坐標(biāo)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換

1、不同空間直角坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換不同空間直角坐標(biāo)系Z間的轉(zhuǎn)換右三種模型，即布爾莎模型、范士模型、英洛金斯基模型 轉(zhuǎn)換參數(shù)包括三個(gè)平移參數(shù)、三個(gè)旋轉(zhuǎn)參數(shù)與一個(gè)尺度參數(shù)。對(duì)于坐標(biāo)換算而言等價(jià)，推導(dǎo) 布爾莎公式如下：Xr=21Xo4-(14-dK)K|e )X(1)式中 X一一P在坐標(biāo)系，Ot-XtYjZt中的坐標(biāo)向量X一一P在坐標(biāo)系O 一XYZ中的坐標(biāo)向量JXo一一原點(diǎn)平移向量，axq=ax ay jz)tdK一尺度變化系數(shù)，K(e )一一旋轉(zhuǎn)矩陣R二 R(z)R(y)R(6z)cosy cosrzcosrx sin + sinsin cosz sin rx sin % 一 cosrx sin g c

2、os2= 一 cosrY sin z cosx cosrz - sinsin rY sin rz sincosrz + cosrx sin “ sin、 sin rY- sin 抵 cos$ycosx cosrY當(dāng)已知轉(zhuǎn)換參數(shù)ZX。、dK、R(e)時(shí)，可按上式將P,點(diǎn)的X坐標(biāo)系坐標(biāo)換算為治坐 標(biāo)系的坐標(biāo)。按最小二乘原則求解轉(zhuǎn)換參數(shù)/X。、dK、陀)如下.因旋轉(zhuǎn)角e很小，有sinexe 和cose=l,若忽略e二階微小童，XTi= ZlXo4-R(e)d/CX/+R|e)X/=ZX+(E+Q)dKX,+(E+Q)X,= ZXo+dKX,+K+QX,則旋轉(zhuǎn)陣代入(10-28)式忽略二階微小量dKQ

3、X,得顧及0% -%、(%0-J嶺、0X嚴(yán)_Fzo vY,=Z,0-Xj務(wù)1務(wù)X0 JZX, 0 ,忌則(1)式為1%)3八0_Z,=+dK +0務(wù)+T1%X,0 J匕丿（此即用于兩空間直角坐標(biāo)系相互變換的布爾莎七參數(shù)公式）若上式中ex=eY=O,忽工0,則上式為五參數(shù)轉(zhuǎn)換模型。若再有血=0,則上式為四參 數(shù)轉(zhuǎn)換模型。若尺度比參數(shù)亦為零，則得三參數(shù)轉(zhuǎn)換模型2dyt=+Tl辺三摻數(shù)轉(zhuǎn)換公式是在假設(shè)兩坐標(biāo)系間各坐標(biāo)軸相互平行，即軸系間不存在歐勒角的條件下 導(dǎo)出的，這在實(shí)際情況中往往是不可能的。在歐勒角不大，求得歐勒角誤差和歐勒角本身 數(shù)值屬同一數(shù)量級(jí)時(shí)，可以近似地這樣處置。此種情況在國(guó)內(nèi)外一些坐標(biāo)

4、換算中屢見不鮮， 如北美坐標(biāo)系相對(duì)于地心坐標(biāo)系的三參數(shù)是X0=-22m, y0=157m, Z=176；歐洲坐標(biāo)系相對(duì) 于地心坐標(biāo)系的三參數(shù)是X0=-84m, y0=-103m, Z0=-127m等。我國(guó)地心坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換參數(shù) （DX-1）也屬三個(gè)轉(zhuǎn)換參數(shù)。則誤差方程法方程btpby-btplax=q單位權(quán)方差當(dāng)根據(jù)多個(gè)公共點(diǎn)按最小二乘法求解轉(zhuǎn)換參數(shù)時(shí)，對(duì)每個(gè)點(diǎn)有觀測(cè)方程0加、XX-疋1 0 0 0 -zx 耳、必wxo 1 o x A o -x.dKy =(IK匕-zjko o i zx -x o y5務(wù)ez j設(shè)ri o o x, o -z, y,、% =B嚴(yán)o 1 o y, z. o - x

5、ik-zJ0 0 1 Z -K X0k117Jb=(耳a耳不同空間人地坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換對(duì)于不同人地坐標(biāo)系的換算，除包含三個(gè)平移參數(shù)、三個(gè)旋轉(zhuǎn)參數(shù)和一個(gè)尺度變化參數(shù)外，還包括兩個(gè)地球橢球元素變化參數(shù)，以下推導(dǎo)不同大地坐標(biāo)系的換算公式宓麗亞一dBaz-dB ax瓦OY一兀az一兀cosBcosLcosBcosL空餡亦az喬 來(lái)一 csaY一 csaz一 XdBb2dZz.JdHHrH】siii L(N + H)cosBsin BcosLM + HcosBcosLcosL(N + H)cosB sin B sin L M + H cosBsiii LcosBM + Hsin B（2）式可寫為:dLd

6、B 二dHsin L (N + H)cosB sin BcosL 譏 P M + H cosBcosLcosL 人 (N + H)cosB sin B sin L “ PM + HcosBsin L0cosBM + Hsin B咅Pn AXAZ0tgBcosL-siiiLNe2 sillBcosBsiiiLtgB siiiLcosL Ne2 siiiB cosB cosLPn0e2 sin E cosB/7M + HN(l-e2sin2B) + H顧及（1）式及0 0N 2 口 ”M(2-e2 sin2B) 口 口”e sm Be os Bp sm BcosBp (M + H)a (M + H

7、)Q-a)(1-e2 sill2 B)(1-e2 sin2 B) sill2 BaI-adada上式通常稱為廣義人地坐標(biāo)微分公式或廣義變換橢球微分公式。如略去旋轉(zhuǎn)參數(shù)和尺度變化參數(shù)的影響，即簡(jiǎn)化為一般的人地坐標(biāo)微分公式。根據(jù)3個(gè)以上公共點(diǎn)的兩套大地坐標(biāo)值，可列出9個(gè)以上(10-24)式的方程，可按最小二乘法求得8個(gè)轉(zhuǎn)換參數(shù)。2.空間直角坐標(biāo)與空間大地坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換圖2-6表示了空間直角坐標(biāo)系與空間人地坐標(biāo)系Z間的關(guān)系。圖2-6地球空間fl角坐標(biāo)系與大地坐標(biāo)系在相同的基準(zhǔn)卜空間人地坐標(biāo)系向空間直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換公式為：X = (N + H)cosEcosLY=(N+H)cosBsinL ”2J)Z =

8、 N(l-e2)+Hsin BJ式中，N = A . n為橢球的長(zhǎng)半軸，N為橢球的卯酉圈曲率半徑 Wa二6378. 137kmW= Vl-e2siii2Be?= 匚二，e為橢球的第一偏心率，b為橢球的短半軸 ab =6356. 7523141km在相同的基準(zhǔn)卜空間直角坐標(biāo)系向空間人地坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換公式為( ae2 sinBB = arctg tgQ 1 +IX丿Rcos H =NcosB式中二 arctgZVx2 + y2r=Vx2+y2 + z32.3不同平面坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換眾所周知，坐標(biāo)系之間的差異主要取決于定位與定向、橢球參數(shù)以及坐標(biāo)系的尺度定義。從 原理上講，嚴(yán)密方法是將舊網(wǎng)的全部觀測(cè)資料覓新

9、歸算到新坐標(biāo)系中，垂新平差計(jì)算出各點(diǎn) 的新坐標(biāo)。對(duì)于二維轉(zhuǎn)換模型，參數(shù)的選取依賴于工程項(xiàng)目的需要，在人多數(shù)的平面坐標(biāo)轉(zhuǎn) 換應(yīng)用中，常常使用四參數(shù)模型、直接參數(shù)法、六參數(shù)模型等。四參數(shù)模型四參數(shù)模型是從布爾莎公式演化而來(lái)的.英計(jì)算公式為：X+ (1 加)+ycosOsinO-sinOXcosOy_式中.Ax、Ay. 0 . m分別為平面上的平移、旋轉(zhuǎn)、尺度參數(shù)。不難看出，要求出4個(gè) 參數(shù)至少需要2個(gè)己知公共點(diǎn)。當(dāng)右2個(gè)以上轉(zhuǎn)換公共點(diǎn)時(shí)，將此模型轉(zhuǎn)換為線性模型用最 小二乘求解：(2)式中二Ax b= Ay , c = mcosG, d=msin6 m= Qi2 + b：對(duì)于n個(gè)公共點(diǎn)可列如卜誤差方

10、 程：Vaivr.V兒1010兀2y2X“兒X工設(shè)所有轉(zhuǎn)換點(diǎn)帶有誤差的觀測(cè)值等權(quán)則由式（3）的誤差方程.通過間接平差法杏得轉(zhuǎn)勢(shì)參 數(shù)向勒的最小二乘解為：A （BtPB）-1BtPL （其中P為單位權(quán)）,從而求出合、b. e、do則平移參數(shù)7jAx=a, Ay=b,再用以下兩式計(jì)算旋轉(zhuǎn)參數(shù)e和尺度因子m： 0= /a2 + b2,Am=arctan （-c/d）直接參數(shù)法直接參數(shù)法就是利用兩套坐標(biāo)系兩個(gè)已知公共點(diǎn)的坐標(biāo)（X1/Y1）aX2/Y2）ax1/y1）.（x2/y2） 求出坐標(biāo)轉(zhuǎn)換平移參數(shù).尺度因子、旋轉(zhuǎn)參數(shù)。數(shù)學(xué)模型點(diǎn)用;）-紗）-（;:）S=x/AX2 4- AY2/s=/Ax2 +

11、 Ay2,A= I.此處進(jìn)入公式,d= 平移參數(shù)（當(dāng)卜C；） 一 C；），尺度因子吩旋轉(zhuǎn)參數(shù)e=Ad則其他點(diǎn)（Xi,Yi）的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式為：（篦）：） 一 C：）（紗（仆）（一鬻黑）;）代）+（誥）上式方法是直接根據(jù)兩公共坐標(biāo)求轉(zhuǎn)換參數(shù)，然后根據(jù)轉(zhuǎn)換參數(shù)求坐標(biāo)增最的轉(zhuǎn)換值，最后 求出轉(zhuǎn)換點(diǎn)在新坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。六參數(shù)模型六參數(shù)模型是-種平面仿射變換，將兩坐標(biāo)軸的指向經(jīng)過2個(gè)角度旋轉(zhuǎn)Cl和卩，并采用2個(gè)尺 度因子，即縱向尺度因子人和橫向尺度因子Ay。在任意2個(gè)平面坐標(biāo)間的六參數(shù)仿射變換, 可以用如下公式：_ 人sin|3人.COSp式中x、Ay為平移參數(shù)；a、卩為旋轉(zhuǎn)參數(shù)；人、入y為比例因子。顯然

12、要求解6個(gè)轉(zhuǎn)換參 數(shù).至少需要3個(gè)公共點(diǎn)的坐標(biāo)。當(dāng)有3個(gè)以上轉(zhuǎn)換公共點(diǎn)時(shí)，可用最 小二乘求解轉(zhuǎn)換參數(shù)。將式矩陣運(yùn)算解開，町得X= cosa x-sinp y + AxY = Xx sin a x + 入、cos卩 y +AyJ令5= Ax, a丄ssa, a2 sill Pb0=Ay z b丄=AX sill a, b2 =Ay cos p 則上式可以寫為：X - a) + a x + a? yV = b()+q x + b2 y由以上兩式可見，X和x、y之間存在線性關(guān)系，Y和x、y之間也存在線性關(guān)系，因此以上 兩式完全可以由線性回歸原理進(jìn)行解算。用一個(gè)通用型線性回歸模型代替以上兩個(gè)式子，即N =乙 + 化 +心(5)按以小二乘原理，令(5)式20 = 2人-比+心N +血片)二min可得線性回歸系數(shù)kj(j=123)即*= 3”)川H 不 Xi 】 *2 少2aN 一式中_ 1 6 .對(duì)于通用線性回歸模型(5)將Z變?yōu)閄.則K丄、K2. K3即分別為a。、心、2：將Z變?yōu)閅, 則分別為b。、5、b2 o根據(jù)、g、。2和b、S