求展開(kāi)式系數(shù)的類(lèi)型及最大最小項(xiàng)

1、求展開(kāi)式系數(shù)的六種常見(jiàn)類(lèi)型求展開(kāi)式中的系數(shù)是高考?？碱}型之一，本文以高考題為例，對(duì)二項(xiàng)式定理試題中求展開(kāi)式系數(shù)的問(wèn)題加以歸類(lèi)與解析，供讀者參考。一、(a b)n(n N )型例 1. (x ，2y)10 的展開(kāi)式中x6y4項(xiàng)的系數(shù)是()(A) 840( B) 840( C) 210(D) 210解析：在通項(xiàng)公式Tr 1G；( .2y)rx10 r中令r =4，即得(x . 2y)10的展開(kāi)式中x6y4項(xiàng)的系數(shù)為C：0 (, 2)4 =840,故選 A。1 8 5例2. (X )展開(kāi)式中X5的系數(shù)為Vx818 _r35解析：通項(xiàng)公式Tr 1 C；x ()r ( 1)rC8x 2 ，由題意得8 r

2、 5，則r 2，故所求x5的系Jx2數(shù)為(1)2C；28。評(píng)注：常用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求二項(xiàng)展開(kāi)式中某特定項(xiàng)的系數(shù)，由待定系數(shù)法確定r的值。二、(a b)n (c d)m(n, m N )型例3. (x3 2)4 (x丄)8的展開(kāi)式中整理后的常數(shù)項(xiàng)等于 .xx解析；(x32)4 的通項(xiàng)公式為T(mén)r1C4(-)r(x3)4rC；(2)rx124r，令 12 4r 0,則 r 3,這時(shí)得xx(x3233)4的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為C：23 = 32, (xx!)8的通項(xiàng)公式為T(mén)k 1xC：(-)kx8k C：x8 2k ,令x8 2k 0，則k 4,這時(shí)得(x丄)8的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為C；=70,故(

3、x3 -)4 (x -)8的展開(kāi)式中常數(shù)xxx項(xiàng)等于 32 7038。例4.在(1 x)5(1 x)6的展開(kāi)式中，含x3的項(xiàng)的系數(shù)是()(A) 5(B) 5(C)10(D) 10解析：(1 x)5中x3的系數(shù) C；10,(1 x)6中x3的系數(shù)為 C； ( 1)3 20,故(1 x)5 (1 x)6的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為10,故選D。評(píng)注：求型如(a b)n (c d)m(n,m N)的展開(kāi)式中某一項(xiàng)的系數(shù)，可分別展開(kāi)兩個(gè)二項(xiàng)式，由多項(xiàng)式加減法求得所求項(xiàng)的系數(shù)。三、(a b)n (c d)m(n, m N )型例5. (x 2)5的展開(kāi)式中整理后的常數(shù)項(xiàng)為15_ 20丿2 1)(x2)7的展開(kāi)

4、式中x3項(xiàng)的系數(shù)是解析:(x的系數(shù)為c；(:例6.x(A )14略解:(xc8 c814,故2)7的展開(kāi)式中x、x81 x 1的展開(kāi)式中6 + C；( 2)4=1008。的系數(shù)分別為x5的系數(shù)是(C；( 2)6 和 C3( 2)4，故(x21)(x2)7 的展開(kāi)式中 x3項(xiàng)(B ) 141)8的展開(kāi)式中 x4、x5的系數(shù)分別為(C )28(D)28458C8和C8 ,故x 1 x 1 展開(kāi)式中x5的系數(shù)為x由多項(xiàng)式乘四、(ac)n (n N )型評(píng)注：求型如(a b)n(c d)m(n,m N )的展開(kāi)式中某一項(xiàng)的系數(shù)，可分別展開(kāi)兩個(gè)二項(xiàng)式,法求得所求項(xiàng)的系數(shù)。解法一x(-1. 2)5 =(|

5、 丄)52,通項(xiàng)公式Tk 1k需2色(-1、5 k),(專-)5k的通項(xiàng)公式為2x2 x2x2xTr1 c5r 5 kkX xr2(5 k r)C；kX52rkr 5,令 5 2rk0，則k2r5 ,可得k 1,r2 或k3,r1或k5,r0。x例 7. (x2,2)5的展開(kāi)式中整理后的常數(shù)項(xiàng)為1, r2時(shí)，得展開(kāi)式中項(xiàng)為1c5c：2空2 215、22 ；3,r1時(shí),，得展開(kāi)式中項(xiàng)為1 20.2 ；5,r0時(shí)，得展開(kāi)式中項(xiàng)為C；4 2 4 2 。綜上,x(x解法二: 2x x2)5=( 2x2.2x 2、5 (x、2)25(2x)5(x2)10(2x)5，對(duì)于二項(xiàng)式(X 2)10 中,Tr 1

6、 C；0X10(2)r，要得到常數(shù)項(xiàng)需10 r5，即r 5。所以，常數(shù)項(xiàng)為C：o C2)52563、. 2。2x 1解法三：(x 1 2)5是5個(gè)三項(xiàng)式(x2-2)相乘。常數(shù)項(xiàng)的產(chǎn)生有三種情況:x在5個(gè)相乘的三項(xiàng)式x(2力中，從其中一個(gè)取:，可得C51-C4 C3 (、2)3 20 = 2 ；2x1從其中兩個(gè)取，從另外3個(gè)三項(xiàng)式中選兩個(gè)取，從剩余的1個(gè)三項(xiàng)式2x中取常數(shù)項(xiàng)相乘，可得c5(1)2cfJ215 J2 ；從5個(gè)相乘的三項(xiàng)式(上-J2)中取常數(shù)項(xiàng)相乘，可得222 xC5 (、2)5=4、2。綜上，(X 1.、2)5的展開(kāi)式中整理后的常數(shù)項(xiàng)為2 x22評(píng)注：解法一、解法二的共同特點(diǎn)是：利

7、用轉(zhuǎn)化思想，把三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式來(lái)解決。解法三是利用二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)方法來(lái)解決問(wèn)題，本質(zhì)上是利用加法原理和乘法原理，這種方法可以直接求展開(kāi)式中的某特定項(xiàng)。五、(a b)m (a b)m 1 L (a b)n(m, n N ,1 m n)型2 6 2例8在(1 x) (1 x)(1 x)的展開(kāi)式中，x項(xiàng)的系數(shù)是 。(用數(shù)字作答)解析：由題意得x2項(xiàng)的系數(shù)為C； C； C： C； C： 35。例9.在(1 - x)5+ (1 x)6 + (1 x)7+ (1 x)8的展開(kāi)式中，含 x3的項(xiàng)的系數(shù)是()(A) 74(B) 121(C) 74(D) 1215459解析：(1 x)5+ (1 x)6+

8、(1 x)7+ (1 x)8=(1 x)1(1 x)(1 X) (1 X)1(1 x)x(1 x)5 中 x4 的系數(shù)為 C： 5 ,(1 x)9 中 x4的系數(shù)為一Cg 126 , 126+5= 121,故選 D。評(píng)注：例8的解法是先求出各展開(kāi)式中 x項(xiàng)的系數(shù)，然后再相加；例 9則從整體出發(fā)，把原式看作首相為(1 x)5，公比為(1 x)的等比數(shù)列的前4項(xiàng)和，用等比數(shù)列求和公式減少項(xiàng)數(shù)，簡(jiǎn)化了運(yùn)算。例8和例9的解答 方法是求(a b)m (a b)m 1 L (a b)n(m,n N ,1 m n)的展開(kāi)式中某特定項(xiàng)系數(shù)的兩種常規(guī)方法。六、求展開(kāi)式中若干項(xiàng)系數(shù)的和或差例10.若(12x)20

9、04 ao22004ax a?xaQomX(xR),則(a。aj(a。a2)(a。a3)(aoa2。4 )。(用數(shù)字作答)解析：在(12x)2004a。a222004xa24 x中，令 X 0，則 a。1 ,令x 1，則aoa1 a2a3a2。L ( 1)2。41故(ao a1)(a。a2)(a。a3)(a。玄2。4)=2003 ao +aoa1a2a3玄2。42004。例 11.(2x,3)4a0a1x2a?x34a3x a4x，則(a。a2 a4)2(可 a?)2的值為(A) 1(B)1(C)。(D) 2解析：在(2x、3)4a。dxa2x234出asX aqX 中，令x1，可得aoa1a

10、2a3a4(2-3)4,令x1,可得a0a1a2a3a4 (23)4所以，(a a?84)(aia3)=(aa2a4aia3)(aa2a4aia3)=(a0 a1 a2 a3 a4)(a0 a1 a2 a3 a4) = (2 、. 3)4 (2 . 3)4=i,故選 a。評(píng)注：求展開(kāi)式中若干項(xiàng)系數(shù)的和或差常采用“賦值法” 。賦值法是給代數(shù)式(或方程或函數(shù)表達(dá)式)中的某 些字母賦予一定的特殊值，從而達(dá)到便于解決問(wèn)題的目的，它普遍適用于恒等式，是一種重要的解題方法 。實(shí)際上賦值法所體現(xiàn)的是從一般到特殊的轉(zhuǎn)化思想，在高考題中屢見(jiàn)不鮮，特別是在二項(xiàng)式定理中的應(yīng)用尤為明顯，巧賦特值可減少運(yùn)算量。二項(xiàng)式中

11、“最大項(xiàng)、最小項(xiàng)”的求解策略二項(xiàng)式定理中涉及最大項(xiàng)、最小項(xiàng)的問(wèn)題比較多， 問(wèn)題的給出都是滿足一定條件的指定項(xiàng)或特殊項(xiàng)，通常都可以利用通項(xiàng)來(lái)解決在求解中，要注意系數(shù)的符號(hào)對(duì)求解的影響及項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的異同.1二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)問(wèn)題1例1 已知(2x)n的展開(kāi)式中，第5項(xiàng)、第6項(xiàng)、第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開(kāi)式中二項(xiàng)式2系數(shù)最大的項(xiàng).分析：要注意展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別，根據(jù)條件.先確定n的值，再根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求解.1解：(一2x)n的展開(kāi)式中，第5項(xiàng)、第6項(xiàng)、第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別為C：,C5，Cn 2由題意得 C： C： 2C；，即 n221n980 n = 7或

12、n = 14.當(dāng)n =7時(shí)，展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T(mén)4和T5, T4 C；)4(2x)3 35 x3, T5 C74(-)3(2 x)4 70x4 .2 2 2 當(dāng)n = 14時(shí)，展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T(mén)8, T8 C14(-)7(2x)7 3432x7 . 評(píng)注：求二項(xiàng)式(a b)n系數(shù)最大的項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，n為奇數(shù)時(shí)中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，n為偶數(shù)時(shí)中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.2二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)最大項(xiàng)問(wèn)題例2 已知(1 3x)n的展開(kāi)式中，末三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于121，求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng).解：末三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別為Cn 2,Cnn -,Cn ,由題設(shè)，得 C

13、n 2 C： 1 Cn 121，即 Cn2 cn 1 121 2 n n 240 0 , n 15(n16舍去).rrrr r5(3x)Ci5?3x,設(shè)Tr項(xiàng)，Tr 1項(xiàng)和Tr 2的系數(shù)分別為tr,tr1，和tr 2,則 tr CiV?3r 1,tM %?32 gW設(shè)tr 1最大，則G；?3r Ci7?3r1,C；5?3r CiV?3r 1可知r = 11或r =12.展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是T12 C15 ?311x11 ,T13 G； ?312x12 .例3 求(12x)7展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng).解：展開(kāi)式共有8項(xiàng)，系數(shù)最大的項(xiàng)必為正項(xiàng)，即在第一、三、五、七這四項(xiàng)中取得，又因(1 2x)7括號(hào)

14、內(nèi)的兩項(xiàng)中后項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值大于前項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值，故系數(shù)最大的項(xiàng)必在中間或偏右，故只需比較T5和T7兩項(xiàng)系數(shù)大小即可.系數(shù) C：( 2)6 2 1，所以系數(shù)最大的項(xiàng)是第五項(xiàng)，T5 c74( 2x)4 560x4 .T7系數(shù) C7( 2)4C7評(píng)注：求二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是不同的，需根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)的正、負(fù)變化情況， 一般采用列不等式，解不等式的方法求得，也可通過(guò)對(duì)問(wèn)題的分析和推理，使解題過(guò)程得到簡(jiǎn)化.3 .二項(xiàng)展開(kāi)式中指定項(xiàng)系數(shù)最大(小)項(xiàng)問(wèn)題例 4 已知 f (x)(1 x)m (12x)n(m, n2N )的展開(kāi)式中含x項(xiàng)的系數(shù)為11，求f (x)展開(kāi)式中x項(xiàng)系數(shù)的最小值.解： f ( X)= (CmCo) (cmcn)x (cm cO)x2 l11 Cm Cn 2 m 2n 11, m 11 2n22234n223n 55 = 4(n)82 35116n = 3時(shí)，上式有最小值 22.即f (x)展開(kāi)式中x2項(xiàng)系數(shù)的最小值是22.評(píng)注：對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題，可利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)，求出