大學(xué)物理：第7章 靜電場(chǎng)

1、第二部分第二部分是研究電場(chǎng)和磁場(chǎng)的規(guī)律，及電磁場(chǎng)與電荷、電是研究電場(chǎng)和磁場(chǎng)的規(guī)律，及電磁場(chǎng)與電荷、電流和實(shí)物物質(zhì)相互作用的學(xué)科。流和實(shí)物物質(zhì)相互作用的學(xué)科。電磁現(xiàn)象普遍存在于自然界，它涉及的方面十分廣泛（從電磁現(xiàn)象普遍存在于自然界，它涉及的方面十分廣泛（從宏觀(guān)到微觀(guān)，從物理學(xué)本身到幾乎所有自然科學(xué)領(lǐng)域，從日常宏觀(guān)到微觀(guān)，從物理學(xué)本身到幾乎所有自然科學(xué)領(lǐng)域，從日常生活和工作到尖端的科學(xué)研究）。因此，電磁學(xué)是生活和工作到尖端的科學(xué)研究）。因此，電磁學(xué)是大學(xué)物理大學(xué)物理學(xué)學(xué)的重要部分之一。的重要部分之一。電磁現(xiàn)象的定量理論研究，是從電磁現(xiàn)象的定量理論研究，是從17851785年年Coulomb的靜止

2、點(diǎn)的靜止點(diǎn)電荷相互作用的研究開(kāi)始的。電荷相互作用的研究開(kāi)始的。 本章介紹電磁現(xiàn)象中最基本的概念本章介紹電磁現(xiàn)象中最基本的概念靜電場(chǎng)，及其在真靜電場(chǎng)，及其在真空中表現(xiàn)出的規(guī)律?？罩斜憩F(xiàn)出的規(guī)律。本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容電荷電荷Coulomb 定律與疊加原理定律與疊加原理電場(chǎng)和電場(chǎng)強(qiáng)度電場(chǎng)和電場(chǎng)強(qiáng)度 靜止的點(diǎn)電荷的電場(chǎng)及其疊加靜止的點(diǎn)電荷的電場(chǎng)及其疊加 電場(chǎng)線(xiàn)和電通量電場(chǎng)線(xiàn)和電通量Gauss 定理定理利用利用Gauss 定理求靜電場(chǎng)分布定理求靜電場(chǎng)分布 電荷相互作用的特征是：同性相斥，異性相吸。電荷相互作用的特征是：同性相斥，異性相吸。最初，人們把物體產(chǎn)生電現(xiàn)象歸結(jié)為物體帶上了電荷（帶最初，人們把

3、物體產(chǎn)生電現(xiàn)象歸結(jié)為物體帶上了電荷（帶電）。因此，電）。因此，是物質(zhì)帶電的屬性是物質(zhì)帶電的屬性。引入。引入來(lái)定量表述來(lái)定量表述電電荷的多少荷的多少。q , ,Q通過(guò)對(duì)電荷的相互作用的研究，人們認(rèn)識(shí)到電荷有兩種類(lèi)型：通過(guò)對(duì)電荷的相互作用的研究，人們認(rèn)識(shí)到電荷有兩種類(lèi)型：和和，或稱(chēng)兩種，或稱(chēng)兩種。 positive / negative chargecharge / electric quantity電荷及其種類(lèi)電荷及其種類(lèi)電荷的量子化電荷的量子化 quantization 實(shí)驗(yàn)證明：電荷總是一個(gè)基本單元實(shí)驗(yàn)證明：電荷總是一個(gè)基本單元 e 的整數(shù)倍：的整數(shù)倍：q = Ne進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)測(cè)得（進(jìn)一步的

4、實(shí)驗(yàn)測(cè)得（Millikan 油滴實(shí)驗(yàn)，油滴實(shí)驗(yàn)，1913）：）： e = 1.602177 10-19 C ( (正是電子、質(zhì)子的電量大小正是電子、質(zhì)子的電量大小) )宏觀(guān)物體上電荷的分布一般可認(rèn)為是連續(xù)的，因?yàn)楹暧^(guān)物體上電荷的分布一般可認(rèn)為是連續(xù)的，因?yàn)?q = Ne，宏觀(guān)帶電體的宏觀(guān)帶電體的 N 足夠大，足夠大， |q| e。 電荷的電荷的代數(shù)和代數(shù)和不變，意味著電荷可以產(chǎn)生和消失，只是要等不變，意味著電荷可以產(chǎn)生和消失，只是要等量的異性電荷同時(shí)產(chǎn)生或消失。如：正負(fù)電子對(duì)的產(chǎn)生和湮滅，量的異性電荷同時(shí)產(chǎn)生或消失。如：正負(fù)電子對(duì)的產(chǎn)生和湮滅，在實(shí)驗(yàn)中已被證實(shí)。在實(shí)驗(yàn)中已被證實(shí)。：對(duì)于一個(gè)封閉

5、的帶電系統(tǒng)，正負(fù)電荷的：對(duì)于一個(gè)封閉的帶電系統(tǒng)，正負(fù)電荷的代代數(shù)和數(shù)和保持不變。保持不變。這是大量實(shí)驗(yàn)總結(jié)出的結(jié)論。這是大量實(shí)驗(yàn)總結(jié)出的結(jié)論。電荷守恒定律電荷守恒定律電荷的相對(duì)論不變性電荷的相對(duì)論不變性g-e+e-e+eggpair production / pair annihilation在不同的參照系中觀(guān)察同一電荷，其電量不變。在不同的參照系中觀(guān)察同一電荷，其電量不變。是一種理想模型，即忽略形狀和大小的帶電體（把是一種理想模型，即忽略形狀和大小的帶電體（把帶電體看作帶電的點(diǎn)）。帶電體看作帶電的點(diǎn)）。點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷2122121rerqqkF點(diǎn)電荷模型是相對(duì)的。當(dāng)帶電體的線(xiàn)度比所研究的問(wèn)題中

6、點(diǎn)電荷模型是相對(duì)的。當(dāng)帶電體的線(xiàn)度比所研究的問(wèn)題中涉及的距離小得多時(shí)，就可以把該帶電體當(dāng)作點(diǎn)電荷，否則點(diǎn)涉及的距離小得多時(shí)，就可以把該帶電體當(dāng)作點(diǎn)電荷，否則點(diǎn)電荷模型就不適用。電荷模型就不適用。Coulomb 定律定律（17851785年，法年，法 C. A. Coulomb，扭秤實(shí)驗(yàn)），扭秤實(shí)驗(yàn)）：真空中兩個(gè)靜止點(diǎn)電荷的相互作用力，其大小與電：真空中兩個(gè)靜止點(diǎn)電荷的相互作用力，其大小與電荷電量大小的乘積成正比，與它們距離的平方成反比；作用力荷電量大小的乘積成正比，與它們距離的平方成反比；作用力的方向沿著兩電荷的連線(xiàn)，且同性相斥，異性相吸。的方向沿著兩電荷的連線(xiàn)，且同性相斥，異性相吸。1q2q

7、21re21F說(shuō)明：說(shuō)明：Coulomb 定律的適用條件：定律的適用條件：真空真空中中靜止于慣性系靜止于慣性系的的點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷，空氣中近似成立空氣中近似成立靜止電荷的相互作用力，無(wú)論是斥力還是引力，統(tǒng)稱(chēng)靜止電荷的相互作用力，無(wú)論是斥力還是引力，統(tǒng)稱(chēng)為為或或。庫(kù)侖力服從牛頓第三定律。庫(kù)侖力服從牛頓第三定律。實(shí)驗(yàn)給出比例常數(shù)：實(shí)驗(yàn)給出比例常數(shù)： k = 8.9880 109 Nm2/C2。國(guó)際單位制中將國(guó)際單位制中將 k 表示成：表示成：041k)m/(NC10854188822120 -.F/m2122121rerqqkF2112FF-實(shí)驗(yàn)表明：兩個(gè)點(diǎn)電荷的作用力，不因第三個(gè)電荷的存在實(shí)驗(yàn)表明：

8、兩個(gè)點(diǎn)電荷的作用力，不因第三個(gè)電荷的存在而受到影響。因此，庫(kù)侖力滿(mǎn)足而受到影響。因此，庫(kù)侖力滿(mǎn)足：庫(kù)侖力服從疊加原理庫(kù)侖力服從疊加原理當(dāng)一個(gè)點(diǎn)電荷同時(shí)受到多個(gè)點(diǎn)電荷作用時(shí)，該點(diǎn)電荷的受當(dāng)一個(gè)點(diǎn)電荷同時(shí)受到多個(gè)點(diǎn)電荷作用時(shí)，該點(diǎn)電荷的受力等于其他各個(gè)點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)對(duì)它作用的力的矢量和力等于其他各個(gè)點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)對(duì)它作用的力的矢量和。1q0q1r1F-2r2q2FF niinFFFFF121返回返回區(qū)別于區(qū)別于實(shí)物物質(zhì)實(shí)物物質(zhì)客觀(guān)實(shí)在客觀(guān)實(shí)在有能量動(dòng)量有能量動(dòng)量 庫(kù)侖力是長(zhǎng)程力，電荷與電荷的相互作用靠什么傳遞？庫(kù)侖力是長(zhǎng)程力，電荷與電荷的相互作用靠什么傳遞？ 歷史上有：歷史上有：“超距作用超距

9、作用”，“以太以太”（ether）等觀(guān)點(diǎn)。等觀(guān)點(diǎn)。 近代物理的理論認(rèn)為，傳遞相互作用的是一種物質(zhì)，并提近代物理的理論認(rèn)為，傳遞相互作用的是一種物質(zhì)，并提出：電荷之間的相互作用是靠一種特殊形態(tài)的物質(zhì)出：電荷之間的相互作用是靠一種特殊形態(tài)的物質(zhì)來(lái)來(lái)傳遞的。而且，電場(chǎng)的存在和它的物質(zhì)性已為實(shí)驗(yàn)所證實(shí)。傳遞的。而且，電場(chǎng)的存在和它的物質(zhì)性已為實(shí)驗(yàn)所證實(shí)。電荷電荷 電荷電荷1. 1. 電電 場(chǎng)場(chǎng)靜止電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)。靜止電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)。 electrostatic field 實(shí)際上，不僅電荷可以激發(fā)電場(chǎng)，變化的磁場(chǎng)也可以激發(fā)電實(shí)際上，不僅電荷可以激發(fā)電場(chǎng)，變化的磁場(chǎng)也可以激發(fā)電場(chǎng)場(chǎng)（非靜電場(chǎng)，場(chǎng)的性質(zhì)有

10、所不同）（非靜電場(chǎng)，場(chǎng)的性質(zhì)有所不同）。電場(chǎng)對(duì)電荷的作用力統(tǒng)稱(chēng)。電場(chǎng)對(duì)電荷的作用力統(tǒng)稱(chēng)為為。電荷在其周?chē)臻g激發(fā)電場(chǎng)；電荷在其周?chē)臻g激發(fā)電場(chǎng)；電場(chǎng)對(duì)置于其中的電荷施加作用力。電場(chǎng)對(duì)置于其中的電荷施加作用力。F0q 無(wú)論是哪一種電場(chǎng)，都具有一個(gè)共同的特性，即對(duì)電荷施無(wú)論是哪一種電場(chǎng)，都具有一個(gè)共同的特性，即對(duì)電荷施加作用力。利用此特性可以引入一個(gè)定量描述電場(chǎng)的物理量。加作用力。利用此特性可以引入一個(gè)定量描述電場(chǎng)的物理量。0qFE2. 2. 電場(chǎng)強(qiáng)度電場(chǎng)強(qiáng)度 考察一考察一 q0 在電場(chǎng)中所受的電場(chǎng)力在電場(chǎng)中所受的電場(chǎng)力 ，對(duì)，對(duì) q0 要求：要求： q0 0 ; q0 0 ，它的存在不影響待測(cè)電

11、場(chǎng)；，它的存在不影響待測(cè)電場(chǎng)； q0 的線(xiàn)度的線(xiàn)度 0 ，它的位置表示電場(chǎng)中的一點(diǎn)。，它的位置表示電場(chǎng)中的一點(diǎn)。F 實(shí)驗(yàn)表明：在空間確定點(diǎn)，實(shí)驗(yàn)表明：在空間確定點(diǎn)，F(xiàn) q0 ，即，即 F/q0 與與 q0 大小無(wú)關(guān)；大小無(wú)關(guān)； 的方向也與的方向也與 q0 無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。F源源( (點(diǎn)點(diǎn)) )場(chǎng)點(diǎn)場(chǎng)點(diǎn) 因此，因此， 反映出電場(chǎng)本身的一種特性。反映出電場(chǎng)本身的一種特性。 于是定義：于是定義： 某點(diǎn)的某點(diǎn)的單位正檢驗(yàn)電荷單位正檢驗(yàn)電荷在該點(diǎn)處所受的力在該點(diǎn)處所受的力，即，即0qF源源( (點(diǎn)點(diǎn)) )0q場(chǎng)點(diǎn)場(chǎng)點(diǎn)F0qFE單位正檢驗(yàn)電荷在單位正檢驗(yàn)電荷在 電場(chǎng)中所受的力。電場(chǎng)中所受的力。說(shuō)明：說(shuō)明：電場(chǎng)

12、強(qiáng)度（電場(chǎng)強(qiáng)度（場(chǎng)強(qiáng)場(chǎng)強(qiáng)）是矢量。方向?yàn)檎姾傻氖芰Ψ较颉＃┦鞘噶?。方向?yàn)檎姾傻氖芰Ψ较?。電?chǎng)力也是空間的函數(shù)：電場(chǎng)力也是空間的函數(shù)：),(zyxEE場(chǎng)強(qiáng)是空間的矢量函數(shù)，即場(chǎng)強(qiáng)是空間的矢量函數(shù)，即同一同一 q0 在不同的場(chǎng)點(diǎn)受力的大小和方向不同。在不同的場(chǎng)點(diǎn)受力的大小和方向不同。F0qF0qF0qF0q場(chǎng)強(qiáng)的定義不僅適用于靜電場(chǎng)，對(duì)任何電場(chǎng)普遍適用。場(chǎng)強(qiáng)的定義不僅適用于靜電場(chǎng)，對(duì)任何電場(chǎng)普遍適用。EqF01. 1. 靜止點(diǎn)電荷的電場(chǎng)靜止點(diǎn)電荷的電場(chǎng)由場(chǎng)強(qiáng)的定義，得由場(chǎng)強(qiáng)的定義，得rerqrrqE203044qrerOP0qFE場(chǎng)源為點(diǎn)電荷場(chǎng)源為點(diǎn)電荷 q ，位于原點(diǎn)，位于原點(diǎn) O ，任意，

13、任意場(chǎng)點(diǎn)場(chǎng)點(diǎn) P 的位矢為的位矢為 ，則，則 q 在在 P 點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為強(qiáng)為 。r)(rEErerqqrrqqF20030044由由 Coulomb 定律，定律，P 點(diǎn)的檢驗(yàn)電荷點(diǎn)的檢驗(yàn)電荷 q0 受力為受力為-rEqrEq / , 0 / , 0 點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)具有點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)具有球?qū)ΨQ(chēng)球?qū)ΨQ(chēng)性：相同半徑球面上的場(chǎng)強(qiáng)大小性：相同半徑球面上的場(chǎng)強(qiáng)大小相等相等 ；場(chǎng)強(qiáng)的方向沿半徑，或背離球心，或指向球；場(chǎng)強(qiáng)的方向沿半徑，或背離球心，或指向球心心 。)(rEE rE/2. 2. 場(chǎng)強(qiáng)疊加原理及其應(yīng)用場(chǎng)強(qiáng)疊加原理及其應(yīng)用電場(chǎng)中某點(diǎn)的總場(chǎng)強(qiáng)等于各點(diǎn)電荷單獨(dú)電場(chǎng)中某點(diǎn)的總場(chǎng)強(qiáng)等于各點(diǎn)電荷單獨(dú)存

14、在時(shí)對(duì)該點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)的矢量和。存在時(shí)對(duì)該點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)的矢量和。304iiiirrqE2q2rP1q3q3r1r2E1E3E庫(kù)侖力的疊加原理庫(kù)侖力的疊加原理如果場(chǎng)源為多個(gè)點(diǎn)電荷如果場(chǎng)源為多個(gè)點(diǎn)電荷 q1 , q2 , , qn構(gòu)成的點(diǎn)電荷系。應(yīng)用庫(kù)侖力的疊加原理，構(gòu)成的點(diǎn)電荷系。應(yīng)用庫(kù)侖力的疊加原理，可以導(dǎo)出可以導(dǎo)出：niiiiEqFqFqFE1000niiiiniirrqEE13014點(diǎn)電荷系的場(chǎng)強(qiáng)的計(jì)算公式點(diǎn)電荷系的場(chǎng)強(qiáng)的計(jì)算公式應(yīng)用場(chǎng)強(qiáng)疊加原理，原則上可以求解任意帶電體所產(chǎn)生的應(yīng)用場(chǎng)強(qiáng)疊加原理，原則上可以求解任意帶電體所產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)。場(chǎng)強(qiáng)。 對(duì)連續(xù)分布的帶電體，可將其分割成許對(duì)連續(xù)分布的帶電

15、體，可將其分割成許多可近似當(dāng)作點(diǎn)電荷的小塊，各塊電量分別多可近似當(dāng)作點(diǎn)電荷的小塊，各塊電量分別為為 Dq1 , Dq2 , , Dqn ，則，則iiiiniirrqEE3014DD2qD2rP1qD3qD3r1r2ED1ED3ED304 0rdqrEqiD時(shí)，有時(shí)，有 例例1 1 求求中垂線(xiàn)上任何一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。中垂線(xiàn)上任何一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。 解：正、負(fù)電荷單獨(dú)在解：正、負(fù)電荷單獨(dú)在 P 點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)分別為點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)分別為 4 43030-rrqErrqEr-rE-EE由對(duì)稱(chēng)性可知由對(duì)稱(chēng)性可知 222lrrr- 24220lrqEE- 222cos222lrlEEEEE- 2423220lrqllqp

16、OrPqlq-電偶極矩電偶極矩( (電矩電矩):): 430rpE-利用利用 l 0），求中垂線(xiàn)上任一點(diǎn)，求中垂線(xiàn)上任一點(diǎn) P 的場(chǎng)強(qiáng)。的場(chǎng)強(qiáng)。 解：考慮位于解：考慮位于 y 處長(zhǎng)度為處長(zhǎng)度為 dy 的一段電荷的一段電荷 dq = ldy 對(duì)對(duì) P 點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的貢獻(xiàn)點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的貢獻(xiàn) ，在，在 O 點(diǎn)下點(diǎn)下方有對(duì)應(yīng)的方有對(duì)應(yīng)的 dq = ldy 在在 P 點(diǎn)貢獻(xiàn)點(diǎn)貢獻(xiàn) ，二者，二者大小相等，方向關(guān)于大小相等，方向關(guān)于 x 軸對(duì)稱(chēng)，軸對(duì)稱(chēng)， 1Ed 2Ed)(442202021yxdyrdydEdEllxlyPOx 1Ed 2Ed 與與 在在y軸上的分量互相抵消了，軸上的分量互相抵消了，它們?cè)谒鼈冊(cè)趚方向

17、上的分量相等，為方向上的分量相等，為-llllllyxxdyyxxyxdydEE2/3220222201)( 41)(4 cos ll總電場(chǎng)強(qiáng)度的方向沿總電場(chǎng)強(qiáng)度的方向沿x x軸，大小為軸，大小為cos1dEydqr1Ed2Edrdq2202/322021)( 41 lxxlyxxdyEll-ll討論討論： 帶電直線(xiàn)無(wú)限長(zhǎng)，帶電直線(xiàn)無(wú)限長(zhǎng)，xE02lxl 帶電直線(xiàn)長(zhǎng)度可以忽略，帶電直線(xiàn)長(zhǎng)度可以忽略，xl 204xqE相當(dāng)于點(diǎn)電荷激發(fā)的場(chǎng)強(qiáng)分布。相當(dāng)于點(diǎn)電荷激發(fā)的場(chǎng)強(qiáng)分布。完全描述帶電直線(xiàn)周?chē)膱?chǎng)強(qiáng)分布。完全描述帶電直線(xiàn)周?chē)膱?chǎng)強(qiáng)分布。 例例3 3 一均勻帶電細(xì)圓環(huán)，半徑為一均勻帶電細(xì)圓環(huán)，半徑

18、為 R ，所帶電量為，所帶電量為 q（設(shè)（設(shè) q0）。 求軸求軸線(xiàn)上任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。線(xiàn)上任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。 解：考慮圓環(huán)上長(zhǎng)度為解：考慮圓環(huán)上長(zhǎng)度為 dl 的一段電荷的一段電荷 dq = ldl 對(duì)對(duì) P 點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的貢獻(xiàn)點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的貢獻(xiàn) 。 Ed2322022020/44cos4cosxRxdlxRdlrdldElllxPORx2322023220/44xRqxdlxRxdEElRdl2lRq2討論討論：當(dāng)當(dāng) R x 時(shí)，有時(shí)，有 ，即為點(diǎn)電荷。，即為點(diǎn)電荷。0 , 420yxExqEdqrEd304rrdlEdlEd 由于由于 P 是軸線(xiàn)上的點(diǎn)，環(huán)上任何一段是軸線(xiàn)上的點(diǎn)，環(huán)上任何一段 dl 的電荷對(duì)場(chǎng)強(qiáng)

19、貢獻(xiàn)大小相等，且都與的電荷對(duì)場(chǎng)強(qiáng)貢獻(xiàn)大小相等，且都與 x 軸有相軸有相同的夾角同的夾角 ，因此需將，因此需將 分解為垂直于軸線(xiàn)分解為垂直于軸線(xiàn)的分量的分量 和平行于軸線(xiàn)的分量和平行于軸線(xiàn)的分量 。所有。所有的的 相互抵消了；各相互抵消了；各 大小相等方向相同。大小相等方向相同。Ed/EdEd/Ed 例例4 4 求電偶極子中在均勻電場(chǎng)中所受的力矩。求電偶極子中在均勻電場(chǎng)中所受的力矩。 解：正、負(fù)電荷受力分別為解：正、負(fù)電荷受力分別為 , EqFEqF-F-F qEFF-Oqlq-E 和和 等值反向，不在一線(xiàn)，計(jì)算對(duì)等值反向，不在一線(xiàn)，計(jì)算對(duì)O點(diǎn)的力矩：點(diǎn)的力矩： -FF考慮方向，有考慮方向，有

20、EpMsin sin sin sin 22pEqlElFlFM大小為大小為 和和 兩矢量正向的夾角兩矢量正向的夾角Ep 注：一般注：一般 l 很小，在以它為線(xiàn)度區(qū)域里，電場(chǎng)可以看作是均勻的。很小，在以它為線(xiàn)度區(qū)域里，電場(chǎng)可以看作是均勻的。1. 1. 電場(chǎng)線(xiàn)電場(chǎng)線(xiàn)為了形象地描述電場(chǎng)在空間的分布，引入為了形象地描述電場(chǎng)在空間的分布，引入按照按照下列下列規(guī)定規(guī)定繪出一系列假想的有向曲線(xiàn)：繪出一系列假想的有向曲線(xiàn)： 曲線(xiàn)上每一點(diǎn)的切線(xiàn)方向表示該點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的方向；曲線(xiàn)上每一點(diǎn)的切線(xiàn)方向表示該點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的方向； 曲線(xiàn)的疏密度表示該處場(chǎng)強(qiáng)的大?。磺€(xiàn)的疏密度表示該處場(chǎng)強(qiáng)的大?。籨SdEe即，電場(chǎng)中某點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的大小等于

21、通即，電場(chǎng)中某點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的大小等于通過(guò)單位垂直面積（場(chǎng)強(qiáng)方向）的電過(guò)單位垂直面積（場(chǎng)強(qiáng)方向）的電場(chǎng)線(xiàn)數(shù)。場(chǎng)線(xiàn)數(shù)。1dS1E2dS2E在電場(chǎng)中任一點(diǎn)做垂直于場(chǎng)強(qiáng)方向的在電場(chǎng)中任一點(diǎn)做垂直于場(chǎng)強(qiáng)方向的面元面元 ，如果通過(guò)，如果通過(guò) 的電場(chǎng)線(xiàn)數(shù)為的電場(chǎng)線(xiàn)數(shù)為 ，則，則dSdSed場(chǎng)強(qiáng)等于電場(chǎng)線(xiàn)密度。場(chǎng)強(qiáng)等于電場(chǎng)線(xiàn)密度。稠密，大；稀疏，小。稠密，大；稀疏，小。 總是起始于正電荷總是起始于正電荷( (或無(wú)窮遠(yuǎn)處或無(wú)窮遠(yuǎn)處) )，終止于負(fù)電荷，終止于負(fù)電荷( (或無(wú)窮或無(wú)窮遠(yuǎn)處遠(yuǎn)處) )，不可能在無(wú)電荷處中斷。，不可能在無(wú)電荷處中斷。（用（用Gauss定理證明）定理證明）電場(chǎng)線(xiàn)的性質(zhì)：電場(chǎng)線(xiàn)的性質(zhì)： 任何兩條

22、都不可能相交或相切；任何兩條都不可能相交或相切； 靜電場(chǎng)的電場(chǎng)線(xiàn)不可能閉合。靜電場(chǎng)的電場(chǎng)線(xiàn)不可能閉合。（用環(huán)路定理證明）（用環(huán)路定理證明）舉例：舉例： 孤立正點(diǎn)電荷孤立正點(diǎn)電荷 等量異號(hào)電荷等量異號(hào)電荷E 證：若相交，交點(diǎn)處證：若相交，交點(diǎn)處 的方向不確定；若相切，切的方向不確定；若相切，切點(diǎn)處點(diǎn)處 為無(wú)限大。為無(wú)限大。E2. 2. 電通量電通量ndSSdE在物理中在物理中 dFe 具有深刻的意義，它就具有深刻的意義，它就是下面要定義的電通量。即：通過(guò)任一面是下面要定義的電通量。即：通過(guò)任一面元的電場(chǎng)線(xiàn)數(shù)，就稱(chēng)為該面元的元的電場(chǎng)線(xiàn)數(shù)，就稱(chēng)為該面元的電通量電通量。dSEdeFndSSd通過(guò)單位垂

23、直截面的電場(chǎng)線(xiàn)數(shù)對(duì)應(yīng)場(chǎng)強(qiáng)大小。那么，通過(guò)任通過(guò)單位垂直截面的電場(chǎng)線(xiàn)數(shù)對(duì)應(yīng)場(chǎng)強(qiáng)大小。那么，通過(guò)任意截面的電場(chǎng)線(xiàn)數(shù)對(duì)應(yīng)什么？意截面的電場(chǎng)線(xiàn)數(shù)對(duì)應(yīng)什么？ 考察電場(chǎng)中的任意一個(gè)面元，其法線(xiàn)考察電場(chǎng)中的任意一個(gè)面元，其法線(xiàn)方向?yàn)榉较驗(yàn)?，引入，引入：n通過(guò)通過(guò) 的的為：為：SdnESddScosSddSFcosSdEdSEdeSdEdeF即即/dSdEe通過(guò)任意有限曲面通過(guò)任意有限曲面 S 的電通量為的電通量為SeSdEFnSdES對(duì)于閉合曲面，通常約定面元的法線(xiàn)對(duì)于閉合曲面，通常約定面元的法線(xiàn)方向方向由里向外由里向外。nSnn這個(gè)電通量就是穿過(guò)該面的電場(chǎng)線(xiàn)數(shù)。這個(gè)電通量就是穿過(guò)該面的電場(chǎng)線(xiàn)數(shù)。如果電場(chǎng)

24、線(xiàn)從面內(nèi)穿出，穿出位置處面元的電通量為正；如果電場(chǎng)線(xiàn)從面內(nèi)穿出，穿出位置處面元的電通量為正；如果從面外穿入，則為負(fù)。通過(guò)閉合面的總電通量就等于如果從面外穿入，則為負(fù)。通過(guò)閉合面的總電通量就等于凈穿凈穿出的電場(chǎng)線(xiàn)數(shù)出的電場(chǎng)線(xiàn)數(shù)。 （凈穿出穿出與穿入之差凈穿出穿出與穿入之差）0edF0edF當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ；當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 。0 20edF0 2edFSdEdeFFSeSdE 例例1 1 計(jì)算在一個(gè)電量為計(jì)算在一個(gè)電量為 q 的正點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)中，通過(guò)以它為中心，的正點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)中，通過(guò)以它為中心，半徑為半徑為 r 的球面的球面 S 的電通量。的電通量。dSrqSdESdESSSe20402

25、04qdSrqS 結(jié)果與球面半徑結(jié)果與球面半徑 r 無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。nrqSdSE 解：球面上每一點(diǎn)有解：球面上每一點(diǎn)有nE/Gauss 定理給出了場(chǎng)強(qiáng)對(duì)任意閉合面的通量與該閉合面內(nèi)定理給出了場(chǎng)強(qiáng)對(duì)任意閉合面的通量與該閉合面內(nèi)部電荷的關(guān)系，它是靜電場(chǎng)性質(zhì)的一種體現(xiàn)。部電荷的關(guān)系，它是靜電場(chǎng)性質(zhì)的一種體現(xiàn)。內(nèi)SSeqSdE01：在真空中的靜電場(chǎng)里，通過(guò)任意閉合曲面的：在真空中的靜電場(chǎng)里，通過(guò)任意閉合曲面的電通量等于該閉合面所包圍的電荷電量的代數(shù)和的電通量等于該閉合面所包圍的電荷電量的代數(shù)和的 1/0 倍。倍。1.1. 高斯定理的表述高斯定理的表述S利用利用 Coulomb 定律導(dǎo)出定律導(dǎo)出 Gaus

26、s 定理：定理： （1 1）考慮場(chǎng)源為一個(gè)正點(diǎn)電荷）考慮場(chǎng)源為一個(gè)正點(diǎn)電荷 q，對(duì)于任一對(duì)于任一閉合球面閉合球面 S ，電通量，電通量2. 2. 高斯定理的證明高斯定理的證明nrqSdSE0qSdESe結(jié)果與球面半徑結(jié)果與球面半徑 r 無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。假設(shè)包圍點(diǎn)電荷的是假設(shè)包圍點(diǎn)電荷的是任意閉合曲面任意閉合曲面 S，電通量？電通量？因此，包圍點(diǎn)電荷因此，包圍點(diǎn)電荷 q 的的任意閉合曲面任意閉合曲面 S 的電通量是的電通量是SS 作一個(gè)球面作一個(gè)球面 ，包圍，包圍 S。電場(chǎng)線(xiàn)是連續(xù)的，來(lái)自點(diǎn)電荷電場(chǎng)線(xiàn)是連續(xù)的，來(lái)自點(diǎn)電荷 q 的的電電場(chǎng)線(xiàn)穿過(guò)球面場(chǎng)線(xiàn)穿過(guò)球面 ，也必定穿過(guò)曲面，也必定穿過(guò)曲面 S。q

27、S0qSdESe 只要從一側(cè)進(jìn)入曲面只要從一側(cè)進(jìn)入曲面 S 的電場(chǎng)線(xiàn)，必定從另一側(cè)面穿的電場(chǎng)線(xiàn)，必定從另一側(cè)面穿出。進(jìn)入閉合曲面的電場(chǎng)線(xiàn)數(shù)等于穿出的電場(chǎng)線(xiàn)數(shù)，總電出。進(jìn)入閉合曲面的電場(chǎng)線(xiàn)數(shù)等于穿出的電場(chǎng)線(xiàn)數(shù)，總電通量為零。通量為零。q0SSdE （2 2）考慮閉合面未包圍場(chǎng)源電荷）考慮閉合面未包圍場(chǎng)源電荷 q 。S即，閉合曲面外的電荷，對(duì)該曲面即，閉合曲面外的電荷，對(duì)該曲面電通量沒(méi)有貢獻(xiàn)。電通量沒(méi)有貢獻(xiàn)。niniqSdEiSi , 0 , 0利用場(chǎng)強(qiáng)疊加原理，利用場(chǎng)強(qiáng)疊加原理， ，故，故iiEE iSiSiiSSdESdESdE （3 3）考慮場(chǎng)源為許多點(diǎn)電荷組成的系統(tǒng)）考慮場(chǎng)源為許多點(diǎn)電荷組

28、成的系統(tǒng): :q1 , q2 , , qn , qn+1 , qn+2 , 在在 S 面內(nèi)面內(nèi)在在 S 面外面外dSdS處的總場(chǎng)強(qiáng)，是各電荷處的總場(chǎng)強(qiáng)，是各電荷產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)的矢量和。產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)的矢量和。如果第如果第i個(gè)電荷單獨(dú)存在，個(gè)電荷單獨(dú)存在，則其場(chǎng)強(qiáng)的通量則其場(chǎng)強(qiáng)的通量 niiniSiniSiqSdESdE101Sq1q2qn+1qn+2 Gauss 定理是普遍規(guī)律，不僅僅適用于靜止電荷和靜定理是普遍規(guī)律，不僅僅適用于靜止電荷和靜電場(chǎng)，也適用于電場(chǎng)，也適用于運(yùn)動(dòng)電荷和迅速變化電場(chǎng)。運(yùn)動(dòng)電荷和迅速變化電場(chǎng)。 積分時(shí)場(chǎng)強(qiáng)取面上的值。高斯面是數(shù)學(xué)曲面，電荷或積分時(shí)場(chǎng)強(qiáng)取面上的值。高斯面是數(shù)學(xué)曲面

29、，電荷或在面內(nèi)，或在面外，不可能位于其上。在面內(nèi)，或在面外，不可能位于其上。說(shuō)明說(shuō)明： 定理中的場(chǎng)強(qiáng)定理中的場(chǎng)強(qiáng) 是面內(nèi)、外所有電荷產(chǎn)生的總場(chǎng)，但是面內(nèi)、外所有電荷產(chǎn)生的總場(chǎng)，但閉合面上的電通量只決定于面內(nèi)所包圍的電荷，或者閉合面上的電通量只決定于面內(nèi)所包圍的電荷，或者說(shuō)僅面內(nèi)電荷的場(chǎng)對(duì)面的通量有貢獻(xiàn)。說(shuō)僅面內(nèi)電荷的場(chǎng)對(duì)面的通量有貢獻(xiàn)。E內(nèi)SSeqSdE01 封閉積分曲面封閉積分曲面 S 通常叫做通常叫做。QdqrrE304 一般地，已知電荷分布用場(chǎng)強(qiáng)疊加原理可求場(chǎng)分布，已知一般地，已知電荷分布用場(chǎng)強(qiáng)疊加原理可求場(chǎng)分布，已知場(chǎng)分布用場(chǎng)分布用 Gauss 定理可求任意區(qū)域內(nèi)的電荷。定理可求任意區(qū)

30、域內(nèi)的電荷。內(nèi)SSqSdE01 當(dāng)電荷分布有特殊對(duì)稱(chēng)性時(shí)，也可以用當(dāng)電荷分布有特殊對(duì)稱(chēng)性時(shí)，也可以用 Gauss 定理可求場(chǎng)定理可求場(chǎng)分布，只有以下三種分布，只有以下三種對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)性存在時(shí)，才能求解電場(chǎng)：存在時(shí)，才能求解電場(chǎng)： 電荷分布為球?qū)ΨQ(chēng)，例如均勻帶電球體電荷分布為球?qū)ΨQ(chēng)，例如均勻帶電球體。 電荷分布為軸對(duì)稱(chēng)，例如無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直導(dǎo)線(xiàn)電荷分布為軸對(duì)稱(chēng)，例如無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直導(dǎo)線(xiàn)。 電荷均勻分布于無(wú)限大帶電平面電荷均勻分布于無(wú)限大帶電平面。 例例1 1 設(shè)電荷為均勻帶電的（設(shè)電荷為均勻帶電的（1 1）球面；（）球面；（2 2）球體。總電荷為）球體?？傠姾蔀?Q ，球，球的半徑為的半徑為 R ，求球內(nèi)外的場(chǎng)強(qiáng)分布。，求球內(nèi)外的場(chǎng)強(qiáng)分布。 解：球?qū)ΨQ(chēng)問(wèn)題，場(chǎng)強(qiáng)沿徑向，且解：球?qū)ΨQ(chēng)問(wèn)題，場(chǎng)強(qiáng)沿徑向，且 E = E(r) 。 ( (1) 1) 做半徑為做半徑為r 的同心球面為高斯面。的同心球面為高斯面。004 : 2ErESdERrrrRQ024