橢圓的簡單幾何性質(zhì)(講課)

1、橢圓的簡單幾何性質(zhì)(講課)橢圓的簡單幾何性質(zhì)(講課)1.橢圓的定義橢圓的定義:到兩定點(diǎn)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和為常數(shù)（大于的距離之和為常數(shù)（大于|F1F2 |）的）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：3.橢圓中橢圓中a,b,c的關(guān)系是的關(guān)系是:a2=b2+c2|)|2(2|2121FFaaPFPF當(dāng)焦點(diǎn)在當(dāng)焦點(diǎn)在X軸上時(shí)軸上時(shí)當(dāng)焦點(diǎn)在當(dāng)焦點(diǎn)在Y軸上時(shí)軸上時(shí))0( 12222babyax)0( 12222babxay橢圓的簡單幾何性質(zhì)(講課)aF2F1OB2B1A1A2xycbB B2 2F F2 2O O叫橢圓的叫橢圓的特征三角形特征三角形.4.

2、求橢圓的方程：求橢圓的方程： “定、設(shè)、求定、設(shè)、求”.5.“相關(guān)點(diǎn)法相關(guān)點(diǎn)法”求軌跡方程或軌跡求軌跡方程或軌跡.橢圓的簡單幾何性質(zhì)(講課):)( 0)( 1 2222的的性性質(zhì)質(zhì)如如圖圖方方程程 babyax1.范范 圍圍:. ,:bybaxa 從從圖圖形形上上看看.,y 11; 11:222222222222所所圍圍成成的的矩矩形形內(nèi)內(nèi)故故整整個(gè)個(gè)橢橢圓圓位位于于從從方方程程上上看看axbybybbaxbyaxaaxbyax )0 ,( a)0 ,(a), 0(b), 0(b橢圓的簡單幾何性質(zhì)(講課)F2F1Oxy橢圓關(guān)于y軸對稱.橢圓的簡單幾何性質(zhì)(講課)F2F1Oxy橢圓關(guān)于x軸對稱.

3、橢圓的簡單幾何性質(zhì)(講課)A2A1A2F2F1Oxy橢圓關(guān)于原點(diǎn)對稱.橢圓的簡單幾何性質(zhì)(講課)從圖形上看，從圖形上看，橢圓關(guān)于橢圓關(guān)于x軸、軸、y軸、原點(diǎn)對稱軸、原點(diǎn)對稱從方程上看：從方程上看：（1）把）把x換成換成-x方程不變，圖象關(guān)于方程不變，圖象關(guān)于y軸對稱；軸對稱；（2）把）把y換成換成-y方程不變，圖象關(guān)于方程不變，圖象關(guān)于x軸對稱；軸對稱；（3）把）把x換成換成-x，同時(shí)把，同時(shí)把y換成換成-y方程不變，圖象方程不變，圖象 關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱.yxOP(x,y)P1(-x,y)P2(x,-y)P3(-x,-y)0( 12222babyax橢圓的簡單幾何性質(zhì)(講課

4、)0(12222babyax令令 x=0，得，得 y=？說明橢圓與？說明橢圓與 y軸的交點(diǎn)？軸的交點(diǎn)？令令 y=0，得，得 x=？說明橢圓與？說明橢圓與 x軸的交點(diǎn)？軸的交點(diǎn)？頂點(diǎn)：頂點(diǎn)：橢圓與它的對稱軸橢圓與它的對稱軸的四個(gè)交點(diǎn)，叫做橢圓的的四個(gè)交點(diǎn)，叫做橢圓的頂點(diǎn)頂點(diǎn). oyB2B1A1A2F1F2cab(0,b)(a，0)(0,-b)(-a，0)長軸、短軸長軸、短軸：線段：線段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的長軸分別叫做橢圓的長軸和短軸和短軸.a、b分別叫做橢圓的長半分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長軸長和短半軸長.橢圓的簡單幾何性質(zhì)(講課)練習(xí)一：練習(xí)一：1、已知橢圓的長軸、已知橢圓的長

5、軸A A1 1A A2 2和短軸和短軸B B1 1B B2 2，怎，怎樣標(biāo)出橢圓焦點(diǎn)的位置？樣標(biāo)出橢圓焦點(diǎn)的位置？ oB2B1A1A2aaccb因?yàn)橐驗(yàn)閍2=b2+c2,所以以橢圓短軸端點(diǎn)為所以以橢圓短軸端點(diǎn)為圓心圓心,a長為半徑的圓與長為半徑的圓與x軸的交點(diǎn)即為軸的交點(diǎn)即為橢圓焦點(diǎn)橢圓焦點(diǎn).F1F2橢圓的簡單幾何性質(zhì)(講課)練習(xí)一：練習(xí)一：2、求下列橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)：. 82)2(; 136100) 1 (2222yxyx)0 , 8()0 , 8)(1 (與)2 , 0()2, 0)(2(與橢圓的簡單幾何性質(zhì)(講課)上面橢圓的形狀有什么變化？Oxy扁平的程度不同扁平的程度不同橢圓的簡單幾何性

6、質(zhì)(講課)Oxy如圖，a不變，也即，a不變，把橢圓的焦距與長軸長的比 稱為橢圓的離心率離心率，用e表示，即acace b越小越小，橢圓越扁扁.c越大越大，橢圓越扁扁.222cba橢圓的簡單幾何性質(zhì)(講課)ace 離心率：橢圓的焦距與長軸長的比：離心率：橢圓的焦距與長軸長的比：叫做橢圓的離心率叫做橢圓的離心率.1離心率的取值范圍：離心率的取值范圍：2離心率對橢圓形狀的影響：離心率對橢圓形狀的影響：0erd000直線與橢圓相交直線與橢圓相交有兩個(gè)公共點(diǎn)；有兩個(gè)公共點(diǎn)；聯(lián)立直線與橢圓的方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程， 消元得到一元二次方程消元得到一元二次方程( (當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為0 0時(shí)

7、時(shí)) ) (2) (2)=0 =0 直線與橢圓相切直線與橢圓相切有且只有一個(gè)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；公共點(diǎn)； (3) (3)0 0 直線與橢圓相離直線與橢圓相離無公共點(diǎn)無公共點(diǎn)橢圓的簡單幾何性質(zhì)(講課)觀察圖形觀察圖形, ,可以發(fā)現(xiàn)可以發(fā)現(xiàn), ,利用平行于利用平行于直線直線l且與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)的且與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)的直線，可以求得相應(yīng)的最小距離直線，可以求得相應(yīng)的最小距離. .mml oxyF F1 1F F2 2例例 3 3 已知橢圓已知橢圓221259xy, ,直線直線 l: :45400 xy, ,橢橢圓上是否存在一點(diǎn)圓上是否存在一點(diǎn), ,到直線到直線l的距離最小的距離最小? ?最小距離是

8、多最小距離是多少少? ? 5分析：分析：作出直線作出直線l及橢圓（如圖）及橢圓（如圖）. .橢圓的簡單幾何性質(zhì)(講課)解解:由直線由直線l的方程與橢圓的方程可以知道，直線的方程與橢圓的方程可以知道，直線l與橢與橢圓不相交（為什么圓不相交（為什么?）.設(shè)直線設(shè)直線m平行于直線平行于直線l,則直線則直線m的方程可以寫成的方程可以寫成450.xyk222582250-yxkxk消消去去 ，得得，令方程令方程的根的判別式的根的判別式=0，得，得22644252250().kk224501259,xykxy 由由方方程程 組組橢圓的簡單幾何性質(zhì)(講課)解方程解方程，得，得122525,.kk 或或由圖可

9、知，當(dāng)由圖可知，當(dāng) k=25 時(shí)，直線時(shí)，直線 m 與橢圓的交點(diǎn)到直線與橢圓的交點(diǎn)到直線l 的距離最近，此時(shí)直線的距離最近，此時(shí)直線 m 的方程為的方程為 4x-5y+25=0. 直線直線 m 與直線與直線 l 間的距離間的距離 22|4025|1541414(-5)d 1541.41所以，最小距離是最大距離是最大距離是多少？多少？max2240256541414( 5) d橢圓的簡單幾何性質(zhì)(講課)變式練習(xí)：變式練習(xí)：當(dāng)m取何值時(shí),直線l：y=x+m與橢圓9x2+16y2=144相切、相交、相離？解：得：消去由,14416922yyxmxy,144)(16922mxx, 0144163225

10、22mmxx)14416(100102422mm,144005762m,55, 0時(shí)或即當(dāng)m;與橢圓相切l(wèi),555, 0時(shí)或即當(dāng)m;與橢圓相交l,55, 0時(shí)或即當(dāng)mm.與橢圓相離l橢圓的簡單幾何性質(zhì)(講課)題型二：弦長公式題型二：弦長公式設(shè)直線與橢圓交于設(shè)直線與橢圓交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)兩點(diǎn)，直線兩點(diǎn)，直線P1P2的斜率為的斜率為k弦長公式：弦長公式：221| | 1| 1ABABABxxkyyk可推廣到任意二次曲線可推廣到任意二次曲線212)1(xxk;4)()1(212212xxxxk221221)(11 (yykPP同理可得：.)11 (212yyk橢圓的簡單幾何性

11、質(zhì)(講課)例6、已知橢圓c的焦點(diǎn)F1 和F2 ,長軸長6,設(shè)直線y=x+2交橢圓c于A,B兩點(diǎn),求線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)及弦長. )0 ,22()0 ,22(解：解：,22, 3,ca由題意, 1,b所以. 1922yx所以標(biāo)準(zhǔn)方程為：),(),(),(002211yxMAByxByxA線段中點(diǎn)為設(shè)得：消去由,99222yyxxy, 02736102xx, 027104362,1027,5182121xxxx,590 x,2),(00上在直線又 xyyx,51200 xy所以橢圓的簡單幾何性質(zhì)(講課),1027,5182121xxxx,590 x,2),(00上在直線又 xyyx,51200 xy

12、所以例6、已知橢圓c的焦點(diǎn)F1 和F2 ,長軸長6,設(shè)直線y=x+2交橢圓c于A,B兩點(diǎn),求線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)及弦長. )0 ,22()0 ,22();51,59(即中點(diǎn)坐標(biāo)為由弦長公式得：2122124)(1xxxxkAB10274)518(22. 356橢圓的簡單幾何性質(zhì)(講課)變式練習(xí)：已知斜率為變式練習(xí)：已知斜率為1的直線的直線l過橢圓過橢圓 的右焦點(diǎn)，交橢圓于的右焦點(diǎn)，交橢圓于A,B兩點(diǎn)，求弦兩點(diǎn)，求弦AB之長之長222:4,1,3.abc解 由橢圓方程知( 3,0).F右焦點(diǎn):3.lyx直線 方程為22314yxxy258 380yxx消 得：1122( ,), (,)A x yB

13、 xy設(shè)12128 38,55xxxx22212121211()4ABkxxkxxxx58425192285.橢圓的簡單幾何性質(zhì)(講課)例例7已知橢圓已知橢圓 過點(diǎn)過點(diǎn)P(2，1)作一弦，使弦在這點(diǎn)被作一弦，使弦在這點(diǎn)被 平分，求此弦所在直線的方程平分，求此弦所在直線的方程.解：解：韋達(dá)定理法：利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式來構(gòu)造韋達(dá)定理法：利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式來構(gòu)造題型三：中點(diǎn)弦問題題型三：中點(diǎn)弦問題與橢圓方程聯(lián)立，消去與橢圓方程聯(lián)立，消去y得：得：還有沒有別的方法？還有沒有別的方法？橢圓的簡單幾何性質(zhì)(講課)例例 7 已知橢圓已知橢圓 過點(diǎn)過點(diǎn)P(2，1)引一弦，使弦在這點(diǎn)被引一弦，使弦

14、在這點(diǎn)被 平分，求此弦所在直線的方程平分，求此弦所在直線的方程.點(diǎn)差法：利用端點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，作差構(gòu)造點(diǎn)差法：利用端點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，作差構(gòu)造 出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率點(diǎn)點(diǎn)作差作差題型三：中點(diǎn)弦問題題型三：中點(diǎn)弦問題橢圓的簡單幾何性質(zhì)(講課)知識點(diǎn)知識點(diǎn)3：中點(diǎn)弦問題：中點(diǎn)弦問題點(diǎn)差法：點(diǎn)差法：利用端點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，作利用端點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，作差構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率差構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率112200( ,),(,),(,)A x yB xyABM xy設(shè)中點(diǎn)，0120122,2xxxyyy則有：1212AByykxx又2211221xyab22222

15、21xyab兩式相減得：2222221212()()0bxxayy1122( ,), (,)A x yB xy由在橢圓上，橢圓的簡單幾何性質(zhì)(講課)知識點(diǎn)知識點(diǎn)3：中點(diǎn)弦問題：中點(diǎn)弦問題2222221212()()0bxxayy由2221222212 yybxxa即2121221212 AByyxxbkxxayy直線和橢圓相交有關(guān)弦的中點(diǎn)問題，常用設(shè)而不求的直線和橢圓相交有關(guān)弦的中點(diǎn)問題，常用設(shè)而不求的思想方法思想方法 還有沒有別的方法？還有沒有別的方法？橢圓的簡單幾何性質(zhì)(講課)例例7已知橢圓已知橢圓 過點(diǎn)過點(diǎn)P(2，1)引一弦，使弦在這點(diǎn)被引一弦，使弦在這點(diǎn)被 平分，求此弦所在直線的方程平

16、分，求此弦所在直線的方程.所以所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得，整理得x+2y-4=0從而從而A ,B在直線在直線x+2y-4=0上上而過而過A,B兩點(diǎn)的直線有且只有一條兩點(diǎn)的直線有且只有一條解后反思：中點(diǎn)弦問題求解關(guān)鍵在于充分利用解后反思：中點(diǎn)弦問題求解關(guān)鍵在于充分利用“中點(diǎn)中點(diǎn)”這這一一 條件，靈活運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及韋達(dá)定理?xiàng)l件，靈活運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及韋達(dá)定理.題型三：中點(diǎn)弦問題題型三：中點(diǎn)弦問題橢圓的簡單幾何性質(zhì)(講課)變式練習(xí)：已知點(diǎn)P(4,2)是直線l被橢圓 所截得的線段的中點(diǎn),求l的方程.193622yx解：設(shè)直線l與橢圓交與A,B兩點(diǎn),A(x1,y1),B

17、(x2,y2),由題意：, 22, 422121yyxx且, 1936, 193622222121yxyx兩式相減得：, 093622212221yyxx, 0)(4)(22212221yyxx即, 0)(4)(21212121yyyyxxxx所以橢圓的簡單幾何性質(zhì)(講課)變式、已知點(diǎn)P(4,2)是直線l被橢圓 所截得的線段的中點(diǎn),求l的方程.193622yx, 0)(4)(22212221yyxx即, 0)(4)(21212121yyyyxxxx所以, 0)(16)(82121yyxx所以,211212xxyyk即),4(212xyl的方程為：所以直線. 421xy即：橢圓的簡單幾何性質(zhì)(講課)標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程圖圖 象象范范 圍圍對對 稱稱 性性頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)半半 軸軸 長長焦焦 距距a,b,c