大學(xué)物理：第7章 靜電場

1、第二部分第二部分是研究電場和磁場的規(guī)律，及電磁場與電荷、電是研究電場和磁場的規(guī)律，及電磁場與電荷、電流和實(shí)物物質(zhì)相互作用的學(xué)科。流和實(shí)物物質(zhì)相互作用的學(xué)科。電磁現(xiàn)象普遍存在于自然界，它涉及的方面十分廣泛（從電磁現(xiàn)象普遍存在于自然界，它涉及的方面十分廣泛（從宏觀到微觀，從物理學(xué)本身到幾乎所有自然科學(xué)領(lǐng)域，從日常宏觀到微觀，從物理學(xué)本身到幾乎所有自然科學(xué)領(lǐng)域，從日常生活和工作到尖端的科學(xué)研究）。因此，電磁學(xué)是生活和工作到尖端的科學(xué)研究）。因此，電磁學(xué)是大學(xué)物理大學(xué)物理學(xué)學(xué)的重要部分之一。的重要部分之一。電磁現(xiàn)象的定量理論研究，是從電磁現(xiàn)象的定量理論研究，是從17851785年年Coulomb的靜止

2、點(diǎn)的靜止點(diǎn)電荷相互作用的研究開始的。電荷相互作用的研究開始的。 本章介紹電磁現(xiàn)象中最基本的概念本章介紹電磁現(xiàn)象中最基本的概念靜電場，及其在真靜電場，及其在真空中表現(xiàn)出的規(guī)律?？罩斜憩F(xiàn)出的規(guī)律。本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容電荷電荷Coulomb 定律與疊加原理定律與疊加原理電場和電場強(qiáng)度電場和電場強(qiáng)度 靜止的點(diǎn)電荷的電場及其疊加靜止的點(diǎn)電荷的電場及其疊加 電場線和電通量電場線和電通量Gauss 定理定理利用利用Gauss 定理求靜電場分布定理求靜電場分布 電荷相互作用的特征是：同性相斥，異性相吸。電荷相互作用的特征是：同性相斥，異性相吸。最初，人們把物體產(chǎn)生電現(xiàn)象歸結(jié)為物體帶上了電荷（帶最初，人們把

3、物體產(chǎn)生電現(xiàn)象歸結(jié)為物體帶上了電荷（帶電）。因此，電）。因此，是物質(zhì)帶電的屬性是物質(zhì)帶電的屬性。引入。引入來定量表述來定量表述電電荷的多少荷的多少。q , ,Q通過對電荷的相互作用的研究，人們認(rèn)識到電荷有兩種類型：通過對電荷的相互作用的研究，人們認(rèn)識到電荷有兩種類型：和和，或稱兩種，或稱兩種。 positive / negative chargecharge / electric quantity電荷及其種類電荷及其種類電荷的量子化電荷的量子化 quantization 實(shí)驗(yàn)證明：電荷總是一個基本單元實(shí)驗(yàn)證明：電荷總是一個基本單元 e 的整數(shù)倍：的整數(shù)倍：q = Ne進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)測得（進(jìn)一步的

4、實(shí)驗(yàn)測得（Millikan 油滴實(shí)驗(yàn)，油滴實(shí)驗(yàn)，1913）：）： e = 1.602177 10-19 C ( (正是電子、質(zhì)子的電量大小正是電子、質(zhì)子的電量大小) )宏觀物體上電荷的分布一般可認(rèn)為是連續(xù)的，因?yàn)楹暧^物體上電荷的分布一般可認(rèn)為是連續(xù)的，因?yàn)?q = Ne，宏觀帶電體的宏觀帶電體的 N 足夠大，足夠大， |q| e。 電荷的電荷的代數(shù)和代數(shù)和不變，意味著電荷可以產(chǎn)生和消失，只是要等不變，意味著電荷可以產(chǎn)生和消失，只是要等量的異性電荷同時產(chǎn)生或消失。如：正負(fù)電子對的產(chǎn)生和湮滅，量的異性電荷同時產(chǎn)生或消失。如：正負(fù)電子對的產(chǎn)生和湮滅，在實(shí)驗(yàn)中已被證實(shí)。在實(shí)驗(yàn)中已被證實(shí)。：對于一個封閉

5、的帶電系統(tǒng)，正負(fù)電荷的：對于一個封閉的帶電系統(tǒng)，正負(fù)電荷的代代數(shù)和數(shù)和保持不變。保持不變。這是大量實(shí)驗(yàn)總結(jié)出的結(jié)論。這是大量實(shí)驗(yàn)總結(jié)出的結(jié)論。電荷守恒定律電荷守恒定律電荷的相對論不變性電荷的相對論不變性g-e+e-e+eggpair production / pair annihilation在不同的參照系中觀察同一電荷，其電量不變。在不同的參照系中觀察同一電荷，其電量不變。是一種理想模型，即忽略形狀和大小的帶電體（把是一種理想模型，即忽略形狀和大小的帶電體（把帶電體看作帶電的點(diǎn)）。帶電體看作帶電的點(diǎn)）。點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷2122121rerqqkF點(diǎn)電荷模型是相對的。當(dāng)帶電體的線度比所研究的問題中

6、點(diǎn)電荷模型是相對的。當(dāng)帶電體的線度比所研究的問題中涉及的距離小得多時，就可以把該帶電體當(dāng)作點(diǎn)電荷，否則點(diǎn)涉及的距離小得多時，就可以把該帶電體當(dāng)作點(diǎn)電荷，否則點(diǎn)電荷模型就不適用。電荷模型就不適用。Coulomb 定律定律（17851785年，法年，法 C. A. Coulomb，扭秤實(shí)驗(yàn)），扭秤實(shí)驗(yàn)）：真空中兩個靜止點(diǎn)電荷的相互作用力，其大小與電：真空中兩個靜止點(diǎn)電荷的相互作用力，其大小與電荷電量大小的乘積成正比，與它們距離的平方成反比；作用力荷電量大小的乘積成正比，與它們距離的平方成反比；作用力的方向沿著兩電荷的連線，且同性相斥，異性相吸。的方向沿著兩電荷的連線，且同性相斥，異性相吸。1q2q

7、21re21F說明：說明：Coulomb 定律的適用條件：定律的適用條件：真空真空中中靜止于慣性系靜止于慣性系的的點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷，空氣中近似成立空氣中近似成立靜止電荷的相互作用力，無論是斥力還是引力，統(tǒng)稱靜止電荷的相互作用力，無論是斥力還是引力，統(tǒng)稱為為或或。庫侖力服從牛頓第三定律。庫侖力服從牛頓第三定律。實(shí)驗(yàn)給出比例常數(shù)：實(shí)驗(yàn)給出比例常數(shù)： k = 8.9880 109 Nm2/C2。國際單位制中將國際單位制中將 k 表示成：表示成：041k)m/(NC10854188822120 -.F/m2122121rerqqkF2112FF-實(shí)驗(yàn)表明：兩個點(diǎn)電荷的作用力，不因第三個電荷的存在實(shí)驗(yàn)表明：

8、兩個點(diǎn)電荷的作用力，不因第三個電荷的存在而受到影響。因此，庫侖力滿足而受到影響。因此，庫侖力滿足：庫侖力服從疊加原理庫侖力服從疊加原理當(dāng)一個點(diǎn)電荷同時受到多個點(diǎn)電荷作用時，該點(diǎn)電荷的受當(dāng)一個點(diǎn)電荷同時受到多個點(diǎn)電荷作用時，該點(diǎn)電荷的受力等于其他各個點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時對它作用的力的矢量和力等于其他各個點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時對它作用的力的矢量和。1q0q1r1F-2r2q2FF niinFFFFF121返回返回區(qū)別于區(qū)別于實(shí)物物質(zhì)實(shí)物物質(zhì)客觀實(shí)在客觀實(shí)在有能量動量有能量動量 庫侖力是長程力，電荷與電荷的相互作用靠什么傳遞？庫侖力是長程力，電荷與電荷的相互作用靠什么傳遞？ 歷史上有：歷史上有：“超距作用超距

9、作用”，“以太以太”（ether）等觀點(diǎn)。等觀點(diǎn)。 近代物理的理論認(rèn)為，傳遞相互作用的是一種物質(zhì)，并提近代物理的理論認(rèn)為，傳遞相互作用的是一種物質(zhì)，并提出：電荷之間的相互作用是靠一種特殊形態(tài)的物質(zhì)出：電荷之間的相互作用是靠一種特殊形態(tài)的物質(zhì)來來傳遞的。而且，電場的存在和它的物質(zhì)性已為實(shí)驗(yàn)所證實(shí)。傳遞的。而且，電場的存在和它的物質(zhì)性已為實(shí)驗(yàn)所證實(shí)。電荷電荷 電荷電荷1. 1. 電電 場場靜止電荷產(chǎn)生的電場。靜止電荷產(chǎn)生的電場。 electrostatic field 實(shí)際上，不僅電荷可以激發(fā)電場，變化的磁場也可以激發(fā)電實(shí)際上，不僅電荷可以激發(fā)電場，變化的磁場也可以激發(fā)電場場（非靜電場，場的性質(zhì)有

10、所不同）（非靜電場，場的性質(zhì)有所不同）。電場對電荷的作用力統(tǒng)稱。電場對電荷的作用力統(tǒng)稱為為。電荷在其周圍空間激發(fā)電場；電荷在其周圍空間激發(fā)電場；電場對置于其中的電荷施加作用力。電場對置于其中的電荷施加作用力。F0q 無論是哪一種電場，都具有一個共同的特性，即對電荷施無論是哪一種電場，都具有一個共同的特性，即對電荷施加作用力。利用此特性可以引入一個定量描述電場的物理量。加作用力。利用此特性可以引入一個定量描述電場的物理量。0qFE2. 2. 電場強(qiáng)度電場強(qiáng)度 考察一考察一 q0 在電場中所受的電場力在電場中所受的電場力 ，對，對 q0 要求：要求： q0 0 ; q0 0 ，它的存在不影響待測電

11、場；，它的存在不影響待測電場； q0 的線度的線度 0 ，它的位置表示電場中的一點(diǎn)。，它的位置表示電場中的一點(diǎn)。F 實(shí)驗(yàn)表明：在空間確定點(diǎn)，實(shí)驗(yàn)表明：在空間確定點(diǎn)，F(xiàn) q0 ，即，即 F/q0 與與 q0 大小無關(guān)；大小無關(guān)； 的方向也與的方向也與 q0 無關(guān)。無關(guān)。F源源( (點(diǎn)點(diǎn)) )場點(diǎn)場點(diǎn) 因此，因此， 反映出電場本身的一種特性。反映出電場本身的一種特性。 于是定義：于是定義： 某點(diǎn)的某點(diǎn)的單位正檢驗(yàn)電荷單位正檢驗(yàn)電荷在該點(diǎn)處所受的力在該點(diǎn)處所受的力，即，即0qF源源( (點(diǎn)點(diǎn)) )0q場點(diǎn)場點(diǎn)F0qFE單位正檢驗(yàn)電荷在單位正檢驗(yàn)電荷在 電場中所受的力。電場中所受的力。說明：說明：電場

12、強(qiáng)度（電場強(qiáng)度（場強(qiáng)場強(qiáng)）是矢量。方向?yàn)檎姾傻氖芰Ψ较?。）是矢量。方向?yàn)檎姾傻氖芰Ψ较?。電場力也是空間的函數(shù)：電場力也是空間的函數(shù)：),(zyxEE場強(qiáng)是空間的矢量函數(shù)，即場強(qiáng)是空間的矢量函數(shù)，即同一同一 q0 在不同的場點(diǎn)受力的大小和方向不同。在不同的場點(diǎn)受力的大小和方向不同。F0qF0qF0qF0q場強(qiáng)的定義不僅適用于靜電場，對任何電場普遍適用。場強(qiáng)的定義不僅適用于靜電場，對任何電場普遍適用。EqF01. 1. 靜止點(diǎn)電荷的電場靜止點(diǎn)電荷的電場由場強(qiáng)的定義，得由場強(qiáng)的定義，得rerqrrqE203044qrerOP0qFE場源為點(diǎn)電荷場源為點(diǎn)電荷 q ，位于原點(diǎn)，位于原點(diǎn) O ，任意，

13、任意場點(diǎn)場點(diǎn) P 的位矢為的位矢為 ，則，則 q 在在 P 點(diǎn)產(chǎn)生的場點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)為強(qiáng)為 。r)(rEErerqqrrqqF20030044由由 Coulomb 定律，定律，P 點(diǎn)的檢驗(yàn)電荷點(diǎn)的檢驗(yàn)電荷 q0 受力為受力為-rEqrEq / , 0 / , 0 點(diǎn)電荷的場強(qiáng)具有點(diǎn)電荷的場強(qiáng)具有球?qū)ΨQ球?qū)ΨQ性：相同半徑球面上的場強(qiáng)大小性：相同半徑球面上的場強(qiáng)大小相等相等 ；場強(qiáng)的方向沿半徑，或背離球心，或指向球；場強(qiáng)的方向沿半徑，或背離球心，或指向球心心 。)(rEE rE/2. 2. 場強(qiáng)疊加原理及其應(yīng)用場強(qiáng)疊加原理及其應(yīng)用電場中某點(diǎn)的總場強(qiáng)等于各點(diǎn)電荷單獨(dú)電場中某點(diǎn)的總場強(qiáng)等于各點(diǎn)電荷單獨(dú)存

14、在時對該點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)的矢量和。存在時對該點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)的矢量和。304iiiirrqE2q2rP1q3q3r1r2E1E3E庫侖力的疊加原理庫侖力的疊加原理如果場源為多個點(diǎn)電荷如果場源為多個點(diǎn)電荷 q1 , q2 , , qn構(gòu)成的點(diǎn)電荷系。應(yīng)用庫侖力的疊加原理，構(gòu)成的點(diǎn)電荷系。應(yīng)用庫侖力的疊加原理，可以導(dǎo)出可以導(dǎo)出：niiiiEqFqFqFE1000niiiiniirrqEE13014點(diǎn)電荷系的場強(qiáng)的計(jì)算公式點(diǎn)電荷系的場強(qiáng)的計(jì)算公式應(yīng)用場強(qiáng)疊加原理，原則上可以求解任意帶電體所產(chǎn)生的應(yīng)用場強(qiáng)疊加原理，原則上可以求解任意帶電體所產(chǎn)生的場強(qiáng)。場強(qiáng)。 對連續(xù)分布的帶電體，可將其分割成許對連續(xù)分布的帶電

15、體，可將其分割成許多可近似當(dāng)作點(diǎn)電荷的小塊，各塊電量分別多可近似當(dāng)作點(diǎn)電荷的小塊，各塊電量分別為為 Dq1 , Dq2 , , Dqn ，則，則iiiiniirrqEE3014DD2qD2rP1qD3qD3r1r2ED1ED3ED304 0rdqrEqiD時，有時，有 例例1 1 求求中垂線上任何一點(diǎn)的場強(qiáng)。中垂線上任何一點(diǎn)的場強(qiáng)。 解：正、負(fù)電荷單獨(dú)在解：正、負(fù)電荷單獨(dú)在 P 點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)分別為點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)分別為 4 43030-rrqErrqEr-rE-EE由對稱性可知由對稱性可知 222lrrr- 24220lrqEE- 222cos222lrlEEEEE- 2423220lrqllqp

16、OrPqlq-電偶極矩電偶極矩( (電矩電矩):): 430rpE-利用利用 l 0），求中垂線上任一點(diǎn)，求中垂線上任一點(diǎn) P 的場強(qiáng)。的場強(qiáng)。 解：考慮位于解：考慮位于 y 處長度為處長度為 dy 的一段電荷的一段電荷 dq = ldy 對對 P 點(diǎn)場強(qiáng)的貢獻(xiàn)點(diǎn)場強(qiáng)的貢獻(xiàn) ，在，在 O 點(diǎn)下點(diǎn)下方有對應(yīng)的方有對應(yīng)的 dq = ldy 在在 P 點(diǎn)貢獻(xiàn)點(diǎn)貢獻(xiàn) ，二者，二者大小相等，方向關(guān)于大小相等，方向關(guān)于 x 軸對稱，軸對稱， 1Ed 2Ed)(442202021yxdyrdydEdEllxlyPOx 1Ed 2Ed 與與 在在y軸上的分量互相抵消了，軸上的分量互相抵消了，它們在它們在x方向

17、上的分量相等，為方向上的分量相等，為-llllllyxxdyyxxyxdydEE2/3220222201)( 41)(4 cos ll總電場強(qiáng)度的方向沿總電場強(qiáng)度的方向沿x x軸，大小為軸，大小為cos1dEydqr1Ed2Edrdq2202/322021)( 41 lxxlyxxdyEll-ll討論討論： 帶電直線無限長，帶電直線無限長，xE02lxl 帶電直線長度可以忽略，帶電直線長度可以忽略，xl 204xqE相當(dāng)于點(diǎn)電荷激發(fā)的場強(qiáng)分布。相當(dāng)于點(diǎn)電荷激發(fā)的場強(qiáng)分布。完全描述帶電直線周圍的場強(qiáng)分布。完全描述帶電直線周圍的場強(qiáng)分布。 例例3 3 一均勻帶電細(xì)圓環(huán)，半徑為一均勻帶電細(xì)圓環(huán)，半徑

18、為 R ，所帶電量為，所帶電量為 q（設(shè)（設(shè) q0）。 求軸求軸線上任一點(diǎn)的場強(qiáng)。線上任一點(diǎn)的場強(qiáng)。 解：考慮圓環(huán)上長度為解：考慮圓環(huán)上長度為 dl 的一段電荷的一段電荷 dq = ldl 對對 P 點(diǎn)場強(qiáng)的貢獻(xiàn)點(diǎn)場強(qiáng)的貢獻(xiàn) 。 Ed2322022020/44cos4cosxRxdlxRdlrdldElllxPORx2322023220/44xRqxdlxRxdEElRdl2lRq2討論討論：當(dāng)當(dāng) R x 時，有時，有 ，即為點(diǎn)電荷。，即為點(diǎn)電荷。0 , 420yxExqEdqrEd304rrdlEdlEd 由于由于 P 是軸線上的點(diǎn)，環(huán)上任何一段是軸線上的點(diǎn)，環(huán)上任何一段 dl 的電荷對場強(qiáng)

19、貢獻(xiàn)大小相等，且都與的電荷對場強(qiáng)貢獻(xiàn)大小相等，且都與 x 軸有相軸有相同的夾角同的夾角 ，因此需將，因此需將 分解為垂直于軸線分解為垂直于軸線的分量的分量 和平行于軸線的分量和平行于軸線的分量 。所有。所有的的 相互抵消了；各相互抵消了；各 大小相等方向相同。大小相等方向相同。Ed/EdEd/Ed 例例4 4 求電偶極子中在均勻電場中所受的力矩。求電偶極子中在均勻電場中所受的力矩。 解：正、負(fù)電荷受力分別為解：正、負(fù)電荷受力分別為 , EqFEqF-F-F qEFF-Oqlq-E 和和 等值反向，不在一線，計(jì)算對等值反向，不在一線，計(jì)算對O點(diǎn)的力矩：點(diǎn)的力矩： -FF考慮方向，有考慮方向，有

20、EpMsin sin sin sin 22pEqlElFlFM大小為大小為 和和 兩矢量正向的夾角兩矢量正向的夾角Ep 注：一般注：一般 l 很小，在以它為線度區(qū)域里，電場可以看作是均勻的。很小，在以它為線度區(qū)域里，電場可以看作是均勻的。1. 1. 電場線電場線為了形象地描述電場在空間的分布，引入為了形象地描述電場在空間的分布，引入按照按照下列下列規(guī)定規(guī)定繪出一系列假想的有向曲線：繪出一系列假想的有向曲線： 曲線上每一點(diǎn)的切線方向表示該點(diǎn)場強(qiáng)的方向；曲線上每一點(diǎn)的切線方向表示該點(diǎn)場強(qiáng)的方向； 曲線的疏密度表示該處場強(qiáng)的大?。磺€的疏密度表示該處場強(qiáng)的大??；dSdEe即，電場中某點(diǎn)場強(qiáng)的大小等于

21、通即，電場中某點(diǎn)場強(qiáng)的大小等于通過單位垂直面積（場強(qiáng)方向）的電過單位垂直面積（場強(qiáng)方向）的電場線數(shù)。場線數(shù)。1dS1E2dS2E在電場中任一點(diǎn)做垂直于場強(qiáng)方向的在電場中任一點(diǎn)做垂直于場強(qiáng)方向的面元面元 ，如果通過，如果通過 的電場線數(shù)為的電場線數(shù)為 ，則，則dSdSed場強(qiáng)等于電場線密度。場強(qiáng)等于電場線密度。稠密，大；稀疏，小。稠密，大；稀疏，小。 總是起始于正電荷總是起始于正電荷( (或無窮遠(yuǎn)處或無窮遠(yuǎn)處) )，終止于負(fù)電荷，終止于負(fù)電荷( (或無窮或無窮遠(yuǎn)處遠(yuǎn)處) )，不可能在無電荷處中斷。，不可能在無電荷處中斷。（用（用Gauss定理證明）定理證明）電場線的性質(zhì)：電場線的性質(zhì)： 任何兩條

22、都不可能相交或相切；任何兩條都不可能相交或相切； 靜電場的電場線不可能閉合。靜電場的電場線不可能閉合。（用環(huán)路定理證明）（用環(huán)路定理證明）舉例：舉例： 孤立正點(diǎn)電荷孤立正點(diǎn)電荷 等量異號電荷等量異號電荷E 證：若相交，交點(diǎn)處證：若相交，交點(diǎn)處 的方向不確定；若相切，切的方向不確定；若相切，切點(diǎn)處點(diǎn)處 為無限大。為無限大。E2. 2. 電通量電通量ndSSdE在物理中在物理中 dFe 具有深刻的意義，它就具有深刻的意義，它就是下面要定義的電通量。即：通過任一面是下面要定義的電通量。即：通過任一面元的電場線數(shù)，就稱為該面元的元的電場線數(shù)，就稱為該面元的電通量電通量。dSEdeFndSSd通過單位垂

23、直截面的電場線數(shù)對應(yīng)場強(qiáng)大小。那么，通過任通過單位垂直截面的電場線數(shù)對應(yīng)場強(qiáng)大小。那么，通過任意截面的電場線數(shù)對應(yīng)什么？意截面的電場線數(shù)對應(yīng)什么？ 考察電場中的任意一個面元，其法線考察電場中的任意一個面元，其法線方向?yàn)榉较驗(yàn)?，引入，引入：n通過通過 的的為：為：SdnESddScosSddSFcosSdEdSEdeSdEdeF即即/dSdEe通過任意有限曲面通過任意有限曲面 S 的電通量為的電通量為SeSdEFnSdES對于閉合曲面，通常約定面元的法線對于閉合曲面，通常約定面元的法線方向方向由里向外由里向外。nSnn這個電通量就是穿過該面的電場線數(shù)。這個電通量就是穿過該面的電場線數(shù)。如果電場

24、線從面內(nèi)穿出，穿出位置處面元的電通量為正；如果電場線從面內(nèi)穿出，穿出位置處面元的電通量為正；如果從面外穿入，則為負(fù)。通過閉合面的總電通量就等于如果從面外穿入，則為負(fù)。通過閉合面的總電通量就等于凈穿凈穿出的電場線數(shù)出的電場線數(shù)。 （凈穿出穿出與穿入之差凈穿出穿出與穿入之差）0edF0edF當(dāng)當(dāng) 時，時， ；當(dāng)當(dāng) 時，時， 。0 20edF0 2edFSdEdeFFSeSdE 例例1 1 計(jì)算在一個電量為計(jì)算在一個電量為 q 的正點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場中，通過以它為中心，的正點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場中，通過以它為中心，半徑為半徑為 r 的球面的球面 S 的電通量。的電通量。dSrqSdESdESSSe20402

25、04qdSrqS 結(jié)果與球面半徑結(jié)果與球面半徑 r 無關(guān)。無關(guān)。nrqSdSE 解：球面上每一點(diǎn)有解：球面上每一點(diǎn)有nE/Gauss 定理給出了場強(qiáng)對任意閉合面的通量與該閉合面內(nèi)定理給出了場強(qiáng)對任意閉合面的通量與該閉合面內(nèi)部電荷的關(guān)系，它是靜電場性質(zhì)的一種體現(xiàn)。部電荷的關(guān)系，它是靜電場性質(zhì)的一種體現(xiàn)。內(nèi)SSeqSdE01：在真空中的靜電場里，通過任意閉合曲面的：在真空中的靜電場里，通過任意閉合曲面的電通量等于該閉合面所包圍的電荷電量的代數(shù)和的電通量等于該閉合面所包圍的電荷電量的代數(shù)和的 1/0 倍。倍。1.1. 高斯定理的表述高斯定理的表述S利用利用 Coulomb 定律導(dǎo)出定律導(dǎo)出 Gaus

26、s 定理：定理： （1 1）考慮場源為一個正點(diǎn)電荷）考慮場源為一個正點(diǎn)電荷 q，對于任一對于任一閉合球面閉合球面 S ，電通量，電通量2. 2. 高斯定理的證明高斯定理的證明nrqSdSE0qSdESe結(jié)果與球面半徑結(jié)果與球面半徑 r 無關(guān)。無關(guān)。假設(shè)包圍點(diǎn)電荷的是假設(shè)包圍點(diǎn)電荷的是任意閉合曲面任意閉合曲面 S，電通量？電通量？因此，包圍點(diǎn)電荷因此，包圍點(diǎn)電荷 q 的的任意閉合曲面任意閉合曲面 S 的電通量是的電通量是SS 作一個球面作一個球面 ，包圍，包圍 S。電場線是連續(xù)的，來自點(diǎn)電荷電場線是連續(xù)的，來自點(diǎn)電荷 q 的的電電場線穿過球面場線穿過球面 ，也必定穿過曲面，也必定穿過曲面 S。q

27、S0qSdESe 只要從一側(cè)進(jìn)入曲面只要從一側(cè)進(jìn)入曲面 S 的電場線，必定從另一側(cè)面穿的電場線，必定從另一側(cè)面穿出。進(jìn)入閉合曲面的電場線數(shù)等于穿出的電場線數(shù)，總電出。進(jìn)入閉合曲面的電場線數(shù)等于穿出的電場線數(shù)，總電通量為零。通量為零。q0SSdE （2 2）考慮閉合面未包圍場源電荷）考慮閉合面未包圍場源電荷 q 。S即，閉合曲面外的電荷，對該曲面即，閉合曲面外的電荷，對該曲面電通量沒有貢獻(xiàn)。電通量沒有貢獻(xiàn)。niniqSdEiSi , 0 , 0利用場強(qiáng)疊加原理，利用場強(qiáng)疊加原理， ，故，故iiEE iSiSiiSSdESdESdE （3 3）考慮場源為許多點(diǎn)電荷組成的系統(tǒng)）考慮場源為許多點(diǎn)電荷組

28、成的系統(tǒng): :q1 , q2 , , qn , qn+1 , qn+2 , 在在 S 面內(nèi)面內(nèi)在在 S 面外面外dSdS處的總場強(qiáng)，是各電荷處的總場強(qiáng)，是各電荷產(chǎn)生的場強(qiáng)的矢量和。產(chǎn)生的場強(qiáng)的矢量和。如果第如果第i個電荷單獨(dú)存在，個電荷單獨(dú)存在，則其場強(qiáng)的通量則其場強(qiáng)的通量 niiniSiniSiqSdESdE101Sq1q2qn+1qn+2 Gauss 定理是普遍規(guī)律，不僅僅適用于靜止電荷和靜定理是普遍規(guī)律，不僅僅適用于靜止電荷和靜電場，也適用于電場，也適用于運(yùn)動電荷和迅速變化電場。運(yùn)動電荷和迅速變化電場。 積分時場強(qiáng)取面上的值。高斯面是數(shù)學(xué)曲面，電荷或積分時場強(qiáng)取面上的值。高斯面是數(shù)學(xué)曲面

29、，電荷或在面內(nèi)，或在面外，不可能位于其上。在面內(nèi)，或在面外，不可能位于其上。說明說明： 定理中的場強(qiáng)定理中的場強(qiáng) 是面內(nèi)、外所有電荷產(chǎn)生的總場，但是面內(nèi)、外所有電荷產(chǎn)生的總場，但閉合面上的電通量只決定于面內(nèi)所包圍的電荷，或者閉合面上的電通量只決定于面內(nèi)所包圍的電荷，或者說僅面內(nèi)電荷的場對面的通量有貢獻(xiàn)。說僅面內(nèi)電荷的場對面的通量有貢獻(xiàn)。E內(nèi)SSeqSdE01 封閉積分曲面封閉積分曲面 S 通常叫做通常叫做。QdqrrE304 一般地，已知電荷分布用場強(qiáng)疊加原理可求場分布，已知一般地，已知電荷分布用場強(qiáng)疊加原理可求場分布，已知場分布用場分布用 Gauss 定理可求任意區(qū)域內(nèi)的電荷。定理可求任意區(qū)

30、域內(nèi)的電荷。內(nèi)SSqSdE01 當(dāng)電荷分布有特殊對稱性時，也可以用當(dāng)電荷分布有特殊對稱性時，也可以用 Gauss 定理可求場定理可求場分布，只有以下三種分布，只有以下三種對稱性對稱性存在時，才能求解電場：存在時，才能求解電場： 電荷分布為球?qū)ΨQ，例如均勻帶電球體電荷分布為球?qū)ΨQ，例如均勻帶電球體。 電荷分布為軸對稱，例如無限長均勻帶電直導(dǎo)線電荷分布為軸對稱，例如無限長均勻帶電直導(dǎo)線。 電荷均勻分布于無限大帶電平面電荷均勻分布于無限大帶電平面。 例例1 1 設(shè)電荷為均勻帶電的（設(shè)電荷為均勻帶電的（1 1）球面；（）球面；（2 2）球體?？傠姾蔀椋┣蝮w?？傠姾蔀?Q ，球，球的半徑為的半徑為 R ，求球內(nèi)外的場強(qiáng)分布。，求球內(nèi)外的場強(qiáng)分布。 解：球?qū)ΨQ問題，場強(qiáng)沿徑向，且解：球?qū)ΨQ問題，場強(qiáng)沿徑向，且 E = E(r) 。 ( (1) 1) 做半徑為做半徑為r 的同心球面為高斯面。的同心球面為高斯面。004 : 2ErESdERrrrRQ024