工科數(shù)學(xué)分析：4-2-1二階線性微分方程

1、二階線性微分方程的一般形式為12( )( )( )( )a x ya x ya x yf x ，其中( )f x稱為自由項(xiàng)。 （1）當(dāng)( )0f x 時(shí)，稱為二二階階線線性性齊齊次次方方程程， 這類方程的特點(diǎn)是：右邊是已知函數(shù)或零，左邊的每一項(xiàng)（2）當(dāng)( )0f x 時(shí)，稱為二二階階線線性性非非齊齊次次方方程程。 例 1判定下列方程是否是二階線性微分方程。 （1）560yyy； （2）3sinyyyx； （3）222350d xdxxdtdt； （4）cos0yy。 解： （1） 、 （3）是二階線性微分方程， （2） 、 （4）不是二階線性微分方程。（一）（一）函數(shù)的線性相關(guān)性函數(shù)的線性相關(guān)

2、性定義定義 1 1 設(shè)函數(shù)12( ),( ),( )my xyxyx在區(qū)間 I 上有定義， 若存在不全為零的常數(shù)12,mk kk，使當(dāng)xI時(shí)，有 1122( )( )( )0mmk y xk yxk yx， 則稱函數(shù)12( ),( ),( )my xyxyx在區(qū)間 I 上線性相關(guān)線性相關(guān)。 否則就稱12( ),( ),( )my xyxyx在區(qū)間 I 上線性無關(guān)線性無關(guān)。 4.2.1二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 定義定義 2 2 稱1212(1)(1)(1)12( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )mmmmmmy xyxyxy xyxyxw xyxyx

3、yx 為函數(shù)12( ),( ),( )my xyxyx的朗斯基行列式朗斯基行列式。 結(jié)結(jié)論論 若12( ),( ),( )ny xyxyx為 n階線性齊次方程 的 n個(gè)解，則12( ),( ),( )ny xyxyx在區(qū)間 I 上線性 相關(guān)的充分必要條件是( )0, w xxI。 由定理 1 可得：若12( )( )yxkyx（或21( )( )yxkyx） ， 則1( )yx 與與2( )yx線性無關(guān)。 例 2判別下列兩組函數(shù)哪些是線性無關(guān)的？ （1）logax，2log,(0)axx ； （2）xe，xxe。 解： （1） （方法一方法一） 取2k1，1k2，則 212loglog2log

4、2log0aaaakxkxxx， （方法二方法二） )( 21loglog2常數(shù)xxaa，xalog與2log xa線性相關(guān)。2loglogaaxx故故與與線線性性相相關(guān)關(guān)。 1 xxexex常常數(shù)數(shù) ， xe與xxe線性無關(guān)。 （2） 3(3) ,xxee與與33 =xxeee常常數(shù)數(shù)3 .xxee與與線線 性性 相相 關(guān)關(guān)3(4) xxee 與 線性無關(guān)。與 線性無關(guān)。（2）若12( )( )y xyx和和是二階線性非齊次方程的兩個(gè)解， 則 12( )( )yy xyx 為對應(yīng)的齊次方程的解。 （二）（二）二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 設(shè)二階線性齊次方程為12( )(

5、)( )0a x ya x yax y 二階線性非齊次方程為12( )( )( )( )a x ya x yax yf x （1）若12( )( )y xyx和和是二階線性齊次方程的兩個(gè)解， 則 1122( )( )yC y xC yx 仍為方程的解，其中21C ,C為兩個(gè)常數(shù)。 證證: :11220120.yC yC ya ya ya y是是齊齊次次方方程程的的通通解解0120.a ya ya y*012( ).ya ya ya yf x又又是是非非齊齊次次方方程程的的特特解解*012( ).a ya ya yf x*012( ):yyya ya ya yf x把把代代入入方方程程中中*01

6、2(ayya yyayy左左邊邊) ) + +) ) )*012012 0( )a ya yaya yya yfax+ + = =+ +右右邊邊y且且 中中有有兩兩個(gè)個(gè)任任意意常常數(shù)數(shù)故故結(jié)結(jié)論論成成立立求二階線性非齊次方程通解的一般步驟求二階線性非齊次方程通解的一般步驟： 上面結(jié)論也適合于一階線性非齊次方程，還可推廣到二階以上的線性非齊次方程。 若1( )yx是線性非齊次方程 121( )( )( )( )ax yax yax yfx的特解， 2( )yx是線性非齊次方程 122( )( )( )( )a x ya x ya x yfx的特解， 則 1y+2y 是線性非齊次方程 1212(

7、)( )( )( )( )a x ya x yax yf xfx的特解。 例 3設(shè)線性無關(guān)的函數(shù)123, , yyy都是微分方程 ( )( )( )yp x yq x yf x的解，則此微分方程的 通解為（ ） （21C,C為任意常數(shù)）. （A）11223C yC yy； （B）1122123()C yC yCCy； （C）1122123(1)C yC yCCy； （D）1122123(1)C yC yCCy。 解：123, , yyy都是方程( )( )( )yp x yq x yf x的解， 12yy和23yy是方程( )( )0yp x yq x y的解。 123, , yyy線性無關(guān)，

8、13yy，23yy也線性無關(guān)， ( )( )0yp x yq x y的通解。 3yy是方程( )( )( )yp x yq x yf x的一個(gè)特解， 方程( )( )( )yp x yq x yf x的通解為： 即1122123(1)yC yC yCC y。 故應(yīng)選（D） 。 若二階線性微分方程為 ( )aybycyf x ，其中 , , abc均為常數(shù)，則稱該方程為二階常系數(shù)線性微分方程。 （一）二階常系數(shù)線性齊次方程的解法（一）二階常系數(shù)線性齊次方程的解法其解法的特點(diǎn)是：不用積分只用代數(shù)方法就能求出方程的通解。 猜想方程具有rxey 形式的解，其中 r為待定常數(shù)， 將rxyre ，2rxy

9、r e ，rxye代入方程， 得2()0rxearbrc，但0rxe，故有 0aybycy， 20arbrc， 方程叫做方程的特征方程特征方程。按特征方程的兩個(gè)根 1r，2r的三種可能情況： 11r2r是兩個(gè)不相等的實(shí)根； 21r=2r是兩個(gè)相等的實(shí)根； 31ri，2ri是一對共軛復(fù)數(shù)。 我們來分別討論方程的通解。 1r xe、2r xe是方程的特解， 且1122()r xrrxr xeee不為常數(shù)，它們是線性無關(guān)的， 1特征方程的根是兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)的情形。特征方程的根是兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)的情形。2特征方程的根是兩個(gè)相等實(shí)數(shù)的情形。特征方程的根是兩個(gè)相等實(shí)數(shù)的情形。1r=2r2bra ，只知一個(gè)特

10、解1r xye， 還需找一個(gè)與1y線性無關(guān)的特解2y， 方程的通解為 。1212r xr xyC eC e設(shè)2( )yu xrxe，( )u x為待定函數(shù)， 22( )2( )( )rxyeu xru xr u x 代入方程得 2( )(2) ( )() ( )0rxeau xarb u xarbrc u x， ( )0ux， 取( )0ux的一個(gè)解( )u xx，則2rxyxe。 方程的通解為12rxrxyC eC xe， 即 12()rxyeCC x 。 3 3特特征征方方程程的的根根是是一一對對共共軛軛復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)的的情情形形。 ()1ixye、()2ixye是方程的特解， 且()21()2

11、ixixixyeeye不為常數(shù)，它們是線性無關(guān)的， 方程的通解為()1ixyC e+()2ixC e。 1(cossin)xyexix， 2(cossin)xyexix， 由歐歐拉拉公公式式 可得sinicosei1121()cos2xyyyex取取， 2121()sin2xyyyexi， 方程的通解為1122yC yC y，即 12(cossin)xyeCxCx（1）由微分方程寫出對應(yīng)的特征方程（代數(shù)方程） ；（2）求解特征方程的根； （3）按特征根的情況（單根、重根、共軛復(fù)根） 寫出微分方程的通解： 特征方程 20arbrc， 0aybycy的通解 240bac 兩個(gè)不相等的實(shí)根12, r

12、r 11r xyC e+22r xC e 240bac 相等實(shí)根rrr21 1(rxyeC+2)C x 240bac 一對共軛復(fù)數(shù) 12, ri 1(cosxyeCx +2sin)Cx 小結(jié)：用特征根法求二階常系數(shù)線性齊次方程通解的步驟：小結(jié)：用特征根法求二階常系數(shù)線性齊次方程通解的步驟：例 4求下列方程的通解 （1）430yyy 方程的通解為1xyC e+32xC e。 （2）41290yyy （3）220yyy 解：其特征方程為2220rr， 特征根為1,r224 1 2iri ， 方程的通解為12(cossin )xyeCxCx。 故方程的通解為312-=+xxyC eC e， xxyC

13、 eC e3123-= -， 將初始條件(0)2y，(0)6y代入上面兩式，得 12112226634CCCCCC 故所求特解為:364-=-xxyee。 (0)2y，(0)6y的特解。 5.430yyy例例 求求方方程程滿滿足足初初始始條條件件（二二）高高階階常常系系數(shù)數(shù)線線性性齊齊次次方方程程的的解解法法n階常系數(shù)線性齊次方程為( )(1)110-+=oLnnnna ya yaya y， 其特特征征方方程程為 1110-+=oLnnnna ra rara. 特特征征方方程程的的根根 方方程程通通解解中中的的對對應(yīng)應(yīng)項(xiàng)項(xiàng) 單實(shí)根r 給出一項(xiàng) rxC e k重實(shí)根r 給出k項(xiàng) 112()rxkkeCC xC x-+L 一對單復(fù)根 1, 2riab= 給出兩項(xiàng) 12cossi nxeCxCxabb+ 一對k重復(fù)根 1, 2riab= 給出k2項(xiàng) 112 ()cosxkkeCC xC xxab-+L 112()si nkkDD xD xxb-+L 解：特征方程為54323750-+-=rrrr， 即22(1)(25)0-+=r rrr， 故方程的通解為特征根為1, 20=r（2 重） ；31=r,4 512