第五章習題參考答案與提示

1、第五章習題參考答案與提示第五章數(shù)理統(tǒng)計初步習題參考答案與提示1. 在總體中隨機抽取一長度為36 的樣本，求樣本均值）3.6,52（2NXX落50.8到53.8之間的概率。答案與提示：由于）/,（2nNX（r 從所以50.853.80.8293PX<<=2.在總體中隨機抽取一長度為100的樣本，問樣本均值與總體均值的差的絕對值大 3 的概率是多少？）20,8（2NX答案與提示：由于2（,/XNn 5（T所以830.1336PX->=3設為來自總體nXXX,21）（入 *個樣本，X、分別為樣本均值和樣本方差。求2SXD 及。2ES答案與提示：此題旨在考察樣本均值的期望、方差以及樣

2、本方差的期望與總體期望、總體方差的關系，顯然應由定理5-1 來解決這一問題。2,DXDXESnn入入=4設是來自正態(tài)總體的隨機樣本，。試確定、b 使統(tǒng)計量4321XXXX，）30（2， N243221)32()2(XXbXXaX-+-=a刈艮從分布，并指出其自由度。2%答案與提示：依題意，要使統(tǒng)計量 X服從分布，則必需使及服從標準正態(tài) 分布。解得2x)2(212/1XXa-)32(432/1XXb-a=1/45； b=1/117。5.設X和Y獨立同分布和分別是來自N()032，921XXX，921YYY , , X和Y的簡單抽樣，試確定統(tǒng)計量 UXXYY=+112929 所服從的分布。答案與提

3、示：應用t 分布的定義，得UXXYY=+191292()t96.設隨機變量()Xtn(1n>),試確定統(tǒng)計量21YX折服從的分布。答案與提示：先由t分布的定義知nVUX=,再利用F分布的定義即可。 1第五章習題參考答案與提示)1,(12nFXY=。7.設總體X服從正態(tài)分布，而是來自總體)2,0(2N1521,XXXX勺簡單隨機樣本，試確定隨機變量)(221521121021XXXXY+=服從的分布。答案與提示：由于，)10(10/)4/4/(221021 x XX+)5(5/)4/4/(2215211 x XX+故 )5,10()(221521121021FXXXXY+=8設為來自正態(tài)總

4、體的一個樣本，nXXX,21),(2(t區(qū)NX知，求的極大似然估計。2 (T答案與提示：設為樣本的一組觀察值。則似然函數(shù)為nxxx,21XXX n12, , , n =-nixi=eL12)(22221)(T 1 (T Tt, (T (g(尸2- =()122212221 兀 oa n nxeiin，得的極大似然估計為2(T Eniixn122)(1?的(T9設 )1,( ( ，為來自正態(tài)總體 NXnXXX,21X的一個樣本，試求w的極大似然估計及矩估計。答案與提示：矩估計法和極大似然估計法是點估計的兩種常用方法，所謂矩估計法就是用樣本的某種矩作為總體的相應矩的估計，因此需要首先計算(或已知)

5、總體的某(幾)種矩，由于本題只涉及一個未知參數(shù)，故只要知道總體的某一種矩即可。極大似然估計可依據(jù)四個步驟來完成，其關鍵是正確構造似然函數(shù)。W的極大似然估計為11?niiXn=2。W的矩估計為11?niiXn=2。10 設為來自正態(tài)總體的一個樣本，求下述各總體的密度函數(shù)中的未知參數(shù)的矩估計及極大似然估計。nXXX,21( 1) ?<<+=,0,10,)1(),其它(xxxf0 0 0其中1-> 0為未知參數(shù)。 2第五章習題參考答案與提示 2) ?給二- ,0,0,0,),(1xxeaxxfaxa入入入其中入為未知參數(shù)，為常數(shù)。0>a 3) 3) ?>=-,0,0,)

6、(222/2 其它 xexxfx 0 0其中，0 0國味知參數(shù)。答案與提示：矩估計法和極大似然估計法是點估計的兩種常用方法，所謂矩估計法就是用樣本的某種矩作為總體的相應矩的估計，因此需要首先計算(或已知)總體的某(幾)種矩，由于本例只涉及一個未知參數(shù)，故只要知道總體的某一種矩即可。極大似然估計可依據(jù)內容提要中的四個步驟來完成，其關鍵是正確構造似然函數(shù)。(1)矩估計：0 =-211XX極大似然估計：ln 0 =-=E11nXiin。( 2)矩估計：1()?aaaaaX ?!?= o極大似然估計：EniaiXn(3)矩估計：兀0 X=。極大似然估計：2niixn 1221? 0 11設為總體 nX

7、XX， 21X的一個樣本，且X服從幾何分布，即 ,3,2,1,)1( 1=-= - kppkXP k，求的極大似然估計量。p答案與提示：極大似然估計為p=X/112 設為總體XXXpm,p 的極大似n12, , , X的一個樣本，且X服從參數(shù)為的二項分布，求 然估計量。答案與提示：的極大似然估計量為pp=mX/。13 設為來自總體nXXX，21X的一個樣本，且EX=w存在，問統(tǒng)計量（1）、一3一第五章習題參考答案與提示（2）是否為區(qū)的無偏估計。（ 1）；521524XXX+-（ 2）1211（234）10nnXXXX- +。答案與提示：依據(jù)無偏估計定義，521524XXX+不是 W的無偏估計；

8、1211（234）10nnXXXX-+M區(qū)的無偏估計。14.設總體X服從，為來自總體X的一個樣本，試問統(tǒng)計量（1）、2）、（3）是否為）,（2（T 區(qū) N321XXX , w的無偏估計，并從無偏估計中找出較好的一個。（ 1）121114243XXX+；（2）1221134123XXX+；（ 3）1213151023XXX+。答案與提示：依據(jù)無偏估計定義，統(tǒng)計量（1）、（2）、（3）均為小的無 偏估計。由有效估計定義可判斷121114243XXX+較好。15 .設某種元件的使用壽命 X的概率密度為?即-0000 xxexfx，02）;（）（2，其中0>0為未知參數(shù)。又設是nxxx，21X的

9、一組樣本觀察值，求0的極大似然估計值。答案與提示:構造似然函數(shù))(212)(0 0-=nixnieL Eniixne1)(220In 2niixnL1)(221n0ndLd21n=的(參數(shù)8無關)由條件，當8>X寸，()(22)(0 -=xexf 0 >0)所以當),min(L),min(?21nxxx=時，似然函數(shù)取得最大值，從而知21nxxx= 016 設總體X 的概率分布為X0 1 2 3P2 0 )1(2 0 0 -2 0 0 21-其中)210(<< 0是未知參數(shù)，利用總體 X的如下樣本值3, 1, 3, 0, 3, 1, 2， 4第五章習題參考答案與提示3,

10、求0的矩估計值和極大似然估計值。答案與提示：0的矩估計值為。4/1?= 0對于給定的樣本值，似然函數(shù)為，解得426)21()1(4)(0 0 0 0 -=L121372,1 ± = 0因2112137>環(huán)合題意，所以0的極大似然估計值為12137?-= 0。17 .隨機地從一批釘子中抽取16枚，測得其長度(單位cm)為2.14 ，2.10，2.13，2.15，2.13，2.12，2.13，2.10，2.15 ，2.12，2.14，2.10，2.13，2.11，2.14，2.11，設釘長服從正態(tài)分布，試就以下兩種情況求總體均值區(qū)的置信度為90%的置信區(qū)間：(1)若已知01.0=(

11、T (2)若0未知。答案與提示：(1)的置信度為0.90的置信區(qū)間是(；(2.1212.129),(2)的置信度為0.90的置信區(qū)間是。)1325.21175.2(,18.為了估計燈泡使用時數(shù)的均值區(qū)及標準差d測試10只燈泡，得1500=x小時，。如果已知燈泡使用時數(shù)服從正態(tài)分布，求總體均值 20=S»標 準差0的置信區(qū)間(置信度為0.95)。答案與提示：(1)的置信度為0.90的置信區(qū)間是；)32.1514,67.1485(2的置信度為 0.95的置信區(qū)間是(189.47,1333.33)；2 (T0的置信度為0.95的置信區(qū)間是(13.76,36.51)。19 隨機的取某種炮彈9

12、 枚做試驗，得炮口速度的樣本標準差(米/秒)。設炮口速度服從正態(tài)分布，求這種炮彈炮口速度的標準差11=S(r的95%的置信區(qū)間。答案與提示：。的置信度95%的置信區(qū)間為()7.43,21.10。20.隨機的從A批導線中抽取4根，從B批導線中抽取5根，測得電阻()為 QA批導線：0.143, 0.142, 0.143, 0.137,B 批導線：0.140， 0.142， 0.136， 0.138， 0.140，設測定數(shù)據(jù)分別來自正態(tài)總體、，且兩樣本相互獨立。又),(21(T 區(qū) N),(22(T 區(qū) N1卬2 H均為未知，試求2 (T21止選置信度為95%的置信區(qū)間。答案與提示:BAw區(qū)的0.9

13、5的置信區(qū)間為(-0.002, 0.006)21 設兩位化驗員A、 B 獨立地對某種聚合物含氯量用同樣的方法各作10次測定，其測定的樣本方差依次為，設、分別為5419.02=AS6065.02=BS2 A(T2B 6 卜 B5第五章習題參考答案與提示所測定的測定值總體的方差，兩總體均服從正態(tài)分布。試求方差比/的置信度為95%的置信區(qū)間。2 A(T2B(t答案與提示：方差比2221(T的置信度為0.90的置信區(qū)間是(0.222,3.601)。22由經(jīng)驗知某零件重量。技術革新后，抽了六個樣品，測得重量為(單位：g)14.7， 15.1， 14.8， 15.0， 15.2， 14.6，已知方差不變，

14、問平均重量是否仍為15? ()05.0,15(NX05.0=) %答案與提示：依題意需檢驗假設150=« H,經(jīng)計算知應接受，即認為平均重量仍是15。0H23原鑄造成品率的平均值為83.8%，今換用便宜的原料，成品率抽樣數(shù)據(jù)（%）如下：83.9，84.6，82.4，84.1，84.9，82.9，85.2，83.3，82.0，83.5，問原料代用后，成品率是否發(fā)生了變化？ （ =0.05答案與提示：依題意，可認為成品率這樣的計量值數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，因此該問題即為方差未知的情況下，檢驗成品率的平均值是否仍為83.8%。檢驗結果：原料代用后，成品率無顯著變化。24設某產(chǎn)品的生產(chǎn)工藝發(fā)生了改

15、變，在改變前后分別獨立測了若干件產(chǎn)品的某項指標，其結果如下：改變前：21.6，20.8，22.1，21.2，20.5，21.9，21.4；改變后：24.1，23.8，24.7，24.0，23.7，24.3，24.5，23.9。且假定產(chǎn)品的該項指標服從正態(tài)分布，求工藝改變前后該產(chǎn)品的此項指標穩(wěn)定狀況有無明顯改變（ =0.05 ?答案與提示：依題意，設工藝改變后的總體為X，工藝改變前的總體為Y，從而問題化為檢驗假設。）（211 2N）（222 2N=2102 ct H22 g檢驗結果：認為工藝改變前后該產(chǎn)品的此項指標穩(wěn)定狀況無明顯改變。25機床廠某日從兩臺機器生產(chǎn)的同一零件中，分別抽取若干個樣品測

16、量的長度如下第一臺機器：6.2，5.7，6.5，6.0，6.3，5.8，5.7，6.0，6.0，5.8，6.0；第一臺機器：5.6，5.9，5.6，5.7，6.0，5.8，5.7，5.5，5.5。問這兩臺機器的加工精度有無顯著差異（ =0.05 ?答案與提示：依題意，可認為樣品測量這樣的計量值數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，因此比較兩臺機器的加工精度有無顯著差異，即為檢驗假設2012:H2 （T （T成立與否。檢驗結果：認為兩臺機器的加工精度無顯著差異。26.測得兩批電子元件的樣本的電阻（Q）為第一批：0.140， 0.138， 0.143， 0.142， 0.144， 0.137， 6第五章習題參考答案與

17、提示第二批：0.135， 0.140， 0.142， 0.136， 0.138， 0.140。設兩批電子元件的電阻分別服從正態(tài)總體、，且兩樣本相互獨立。問這兩批電子元件的電阻有無顯著差異？（）,（21（T N）,（22（TNia =。.05答案與提示：顯然該問題為在方差相等但未知的情況下，對兩個正態(tài)總體均值是否相等的假設檢驗既要檢驗假設012112:,:HH.區(qū) W W W 二豐檢驗結果：認為兩批電子元件電阻均值相等，無顯著差異。27.假設0.50, 1.25, 0.80, 2.00是來自總體X的簡單隨機樣本值。已知服 從正態(tài)分布xYln=）1,（伯N（1）求X的數(shù)學期望EX （記EX為）；（

18、2）求b的 置信度為0.95的置信區(qū)間；（3）利用上述結果求b 的置信度為0.95的置信區(qū)間。答案與提示：（ 1）12EXe1 +=（ 2）由X： 0.50， 1.25， 0.80， 2.00得xYln=： -0.693， 0.223， -0.223， 0.693。從而得w的置信度為0.95的置信區(qū)間為（0.98,0.98）-。（ 3）由上述結果知95.098.098.0=<<- 區(qū) P即 95.05.098.05.05.098.0=<<+-eeeP亦即 95.039.4619.05.098.05.098.0=<<=<<+-bPebeP故 b 的

19、置信度為0.95的置信區(qū)間為。）39.4,619.0（28 .設總體X服從正態(tài)分布）,（2 N）0（ >從總體中抽取簡單隨機樣本，其樣本均值為nXXX221,）2（>n2niiXnX2121，求統(tǒng)計量21)2(XXXYniini-+= 2=+的數(shù)學期望EY。解法1：考慮)(,),(),(22211nnnnXXXXXX+，將其視為取自總體的簡單隨機樣本，則其樣本均值、樣本方差分別為 )2,2(2(T 區(qū) N=+=E)(11inniiXXnXXnnii2121=2=，1(2)121ni niiX X Xn+-211Yn=-，由于22)11(iY n所以。22)1(2)2)(1( (T(T -=-=nnEY解法2:記2='niiXnX11 , 2=+=''niinXnX11,顯然有 XXX' ' +'H=27第五章習題參考答案與提示)2(21XXXEEYniini-+= E=+=)()(21XXXXEniini ' ' -+ ' - 2=+)()(2)(212XXXXXXXXEniininii ' ' -+