數(shù)控技術(shù) 第八章 軌跡插補(bǔ)

1、第八章 軌跡插補(bǔ)8.1 概述概述8.1.1 插補(bǔ)插補(bǔ)（Interpolation）插補(bǔ)：在軌跡起點(diǎn)和終點(diǎn)之間的數(shù)據(jù)密化。插補(bǔ)：在軌跡起點(diǎn)和終點(diǎn)之間的數(shù)據(jù)密化。8.1.2 插補(bǔ)插補(bǔ)方法方法硬件插補(bǔ)：硬件插補(bǔ)：軟件插補(bǔ)：軟件插補(bǔ)：脈沖增量插補(bǔ)：脈沖增量插補(bǔ)：數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)：數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)：每走一每走一“步步”的的行程是固定的行程是固定的，每走一，每走一“步步”的時(shí)間由系統(tǒng)控制，從而控制系統(tǒng)的運(yùn)行速度。的時(shí)間由系統(tǒng)控制，從而控制系統(tǒng)的運(yùn)行速度。多用于步進(jìn)電機(jī)系統(tǒng)中。多用于步進(jìn)電機(jī)系統(tǒng)中。每走一每走一“步步”的的時(shí)間是固定的時(shí)間是固定的，每走一，每走一“步步”的行程由系統(tǒng)控制，從而控制系統(tǒng)的運(yùn)行速度。的行

2、程由系統(tǒng)控制，從而控制系統(tǒng)的運(yùn)行速度。多用于伺服電機(jī)系統(tǒng)中。多用于伺服電機(jī)系統(tǒng)中。插補(bǔ)算法由專門的硬件電路實(shí)現(xiàn)。插補(bǔ)算法由專門的硬件電路實(shí)現(xiàn)。插補(bǔ)算法由計(jì)算機(jī)中運(yùn)行的軟件插補(bǔ)算法由計(jì)算機(jī)中運(yùn)行的軟件程序進(jìn)行控制。程序進(jìn)行控制。8.2 脈沖增量插補(bǔ)脈沖增量插補(bǔ)8.2.1 逐點(diǎn)比較法逐點(diǎn)比較法被控對(duì)象每走一步，都和規(guī)定的軌跡進(jìn)行比較，被控對(duì)象每走一步，都和規(guī)定的軌跡進(jìn)行比較，由比較結(jié)果決定下一步的移動(dòng)方向。由比較結(jié)果決定下一步的移動(dòng)方向。8.2.1.1 直線插補(bǔ)直線插補(bǔ)YXOE(Xe,Ye)A(Xa,Ya)B(Xb,Yb)eeYXYX直線方程為：直線方程為：以第一象限為例：以第一象限為例：A點(diǎn)在直

3、線的上方，則點(diǎn)在直線的上方，則B點(diǎn)在直線的下方，則點(diǎn)在直線的下方，則取判別函數(shù)取判別函數(shù)0aeaeY XX Y 0aeaeY XX Y eeFYXXY F 0，點(diǎn)在直線的上方，向，點(diǎn)在直線的上方，向 + X或或 Y方向走一步；方向走一步；F 0 ， 向向 + X或或 Y方向走一步。方向走一步。計(jì)算機(jī)迭代算法：計(jì)算機(jī)迭代算法：eeejieiejjijjejieiejjiiieiejjijiXFFFYFFFXFYXXYFYYYYFYXXYFXXXYXXYFFYX ,0 ,0 )1(1 )1(1 ),( ,1,1,11,即即：走走一一步步，則則若若沿沿走走一一步步，則則若若沿沿值值的的設(shè)設(shè)第第一一象

4、象限限中中的的點(diǎn)點(diǎn)逐點(diǎn)比較法直線插補(bǔ)的其他象限情況逐點(diǎn)比較法直線插補(bǔ)的其他象限情況Xe,YeX0,Y0X0,Y0X0,Y0X0,Y0Xe,YeXe,YeXe,YeYXIIVIIIIIF = 0, -XF = 0, -XF = 0, +XF = 0, +XF 0, +YF 0, -YF 0, -YF 0, +Y8.2.1.2 圓弧插補(bǔ)圓弧插補(bǔ)YX(Xe,Ye)(X0,Y0)F0原心在原點(diǎn)的原心在原點(diǎn)的圓的方稱為：圓的方稱為：0)()(202022 YXYX選判別函數(shù)選判別函數(shù))()(202022YXYXF 則以第一象限逆圓為例：則以第一象限逆圓為例： F0，點(diǎn)在圓弧外，向，點(diǎn)在圓弧外，向X走一步

5、；走一步； F=0，點(diǎn)在圓弧上，向，點(diǎn)在圓弧上，向X走一步；走一步； F0，點(diǎn)在圓弧內(nèi)，向，點(diǎn)在圓弧內(nèi)，向+Y走一步。走一步。 12)()1(1 12)()1(1 )( ),( ,2020221,1,202022,11202022,jjijijijjijijijiiiiijijiYFYXYXFYYYXFYXYXFXXXYXYXFFYX走走一一步步，則則若若沿沿走走一一步步，則則若若沿沿值值的的設(shè)設(shè)第第一一象象限限中中的的點(diǎn)點(diǎn)計(jì)算機(jī)迭代算法計(jì)算機(jī)迭代算法逐點(diǎn)比較法圓弧插補(bǔ)的其他象限情況逐點(diǎn)比較法圓弧插補(bǔ)的其他象限情況XYOF 0F 0F 0F 0F 0F 0F 0F 0F 0F 0F 0F 0F

6、 0F 0F 0F 0IIVIIIII8.2.1.3 逐點(diǎn)比較法插補(bǔ)的特點(diǎn)逐點(diǎn)比較法插補(bǔ)的特點(diǎn)誤差小于一個(gè)脈沖當(dāng)量；誤差小于一個(gè)脈沖當(dāng)量；運(yùn)算直觀，輸出脈沖均勻，輸出脈沖的速度運(yùn)算直觀，輸出脈沖均勻，輸出脈沖的速度變化小；變化小；適用于使用步進(jìn)電機(jī)驅(qū)動(dòng)的開環(huán)數(shù)控系統(tǒng)；適用于使用步進(jìn)電機(jī)驅(qū)動(dòng)的開環(huán)數(shù)控系統(tǒng)；不適用于高速度、高精度、多軸聯(lián)動(dòng)的場不適用于高速度、高精度、多軸聯(lián)動(dòng)的場合。合。8.2.2 數(shù)字積分法數(shù)字積分法DDA Digital Differential Analyzer8.2.2.1 數(shù)字積分原理數(shù)字積分原理tYY=f(t)Y0ti-1tiYi-1Yi函數(shù)函數(shù)Y=f(t)的積分的積分

7、 tdttfS0)(若時(shí)間間隔若時(shí)間間隔t=ti-ti-1足足夠小，則夠小，則S離散化為：離散化為： tniitXdttfS011)(t取最小單位取最小單位“1”，則則 niiXS118.2.2.2 DDA直線插補(bǔ)直線插補(bǔ)OXVyVxV(Xe,Ye)Yt 時(shí)間內(nèi)在時(shí)間內(nèi)在X,Y方向上的方向上的位移量為：位移量為：tVYtVXyx 設(shè)直線長度設(shè)直線長度22eeYXL 對(duì)于直線有：對(duì)于直線有：LYVVLXVVeyex , 即即LVKYKYLVVXKXLVVeeyeex , 其中其中則則tYKYtXKXee 所以，各坐標(biāo)軸的位移量為：所以，各坐標(biāo)軸的位移量為： nietnietenietnieteY

8、KtYKdtKYYXKtXKdtKXX11101110取取取取在硬件在硬件DDA電路中，若積分累加器的字長為電路中，若積分累加器的字長為n位，則當(dāng)累加器內(nèi)的數(shù)值到達(dá)位，則當(dāng)累加器內(nèi)的數(shù)值到達(dá)2n時(shí)，就有一個(gè)時(shí)，就有一個(gè)溢出脈沖，終點(diǎn)坐標(biāo)值越大（長軸），則該軸溢出脈沖，終點(diǎn)坐標(biāo)值越大（長軸），則該軸方向上溢出脈沖的速度越快，即該軸的運(yùn)行速方向上溢出脈沖的速度越快，即該軸的運(yùn)行速度越快。度越快。若某軸終點(diǎn)坐標(biāo)為若某軸終點(diǎn)坐標(biāo)為m（單位為脈沖當(dāng)量），則（單位為脈沖當(dāng)量），則累加累加2n次之后，該軸方向上的溢出脈沖個(gè)數(shù)必次之后，該軸方向上的溢出脈沖個(gè)數(shù)必然為然為m個(gè)。個(gè)。此時(shí)，此時(shí)，nK21 DDA直

9、線硬件插補(bǔ)器流程：直線硬件插補(bǔ)器流程：X軸被積函數(shù)軸被積函數(shù)XeX軸積分累計(jì)器軸積分累計(jì)器Y軸積分累加器軸積分累加器Y軸被積函數(shù)軸被積函數(shù)YetX軸溢出脈沖軸溢出脈沖Y軸溢出脈沖軸溢出脈沖插補(bǔ)迭代插補(bǔ)迭代控制脈沖控制脈沖YX8.2.2.3 DDA圓弧插補(bǔ)圓弧插補(bǔ)P(X,Y)AVVyVxYXO圖中所示第一象限逆圓圖中所示第一象限逆圓KXVYVRVPVVAOPyxx , 得得由圖中由圖中 逆圓逆圓tXKtVYtYKtVXyx 對(duì)于對(duì)于n位硬件累加器，取位硬件累加器，取nK21 ，則，則tXYtYXmiinmiin 112121順圓順圓tXKtVYtYKtVXyx DDA第一象限逆圓硬件插補(bǔ)器流程：

10、第一象限逆圓硬件插補(bǔ)器流程：X軸被積函數(shù)軸被積函數(shù)YiX軸積分累計(jì)器軸積分累計(jì)器Y軸積分累加器軸積分累加器Y軸被積函數(shù)軸被積函數(shù)XitX軸溢出脈沖軸溢出脈沖X方向方向Y軸溢出脈沖軸溢出脈沖+Y方向方向插補(bǔ)迭代插補(bǔ)迭代控制脈沖控制脈沖YXDDA第一象限逆圓硬件插補(bǔ)過程：第一象限逆圓硬件插補(bǔ)過程：v X軸被積函數(shù)初始值置軸被積函數(shù)初始值置Y0， Y軸被積函數(shù)初始值置軸被積函數(shù)初始值置X0 ；v X軸積分累加器溢出到軸積分累加器溢出到X方向，方向， Y軸積分累加器溢出到軸積分累加器溢出到+Y方向；方向；v X軸方向每發(fā)出一個(gè)進(jìn)給脈沖，軸方向每發(fā)出一個(gè)進(jìn)給脈沖，Y軸被積函數(shù)軸被積函數(shù) 寄存器值減寄存器

11、值減1； Y軸方向每發(fā)出一個(gè)進(jìn)給脈沖，軸方向每發(fā)出一個(gè)進(jìn)給脈沖，X軸被積函數(shù)軸被積函數(shù) 寄存器值加寄存器值加1；v 當(dāng)其中一個(gè)軸到達(dá)終點(diǎn)后，該軸不再迭代，當(dāng)其中一個(gè)軸到達(dá)終點(diǎn)后，該軸不再迭代， 該方向到達(dá)終點(diǎn)。另一個(gè)軸也到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，該方向到達(dá)終點(diǎn)。另一個(gè)軸也到達(dá)終點(diǎn)時(shí)， 迭代停止，插補(bǔ)結(jié)束。迭代停止，插補(bǔ)結(jié)束。DDA圓弧插補(bǔ)其他象限情況：圓弧插補(bǔ)其他象限情況：圓弧方向圓弧方向順圓順圓逆圓逆圓象限象限IIIIIIIVIIIIIIIVX軸軸進(jìn)給方向進(jìn)給方向Y軸軸進(jìn)給方向進(jìn)給方向X軸被積函軸被積函數(shù)修正符號(hào)數(shù)修正符號(hào)Y軸被積函軸被積函數(shù)修正符號(hào)數(shù)修正符號(hào)8.2.2.4 硬件硬件DDA插補(bǔ)存在的問題及

12、改進(jìn)方法插補(bǔ)存在的問題及改進(jìn)方法 加工工件的最大尺寸受累加器的字長的限制；加工工件的最大尺寸受累加器的字長的限制； 因?yàn)槔奂悠鞯淖珠L固定，造成速度不均。可因?yàn)槔奂悠鞯淖珠L固定，造成速度不均?？梢允褂靡允褂谩白笠埔?guī)格化左移規(guī)格化”加以改善；加以改善； 長軸的脈沖先溢出，短軸的脈沖后溢出。使長軸的脈沖先溢出，短軸的脈沖后溢出。使用用“預(yù)置初值預(yù)置初值”減小加工誤差。減小加工誤差。8.2.2.5 軟件軟件DDA插補(bǔ)插補(bǔ) 隨著加工程序段行程的變化而自動(dòng)隨著加工程序段行程的變化而自動(dòng)改變積分改變積分累加器的溢出基值累加器的溢出基值，以提高脈沖發(fā)生率，穩(wěn)定，以提高脈沖發(fā)生率，穩(wěn)定脈沖輸出速度，并可以增大加

13、工工件的尺寸；脈沖輸出速度，并可以增大加工工件的尺寸；直線插補(bǔ)以位移量最大的坐標(biāo)軸分量直線插補(bǔ)以位移量最大的坐標(biāo)軸分量（長軸）為溢出基值（長軸）為溢出基值圓弧插補(bǔ)以半徑圓弧插補(bǔ)以半徑R為溢出基值為溢出基值積分累加器預(yù)置一定的初值積分累加器預(yù)置一定的初值，可以使被積函，可以使被積函數(shù)值較小的坐標(biāo)軸提前發(fā)生位置變化，從而改數(shù)值較小的坐標(biāo)軸提前發(fā)生位置變化，從而改善加工軌跡，提高插補(bǔ)精度。善加工軌跡，提高插補(bǔ)精度。直線插補(bǔ)預(yù)置溢出基值直線插補(bǔ)預(yù)置溢出基值(位移量最大的位移量最大的坐標(biāo)軸分量坐標(biāo)軸分量)的一半，的一半，“四舍五入四舍五入”；圓弧插補(bǔ)預(yù)置溢出基值（半徑圓弧插補(bǔ)預(yù)置溢出基值（半徑R ）減）

14、減1，即即 R1。軟件軟件DDADDA圓弧插補(bǔ)舉例圓弧插補(bǔ)舉例未置初值未置初值軟件軟件DDADDA圓弧插補(bǔ)舉例圓弧插補(bǔ)舉例未置初值未置初值軟件軟件DDADDA圓弧插補(bǔ)舉例圓弧插補(bǔ)舉例未置初值未置初值軟件軟件DDADDA圓弧插補(bǔ)舉例圓弧插補(bǔ)舉例未置初值未置初值軟件軟件DDADDA圓弧插補(bǔ)舉例圓弧插補(bǔ)舉例未置初值未置初值軟件軟件DDADDA圓弧插補(bǔ)舉例圓弧插補(bǔ)舉例未置初值未置初值軟件軟件DDADDA圓弧插補(bǔ)舉例圓弧插補(bǔ)舉例未置初值未置初值軟件軟件DDADDA圓弧插補(bǔ)舉例圓弧插補(bǔ)舉例未置初值未置初值軟件軟件DDADDA圓弧插補(bǔ)舉例圓弧插補(bǔ)舉例未置初值未置初值軟件軟件DDADDA圓弧插補(bǔ)舉例圓弧插補(bǔ)舉

15、例未置初值未置初值軟件軟件DDADDA圓弧插補(bǔ)舉例圓弧插補(bǔ)舉例未置初值未置初值軟件軟件DDADDA圓弧插補(bǔ)舉例圓弧插補(bǔ)舉例未置初值未置初值軟件軟件DDADDA圓弧插補(bǔ)舉例圓弧插補(bǔ)舉例置初值置初值軟件軟件DDADDA圓弧插補(bǔ)舉例圓弧插補(bǔ)舉例置初值置初值軟件軟件DDADDA圓弧插補(bǔ)舉例圓弧插補(bǔ)舉例置初值置初值軟件軟件DDADDA圓弧插補(bǔ)舉例圓弧插補(bǔ)舉例置初值置初值軟件軟件DDADDA圓弧插補(bǔ)舉例圓弧插補(bǔ)舉例置初值置初值軟件軟件DDADDA圓弧插補(bǔ)舉例圓弧插補(bǔ)舉例置初值置初值軟件軟件DDADDA圓弧插補(bǔ)舉例圓弧插補(bǔ)舉例置初值置初值軟件軟件DDADDA圓弧插補(bǔ)舉例圓弧插補(bǔ)舉例置初值置初值軟件軟件DDA

16、DDA圓弧插補(bǔ)舉例圓弧插補(bǔ)舉例置初值置初值軟件軟件DDADDA圓弧插補(bǔ)舉例圓弧插補(bǔ)舉例置初值置初值DDADDA插補(bǔ)的特點(diǎn)：插補(bǔ)的特點(diǎn)：運(yùn)算速度快，脈沖分配均勻，易于實(shí)現(xiàn)多坐標(biāo)運(yùn)算速度快，脈沖分配均勻，易于實(shí)現(xiàn)多坐標(biāo)聯(lián)動(dòng)和描繪多種平面函數(shù)；聯(lián)動(dòng)和描繪多種平面函數(shù)；需要采取必要的措施才能保證插補(bǔ)精度；需要采取必要的措施才能保證插補(bǔ)精度；脈沖增量插補(bǔ)的特點(diǎn)總結(jié)：脈沖增量插補(bǔ)的特點(diǎn)總結(jié)：控制簡單，用于步進(jìn)電機(jī)驅(qū)動(dòng)的開環(huán)系統(tǒng)中；控制簡單，用于步進(jìn)電機(jī)驅(qū)動(dòng)的開環(huán)系統(tǒng)中；由于受到步進(jìn)電機(jī)運(yùn)行頻率的限制，速度較低；由于受到步進(jìn)電機(jī)運(yùn)行頻率的限制，速度較低；步長（脈沖當(dāng)量）是確定的，所以精度較低；步長（脈沖當(dāng)量

17、）是確定的，所以精度較低；必須解決控制脈沖的生成問題，若使用軟件定必須解決控制脈沖的生成問題，若使用軟件定時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)行速度將受到較大的影響；時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)行速度將受到較大的影響；有其他的改進(jìn)方法，例如針對(duì)逐點(diǎn)比較法的最有其他的改進(jìn)方法，例如針對(duì)逐點(diǎn)比較法的最小誤差法，針對(duì)小誤差法，針對(duì)DDADDA的以割線代替切線的的以割線代替切線的DDADDA方法、方法、二階近似二階近似DDADDA方法等。方法等。8.2.3 數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)用于閉環(huán)或半閉環(huán)的系統(tǒng)中，系統(tǒng)數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)用于閉環(huán)或半閉環(huán)的系統(tǒng)中，系統(tǒng)的采樣周期為固定值，該插補(bǔ)方法的實(shí)質(zhì)是求出每的采樣周期為固定值，該插補(bǔ)方法的實(shí)

18、質(zhì)是求出每個(gè)周期的各坐標(biāo)軸個(gè)周期的各坐標(biāo)軸指令位置增量指令位置增量。早期數(shù)控系統(tǒng)中的早期數(shù)控系統(tǒng)中的CPU數(shù)學(xué)運(yùn)算能力較差，尤其數(shù)學(xué)運(yùn)算能力較差，尤其是不能計(jì)算三角函數(shù)，限制了插補(bǔ)方法，所以使用是不能計(jì)算三角函數(shù)，限制了插補(bǔ)方法，所以使用多種近似方法來代替三角函數(shù)的計(jì)算，在一些參考多種近似方法來代替三角函數(shù)的計(jì)算，在一些參考資料中有大篇幅的敘述。隨著目前計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)資料中有大篇幅的敘述。隨著目前計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，已經(jīng)沒有必要再采用這些方法了。展，已經(jīng)沒有必要再采用這些方法了。8.2.3.1 數(shù)據(jù)采樣直線插補(bǔ)數(shù)據(jù)采樣直線插補(bǔ)Pi+1PiZXYZXYPeP0FT設(shè)某直線的起點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)某直線的起點(diǎn)

19、坐標(biāo)為P0（X0，Y0，Z0），終點(diǎn)坐），終點(diǎn)坐標(biāo)為標(biāo)為Pe（Xe，Ye，Ze）。則該直線的方向余弦為：）。則該直線的方向余弦為： 202020020202002020200coscoscosZZYYXXZZZZYYXXYYZZYYXXXXeeeeeeeeeeee 每個(gè)采樣周期中，每個(gè)采樣周期中，X、Y、Z軸的指令位置增量軸的指令位置增量XX、YY、ZZ分別為分別為FT在三個(gè)軸方向上的投影：在三個(gè)軸方向上的投影： coscoscosTTTFZFYFX則指令位置的迭代算法為：則指令位置的迭代算法為： ZZZYYYXXXiiiiii111PiPi+1FTi+1i+1A AB BY YX XO OR

20、i i8.2.3.2 數(shù)據(jù)采樣三角函數(shù)法圓弧插補(bǔ)數(shù)據(jù)采樣三角函數(shù)法圓弧插補(bǔ)由由A到到B的一段圓弧，的一段圓弧，Pi和和Pi+1為圓弧上連為圓弧上連續(xù)的兩個(gè)插補(bǔ)周期的續(xù)的兩個(gè)插補(bǔ)周期的軌跡點(diǎn)。軌跡點(diǎn)。Pi坐標(biāo)為坐標(biāo)為（Xi，Yi），），Pi+1坐坐標(biāo)為（標(biāo)為（Xi+1，Yi+1）。）。合成的周期進(jìn)給量為合成的周期進(jìn)給量為FT。為每個(gè)周期進(jìn)為每個(gè)周期進(jìn)給對(duì)應(yīng)的圓心角。圓給對(duì)應(yīng)的圓心角。圓弧半徑為弧半徑為R。 則三角函數(shù)圓弧插補(bǔ)的迭代公式為：則三角函數(shù)圓弧插補(bǔ)的迭代公式為： sincossincoscossin sinsinsincossinsincoscos coscos1111iiiiiiiii

21、iiiiiXYRRRRYYXRRRRXRFT因?yàn)橐驗(yàn)榈闹岛苄。梢缘闹岛苄?，可以取取。和和可可以以求求出出為為?cossin , )2(sin21RFT 數(shù)據(jù)采樣三角函數(shù)法圓弧插補(bǔ)的最大進(jìn)給速度數(shù)據(jù)采樣三角函數(shù)法圓弧插補(bǔ)的最大進(jìn)給速度由于是使用兩端在圓弧上的直線段（弦）去由于是使用兩端在圓弧上的直線段（弦）去逼近圓弧，所以存在弦高差逼近圓弧，所以存在弦高差。將余弦函數(shù)按。將余弦函數(shù)按冪級(jí)數(shù)展開，并取冪級(jí)數(shù)展開，并取 ，則，則表示為：表示為：RFT RFRRT882cos122 可見，進(jìn)給速度愈快，則造成的弦高差愈大。可見，進(jìn)給速度愈快，則造成的弦高差愈大。 若系統(tǒng)允許的最大弦高差為若系統(tǒng)允許的最大弦高差為，則周期進(jìn)給速，則周期進(jìn)給速度度FT應(yīng)該滿足如下條件：應(yīng)該滿足如下條件： RFT8 min 4500008mmRTRF 例如，例如，取為取為1m，采樣周期，采樣周期T=8ms，可以編程，可以編程的最大的最大F進(jìn)給速度應(yīng)該滿足如下條件：進(jìn)給速度應(yīng)該滿足如下條件：8.2.3.3 多坐標(biāo)數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)多坐標(biāo)數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)對(duì)于超過三軸的插補(bǔ)速度控制，應(yīng)該針對(duì)具體的對(duì)于