圓錐曲線-弦的垂直平分線問(wèn)題

1、直線與圓錐曲線的位置矢系專題二：弦的垂直平分線問(wèn)題221 已知橢圓，T+ 2_ =l（a > bO）,A、B是橢圓上的兩點(diǎn)'線段AB的垂直平分線與X軸相交于點(diǎn) a b1,P(xo,0),證明:a2 * 4 b2a2 b2VXoV證明：設(shè)心，%), B(X2, y2)» 則中點(diǎn)M% X2 yi y2、22得kABy2 yi1X2 X-I 22222. 2.2 22222«2/22、2/2 2 >b x-ia yia b , b xa y2a b ,得 b (X2X)1a（y羿）022i 2即y22*c%,AB的垂直平分線的斜率kX2 Xi7XXia72 y

2、iX2X2AB的垂直平分線方程為X-XyiXi2y o時(shí),Xo2_y_2(x22x2Xi)2Xi(1X2a2Xi2a x2a2 b2a2 b2XiXo解：（法1）設(shè)橢圓±A（Xi ,yj的取值范圍，使得對(duì)于直線 I ： y 4xn,由方程組消去y得13X28nx 16n8n2 480 - Y135曰X-. X24n112n工 vn /zs /X n -2134n12n冃ri占M飲內(nèi)厶櫬為(1313 在直線y4xm上，n4 4n ,占M1313縫得nm4將式代入式得13x2 26mx169m2 480/A , B是橢圓上的兩點(diǎn)(26口尸4 13(169m248) 0 .解得/ m d1

3、313(法2)同解1得出n13413m,Xo( m) m.41341Vn-Xc4131m_44(m)13一m 3m，即M點(diǎn)坐標(biāo)為(m 4/A , B為橢圓上的兩點(diǎn)，M點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部,.(m)2(3mF 1431解得聾m 口 .1313(法3)設(shè)A(Xi,yj , B (X2,y2)是橢圓上矢于I對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線AB與I的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為(X。 y0 .A , B在橢圓上，22Xi yi21住214343兩式相減得 3(xi X2)(Xi X2)4<yi y2)(yi y2)0,即 3 2xo(xi X2) 4 2y0(yi y?) 0 .yy23Xo/、Xi X2，.Xi X24 y0又直

4、線a1，kAB k1，-3X04y。即 y3xo又M點(diǎn)在直線|上，二y° 4xom由，得M點(diǎn)的坐標(biāo)為(m,3m).以下同解法23、過(guò)點(diǎn)T (-1,0)作直線I與曲線N : y2X交于A、B兩點(diǎn)，在x軸上是否存在一點(diǎn) E( Xo,o)使得ABE是等邊三角形，若存在，求出直線的斜率存在，且不等于設(shè)直線i :yk(xA(Xi, ， BE y2)。卩消y整理，得1)x k2k2x2 (2k2由直線和拋物線交于兩點(diǎn),(2k21 尸 4k44k2由韋達(dá)定得：Xi理，X2則線段AB的中點(diǎn)為(2k21lkA2k) o線段的垂直平分線方程為:1k(x令y=0,得x。2 k22Q ABE為正三角形2k

5、212，則10',0)到直線AB的距離d為Jab o2Q|AB (Xi X2)2 (yi y2)2-.1 k22k31 4Q2k2I?解得k9滿足式135此時(shí)Xo 32321(a b 0)過(guò)點(diǎn)(1三廠且離心率ekx m(k 0)與橢圓交于不同的兩點(diǎn)號(hào)1寸'，即4b2 3a2()；1o2N，且線段MN的垂直解：(I)Q離心率e丄,2a(1)求橢圓方程；(n)若直線丨：y 1平分線過(guò)定點(diǎn)GC ,0)，求k的取值范圍。23 19又橢圓過(guò)點(diǎn)(1,3)'則三豈2 a 4by_3“)設(shè)M(Xi,yJ,N(X2, y2)，弦MN的中點(diǎn)A(x°,yo)1. (1)式代入上式，

6、解得,y kx m + 由 3x2 4y212得:022(3 4k )x 8mkx 4m 122Q直線I :y kx m(k 0)與橢圓交于不同的兩點(diǎn),64m2k24(3 4k2)(4m212)0,即 m24k2(1)由韋達(dá)定理得：X18mkX4k21 xix224m2 122 ，4kxz4mk則Xo4mk2kXo3 4 k23m3 4k'3m直線AG的斜率為：3 4QAG4mk3 4k224m2?32mk 3 4k由直線AG和直線MN垂直可得:2432ml?b3 4k2飛一，代入L)± "H 3 4k2 22,.22式，可得()4k 3,8k即k220則k空或k101