幾何證明地好方法——截長補短

1、幾何證明的好方法截長補短有一類幾何題其命題主要是證明三條線段長度的“和”或“差”及其比例關 系。這一類題目一般可以采取“截長”或“補短”的方法來進行求解。所謂“截 長”，就是將三者中最長的那條線段一分為二，使其中的一條線段與已知線段相 等，然后證明其中的另一段與已知的另一段的大小關系。所謂“補短”，就是將一個已知的較短的線段延長至與另一個已知的較短的長度相等。然后求出延長后的線段與最長的已知線段的關系。有的是采取截長補短后，使之構成某種特定的 三角形進行求解。截長法：（1）過某一點作長邊的垂線（2）在長邊上截取一條與某一短邊相同的線段，再證剩下的線段與另一短邊相 補短法（1）延長短邊。（2）通

2、過旋轉等方式使兩短邊拼合到一起。幾種截長補短解題法類型我們大致可把截長補短分為下面幾種類型；類型a b=c類型a b=kc類型abc類型c 2 =a b對于類型，可采取直接截長或補短，繞后進行證明?；蛘呋癁轭愋妥C明。對于，可以將a b與c構建在一個三角形中，然后證明這個三角形為特 殊三角形，如等邊三角形，等腰直角三角形，或一個角為30的直角三角形等。對于類型，一般將截長或補短后的 a b與c構建在一個三角形中，與類 型相同。實際上是求類型中的 k值。對于類型，將c2 =a-b化為-=b的形式，然后通過相似三角形的比例關系進a c行證明。在證明相似三角形的過程中，可能會用到截長或補短的方法。例:

3、在正方形 ABCDK DE=DF DGCE 交 CA于 G, GHAF,交 AD于 P,交CE延長線于H,請問三條粗線DG GH, CH的數(shù)量關系方法一（好想不好證）方法二（好證不好想）Fr例題不詳解。（第2頁題目答案見第3、4頁）F(1)正方形ABCD中，點E在CD上，點F在BC上，.EAF=45o 求證：EF=DE+BF(1)變形a正方形ABCD中，點E在CD延長線上，點F在BC延長線上，.EAF=450請問現(xiàn)在EF、DE BF又有什么數(shù)量關系？(1)變形bF正方形ABCD中，點E在DC延長線上，點F在CB延長線上，.EAF=450請問現(xiàn)在EF、DE BF又有什么數(shù)量關系？(1)變形c正三

4、角形 ABC中，E 在 AB上，F(xiàn) 在 AC上Z EDF=450。DB=DC N BDC=120。請問現(xiàn)在EF、BE CF又有什么數(shù)量關系？(1)變形dF正方形 ABCD中，點 E 在 CD上，點 F 在 BC上，EAD=15 , FAB=30。AD=3求AEF的面積(1)解：(簡單思路)F延長CD到點G使得DG=BF連接AG由四邊形ABCD是正方形得ADG= ABF=9(JAD=AB又 DG=BF所以：ADG . ABF (SASGAD= FABAG=AF由四邊形ABCD是正方形得.DAB=90= DAF+ FAB=DAF+ GAD= GAF 所以.GAE= GAF- EAF=90o -45

5、 0 =45GAE= FAE=45又 AG=AFAE=AE所以.：EAG . EAF( SASEF=GE=GD+DE=BF+DE變形a解：（簡單思路）EF= BF-DE在BC上截取BG使得BG=DF連接AG 由四邊形ABCD是正方形得ADE= ABG=90AD=AB又 DE=BG所以 ADE ：ABG( SASEAD= GABAE=AG由四邊形ABCD是正方形得DAB=90= DAG+ GAB=DAG+ EAD= GAE所以.GAF= GAE- EAF=90 -45 0 =45.GAF= EAF=4弓又 AG=AEAF=AF所以. ：EAF三.：GAF( SASef=gf=bf-bg=bf-d

6、e變形b解：（簡單思路）FEF=DE-BF在DC上截取DG使得DG=BF連接AG 由四邊形ABCD是正方形得ADG= ABF=9(JAD=AB又 DG=BF所以 ADG ABF( SASGAD= FABAG=AF由四邊形ABCD是正方形得DAB=90= DAG+ GAB=BAF+ GAB= GAF所以 GAE= GAF- EAF =90 -45 0 =45GAE= FAE=45又 AG=AFAE=AE 所以 EAG EAF( SAS EF=EG=ED-GD=DE-BF變形c解：（簡單思路）GEF=BE+FC延長AC到點G使得CG=BE連接DG 由厶ABC是正三角形得ABC= ACB=60又 D

7、B=DC BDC=120所以 DBC= DCB=30 .DBE= ABC+ DBC=60+3O=9OACD= ACB+ DCB=60+3O=9O 所以 GCD=180 - ACD=90DBE= DCG=90又 DB=DC BE=CG所以 DBE ：DCG(SASEDB= GDCDE=DG又 DBC=120= EDB+ EDC=GDC+ EDC= EDG所以 GDF= EDG- EDF=120o -60 0 =60oGDF= EDF=60又 DG=DEDF=DF所以 ： GDF ：EDF（ SAS EF=GF=CG+FC=BE+FC變形d解：（簡單思路）E延長CD到點G使得DG=BF連接AG過E

8、作EH_AG.前面如（1）所證，ADG ABF，: EAG : EAFGAD= FAB=30，S ：EAG=SEAF在 Rt ADGKGAD=30，AD=3AGD=60，AG=2設 EH=x在 Rt EGH中和 Rt ： EHA中AGD=60，- HAE=45HG=2x, AH=x3r-AG=2=HG+aH=x+x,EH=x=3- 33S ：EAF=S：EAG=EHAG 2=3- 3（第5頁題目答案見第6頁）（2）正方形ABCD中，對角線AC與BD交于0,點E在BD上, AE平分.DAC 求證：AC/2=AD-EO(2)加強版正方形ABCDK M在CD上, N在DA延長線上，CM=AN點 E在

9、BD上, NE平分.DNMI 請問MN AD EF有什么數(shù)量關系？(2)解：(簡單思路)過E作EGAD于G因為四邊形ABCD是正方形NADC=90 , BD平分 N ADC AC_ BD所以 ADB= ADC/2=4$因為 AE平分 DAC EOAC, EGAD 所以 EAO= EAGDGE= AOE= AGE=90 又 AE=AE 所以 AEO ：AEG( AAS 所以 AG=AO EO=EG又 ADB=45 , - DGE=90所以“DGE為等腰直角三角形DG=EG=EO AD-DG=AD-EO=AG=AO=AC/2(2)加強版解：(簡單思路)NMN/2=AD-EF過E作EGAD于G,作E

10、Q AB于Q, 過B做BP_MN于P按照(2)的解法，可求證， GNE AFNE(AAS“DGE為等腰直角三角形AG=AD-DG=AD-EF因為四邊形ABCD為正方形，ABC= GAQ= BCM=90BD平分 N ABC BC=BA.ABD= ABC/2=45o，又 EQB=90厶EQB為等腰Rt三角形，.BEQ=45因為 GAQ= EGA= EQA=90所以四邊形AGE助矩形，EQ=AG=AD-EFEQ/AG QEN= ENG又 ENG= ENF 所以 QEN= ENF由 BC=BA BCM= BAN=90，CM=AN所以 BCM BAN( SASBM=BN CBM= ABNABC=90=

11、ABM+ CBM= ABM+ ABN= MBN 又 BM=BN所以厶MBN為等腰Rt三角形， 又BP_斜邊MNT P, 所以NPB為等腰Rt三角形。BP=MN/2 PNB=45BNE= ENF+ PNB.BEN= QEN+ QEB又 N QEN= ENF PNB=QEB=45所以.BNE= BENBN=BE又 PNB= QEB=45 = NBP= EBQ所以 ： BEQ ：BNP( SASEQ=BP因為 EQ=AG=AD-EFBP=MN/2所以 AD-EF=MN/2綜合題體中的截長補短1、如圖，在。O中，C是AB的中點，直線CDLAB于點E, AB= BE, PB PA組成的。O的一條折弦，C

12、是劣弧AB的中點，直線CDLPA于點E,則AE= PE+PB 請證明你的結論。分析：本題要證明AE= PE+PB可以將AE分為兩段，使其中一段長度等于 PE, 然后另一段長度關于PB反之亦。證明 AHdA BPC然后再證明PB=PE,那么 AE= PE+PB證明：在AE上截取AH= PB,連接AC CH BC CR C是AB的中點二 AC = BC二 AC= BC CP = CP/ A=Z B在厶 CAH與 CBP中CA=CB/ A= / B AH=BP CAHm CBP (SAS) CH= CP CEL HP PE= EH AE= PE+PB2、如圖，OO為厶ABC勺外接圓，弦CP平分 AB

13、C的外角/ BCQ Z ACB= 120 求B%；AC的值。PC分析：要求BC 竺的值，可用截長的方法來做，即可在 AB上截取BE= AC使 PC PBEA PAC即可求出BC AC的值。PC解：連接PA PB,在BC上截取BE,使BE= AC，連接PEvZ QCPZ PCA= 180 又 TZ PCAZ PBA= 120Z QC圧 Z PBAv PB = PB Z PCB=Z PAB又 vZ Qd PBA Z PBA=Z PAB P心 PB PB = PA在厶PBE與 PAC中PB=PAZ PBC= Z QAPBE=AC PBEA PAC( SAS PO PE Z PEC=Z BCP= 30

14、些=3PC BC C =3PC3、如圖，O0為厶ABC的外接圓，弦CP平分 ABC勺外角/ ACQ Z ACB= 90,求證： PA = PB AC BO、2 PC分析：要證明AC BO、_2PC,可使用截長的方法，即在 AC上截取AHk BC, HC=AC-BC然后將HC與PC構建一個等腰直角三角形，且 HC為斜邊，PC 為直角邊。通過求解 APH CBP即可證明AC BC=V2pc證明：連接PA PB在AC上截取AH= BCCP平分Z ACQ, ZAC 90 Z PCA=Z QC圧 45 四邊形APCB為圓的內接四邊形 Z PAB-Z PCB= 180=Z PCQ=Z PCB PA = P

15、B PA= PB PC = PC Z CBP=Z PAC 在厶APH與 CBP中r AH=CBZ CBP= Z PACI AP=BP APHm CBP PH= PC Z PC* 45又PHC為等腰直角三角形 AC AH= AC CB= HC* . 2 PCCD AC BC* . 2 PC的值。分析：要求CA CB，我們的思路是將CB延長至并與CD構建在一個三角形內，CD然后解三角形并證明延長線與CA相等。我們將CB延長至H,作CH=CA+CB 然后將CH和CD構建在一個三角形內，即過點 D作Z CD= 60延長CB 交DH于點H,即可證 CADA HBD再可求出CCB的值。CD解：過點D作Z

16、CD= 60延長CB交DH于點H,連接AD BDvZ AD= CD= 60 :丄 BDHkZ ADCuvZ DCHk 60=/ H=Z ACD DH= DC在厶 CADW HBD中Z H= / ACDDH=DCk / BDH= / APC CADA HBD( ASA CA= BH二 CB+BA= CDCA CB=1CD5、如圖，P是等邊 ABC外接圓BC上任意一點，求證：PA= PB+PC分析：要證明PA= PB+PC可用截長的方法，即在 PA上截取AG= CF，然后證明PG=BF即可。證明：在AP上截取AG= CP ABC為等邊三角形 A吐 BCv BP= BPZ BAG=Z PCB 在厶

17、ABGW CBP中嚴 AG=CP Z BAG= Z PCB文檔 k AB=BC ABGA CBP(SAS BP= BQ / ABG=Z PBC/ GB圧60, BP= PG P心 PB+PC6、BP交 AC于 N, NM如圖，RTABC中, AD為斜邊BC的高，P為AD的中點,丄BC于 M 求證：MN2 = AN- NC分析：要證明MN = AN- NC,可將此式化為MN _ _NCAN _ MN然后利用相似三角形的比例關系進行求解。證明：延長BA MN交于點E。 ABC是等腰直角三角形/ EAh_Z MN_ 90vZ AN_/ MNCi/ C_Z E AEMTA MNCv AD/ MNZ C

18、N_Z CADZ CM_Z CDAvZ C_Z C CNMb CAD mn _ 些AN _ MN MN2 _AN- NC7、如圖， ABC內接于O O, AB是OO的直徑，CD平分Z ACB交OO于點D,交 AB于點 F,弦 AE1CDT H,連接 CE OH 求證：OHL AGBe rD分析：要證明OHL AC,可用補短的方法，即延長 CB AE,交于點M即可證OH / AC即可證明OHL AC證明：延長CB交AE的延長線于點 Mv AB為O O的直徑 Z ACM_ 90 AML CD 且 CD平分/ ACB AHk HIM OA= OB0卜是厶ACE的中位線OH/ CM又/ ACM 90

19、OHL AC8、以厶ABC的邊AB為直徑作。0,0 O與BC邊的交點D恰好為BC的中點，過 點D作DEI AC于E, DE為OO的切線。求 匹 的值。DC分析：要求 匹 的值，可用補短的方法，即延長 BA過C作CML BA的延長線DC 交于點M,即可求出DE的值。DC解：延長 DA至 M 作 CML BM于 M。點D為BC中點 AD平分/ BAC / DAE= 60, AD= AD Di ADAE2 二乜AD2TO與D分別為AB BC的中點 AO AB= 2ADvZ CAMk 180 - 120= 60 AC= 2AD CM= -AC=、3AD21 AM= 1 AC= AD2OC= .OM2

20、CM2 =、. 7AD DE =匕逅DC -2AD 49、如圖，直徑AB CD互相垂直，點M是AC上一動點，連接 AM MC MB MD2 2MD - - MC 、求證：為疋值。MA|_MB22分析：要證明MDMC為定值，可用補短的方法，即延長MD過A作AQMA|_MB丄AM,BHLMB交AD的延長線于H=解： 連接BC AC AD作BHL MB交 AD的延長線于H。v CD為O 0的直徑 CBD CAD等腰直角三角形v/ CBD=Z MBHf 90/ CBIVk/ DBHv/ BDH/ MP圧/ MCB/ MD& 180 / BDH=/ MCB C吐 DBMCBA BDH中/ CBM= /

21、DBHCB=DB/ BDH= / MCB MCB2A BDH D十 MC BM= BH MBH為等腰直角三角 :.MH= MD+D料 MD+M V2MB同理可得：MD- MG、2 MA.MD 2 _MC2 = (MD +MC)2 72maU/2mB = ? maLmbm此mbmaLMb2 2.MD -MC _2mAjmb全等三角形中的截長補短板塊一、截長補短【例1】 已知.ABC中，.A = 60 , BD、CE分別平分.ABC和.ACB , BD、CE交于點0,試判斷BE、CD、BC的數(shù)量關系，并加以證明.【例2】 如圖，點 M為正三角形 ABD的邊AB所在直線上的任意一點（點B除外），作 DMN =60，射線MN與/ DBA外角的平分線交于點 N , DM與