培優(yōu)點17空間向量的應用

1、培優(yōu)點十六利用空間向量求夾角X1 .利用面面垂直建系例1:在如圖所示的多面體中，平面ABB1A1平面ABCD,四邊形 ABBA為邊長為2的菱形，ABCD為直角梯形，四邊形 BCCiBi為平行四邊形，且|AB/ CD , |AB BC , CD 1.(1)若E, F分別為AC1, BC1的中點，求證：|EF 平面ABG;(2)若 AAB 60 , Ag與平面ABCD所成角的正弦值為 弋,求二面角 A AC D的 余弦值.【答案】（1）見解析；（2）7.8【解析】（1）連接AB, 四邊形ABBA為菱形，AB AB.平面ABBA 平面ABCD,平面ABBBA I平面ABCD AB , BC 平面AB

2、CD , AB BC , BC 平面 ABBA ,又 AB 平面 ABBA ,，AB BC . BC/ B1cl,A1B RC1 . BC1 1ABi B , . AB 平面 ARG . E, F 分別為 AG, BC1 的中點，EF/AB,一. EF 平面 AB1C1.（2）設 BG a ,由（1）得 B1C1 平面 ABBA ,由 AAB 60 , BA 2,得 AB 2芯,AG V12 a2 .過點C1作C1M DC ,與DC的延長線交于點 M ,取AB的中點H ,連接AH , AM ,如圖所示,又 AAB 60，.二4ABA為等邊三角形，A1H AB又平面ABBA 平面ABCD,平面A

3、BBA I平面ABCD AB,AH 平面 ABBA故AH 平面ABCD . BCGBi為平行四邊形， CG/B0 CG II 平面 AABB,.又. CD/ AB,CD/ 平面 AABB1. CC1 I CD C ,平面 AA1BB1/ 平面DC1M .由（1）,得BC 平面AABBi平面DC1M BCI DC CCiAM是AG與平面ABCD所成角. AB/AB, GB/CB, . ABJ/平面ABCD, BCJ/ 平面 ABCD , . AB I 孰巳 B平面 ABCD/ 平面 ABCi .AH GM 3,sin C1 AMMC1AG-312 a2在梯形ABCD中，易證 DE ABuuv分別

4、以HAuuv ,HDuuuvHA1的正方向為x軸,y軸,軸的正方向建立空間直角坐標系.則 A 1,0,0D 0, 3,0A 0,0, 3Bi2,0, 3B 1,0,0C 1, 3,0uuuuuv uuiv由 BB1,0,V3 ,及 BB1 CC1 ,得 C12, 3, 3uuv ，一 .AG3, 3, 3uuuu,AD 1,3,0uuv一AA1,0,V3 .設平面ADC1的一個法向量為muuv m AG 0 uuum AD 0X1設平面AACi的一個法向量為令 Z21 ,得 n出,2,1 . .nX2,y2,Z2cos m, nuuuvn AC1 0uuiv n AA1 03X2, 3y2.

5、3z20X23z2 0|m| n 3 1 43 4 1888又二面角 Ai ACi D是鈍角，二面角 A AG D的余弦值是2 .線段上的動點問題例2:如圖，在Y ABCD中,A 30AD J3 , AB 2 ,沿 BD 將 4ABD 翻折到 4ABD的位置,使平面ABC 平面ABD .（1）求證：AD 平面BCD;uuuu uuv（2）若在線段 AC上有一點M滿足AM AC ,且二面角M BD C的大小為60求的值.【答案】（1）【解析】（1）ABD中，由余弦定理，可得222BD 1 . BD AD ABADB 90DBC 90 .作 DFAB于點F平面 ABC 平面ABD ,平面 A BC

6、 I平面ABD AB平面A BC . CB 平面ABC又.CB BDBDI DF D,CB 平面 ADB .又. AD 平面ADB又 AD BD, BD I CB B,，AD | 平面 BCD(2)由(1)知DA, DB, DA兩兩垂直，以|D為原點，以Duv方向為x軸正方向建立如圖所示空間直角坐標系 D xyz ,則 B 0,1,0 , C73,1,0 , A 0,0,V3 .設 M x,y,z ,x 3uuuu uuv-_則由 AM AC yMV3 , ,V3 V3 ,z 33設平面MDB的一個法向量為m a,b,c則由uw m DB 0uuum DM 033c 0m 1,0,.平面CBD

7、的一個法向量可取uuu LDA 0,0, 3uuv cos DA ,m3120,13 .翻折類問題例3:如圖1,在邊長為2的正方形 ABCD中，P為CD中點，分另將 APAD , 4PBC沿PA ,PB所在直線折疊，使點C與點D重合于點O,如圖2.在三B隹P OAB中，E為PB中點.(1)求證：PO AB;(2)求直線BP與平面POA所成角的正弦值；(3)求二面角P AO E的大小.（2）巫；（3）5【答案】（1）見解析;【解析】（1）在正方形 ABCD中，P為CD中點，|PD AD, PC BC. 在三棱錐 P OAB 中，PO OA, PO OB OAI OB O , PO 平面 OAB.

8、 AB 平面 OAB , PO AB .（2）取AB中點F ,連接OF ,取AO中點M ,連接BM .過點O作AB的平行線OG . PO 平面 OAB , PO OF , PO OG . OA OB, F 為 AB 的中點，. OF AB. . OF OG .如圖所示，建立空間直角坐標系O xyz.A 1,而,0 , B1,J3,0 , P 0,0,1 , M 123,0 . BO BA, M 為 OA的中點，BMOA. PO 平面OABPO 平面POA,，平面 POA 平面OAB.平面POA I 平面 OAB OA, BM 平面 OAB , BMuuuv 3BM2J。，平面POA的法向量m

9、J3, 1,0uuvBP173,1 .設直線BP與平面POA所成角為sinuuv cos m, BPuuv m BP -fuuv ml BP155直線BP與平面POA所成角的正弦值為 巫5（3）由（2）知 E1 .3 1一, 一 ，一uuvOEuuv t-OA 1,V3,0 .設平面OAE的法向量為uuvOA n 0 uuvOE n 0x . 3y 0x 3y z 0由題知二面角P AO對點增分集訓、單選題z2x/3 ,即 n33, 1,273 . .E為銳角，它的大小為cos m, n1 .如圖，在所有棱長均為 a的直三棱柱 ABC ABC1中，D, E分別為BBAC1的中點,則異面直線AD

10、, CE所成角的余弦值為（）EA. 2C. 1D.uuv【解析】設AC的中點O,以OBuuu OCuuvOE為x, y, z軸建立坐標系,則 A 0,- ,0 , D a,0, - , C 0,-,0 , E 0,0, a , 2222uuu 則ADuuvCE0,-.3 a a a0 a a .設AD與CE成的角為 ，則cos 22 2 /1,故選cc22253 2a a a 25,4a 44. 4 a2 .在三棱柱 ABC AB1C1中，底面是邊長為 1的正三角形，側棱 AA 底面ABC,點D在棱bb上,且BD 1 ,若AD與平面AAGC所成的角為,則sin 的值是C.104Dg4【解析】如

11、圖，建立空間直角坐標系,易求點3 11二二，1 2 2土好_64“選J平面AAGC的一個法向量是n 1,0,0 , . cos (n, AD1 噌D.3 .如圖，圓錐的底面直徑 AB 2,高OC J2 , D為底面圓周上的一點， AOD 120 ,則空間中兩條直線 AD與BC所成的角為（）A. 30B. 60C. 75D. 90【答案】B【解析】取AB中點E,以O為原點，OE為x軸，OB為y軸，OC為z軸，建立空間直角坐標系， 如圖所示,圓錐的底面直徑A 0, 1,0B 0,1,0 ，uuu 則AD發(fā),02 2uuvBC 0,OC衣，C 0,0, 2設空間兩條直線 AD與BC所成的角為D為底面

12、圓周上的一點,3 1D T,2,0 'uuu UUV|AD BC|ULUVi UUVAD BCAOD60 ,即直線AD與BC所成的角為60，故選B.平面ABCD4 .已知四棱錐P ABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形，PA PD平面PAD ,M是PC的中點，O是AD的中點，則直線 BM與平面PCO所成角的正弦值是A.B.空【答案】D【解析】uuv則OP由題可知 O 0,0,0 , P 0,0,2uuu0,0,2 , OC1,2,0 ,1 M 是 PC 的中點，M -,1,1 2uuv ,BM設平面PCO的法向量n x, y, z直線85B 1,2,0 , C 1,2,0 ,32,1

13、,1BM與平面PCO所成角為8,8585uuvOP 2z uuu OC x2y可取n02,1,0sinuuv cos( BM ,uuiv BM nj-uuuvBM |n|8.854,故選D.85h5.如圖，在直三棱柱ABC ABG 中， BAC 90 , AB ACAA 2,點G與E分別是AB和CCi的中點，點D與F分別是AC和AB上的動點.若GD EF ,則線段DF長度的最小值為()D.【解析】 建立如圖所示的空間直角坐標系,則 A(0,0,0), E(0,2,1), G(1,0,2), F(x,0,0), D(0,y,0),uuuuuv則 GD 1,y, 2 , EF x, 2, 1 ,u

14、uu uuv由于 GD EF , GD EFx 2y 2 0, x 2y 2,故 DF|；x2 y2J2y 2 2 y2 /y2 8y 4 ,5(y 4)2 4 , 554 2r，當y 時，線段DF長度取得最小值，且最小值為 75 .故選A.556.如圖，點 A B、C分別在空間直角坐標系 O xyz的三條坐標軸上,uuuOC0,0,2 ,平面ABC的法向量為n 2,1,2 ,設二面角C AB O的大小為，則cos ()A.B.C.D.【答案】C【解析】由題意可知，平面 ABO的一個法向量為:uuuOC 0,0,2 ,uuu由空間向量的結論可得：cos,|OC n 2 .故選C.OC |n|2

15、 3 3平面 ABC , CD/ AE ,且7 .如圖所示，五面體 ABCDE中，正 ABC的邊長為1, AE八 1CD 1AE .2設CE與平面ABE所成的角為AE k(k 0),若任 任.一.-,-,則當k取最大值時，平面6 4BDE與平面ABC所成角的正切值為（）A.B. 1c. a【解析】如圖所示，建立如圖所示的空間直角坐標系O xyz,則 A 0,1,0 ,kD 0A2取AB的中點3 3uuivM 則M,則平面 ABE的一個法向量為 CM4 4光,。由題意sinuuv uuuvCE CM 3uuv又由TtTt642,1 k2也，解得Y2 k V2, k的最大值為J2 , 2272時，

16、設平面BDE的法向量為nx, y, z ,uuu 2DE y z 02uuv J31J2BE x y z 0222其1,J2 ,由平面ABC的法向量為m 0,0,1 ,設平面BDE和平面ABC所成的角為 ，則cos曷m*，sin*"后,故選c.8 .已知三棱柱 ABC AB1C1的側棱與底面邊長都相等， A在底面ABC內的射影為 4ABC的中心,則AB,與底面ABC所成角的正弦值等于（）A.B.C.【解析】如圖，設A在平面ABC內的射影為O,以O為坐標原點,D.OA、OA分別為x軸、z軸建立空間直角坐標系如圖.設 ABC邊長為1,則A苧，0，0，BiuuvAB1亞1四6 2 3.又平

17、面ABC的法向量為n 0,0,1 .設AB與底面ABC所成角為 ，則sinos23故直線AB與底面ABC所成角的正弦值為.故選B.9.如圖，四棱錐PABCD 中，|PB 平面 ABCD,底面ABCD為直角梯形,AD II BCAB BCAB AD PB 3,點E在棱PA上，且PE 2EA,則平面| ABE與平面BED的夾角的余弦值為（）BC.43A.B.D.【解析】 以B為坐標原點，以 BC、BA、BP所在直線為z軸,建立空間直角坐標系,則 B 0,0,0 , A 0,3,0 ,uuvP 0,0,3 , D 3,3,0 , E 0,2,1 , BEuuv0,2,1 , BD 3,3,0設平面B

18、ED的一個法向量為n x,y,zcos n, m10.在正方體A.uuvBE 2y z 0 uuvBD 3x 3y 01 . 一 一,一,1 ,平面ABE的法向量為m2 2126 112ABCD【解析】分別以DA設正方體的棱長為1,1,0,0uuin. BC11,0,1,66.，平面ABE與平面BED的夾角的余弦值為ABGDi中，直線BG與平面AiBDB.C.DC可得uuurA1DDD1 為 x.故選B.所成角的余弦值為（）D.y , z軸建立如圖所示空間直角坐標系:ftD 0,0,01,0, 1uurBD1,1,0 , Ci 0,1,11, 1,0 ,A1 1,0,1設n x, y, z是平

19、面ABD的一個法向量，uuv n ADuuvBD取x 1,得y z 1, 平面ABD的一個法向量為1,1, 1設直線BG與平面ABD所成角為uuurcos BC1 ,nn2V6|n石百3；uuurBC1 uuur BCicos4i_sin33,即直線BG與平面A1BD所成角的余弦值是C.11.已知四邊形 ABCD, AB BD DA 2, BC CD J2,現(xiàn)將 ABD沿BD折起，使面角5 A BD C的大小在 -, 內，則直線AB與CD所成角的余弦值取值范圍是（） 6 6A.B-邛C.25 20, U 1 D.882 5/2,88【答案】A【解析】取BD中點O ,連結AO , CO, AB

20、BD DA 2. BC CD 72,CO BD , AO BD,且 CO 1, AO 裝,AOC是二面角A BD C的平面角,以O為原點，OC為x軸，OD為y軸, 過點O作平面BCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標系,B(0, 1,0), C(1,0,0), D(0,1,0),設二面角A BD C的平面角為，則_ 5_6, 6連 AO、BO,貝 U AOC , A 73 cos ,0, T3sin,uirBA.3 cos ,1, 3sinuur，CD1,1,0 ,uuu uuuAB CD 1 73 cos設AB、CD的夾角為，則cos-uur_ruuunAB CD2425.一, cos6 6故

21、1 43cos0,5，.二 cos0,52 .故選 A .2812.正方體ABCDABiCiDi中，點P在AC上運動（包括端點），則BP與所成角的取值范圍是（）汽B.4汽A.4以點D為原點,DA、DC、DDi所在直線分別為x、v、z軸建立空間直角坐標系,設正方體棱長為1,點P坐標為x,1x,xuuvBPx 1, x, x ,uuuvBC11,0,1uuvBP、uuivBC1的夾角為則cosuuv UULVBP BC1UU7| |UUIVBP| |BC12 c 22x，當x1 ,一，一時，cos 取取大值 3_ 1當x 1時，cos取取小值27t BG II AD1，.二BP與AD1所成角的取值

22、范圍是式汽6,3.故選D.二、填空題13.如圖，在直三棱柱 ABC AB1C1中，AB BC CC1 2, AC 273, m是AC的中點,則異面直線CB與CM所成角的余弦值為 .28【解析】在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB BC CCi 2, AC 20, M是AC的中點,BM AC , BM 4a3 1 .MA為x軸，MB為y軸，過M作AC的垂線為z軸,建立空間直角坐標系,則 C點,0,0 , Bi 0,1,2M 0,0,0 ,G 3,0,2uuv _ uuuuCB173,1,2 , MC173,0,2 ,設異面直線CBi與CiM所成角為，則cosuuv uuuvCB1 MCiuuv

23、CB11_j48 .728.異面直線CB1與CiM所成角的余弦值為142814.已知四棱錐 P ABCD的底面是菱形,BAD 60,PD 平面 ABCD,且 PD AB點E是棱AD的中點，F(xiàn)在PC上，若PF :FC 1: 2 ,則直線EF與平面ABCD所成角的3 7 4, ,2 6 3正弦值為僑案】4335【解析】以D點建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz,設菱形ABCD的邊長為2,則 D 0,0,0312 4E T, 2,0，F(xiàn) 0,3,3，uuv EF平面ABCD的一個法向量為n 0,0,1uuvcos EF,na A4312223742634, 3535即直線EF與平面ABCD所成角的正

24、弦值為4、353515 .設a , b是直線,b,向量a1在a上，向量bi在b上，a 1,1,1 ,bi(3,4,0),則所成二面角中較小的一個的余弦值為【解析】由題意，:ai1,1,1 ，b1( 3,4,0),/. cos a1,b1ai biai a1 a , b ,向量a1在a上，向量b1在b上,所成二面角中較小的一個余弦值為31531516.在四B隹P ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，PA 平面ABCD , AB 2 , ADBAD 120,PA x,則當x變化時，直線PD與平面PBC所成角的取值范圍是【答案】0, 6【解析】如圖建立空間直角坐標系，得B 0,2,033“2,2

25、丁P 0,0, x設平面PBC的法向量m0,2, x ,uuv373 uuvx, y,z , BC-, ,0 , PB22uuvBC m 0uuv ,得PB m 0uuv3 33又 PD2, T,uuv cos PD, m,2曲2由 1fl 后7隹 4x2 24三、解答題PD,17.如圖所示：四棱錐P ABCD ,底面ABCD為四邊形，AC BD , BC CD , PB平面 PAC 平面 PBD, AC 2a PCA 30 , PC 4,(1)求證：PA 平面ABCD;(2)若四邊形ABCD中,與平面PBD所成的角的正弦值為TBAD 120 , AB BC是否在PC上存在一點 M ,使得直線BM3 . 57-H-、.,右存在，求38PM的值，若不存在，請說明理由.MC【答案】(1)見解析；(2)存在,PMMC【解析】(1)設ACI BD O ,連接POQ BC CD, AC BD,O為BD中點又 Q PB PD , PO BD丁平面PAC 平面PBD ,平面PAC I平面PBD POBD 平面PAC ,而PA 平面PAC PA BD222在APCA中，由余弦定理得 PA PC AC 2PC ACcos30 ,PA2 16 12 2 4 2 向4 ,而 PA2 AC2 PC22PA ACP