菲克定律應(yīng)用

1、1擴(kuò)散動(dòng)力學(xué)方程一一菲克定律1.1菲克第一定律1.1.1宏觀表達(dá)式1858年，菲克（Fick）參照了傅里葉（Fourier）于1822年建立 的導(dǎo)熱方程，建立定量公式在t時(shí)間內(nèi)，沿x方向通過(guò)x處截面所遷移的物質(zhì)的量 m與x處的濃度梯度成正比：Cm A tx即如D（_C）Adtx根據(jù)上式引入擴(kuò)散通量概念，則1 .1 111C-C,Ci>c( C-C)有:繞擴(kuò)ft石原始狀畚盤(pán)蚌#態(tài)(7-1)圖7-1擴(kuò)散過(guò)程中溶質(zhì)原子的x分布1圖7-2溶質(zhì)原子流動(dòng)的方向與濃度降低的方向相一致ZU1J lx1圖7-3 一維擴(kuò)散的微觀式(7-1)即菲克第一定律。式中J稱為擴(kuò)散通量，常用單位是mol/ ( cm2

2、s);-C濃度梯度；xD擴(kuò)散系數(shù)，它表示單位濃度梯度下的通量，單位為 cm2/s 或 m2 / s ；負(fù)號(hào)表示擴(kuò)散方向與濃度梯度方向相 反見(jiàn)圖7-2。1.1.2微觀表達(dá)式微觀模型：設(shè)任選的參考平面1、平面2上擴(kuò) 散原子面密度分別為n1和n2,若n1=巳，則無(wú)凈擴(kuò)散流。假定原子在平衡位置的振動(dòng)周期為t則一個(gè)原子單位時(shí)間內(nèi)離開(kāi)相對(duì)平衡位置躍遷次數(shù)的平均值，即躍遷頻率為-(7-2)由于每個(gè)坐標(biāo)軸有正、負(fù)兩個(gè)方 向，所以向給定坐標(biāo)軸正向躍遷的幾率 是1。6設(shè)由平面I向平面2的跳動(dòng)原子通 量為J12，由平面2向平面1的跳動(dòng)原模型子通量為J21J126ni6門(mén)2(7-3)(7-4)注意到正、反兩個(gè)方向，則

3、通過(guò)平面 1沿x方向的擴(kuò)散通量為JiJ 12 J 21而濃度可表示為式(7-6)中的1表示取代單位面積計(jì)算,(7-5)(7-6)表示沿?cái)U(kuò)散方向的跳動(dòng)距離(見(jiàn)圖7-3)，貝卩由式(7-5)、式(7-6)得J1C1C216(6 C1)2 dCdx式(7-7)即菲克第一定律的微觀表達(dá)式，其中dCD(7-7)dx(7-8)式(7-8)反映了擴(kuò)散系數(shù)與晶體結(jié)構(gòu)微觀參量之間的關(guān)系，是擴(kuò)散 系數(shù)的微觀表達(dá)式。三維情況下，對(duì)于各向同性材料(D相同)，則C C C/-7 CJ Jx Jy Jz D(i j k ) D C(7-9)XXX式中： i j k為梯度算符。x x x對(duì)于各向異性材料，擴(kuò)散系數(shù) D為二階

4、張量，這時(shí)，xCxCJ xD11D12D13JyD 21D22D23J zD31 D32 D33x（7-10）對(duì)于菲克第一定律，有以下三點(diǎn)值得注意：（1）式（7-1）是唯象的關(guān)系式，其中并不涉及擴(kuò)散系統(tǒng)內(nèi)部原 子運(yùn)動(dòng)的微觀過(guò)程。（2）擴(kuò)散系數(shù)反映了擴(kuò)散系統(tǒng)的特性，并不僅僅取決于某一種 組元的特性。（3）式（7-1）不僅適用于擴(kuò)散系統(tǒng)的任何位置，而且適用于擴(kuò) 散過(guò)程的任一時(shí)刻。其中，J、D、衛(wèi)可以是常量，也可以是變量，x即式（7-1）既可適用于穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散，也可適用于非穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散。1.2菲克第二定律當(dāng)擴(kuò)散處于非穩(wěn)態(tài)，即各點(diǎn)的濃度隨時(shí)間而改變時(shí)，利用式（7-1） 不容易求出C（x,t）。但通常的擴(kuò)散過(guò)程

5、大都是非穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散，為便于求 出C（x,t），菲克從物質(zhì)的平衡關(guān)系著手，建立了第二個(gè)微分方程式。1.2.1 一維擴(kuò)散如圖7-4所示，在擴(kuò)散方向上取體積元Ax, Jx和Jx x分別表示流入體積元及流出體積元的擴(kuò)散通量，則在t時(shí)間內(nèi)，體積元中擴(kuò)散物質(zhì)的積累量為xm (JxA Jx xA) t圖7-4擴(kuò)散流通過(guò)微小體則有m J x J x xxA tx積的情況當(dāng)x、 t > 0時(shí)，有 -CJt x將式（7-1）代入上式得x(D(7-11) 如果擴(kuò)散系數(shù)D與濃度無(wú)關(guān)，則式（7-11）可寫(xiě)成2CD x2(7-12)般稱式（7-11）、式（7-12）為菲克第二定律。1.2.2三維擴(kuò)散（1）直角坐標(biāo)系中

6、(7-13)CCC-(D ) (D ) (D ) x x y y z z當(dāng)擴(kuò)散系數(shù)與濃度無(wú)關(guān)，即與空間位置無(wú)關(guān)時(shí),D( 2C2C2y2C2z(7-14)或簡(jiǎn)記為:D 2C(7-15)式中：22為L(zhǎng)aplace算符。z(2)柱坐標(biāo)系中通過(guò)坐標(biāo)變換則有:rC°s，體積元各邊為dr，rd ，dz， r si nCOrC 1 (rD t r r(7-16)D CC() (rD )rz z對(duì)柱對(duì)稱擴(kuò)散，且D與濃度無(wú)關(guān)時(shí)有7 P(r t r(7-17)(3)球坐標(biāo)系中通過(guò)坐標(biāo)變換r sin rsin r coscossin，體積元各邊為drrd ，r sin d ，則有:1sin(DsinC)-

7、2C22 Jsin(7-18)對(duì)球?qū)ΨQ擴(kuò)散，且D與濃度無(wú)關(guān)時(shí)有:(7-19)圖7-5菲克第一、第二定律的關(guān)系從形式上看，菲克第二定律表 示，在擴(kuò)散過(guò)程中某點(diǎn)濃度隨時(shí)間 的變化率與濃度分布曲線在該點(diǎn)的 二階導(dǎo)數(shù)成正比。女口圖7-5所示， 若曲線在該點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù) 一字大于x0，即曲線為凹形，則該點(diǎn)的濃度會(huì)隨時(shí)間的增加而增加，即-C >0;若曲線在該點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù) 一？小于tx0,即曲線為凸形，則該點(diǎn)的濃度會(huì)隨時(shí)間的增加而降低， 即+ V0 而菲克第一定律表示擴(kuò)散方向與濃度降低的方向相一致。從上述意義講菲克第一、第二定律本質(zhì)上是一個(gè)定律，均表明擴(kuò)散的結(jié)果總 是使不均勻體系均勻化，由非平衡逐漸達(dá)到

8、平衡。2菲克定律的應(yīng)用涉及擴(kuò)散的實(shí)際問(wèn)題有兩類其一是求解通過(guò)某一曲面(如平面、柱面、球面等)的通量 J, 以解決單位時(shí)間通過(guò)該面的物質(zhì)流量dm AJ ；dt其二是求解濃度分布C(x,t)，以解決材料的組分及顯微結(jié)構(gòu)控制，為此需要分別求解菲克第一定律及菲克第二定律。2.1 穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散及其應(yīng)用2.1.1 一維穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散考慮氫通過(guò)金屬膜的擴(kuò)散。如圖7-6所示，金屬膜的厚度為，取 x軸垂直于膜面。考慮金屬膜兩邊供氣與抽氣同時(shí)進(jìn)行， 一面保持高 而恒定的壓力P2，另一面保持低而恒定的壓力 P1。擴(kuò)散一定時(shí)間以后，金屬膜中建立起穩(wěn)定的濃度分布?xì)涞臄U(kuò)散包括氫氣吸附于金屬膜表面，氫分子分解為原子、離子,金*

9、71;KGO以及氫離子在金屬膜中圖7-6氫對(duì)金屬膜的一維穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散 的擴(kuò)散等過(guò)程。達(dá)到穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散時(shí)的邊界條件:C|x=0 =C2C| x= =CiCi、C2可由熱解反應(yīng) H2 H+H的平衡常數(shù)K確定，根據(jù)K的定K=產(chǎn)物活度積反應(yīng)物活度積設(shè)氫原子的濃度為C,則C2PC Kp S p（7-20）式（7-20）中S為西佛特（Sievert）定律常數(shù)，其物理意義是，當(dāng)空 間壓力p=1MPa時(shí)金屬表面的溶解濃度。式（7-20）表明，金屬表面 氣體的溶解濃度與空間壓力的平方根成正比。因此，邊界條件為：CC| x=o =Sp p2lC| x=S V pi（7-21）根據(jù)穩(wěn)定擴(kuò)散條件，有=（D ）=0t x x所

10、以=co nst = ax積分得C ax b（ 7-22）式（7-22）表明金屬膜中氫原子的濃度為直線分布，其中積分常數(shù)a、b由邊界條件式（7-21）確定C2SC.P1 P2)b C2 S p2(7-23)C(x)單位時(shí)間透過(guò)面積為A的金屬膜的氫氣量dcS ；DADAa DA(p1P2)dxdm JA dt由式（7-24）可知，在本例所示一維擴(kuò)散的情況下，只要保持(7-24)Pi、將常數(shù)a、b值代入式（7-22）得S -（ .,P1.、P2）X S P2P2恒定，膜中任意點(diǎn)的濃度就會(huì)保持不變，而且通過(guò)任何截面的流 量dm、通量J均為相等的常數(shù)。dt引入金屬的透氣率P表示單位厚度金屬在單位壓差（

11、以 MPa為 單位）下、單位面積透過(guò)的氣體流量P DS(7-25) 式中：D為擴(kuò)散系數(shù)，S為氣體在金屬中的溶解度，則有(7-26)J PC.Pi . P2）在實(shí)際應(yīng)用中，為了減少氫氣的滲漏現(xiàn)象，多采用球形容器、選用氫的擴(kuò)散系數(shù)及溶解度較小的金屬、以及盡量增加容器壁厚等。2.1.2柱對(duì)稱穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散史密斯（Smith）利用柱對(duì)稱穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散測(cè)定了碳在 鐵中的擴(kuò)散系 數(shù)。將長(zhǎng)度為L(zhǎng)、半徑為r的薄壁鐵管在1000C退火，管內(nèi)及管外 分別通以壓力保持恒定的滲碳及脫碳?xì)夥眨?dāng)時(shí)間足夠長(zhǎng)，管壁內(nèi)各點(diǎn)的碳濃度不再隨時(shí)間而變，即卡0時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)管壁的 碳量m/t為常數(shù)，其中m是t時(shí)間內(nèi)流入或流出管壁的碳量，按照

12、 通量的定義m2 rLt(7-27) 由非克第一定律式（7-1）有亠 DdC7-7圖一葉6 4 2 o s 6 4 2 h 1 1 o o o 沫 d條iE(su在1000C碳通過(guò)薄壁鐵2r Lt drm D(2 Lt)匹-d In r式中m、L、t以及碳沿管壁的徑向(7-28)分布都可以測(cè)量，D可以由C對(duì)Inr圖的斜率確定（見(jiàn)圖7-7）。從圖7-7還可以引出一個(gè)重要管的穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散中，碳的濃度的概念：由于m/t為常數(shù)，如果D分布不隨濃度而變，則dC也應(yīng)是常d I nr數(shù)，C對(duì)Inr作圖應(yīng)當(dāng)是一直線。但實(shí)驗(yàn)指出，在濃度高的區(qū)域，匹d I nr小，D大；而濃度低的區(qū)域，遲大，D小。由圖7-7算出，在

13、1000C, d I nr碳在 鐵中的擴(kuò)散系數(shù)為：當(dāng)碳的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為0.15 %時(shí)，D=2.5 10-7cm2/s;當(dāng)質(zhì)量分?jǐn)?shù)為 1.4%時(shí)，D=7.7 10-7cm2/s。可見(jiàn) D是濃度的函數(shù)，只有當(dāng)濃度很小時(shí)、或濃度差很小時(shí)，D才近似為常數(shù)。2.1.3球?qū)ΨQ穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散如圖7-8所示，有內(nèi)徑為ri、外徑為r2的球殼，若分別維持內(nèi)表面、外表面的濃度Ci、C2保持不變，則可實(shí)現(xiàn)球?qū)ΨQ穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散。邊界條件C |r r1 C1C | r r2C2由穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散，并利用 式(7-19)C D 2 C2 (r )t r r r得 r 2 -C constr圖7-8球殼中可實(shí)現(xiàn)球?qū)ΨQ穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散(7-29)解得 C a

14、r代入邊界條件，確定待定常數(shù)a,brir2(C2 C1)2 AC2r2C1r1Dri求得濃度分布C(r)ri r2 (C2Ci)C2r2Cirir(r2ri)ri(7-30)在實(shí)際中，往往需要求出單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)球殼的擴(kuò)散量dm，并利用衛(wèi)a的關(guān)系rdmdtdC D - drC2 C14 Dr訂2-D r-JA4 Da(7-31)而不同球面上的擴(kuò)散通量dm JAdt1 dm1- C -C iD右21rr-r14 r- dt（7-3-）可見(jiàn)，對(duì)球?qū)ΨQ穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散來(lái)說(shuō),圖7-9過(guò)飽和固溶體的析出圖7-10球形晶核的生長(zhǎng)過(guò)程在不同的球面上，罟相同，但J并不相同上述球?qū)ΨQ穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散的分析方 法對(duì)處理固態(tài)相變過(guò)程

15、中球形晶 核的生長(zhǎng)速率是很重要的。如圖7-9中的二元相圖所示， 成分為Co的單相固溶體從高溫 冷卻，進(jìn)入雙相區(qū)并在To保溫。此 時(shí)會(huì)在過(guò)飽和固溶體中析出成 分為C的 相，與之平衡的 相成分為C。在晶核生長(zhǎng)初期，設(shè) 相晶核半徑為ri，母相在半徑為D的球體中成分由Co逐漸降為C , 隨著時(shí)間由t°,ti,t2變化，濃度分布曲線逐漸變化，相變過(guò)程中各相成 分分布如圖7-10所示。一般說(shuō)來(lái)，這種相變速度較慢，而且涉及的范圍較廣，因此可將晶核生長(zhǎng)過(guò)程當(dāng)作準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散處理，即在晶核生長(zhǎng)初期任何時(shí)刻，濃度分布曲線保持不變。由球?qū)ΨQ穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散的分析結(jié)果式（7-31）,并利用ri>>2，即新相

16、晶核很小、擴(kuò)散范圍很大的條件。應(yīng)特別注意 分析的對(duì)象是內(nèi)徑為ri、外徑為r2的球殼，由擴(kuò)散通過(guò)球殼的流量 dm，其負(fù)值即為新相晶核的生長(zhǎng)速率。dtdm D 4尿空£ D 4 ri2蟲(chóng)上1dtr2 riri2 C0 C=D 4（7-33）ri應(yīng)注意式（7-33）與菲克第一定律的區(qū)別，因?yàn)槭街械?乞旦 并不 ri是濃度梯度。2.2非穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散非穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散方程的解，只能根據(jù)所討論的初始條件和邊界條件而 定，過(guò)程的條件不同方程的解也不同，下面分幾種情況加以討論。 7.2.2.i 一維無(wú)窮長(zhǎng)物體的擴(kuò)散無(wú)窮長(zhǎng)的意義是相對(duì)于擴(kuò)散區(qū)長(zhǎng)度而言，若一維擴(kuò)散物體的長(zhǎng)度大于4、.Dt，則可按一維無(wú)窮長(zhǎng)處理。由于

17、固體的擴(kuò)散系數(shù)D在10-210-12cm2s-1很大的范圍內(nèi)變化，因此這里所說(shuō)的無(wú)窮并不等同于 表觀無(wú)窮長(zhǎng)。設(shè)A，B是兩根成分均勻的等截面金屬棒，長(zhǎng)度符合上述無(wú)窮長(zhǎng) 的要求。A的成分是C2, B的成分是Ci。將兩根金屬棒加壓焊上， 形成擴(kuò)散偶。取焊接面為坐標(biāo)原點(diǎn)，擴(kuò)散方向沿X方向，擴(kuò)散偶成分隨時(shí)間的變化如 圖7-11所示。求解的擴(kuò)散方程為式（7-12）C tD 2Cx初始條件t=0 時(shí),C=Ci , (x > 0)C=C2 , (x v 0)(7-35)邊界條件t時(shí)，C=Ci , (x= g )C=C2 , (x= x )(7-36)ctJ-ABCt J- ct圖7-11擴(kuò)散偶成分隨時(shí)間

18、的變化左邊t右邊C tC _x_2t3/2dC d 2t2CD-Cx2C2x2（7-12）變成了一個(gè)常微分方程令dCd解得式(7-40)dC dd2C2Dr(7-38)代入式（7-38）得u22Ia exp()4D代入到匹du Dd(7-39)(7-40)u中，有求解擴(kuò)散方程的目的在于求出任 何時(shí)刻的濃度分布 C （x,t）可采用分 離變量法，拉氏變換法，但在式（7-12）,式（7-35）,式（7-36）的特 定條件下，采用波耳茲曼變換更為方 便，即令x/t（ 7-37） 代入式（7-12）dCa exp( )4D將上式積分,C a 0 exp(4D)d(7-41) 再令 /（2、D），則式（

19、7-41）可改寫(xiě)為C a 2! D 0 exp( C C2 a e d b2 0)d b a 0 exp( 2)d b(7-42)圖7-12用定積分表示濃度注意式（7-42）是用定積分，即 圖7-12中斜線所示的面積來(lái)表 示的，被積函數(shù)為高斯函數(shù) exp（ 2），積分上限為。exp(2)d根據(jù)高斯誤差積分(7-43)因?yàn)?/(2 . D) x/(2、Dt),利用邊界條件式(7-36)在t> 0時(shí)，分 別有2C C1 a e d b0故C1a b， C2a b2 2求出積分常數(shù)a, b分別為a2，b2 廠C1 C22(7-44)將式（7-44）代入式（7-428-32）有C 寧寧.2 ex

20、p(2)d(7-45)式（7-45）中的積分函數(shù)稱為高斯誤差函數(shù)，用erf（）表示（見(jiàn)圖7-12）,定義為erf()=笫 0 exp( 2)d(7-46)值對(duì)應(yīng)的erf（）值列于表7-1。這樣式（7-45）可改寫(xiě)成CC1C2C2C12 2erf ()(7-47)式（7-47）即為擴(kuò)散偶在擴(kuò)散過(guò)程中,溶質(zhì)濃度隨，即隨erf（）的變化關(guān)系式。（1）式（7-47）的用法給定擴(kuò)散系統(tǒng)，已知擴(kuò)散時(shí)間t，可求出濃度分布曲線C（x,t）。具體的方法是，查表求出擴(kuò)散系數(shù)D，由D、t以及確定的，求出x/(2.Dt)，查表 7-1 求出 erf()，代入式(7-47)求出 C(x,t)。 已知某一時(shí)刻C(x,t)

21、的曲線，可求出不同濃度下的擴(kuò)散系數(shù)。具體的方法是，由C(x,t)計(jì)算出erf()，查表7-1求出，t、x已知, 利用x/(2. Dt)可求出擴(kuò)散系數(shù)D。(2)任一時(shí)刻C(x,t)曲線的特點(diǎn) 對(duì)于x=0的平面，即原始接觸面，有=0，即erf(),因此該平面的濃度C0于恒定不變；在x，即邊界處濃度'有C Ci,C C2，即邊界處濃度也恒定不變。曲線斜率由式(C C2dCC2 Cie d x27-47)，式(7-48)2 1 22、Dt .(7-48)可以看出，濃度曲線關(guān)于中心(乞)是對(duì)稱的。隨著時(shí)間增加，曲線斜率變小，當(dāng)tx=0,時(shí),各點(diǎn)濃度都達(dá)到，實(shí)現(xiàn)了均勻化。2(3)拋物線擴(kuò)散規(guī)律由圖

22、7-12及式(7-47)可知，濃度C(x,t)與 有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,由于x/(2. Dt),因此C(x,t)與xr. t之間也存在對(duì)應(yīng)的關(guān)系，設(shè)K(C)是決定于濃度C的常數(shù)，必有式（7-49）稱為拋物線擴(kuò)散規(guī)律，其應(yīng)用范圍為不發(fā)生相變的擴(kuò)散。如圖7-13所示，若等濃度Ci的擴(kuò)散等 距離之比為1： 2： 3： 4,則所用的擴(kuò) 散時(shí)間之比為1: 4： 9： 16。圖7-13拋物線擴(kuò)散規(guī)律（4）式（7-47）的恒等變形式（7-47）可以寫(xiě)成CC2C12C2 C12erf (x）Co 1 erf（ ） CM ）(7-50)式中：C。C1 C22（a）鍍層的擴(kuò)散、異種金屬的擴(kuò)散圖7-14 一維無(wú)窮長(zhǎng)物體

23、擴(kuò)散的兩種 特殊情況當(dāng)C1=0時(shí)（鍍層的擴(kuò)散，異種金屬的擴(kuò)散焊），（b）真空除氣、表面脫碳如圖7-14（a），有C Co 1 erf（ ）（ 7-51） 當(dāng)Co=O時(shí)（除氣初期，真空除氣以及板材的表面脫碳等）如圖7-14（b），有CCierf ()(7-52)(5)近似估算由查表7-1可知，當(dāng) =0.5時(shí)，erf ( ) =0.52040.5,亦即當(dāng)x2=Dt時(shí)，根據(jù)式(7-51 )有CP.5Co。由于擴(kuò)散，如果某處的濃度達(dá)到初 始濃度的一半，一般稱該處發(fā)生了顯著擴(kuò)散。關(guān)于顯著擴(kuò)散，利用 x2=Dt，給出x可求t,給出t可求x。2.2.2半無(wú)窮長(zhǎng)物體的擴(kuò)散半無(wú)窮長(zhǎng)物體擴(kuò)散的特點(diǎn)是，表面濃度保持

24、恒定，而物體的長(zhǎng) 度大于4、Dt。對(duì)于金屬表面的滲碳、滲氮處理來(lái)說(shuō)，金屬外表面的 氣體濃度就是該溫度下相應(yīng)氣體在金屬中的飽和溶解度Co，它是恒定不變的；而對(duì)于真空除氣來(lái)說(shuō)，表面濃度為0，也是恒定不變的。鋼鐵滲碳是半無(wú)窮長(zhǎng)物體擴(kuò)散的典型實(shí)例。例如將工業(yè)純鐵在927 C進(jìn)行滲碳處理，假定在滲碳爐內(nèi)工件表面很快就達(dá)到碳的飽和 濃度(1.3%C)，而后保持不變，同時(shí)碳原子不斷地向里擴(kuò)散。這樣， 滲碳層的厚度、滲碳層中的碳濃度和滲碳時(shí)間的關(guān)系，便可由式(7-51)求得。初始條件，t=0，x>o，C=0;邊界條件，t>0，x=x，C=0; x=0，Co=1.3927C時(shí)的碳在鐵中擴(kuò)散系數(shù) D=

25、1.5X 10-7cm2 s-1，所以C 1.3 1 erf 1.3 1 erf 1.29 103 一2(1.5 10 7tVI滲碳10h(3.6 x104s)后滲碳層中的碳分布C 1.31erf(6.8x)在實(shí)際生產(chǎn)中，滲碳處理常用于低碳鋼，如含碳量為0.25%的鋼' 這時(shí)為了計(jì)算的方便，可將碳的濃度坐標(biāo)移到 0.25為原點(diǎn)，這樣就 可以采用與工業(yè)純鐵同樣的計(jì)算方法。2.2.3瞬時(shí)平面源在單位面積的純金屬表面涂上擴(kuò)散元素組成平面源，然后對(duì)接成擴(kuò)散偶進(jìn)行擴(kuò)散。若擴(kuò)散系數(shù)為常數(shù)，其擴(kuò)散方程為式（7-12）：當(dāng)t 0時(shí)，Cx0 ，Cx0 0(7-53)注意到涂層的厚度為0,因此方程式（7-12）的初始、邊界條件為當(dāng)t 0時(shí)，C x 0由微分知識(shí)可知,滿足方程式（7-12）及上述初始、邊界條件的解具有下述形式a1/2 expx24Dt(7-54)式中a是待定常數(shù)?？梢岳脭U(kuò)散物質(zhì)的總量M來(lái)求積分常數(shù)a,有Cdx(7-55)如果濃度分布由式（7-54）表示，并令2(7-56)x24Dt則有dx 2（Dt）1/2d，將其代入式（7-55） 得12a( D)2 2M 2aD2 e d將上式代入式（7-54）可得C expx22( Dt)24Dt(7-57)圖7-15示出了不同