shí)質(zhì)上是導(dǎo)數(shù)。因此，我們只能說，當(dāng)證券組合處于中性狀態(tài)時(shí)，該組合價(jià)值在一個(gè)“短時(shí)間”內(nèi)不受標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)的影響，從而實(shí)現(xiàn)了 “瞬時(shí)”套期保值。這樣一個(gè)中性狀態(tài)的套期保值組合提示我們，當(dāng)我們手中擁有某種證券或證券組合時(shí)， 可以通過相應(yīng)的標(biāo)的資產(chǎn)、期權(quán)、期貨

10、等進(jìn)行相互保值，使證券組合的值等于0，也就是不受標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變化的影響。這種套期保值方法稱為中性保值法，又因?yàn)橹行员Ｖ抵皇窃谒查g實(shí)現(xiàn)的，隨著 S、T-t、r和的變化，值也在不斷變化，因此需要不斷調(diào)整保值頭寸以便使 保值組合重新處于中性狀態(tài)，這種調(diào)整稱為再均衡(Rebalancing)，因此這種保值方法屬于“動(dòng)態(tài)套期保值”。下面我們分別通過兩個(gè)例子來說明運(yùn)用期權(quán)為標(biāo)的資產(chǎn)保值和運(yùn)用標(biāo)的資產(chǎn)或其他資 產(chǎn)為期權(quán)保值的中性保值法。例 12.1美國(guó)某公司持有100萬英鎊的現(xiàn)貨頭寸，假設(shè)當(dāng)時(shí)英鎊兌美元匯率為1英鎊=1.6200美元，英國(guó)的無風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率為13%，美國(guó)為10%，英鎊匯率的波動(dòng)率每年15

11、%。為防止英鎊貶值，該公司打算用6個(gè)月期協(xié)議價(jià)格為1.6000美元的英鎊歐式看跌期權(quán)進(jìn)行保值，請(qǐng)問該公司應(yīng)買入多少該期權(quán)？英鎊歐式看跌期權(quán)的值為：二N(0.0287) -討13 0.5二-0.458而英鎊現(xiàn)貨的值為+1，故100萬英鎊現(xiàn)貨頭寸的值為+100萬。為了抵消現(xiàn)貨頭寸的值， 該公司應(yīng)買入的看跌期權(quán)數(shù)量等于：100218.34 萬0.458即，該公司要買入 218.34萬英鎊的歐式看跌期權(quán)。當(dāng)然，這只是適合于短時(shí)間內(nèi)的保 值頭寸。例 12.2該例子主要引自美約翰 赫爾著，張?zhí)諅プg.期權(quán)、期貨和衍生證券.中譯本.北京：華夏岀版社，1997. 283 頁(yè)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了一點(diǎn)修改。某金融機(jī)構(gòu)

12、在 OTC市場(chǎng)出售了基于100 000股不付紅利股票的歐式看漲期權(quán)，收入$300000。該股票的市場(chǎng)價(jià)格為 $49,執(zhí)行價(jià)格為$50,無風(fēng)險(xiǎn)利率為年利率5%，股票價(jià)格波動(dòng) 率為年20%，距離到期時(shí)間為 20周。由于該金融機(jī)構(gòu)無法在市場(chǎng)上找到相應(yīng)的看漲期權(quán)多 頭對(duì)沖，這樣就面臨著風(fēng)險(xiǎn)管理的問題。在這里我們可以運(yùn)用中性保值法。我們可以用標(biāo)的資產(chǎn)即股票為此期權(quán)進(jìn)行套期保值操作。由于該金融機(jī)構(gòu)目前的頭寸是歐式看漲期權(quán)空頭，這意味著他們目前的值是負(fù)的，這樣，我們需要用正的值進(jìn)行對(duì)沖，即應(yīng)該購(gòu)買標(biāo)的資產(chǎn)，才能構(gòu)建中性組合。之后，我們還需要 不斷地調(diào)整標(biāo)的資產(chǎn)的數(shù)量，以適應(yīng)期權(quán)值的變化。在實(shí)際中，過于頻繁的

13、動(dòng)態(tài)調(diào)整需要相 當(dāng)?shù)慕灰踪M(fèi)用，因此我們假設(shè)保值調(diào)整每周進(jìn)行一次。根據(jù)題目，S = 49, X =50, r =0.05,；：= 0.20,T -4 = 0.3846.初始的 Delta值為人-0.522。這意味著在出售該看漲期權(quán)的同時(shí)，需要借入0.522100 00049$2 557 8049美元的價(jià)格購(gòu)買 52 200股股票。第一周內(nèi)發(fā)生的相應(yīng)利息費(fèi)用為$2 500。表12-1給出了期權(quán)到期時(shí)為實(shí)值和虛值兩種狀況下的模擬保值過 程。1從表12-1（a）可知，到第一周末，股票價(jià)格下降到48-。這使得Delta值下降到0.458,8要保持Delta中性，必須出售6 400股股票，得到$308 0

14、00的現(xiàn)金，從而使得成本下降。之 后，如果Delta值上升，就需要再借錢買入股票；如果 Delta值下降，就賣出股票減少借款。在期權(quán)接近到期時(shí)， 很明顯為實(shí)值期權(quán)，期權(quán)將被執(zhí)行，Delta值接近1。因此，到20周時(shí)，該金融機(jī)構(gòu)具有完全的抵補(bǔ)標(biāo)的資產(chǎn)頭寸，累積成本為$5 261 500。當(dāng)期權(quán)被執(zhí)行時(shí)，金融機(jī)構(gòu)將其所持有的股票出售，獲得$5 000 000，因此總的套期保值成本為$261 500。表12-1 （b）給出了另一種價(jià)格序列，即到期時(shí)期權(quán)處于虛值狀態(tài)的情形。顯然到期時(shí)期權(quán)不會(huì)被執(zhí)行，Delta值接近0，而該金融機(jī)構(gòu)最后不會(huì)持有標(biāo)的資產(chǎn)，總計(jì)成本為$257800。如果把表12-1（ a）

15、和表12-1 （b）中的最后套期保值成本貼現(xiàn)到期初，則我們會(huì)發(fā)現(xiàn) 應(yīng)用標(biāo)的資產(chǎn)對(duì)該期權(quán)進(jìn)行中性保值的成本近似于運(yùn)用Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式計(jì)算出來的$240 000,但不完全相等，不完全相等的原因在于調(diào)整頻率較低。如果我們采用的是瞬 時(shí)連續(xù)調(diào)整，就會(huì)發(fā)現(xiàn)它們是完全相等的。表12-1 （a）Delta對(duì)沖的模擬：實(shí)值期權(quán)的情形，保值成本=$261 500周次股票價(jià)格Delta購(gòu)買股票數(shù)購(gòu)買股票成本累計(jì)成本（包括上 周利息費(fèi)用，以$1 000為單位）利息費(fèi)用（以 $1 000為單位）0490.52252 2002 557.82 557.82.5148180.458-6 400-308

16、.02 252.32.2247 380.400-5 800-274.81 979.71.9350 140.59619 600984.92 966.52.9451340.6939 700502.03 471.43.3553180.7448 100430.33 905.03.86530.711-300-17.93 890.93.775180.706-6 500-337.23 557.43.4851380.674-3 200-164.43 396.43.39530.78711 300598.93 998.63.81049-80.550-23 700-1 182.02 820.42.71114820.

17、413-13 700-664.42 158.72.11249-80.54212 900643.42 804.22.7135080.5914 90024.83 053.72.91452180.76817 700922.63 979.23.8155180.759-900-46.73 936.33.81652-80.86510 600560.54 500.64.31754-80.97811 300620.15 125.04.91855480.9901 20065.65 195.55.01955 81.0001 00055.95 256.45.120157 -41.00000.05 261.5總計(jì)10

18、0 000在現(xiàn)實(shí)生活中，金融機(jī)構(gòu)很少直接出售基于單種股票的看漲期權(quán)，象我們例子中所舉的那樣。但是，我們通過這個(gè)例子向讀者展示了一個(gè)重要的套期保值原理：我們可以通過運(yùn)用標(biāo)的資產(chǎn)，實(shí)現(xiàn)對(duì)期權(quán)的 Delta中性套期保值，在不考慮交易費(fèi)用(指買入賣出的傭金等費(fèi) 用，利息費(fèi)用則是需要考慮的)并假設(shè)波動(dòng)率為常數(shù)的情況下，運(yùn)用標(biāo)的資產(chǎn)進(jìn)行Delta中性套期保值的成本和效果就和買入了一個(gè)看漲期權(quán)多頭一樣。也就是說，套期保值的結(jié)果是：我們通過標(biāo)的資產(chǎn)構(gòu)成了一個(gè)“合成的期權(quán)頭寸”。在這個(gè)套期保值的過程中，當(dāng)Delta上升的時(shí)候，也就是標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格上漲的時(shí)候，我們必須增加借款買入股票；當(dāng)Delta下降的時(shí)候，也就是

19、標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格下跌的時(shí)候，我們必須賣出股票償還借款。套期保值的成本正是來源于這個(gè)“買高賣低”的過程，其總成本正好等于市場(chǎng)上相應(yīng)的期權(quán)價(jià)格。在實(shí)際操作中，Delta中性保值方法更常見的是利用同種標(biāo)的資產(chǎn)的期貨頭寸而非現(xiàn)貨 頭寸來進(jìn)行保值，可以獲得杠桿作用。利用期貨合約并不一定需要和期權(quán)合約的到期日相同， 往往需要選擇到期時(shí)間更長(zhǎng)的期貨合約對(duì)期權(quán)合約進(jìn)行套期保值。以無收益資產(chǎn)期貨合約為例，由于厶=er(T4)，這意味著 r(T4)個(gè)期貨單位對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)的敏感性與一個(gè)標(biāo)的資產(chǎn)對(duì)其自身價(jià)格變化的敏感性是相同的，因此Hf =e-（T-）HA/N其中和分別代表在t時(shí)刻實(shí)現(xiàn)Delta中性所需要的期貨合約

20、數(shù)和標(biāo)的資產(chǎn)頭寸數(shù)，N表示一份期貨合約的名義金額。表12-1（ b）Delta對(duì)沖的模擬：虛值期權(quán)的情形，保值成本=$261 500周次股票價(jià)格Delta購(gòu)買股票數(shù)購(gòu)買股票成本累計(jì)成本（包括上 周利息費(fèi)用，以$1 000為單位）利息費(fèi)用（以 $1 000為單位）0490.52252 2002 557.82 557.82.5134940.5684 600228.92 789.22.720.70513 700713.43 505.33.430.579-12 600-630.02 878.72.8448 380.459-12 000-580.52 301.02.254840.443-1 600-77

21、.22 226.02.1634840.4753 200156.02 384.12.375 4980.5406 500322.62 709.02.6848丄40.420-12 000-579.02 132.62.0948 !40.410-1 000-48.22 086.42.010151 -80.65824 8001 267.93 356.33.21151120.6923 400175.13 534.63.4124980.542-15 000-748.12 789.92.71349-80.538-400-20.02 772.62.71448340.400-13 800-672.72 102.62

22、.01547 -20.236-16 400-779.01 325.61.3160.2612 500120.01 446.91.417146 40.062-19 900-920.4527.90.518148丄80.18312 100582.31 110.71.11946 580.007-17 600-820.6291.20.32048 180.000-700-33.7257.8總計(jì)0第二節(jié)Theta與套期保值期權(quán)的Theta ()用于衡量期權(quán)價(jià)格對(duì)時(shí)間變化的敏感度，是期權(quán)價(jià)格變化與時(shí)間變化 的比率，期權(quán)價(jià)格對(duì)時(shí)間t的偏導(dǎo)數(shù)。一、期權(quán)Theta值的計(jì)算(12.3)根據(jù)Black-Scholes期權(quán)

23、定價(jià)公式，對(duì)于無收益資產(chǎn)的歐式和美式看漲期權(quán)而言根據(jù)累積標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的特性,N'(x)_0.5x2二2 二 e因此,0.5dj士rXe(T)N(d2)2、2：(T -t)對(duì)于無收益資產(chǎn)的歐式看跌期權(quán)而言，S。e5"_r(T _t)rXe")1-N(d2)2j2n(T t)Theta幾乎總是負(fù)的2。12.4所示。當(dāng)S很二、期權(quán)Theta值的性質(zhì)和特征分析當(dāng)越來越臨近到期日時(shí)，期權(quán)的時(shí)間價(jià)值越來越小，因此期權(quán)的它代表的是期權(quán)的價(jià)值隨著時(shí)間推移而逐漸衰減的程度。期權(quán)的Theta值同時(shí)受S、T-t、r和的影響。首先，無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)的的值與標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的關(guān)系曲線如圖般

24、來說,小時(shí)，近似為0，當(dāng)S在X附近時(shí)，很小。當(dāng) S升高時(shí)，趨近于-rXeT書。當(dāng)其他情況一定時(shí)，平價(jià)期權(quán)的Theta絕對(duì)值最大；實(shí)值和虛值期權(quán)Theta值的變化則比較復(fù)雜：對(duì)看漲期權(quán)來說，深度實(shí)值時(shí)的期權(quán)Theta絕對(duì)值常常大于深度虛值時(shí)的Theta絕對(duì)值；而對(duì)于看跌期權(quán)來說，深度實(shí)值時(shí)的期權(quán)Theta絕對(duì)值則通常小于深度虛值時(shí)的Theta絕對(duì)值其次，在第十章中我們已經(jīng)知道，時(shí)間價(jià)值是期權(quán)價(jià)值的一部分，而時(shí)間價(jià)值與期權(quán)剩余期限的長(zhǎng)短并不呈現(xiàn)線性關(guān)系。隨著到期期限的臨近，時(shí)間價(jià)值將以越來越快的速度消減。根據(jù)這一特征，可以推知在一般情況下，期權(quán)剩余期限越長(zhǎng)，其Theta的絕對(duì)值越??；而期權(quán)剩余期限

25、越短，其 Theta的絕對(duì)值越大。進(jìn)一步來看，無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)的值與T- t之間的關(guān)系跟 S- X有很大關(guān)系(如圖12.5所示)。在其他條件一定時(shí)，Theta值的大小與標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率也有關(guān)系。一般來說，波動(dòng)率越 小，Theta的絕對(duì)值也越??；波動(dòng)率越大，Theta的絕對(duì)值也越大。三、Theta值與套期保值事實(shí)上，Theta值與套期保值并沒有直接的關(guān)系，但它與Delta及下文的Gamma值有較大關(guān)系。同時(shí)，在期權(quán)交易中，尤其是在差期交易中，由于Theta值的大小反映了期權(quán)購(gòu)買者隨時(shí)間推移所損失的價(jià)值，也反映了期權(quán)出售者隨時(shí)間推移而增加的價(jià)值，因而無論對(duì)于避險(xiǎn)者、套利者還是投資者而言，The

26、ta值都是一個(gè)重要的敏感性指標(biāo)。第三節(jié)Gamma與套期保值一、期權(quán)Gamma值的計(jì)算期權(quán)的Gamma ()是一個(gè)與 Delta聯(lián)系密切的敏感性指標(biāo)，甚至可以認(rèn)為是Delta的敏感性指標(biāo)，它用于衡量該證券的Delta值對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變化的敏感度，它等于期權(quán)價(jià)格對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的二階偏導(dǎo)數(shù)，也等于期權(quán)的Delta對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的一階偏導(dǎo)數(shù)。從幾何上看，它反映了期權(quán)價(jià)格與標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格關(guān)系曲線的凸度。值得注意的是，由于看漲期權(quán)與看跌期權(quán)的 之間只相差一個(gè)常數(shù)，因此兩者的值總是 相等的。(12.4)；：2 f2:S :S根據(jù)Black-Scholes無收益資產(chǎn)期權(quán)定價(jià)公式，我們可以算出無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)和

27、歐 式看跌期權(quán)的值為：2_0.5dfer =S二 g(T -t)無收益資產(chǎn)期權(quán)的值總為正值，相應(yīng)地，期權(quán)空頭的值則總為負(fù)值。二、期權(quán)Gamma值的性質(zhì)和特征分析期權(quán)的Gamma值也會(huì)隨著S、T t、r和的變化而變化。圖 12.6和12.7分別表示了它 與S及T t的關(guān)系。圖12.6無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)Gamma值與S的關(guān)系從圖12.6可以看出，當(dāng)S在X附近時(shí)，值最大，即值對(duì)于 S最敏感。從圖12.7可以看 出，對(duì)于平價(jià)期權(quán)來說，期權(quán)有效期很短時(shí)，Gamma值將非常大，即值對(duì) S非常敏感。三、證券組合的 Gamma值對(duì)于標(biāo)的資產(chǎn)及遠(yuǎn)期和期貨合約來說， Gamma值均為0。這意味著只有

28、期權(quán)有 Gamma 值。因此，當(dāng)證券組合中含有標(biāo)的資產(chǎn)和該標(biāo)的資產(chǎn)的各種期權(quán)和其他衍生產(chǎn)品時(shí)，該證券組合的值就等于組合內(nèi)各種期權(quán)值與其數(shù)量乘積的總和：n-Wj】i(12.5)i =1其中，Wj表示第i種期權(quán)的數(shù)量，表示第i種期權(quán)的值。(rUlHHUL圖12.7無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)Gamma值與T-t的關(guān)系四、Gamma中性狀態(tài)由于期權(quán)多頭的值總是正的， 而期權(quán)空頭的值總是負(fù)的，因此若期權(quán)多頭和空頭數(shù)量配合適當(dāng)?shù)脑挘摻M合的值就等于零。我們稱值為零的證券組合處于Gamma中性狀態(tài)。計(jì)算證券組合的值對(duì)于套期保值的重要意義體現(xiàn)在它可用于衡量中性保值法的保值誤 差。這是因?yàn)槠跈?quán)的值僅僅衡量

29、標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格S微小變動(dòng)時(shí)期權(quán)價(jià)格的變動(dòng)量，而期權(quán)價(jià)格與標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的關(guān)系曲線是一條曲線，因此當(dāng)S變動(dòng)量較大時(shí)，用估計(jì)出的期權(quán)價(jià)格的變動(dòng)量與期權(quán)價(jià)格的實(shí)際變動(dòng)量就會(huì)有所偏差（如圖12.8所示）。圖12.8 Delta對(duì)沖的誤差從圖12.8可以看出，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格人S。上漲到Si時(shí)，Delta中性保值法假設(shè)期權(quán)價(jià)格從co增加到而實(shí)際上是從co增加到，C1和之間的誤差就是 Delta中性保值的誤差。 這 種誤差的大小取決于期權(quán)價(jià)格與標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格之間關(guān)系曲線的曲度。值越大，該曲度就越大，中性保值誤差就越大。為了消除中性保值的誤差，我們應(yīng)使保值組合的中性化。由于證券組合的值會(huì)隨時(shí)間變化而變化，因此隨時(shí)間

30、流逝，我們要不斷調(diào)整期權(quán)頭寸和標(biāo)的資產(chǎn)或期貨頭寸，才能保持保值組合處于中性狀態(tài)。值得注意的是，由于保持中性只能通過期權(quán)頭寸的調(diào)整獲得，實(shí)現(xiàn)中性的結(jié)果往往是非中性，因而常常還需要運(yùn)用標(biāo)的資產(chǎn)或期貨頭寸進(jìn)行調(diào)整，才能使得證券組合同時(shí)實(shí)現(xiàn)中性和中性。例 12.3假設(shè)某個(gè)中性的保值組合的值等于-5 000 ,該組合中標(biāo)的資產(chǎn)的某個(gè)看漲期權(quán)多頭的和值分別等于0.80和2.0o為使保值組合中性，并保持中性，該組合應(yīng)購(gòu)買多少份該期權(quán)，同 時(shí)賣出多少份標(biāo)的資產(chǎn)？該組合應(yīng)購(gòu)入的看漲期權(quán)數(shù)量等于：50002.0=2 500 份由于購(gòu)入2 500份看漲期權(quán)后，新組合的值將由0 增加到 2 5000.80=2 000

31、 ° 因此,為保持中性，應(yīng)出售 2 000份標(biāo)的資產(chǎn)。五、Delta、Theta和Gamma之間的關(guān)系在第 章，我們?cè)懻撨^無收益資產(chǎn)的看漲期權(quán)價(jià)格f必須滿足Black-Scholes微分方程式(11.1),即:汗.:trS蘭丄匚2S2；S 2=rf根據(jù)我們?cè)诒竟?jié)的定義,jf.:t=r2e 所 A d f-4,2；S ；:S2因此有：1 2 2O rS2S = rf(12.5)2該公式對(duì)無收益資產(chǎn)的單個(gè)期權(quán)和多個(gè)期權(quán)組合都適用。對(duì)于處于中性狀態(tài)的組合來說，1 2 2S -二 rf2這意味著，對(duì)于中性組合來說，若為負(fù)值并且很大時(shí)，將會(huì)為正值并且也很大。對(duì)于處于中性和中性狀態(tài)的組合來說，

32、=rf這意味著，中性和中性組合的價(jià)值將隨時(shí)間以無風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利率的速度增長(zhǎng)。關(guān)于Delta , Theta和Gamma三者之間的符號(hào)關(guān)系如表12-2所示。表12-2 Delta、Theta和Gamma三者之間的符號(hào)關(guān)系DeltaThetaGamma多頭看漲期權(quán)+一+多頭看跌期權(quán)一一+空頭看漲期權(quán)一+一空頭看跌期權(quán)+一從表中可以看出，Gamma的符號(hào)總是與Theta的符號(hào)相反。第四節(jié)Vega、RHO與套期保值-、Vega與套期保值期權(quán)的Vega （）用于衡量該證券的價(jià)值對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率的敏感度，它等于期權(quán) 價(jià)格對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率（）的偏導(dǎo)數(shù)，即：f（12.6） ccr證券組合的值等于該組合中

33、各證券的數(shù)量與各證券的值乘積的總和。證券組合的值越大說明其價(jià)值對(duì)波動(dòng)率的變化越敏感標(biāo)的資產(chǎn)遠(yuǎn)期和期貨合約的Vega值等于零。對(duì)于無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)而言，,S .、T -1 呻2A=頂應(yīng)該注意的是，上述值是根據(jù) Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式（11.2）和（11.3）算出的， 而這兩個(gè)公式都假定為常數(shù)。因此上述這些公式都隱含著這樣的前提： 波動(dòng)率為常數(shù)情況下 的期權(quán)價(jià)格與波動(dòng)率是變量情況下的期權(quán)價(jià)格是相等的。顯然，這僅僅是一個(gè)近似的假定。從上述公式可以看出，值總是正的，但其大小取決于S、T t、r和。其中值與 S的關(guān)系與的關(guān)系很相似（如圖12.9所示）。圖12.9期權(quán)的Ve

34、ga值與S的關(guān)系由于證券組合的值只取決于期權(quán)的值。因此我們可以通過持有某種期權(quán)的多頭或空頭來改變證券組合的值。只要期權(quán)的頭寸適量，新組合的值就可以等于零，我們稱此時(shí)證券組合 處于中性狀態(tài)。遺憾的是，當(dāng)我們調(diào)整期權(quán)頭寸使證券組合處于中性狀態(tài)時(shí)，新期權(quán)頭寸會(huì)同時(shí)改變證券組合的值，因此，若套期保值者要使證券組合同時(shí)達(dá)到中性和中性，至少要使用同一標(biāo)的資產(chǎn)的兩種期權(quán)。我們令和p分別代表原證券組合的值和值， 1和2分別代表期權(quán)1和期權(quán)2的值，1和2 分別代表期權(quán)1和期權(quán)2的值，W1和W2分別代表為使新組合處于中性和中性需要的期權(quán)1和2的數(shù)量，則W1和W2可用下述聯(lián)立方程求得：j,p 丨 M 丨 2w2 =

35、 0 12.7i、； p .iWi 上2W2 =0 12.8例 12.4假設(shè)某個(gè)處于 Delta中性狀態(tài)的證券組合的值為6 000值為9 000，而期權(quán)1的值為0.8,值為2.2，值為0.9期權(quán)2的值為1.0,值為1.6,值為0.6,求應(yīng)持有多少期權(quán)頭寸才能使該 組合處于和中性狀態(tài)？根據(jù)式(12.7)、( 12.8)我們有:6 000 0.8w11.0w2 二 09 000 2.2w11.6w2 =0求解這個(gè)方程組得：W1-6 522，W2 -653。因此，我們因加入 6 522份第一種期權(quán)的空頭和653份第二種期權(quán)的空頭才能使該組合處于和中性狀態(tài)。加上這兩種期權(quán)頭寸后，新組合的值為-6 52

36、20.9-6530.6=-6 261.6。因此仍需買入6 262份標(biāo)的資產(chǎn)才能使該組合處于中性狀態(tài)。二、RHO與套期保值期權(quán)的RHO用于衡量期權(quán)價(jià)格對(duì)利率變化的敏感度，它等于期權(quán)價(jià)格對(duì)利率的偏導(dǎo)數(shù)：rho( 12.9)&對(duì)于無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)而言，rho =X(T -t)e(T4N(d2)對(duì)于無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)而言，rho =X(T -t)eJ(T _L)N(d2) -1另外，期貨價(jià)格的rho值為：rho =(T -t)F標(biāo)的資產(chǎn)的rho值為0。因此我們可以通過改變期權(quán)或期貨頭寸來使證券組合處于rho中性狀態(tài)。第五節(jié) 交易費(fèi)用與套期保值從前述的討論可以看出，為了保持證券組合處于、中

37、性狀態(tài)，必須不斷調(diào)整組合。然而頻繁的調(diào)整需要大量的交易費(fèi)用。因此在實(shí)際運(yùn)用中，套期保值者更傾向于使用、和rho等參數(shù)來評(píng)估其證券組合的風(fēng)險(xiǎn)，然后根據(jù)他們對(duì)S、r、未來運(yùn)動(dòng)情況的估計(jì)，考慮是否有必要對(duì)證券組合進(jìn)行調(diào)整。如果風(fēng)險(xiǎn)是可接受的，或?qū)ψ约河欣?，則不調(diào)整，若風(fēng)險(xiǎn)對(duì)自己不利且是不可接受的，則進(jìn)行相應(yīng)調(diào)整。例 12.5假定在5月份某種資產(chǎn)組合包含10 000股A股票，資產(chǎn)組合的管理者決定將 A股票的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)降低一半，即要將頭寸的值從10 000轉(zhuǎn)換成5 000。有關(guān)的市場(chǎng)信息如表 12-3。表12-3 A股票及其期權(quán)的信息股票價(jià)格33距7月份期權(quán)到期的天數(shù)66無風(fēng)險(xiǎn)利率5%A股票的隱含波動(dòng)率0

38、.317月份到期的期權(quán)的價(jià)格和：協(xié)議價(jià)格為35的看漲期權(quán)的價(jià)格1.06協(xié)議價(jià)格為35的看漲期權(quán)的0.377協(xié)議價(jià)格為30的看跌期權(quán)的價(jià)格0.5協(xié)議價(jià)格為30的看跌期權(quán)的0.196運(yùn)用聯(lián)立方程，我們可以求出使期權(quán)交易現(xiàn)金支出為0的期權(quán)頭寸。從表中可以看出，供我們選擇的期權(quán)只有兩種，因?yàn)楣善钡臑?，為了降低組合的，可以購(gòu)買看跌期權(quán)，同時(shí)為了降低保值成本，可以出售看漲期權(quán)來為購(gòu)買看跌期權(quán)融資。具體的計(jì)算過程如下。假設(shè)X和Y分別為看漲期權(quán)和看跌期權(quán)合約的份數(shù)。那么我們的目標(biāo)是股票的.1 看漲期權(quán)的厶+看跌期權(quán)的.: =5 000 買入看跌期權(quán)的期權(quán)費(fèi)支出-出售看漲期權(quán)的期權(quán)費(fèi)收入=0即10 000-0

39、.377X 0.196Y =5 0000.5X -1.06Y =0解方程可得X =6 305.17,Y =13 366.94。所以大約需要63份看漲期權(quán)和134份看跌期權(quán)?！颈菊滦〗Y(jié)】1. 動(dòng)態(tài)套期保值就是分別算出保值工具與保值標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)值對(duì)一些共同的變量(如標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格、時(shí)間、標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率、無風(fēng)險(xiǎn)利率等)的敏感度，這些敏感度分別用、 和rho表示，然后通過建立適當(dāng)?shù)谋Ｖ倒ぞ叩念^寸，使保值組合處于、和rho中性狀態(tài)。2. 期權(quán)的Delta用于衡量期權(quán)價(jià)格對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)市場(chǎng)價(jià)格變動(dòng)的敏感度，它等于期權(quán)價(jià)格變化與標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變化的比率。3. 當(dāng)證券組合中含有標(biāo)的資產(chǎn)、該標(biāo)的資產(chǎn)的各種期權(quán)和其他

40、衍生證券的不同頭寸時(shí)，該證券組合的值就等于組合中各種資產(chǎn)值的總和(標(biāo)的資產(chǎn)相同的情形)。4. 值為0的證券組合處于 Delta中性狀態(tài)。當(dāng)證券組合處于中性狀態(tài)時(shí)，組合的價(jià)值就不 受標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)的影響，從而實(shí)現(xiàn)了套期保值。5. 在不考慮交易費(fèi)用并假設(shè)波動(dòng)率為常數(shù)的情況下，運(yùn)用標(biāo)的資產(chǎn)進(jìn)行Delta中性套期保值的成本和效果就和買入了一個(gè)看漲期權(quán)多頭一樣。也就是說，套期保值的結(jié)果是：我們通過標(biāo)的資產(chǎn)構(gòu)成了一個(gè)“合成的期權(quán)頭寸”。6. 期權(quán)的Theta ()用于衡量期權(quán)價(jià)格對(duì)時(shí)間變化的敏感度，是期權(quán)價(jià)格變化與時(shí)間變化 的比率。7. 期權(quán)的Gamma ()是一個(gè)與 Delta聯(lián)系密切的敏感性指標(biāo)，是Delta的敏感性指標(biāo)，它用于衡量該證券的 Delta值對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變化的敏感度。8. 當(dāng)證券組合中含有標(biāo)的資產(chǎn)和該標(biāo)的