高等數(shù)學(xué)第03章：導(dǎo)數(shù)ppt課件

1、第一節(jié)第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念一、導(dǎo)數(shù)概念的引例二、導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義 三、可導(dǎo)與延續(xù)的關(guān)系 四、小結(jié)一、導(dǎo)數(shù)概念的引例一、導(dǎo)數(shù)概念的引例例例1 1 變速直線運動的速度 ?)(0tv)(tss 0s-)(0ttsttsttstsv)()(00時，0 t ttsttstsvtvttt)()(limlimlim000000)(0tvv )(0ts-播放播放例例2 2 平面曲線的切線斜率 割線的極限位置切線？0 xxxoy)(xfy C如圖, 假設(shè)割線假設(shè)割線MN繞點繞點 M旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置MT,直線直線MT就稱為曲線就稱為曲線C在點在點M處的切線處的切線.極限位置即. 0

2、, 0 NMTMN).,(),(00yxNyxM設(shè)設(shè)的斜率為割線MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿沿曲曲線線的斜率為切線MT.)()(limtan000 xxxfxfkxx T NM二、導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義二、導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義1.導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念,)()(0);()()(00000000 xxyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy記為處的導(dǎo)數(shù),在點并稱這個極限為函數(shù)處可導(dǎo),在點則稱函數(shù)時的極限存在,比當(dāng)之與如果增量取得相應(yīng)地函數(shù)仍在該鄰域內(nèi))時,點(處取得增量在當(dāng)自變量內(nèi)有定義,的某個鄰域在點設(shè)函數(shù)定義定義1.)()(lim)(0

3、000hxfhxfxfh 其它方式其它方式:.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000,)(,000 xxxxxxdxxdfdxdyy或 記為即慢程度.而變化的快因變量隨自變量的變化反映了它處的變化率,點導(dǎo)數(shù)是因變量在點0 x內(nèi)可導(dǎo).在開區(qū)間就稱函數(shù)處都可導(dǎo),內(nèi)的每點在開區(qū)間如果函數(shù)IxfIxfy)()(關(guān)于導(dǎo)數(shù)的闡明：關(guān)于導(dǎo)數(shù)的闡明：.)(),(,)()(dxxdfdxdyxfyxfxfIx或?qū)Ш瘮?shù).記作的叫做原來函數(shù)定的導(dǎo)數(shù)值.這個函數(shù)的一個確都對應(yīng)著,對于任一xxfxxfyx)()(lim0即.)()(lim)(0hxf

4、hxfxfh或留意留意: :.)()(00 xxxfxf 右導(dǎo)數(shù):左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù): :;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 單側(cè)導(dǎo)數(shù)定義定義2 定理定理1 1 函數(shù)在點函數(shù)在點 處可導(dǎo)處可導(dǎo) 左導(dǎo)左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在且相等數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在且相等. . 0 x步驟步驟: :);()(xfxxfy求增量(1);)()(xxfxxfxy算比值(2).lim0 xyyx求極限(3)2.用定義求導(dǎo)數(shù)用定義求導(dǎo)數(shù) 例例3 3的導(dǎo)數(shù).為正整數(shù)求函數(shù))(nxyn解解hxhxx

5、nnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1nnnxx即更普通地,)(.)(1Rxx )( x例如,12121 x.21x )(1 x11)1( x.12x 例例4 4的導(dǎo)數(shù).求函數(shù)) 1, 0(logaaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 .log1)(logexxaa即.1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 .log1exa 例例5 5.)(sin)(sin,sin)(4xxxxxf及求設(shè)函數(shù) 解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(li

6、m0hhhxh .cos x .cos)(sinxx即44cos)(sin xxxx.22 例例6 6的導(dǎo)數(shù).求函數(shù)) 1, 0()(aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax .ln)(aaaxx即.)(xxee 例例7 7的導(dǎo)數(shù).為常數(shù))(求函數(shù)CCxf)(解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim. 0 . 0)(C即3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義xoy)(xfy )(,tan)()(,()()(0000為傾角即處的切線的斜率,在點表示曲線xfxfxMxfyxf切線方程為切線方程為:法線方程為法線方程為:).)(000 xx

7、xfyy ).()(1000 xxxfyy 0 xTM 4 , 2 解解 因因 ，由導(dǎo)數(shù)幾何意義，由導(dǎo)數(shù)幾何意義,曲線在曲線在 的切線與法線的斜率分別為的切線與法線的斜率分別為 于是所求的切線方程為于是所求的切線方程為 ，即即 法線方程為法線方程為 ， 即即 xy241141221kkykx，244xy044 yx2414xy0184 yx2xy 4 , 2 例例8 求曲線求曲線 在點在點 處的切線和法線方處的切線和法線方程程三、可導(dǎo)與延續(xù)的關(guān)系三、可導(dǎo)與延續(xù)的關(guān)系0 x證證可導(dǎo),在點設(shè)函數(shù)0)(xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)(limlim000 xxx

8、fyxx 0 .連續(xù)在點函數(shù)0)(xxf)0(0 x 定理2 假設(shè)函數(shù) 在點 處可導(dǎo)，那么 在點 處延續(xù) )(xfy)(xf0 x留意：定理留意：定理2 2的逆命題不成立的逆命題不成立. .例例9 9處連續(xù)但不可導(dǎo).在證明函數(shù)0)(xxxf由于xxfxfy00)0()0(0limlim00 xyxx1lim)0(0 xxfx1lim)0(0 xxfx),0()0(ff即點不可導(dǎo).在函數(shù)0)(xxfy點連續(xù).在函數(shù)0)(xxfy那么xxxyxx00limlim而證證1. 導(dǎo)數(shù)的本質(zhì):增量比的極限;3. 3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義: :切線的斜率切線的斜率; ;5. 函數(shù)可導(dǎo)一定延續(xù),但延

9、續(xù)不一定可導(dǎo)。4. 4. 求導(dǎo)數(shù)最根本的方法求導(dǎo)數(shù)最根本的方法: :由定義求導(dǎo)數(shù)由定義求導(dǎo)數(shù); ; 四、小結(jié)四、小結(jié)2. axf )(0 )(0 xf;)(0axf 例例2 2 平面曲線的切線斜率 切線？割線的極限位置例例2 2 平面曲線的切線斜率 切線？割線的極限位置例例2 2 平面曲線的切線斜率 切線？割線的極限位置例例2 2 平面曲線的切線斜率切線？割線的極限位置例例2 2 平面曲線的切線斜率切線？割線的極限位置例例2 2 平面曲線的切線斜率切線？割線的極限位置例例2 2 平面曲線的切線斜率切線？割線的極限位置例例2 2 平面曲線的切線斜率切線？割線的極限位置播放播放例例2 2 平面曲線

10、的切線斜率切線？割線的極限位置例例2 2 平面曲線的切線斜率切線？割線的極限位置第二節(jié)第二節(jié) 求導(dǎo)法那么求導(dǎo)法那么一、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法那么二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么 三、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 四、初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)五、隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 設(shè)函數(shù) 與 在點 處均可導(dǎo)，那么它們的和、差、積、商當(dāng)分母不為零時在點 處也可導(dǎo)，且有以下法那么 )(xu)(xvx一、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法那么一、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法那么定理定理1 1)()()()() 1 (xvxuxvxu2)()()()()()()()3(xvxvxuxvxuxvxu)()()()()()()2(xvxux

11、vxuxvxuuCCu )( 則,)(）（ 為常數(shù)若CCxvxx(1)求增量:給自變量一個增量 ，那么 )()()()()()()()(xvxuvxvuxuxvxuxxvxxuy)()()()(xvvxvvxuuxv)()()()(1xuxvxvxuxvvxvxy證(1)、(2)略.證證(3)(3)()(xvxuy 令(2)算比值: x (3)取極限:因在點 處可導(dǎo)，那么在該點處必延續(xù)，故當(dāng) 時, ， .0 x0u0v，)(xuxu，)(xvxv0 x又當(dāng) 時，20)()()()()(limxvxvxuxvxuxyx21( )( ) ( )v xv xv x)0)(xv所以，1)(xu特別地，

12、假設(shè)特別地，假設(shè) 那么可得那么可得公式公式定理推行：定理推行：; )( )()1 (11niiniixfxf; )()()()()()()()( )()2(1121211ninikkkinnniixfxfxfxfxfxfxfxfxf3(coslnsin5)yxxx3( )(cos )(ln )(sin5)xxxxxx1sin323coslnsin5yxxx.y例例1 設(shè)設(shè),求解解 例2 設(shè) ,求 解 xxy25y)2(52)( 5)25 (xxxxxxy2ln25225xxxx用類似地方法，可得 xxxxxxxxy2cos)(cossincos)(sincossin)(tanxxxxx2222

13、2seccos1cossincosxx2csc)(cot解解xytan例例3 3 求求 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)xx2sec)(tan即例例4 4 求求 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) xysecxxxxtansectancos1 用類似地方法，可得xxxcotcsc)(cscxxxtansec)(sec即xxxxy2cossincos1)(sec解解定理定理2且其導(dǎo)數(shù)為導(dǎo),可在點則復(fù)合函數(shù),可導(dǎo)在點而,可導(dǎo)在點如果函數(shù)x(x)fy(x)uf(u)yx(x)u即由外層向內(nèi)層逐層求導(dǎo)再相乘鏈導(dǎo)法即由外層向內(nèi)層逐層求導(dǎo)再相乘鏈導(dǎo)法ddddddyyuxuxxuxuyy 或)()()(xufxf或二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么二、復(fù)合函

14、數(shù)的求導(dǎo)法那么證證,可導(dǎo)在點由uf(u)y )(lim0ufuyu)0lim()(0uufuy故uuufy)(則xyx 0lim)(lim0 xuxuufxxuxuufxxx000limlimlim)().()(xuf),(),(),(xvvuufy設(shè) 的導(dǎo)數(shù)為則復(fù)合函數(shù) .)(dxdvdvdududydxdyxfy如三層復(fù)合，如三層復(fù)合， xvuxvuyy 或)()()()(xvufxf或 推行推行 對于多次復(fù)合的函數(shù)，其求導(dǎo)公式對于多次復(fù)合的函數(shù)，其求導(dǎo)公式類似，類似，221221)1 ()(lnxxxuxuyxu2ln(1)yx21lnxuuy， 解解 可看作是由可看作是由 復(fù)合而成的，

15、因此復(fù)合而成的，因此y)1ln(2xy例例5 5 設(shè)設(shè) ，求，求 2lnsin2xyy例例6 6 設(shè)設(shè) ，求，求 22lncos2221212lncos22222xxxxxxxy解解三、反函數(shù)的求導(dǎo)法那么三、反函數(shù)的求導(dǎo)法那么 假設(shè)單調(diào)延續(xù)函數(shù) 在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且 ，那么它的反函數(shù) 在對應(yīng)的區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且有)(yx0)( y)(xfy 定理定理31d1( )( )dddyf xyxxy或即即 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù). 因 是 的反函數(shù)，故可將函數(shù) 中的 看作中間變量，從而組成復(fù)合函數(shù) 上式兩邊對 求導(dǎo)，運用復(fù)合函數(shù)的鏈導(dǎo)法，得)(xfy )(yx)

16、()(xfyx)(yxyx證證1yxfdd1ddxyyx或因此1d1( )( )dddyf xyxxy或d( )0dxyy 是 的反函數(shù)，而 在 區(qū) 間 內(nèi) 單 調(diào) 且 可 導(dǎo) ，且 ，因此在對應(yīng)的區(qū)間 內(nèi)，有xyarcsinyxsinyxsin)22(，0cos)(sinyyy)1 , 1( 求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù) xyarcsin例例7 7解解2211sin11cos1)(sin1)(arcsinxyyyxx211)(arcsinxxx即21(arccos )1xxx 同理可得例例8 求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù) xyarctan 是 的反函數(shù)，而 在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)且可導(dǎo)，且 ,因此在對應(yīng)的區(qū)間 上，有xyarc

17、tanyxtanyxtan)22(，0sec)(tan2yyy),(解解2221111(arctan )(tan )sec1 tan1xyxyyyx 211)(arctanxx即21(arccot )1xx同理可得xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 1.常數(shù)和根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式常數(shù)和根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 四、初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)四、初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2

18、211)cot(11)(arccosxxxx arc2.函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法那函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法那么么設(shè)設(shè))(),(xvvxuu 可導(dǎo)，那么可導(dǎo)，那么1 vuvu )(, 2uccu )(3vuvuuv )(, 4)0()(2 vvvuvuvu.( ( 是常數(shù)是常數(shù)) )C 3.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy或的導(dǎo)數(shù)為 則復(fù)合函數(shù)而 設(shè) 留意：留意：(1)利用上述公式及法那么初等函利用上述公式及法那么初等函數(shù)求導(dǎo)問題可完全處理數(shù)求導(dǎo)問題可完全處理.(2)(2)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)初等

19、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù). .例例9 9 設(shè) ，求 3)sin2 (xxy2xy32(2sin ) 3(2sin ) (2sin )yxxxxxx解解 )cos2()sin2( 32xxx所以 22223(2sin ) (2cos )6(1)xxyxxx例例1010的導(dǎo)數(shù).求函數(shù)xxxy解解)(21 xxxxxxy)(211(21 xxxxxxx)211(211(21xxxxxx .812422xxxxxxxxxx )1 (1)1ln(222)1ln(2xxxxexx222212)1ln()1 (xxxxx解解 方法1y)1ln(22)1 (xxxexy函數(shù) 可以寫成)1ln(2xxey )1l

20、n(2)1ln(2xxexx所以例例11xxy)1 (2y求 將函數(shù) 兩邊取自然對數(shù)，即 兩邊對 求導(dǎo)，留意左端的 是 的函數(shù)，由鏈導(dǎo)法，有xxy)1 (2)1ln(ln2xxyxyx2222212)1ln(21)1ln(1xxxxxxxyy因此 222212)1ln()1 (xxxxyx方法2方法2稱為對數(shù)求導(dǎo)法，普通地對于函數(shù))0)()()()( xuxuxfxv)()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf )()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv )(ln)()(lnxuxvxf 稱為冪指函數(shù) 對數(shù)求導(dǎo)法除適用于冪指函數(shù)外

21、，還適用于多個因式連乘的函數(shù)解解 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式兩邊取對數(shù)得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求導(dǎo)得上式兩邊對x142)1(3111 xxxyy例例1212.,)4(1) 1(23yexxxyx求設(shè)五、隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定函數(shù)得導(dǎo)數(shù)五、隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定函數(shù)得導(dǎo)數(shù)定義定義: :.稱為隱函數(shù)由方程所確定的函數(shù))(xyy 形式稱為顯函數(shù).)(xfy 0),( yxF)(xfy 隱函數(shù)的顯化 問題:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)?隱函數(shù)求導(dǎo)法那么隱函數(shù)求導(dǎo)法那么: : 用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法那么直接對方程兩邊求導(dǎo).1.隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例

22、例1 1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的導(dǎo)數(shù)所確定的隱函數(shù)求由方程解解,求導(dǎo)方程兩邊對x0 dxdyeedxdyxyyx解得,yxexyedxdy , 0, 0yx由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 例例2 2.線通過原點在該點的法并證明曲線的切線方程,點上求過,的方程為設(shè)曲線C),(CxyyxC23233 33解解,求導(dǎo)方程兩邊對xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切線方程為)23(23 xy. 03 yx即2323xy法線方程為, xy 即顯然經(jīng)過原點.2.由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定

23、的函數(shù).稱此為由參數(shù)方程所確,間的函數(shù)關(guān)系與確定若參數(shù)方程 xytytx)()(例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去參數(shù)問題問題: : 消參困難或無法消參如何求導(dǎo)消參困難或無法消參如何求導(dǎo)? ?t)(1xy , 0)()(),(ttytx且都可導(dǎo),再設(shè)函數(shù)由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法那么得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy即),()(1xttx續(xù)的反函數(shù)具有單調(diào)連函數(shù) 設(shè) 中,在方程)()(tytx例例6 6解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy.

24、 1 方程.處的切線在求擺線 2)cos1 ()sin(ttayttax.),12(2ayaxt時,當(dāng) 所求切線方程為)12( axay)22(axy即211d1 321d22ttytkxt于是所求的切線方程為 xy例例15151t321ttytx求曲線 在 處的切線方程1t(0,0) 解曲線上對應(yīng) 的點為 ，曲線在1t處的切線斜率為六、高階導(dǎo)數(shù)六、高階導(dǎo)數(shù)x 假設(shè)函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù) 仍是 的可導(dǎo)函數(shù)，就稱 的導(dǎo)數(shù)為函數(shù) 的二階導(dǎo)數(shù),記作)(xf)(xfy)(xfy)(xfy 22d( )dyyfxx，22d( )df xx或 ( )( )( )yyfxf x ，即22ddddddyyxxx或 類

25、似地，這個定義可推行到的更高階的導(dǎo)數(shù), 而加速度 是速度對時間的導(dǎo)數(shù),是位置函數(shù)對時間的二階導(dǎo)數(shù),即 a22dd( )ddvsa ttt二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).)(tss 二階導(dǎo)數(shù)有明顯的物理意義:思索物體的直線運動，設(shè)位置函數(shù)為d( )dsv tt那么速度為如 階導(dǎo)數(shù) ( )( )dddd( )( )ddddnnnnnyf xfxyxxxx 次n例例16 設(shè)設(shè) ，求，求 xay )(ny2( )ln(ln )(ln )xxnxnyaayaayaa， ，解解 特別地， 根據(jù)高階導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)就是將函數(shù)逐次求導(dǎo)，因此，前面引見的導(dǎo)數(shù)運算法那么與導(dǎo)數(shù)根本公式，依然適用于高

26、階導(dǎo)數(shù)的計算( ), ( )xxxxeeeexnxee)()(,n 例例17 求求 次多項式函數(shù)次多項式函數(shù) 的的 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù) 是正整數(shù)是正整數(shù) nnnnaxaxaxay11101nn231202) 2)(1() 1( nnnaxannxanny 00)(!123) 2)(1(anannnyn0)1(ny1221102) 1(nnnnaxaxanxnay解解例例18 設(shè)設(shè) ，求，求 xysin)(ny解解 2sincos)(sinxxxy 22sin2cos2sinxxxy 23sin22sinxxy 2sin)(nxyn2sin)(sin)(nxxn即 同理可得 2cos)(cos)(nx

27、xn第三節(jié)第三節(jié) 微微 分分一、微分的概念二、微分的幾何意義三、微分的運算法那么四、微分在近似法那么中的運用x0 x 例例1 設(shè)有一個邊長為設(shè)有一個邊長為 的正方形金屬片，的正方形金屬片，受熱后它的邊長伸長了受熱后它的邊長伸長了 ，問其面積添加了，問其面積添加了多少？多少？Ax 正方形金屬片的面積與邊長 的函數(shù)關(guān)系為 由圖可以看出，2xA 解解一、微分的概念一、微分的概念A(yù)0 xxx0 受熱后，當(dāng)邊長由 伸長到 時，面積 相應(yīng)的增量為202020)(2)(xxxxxxAA從上式可以看出, 可分成兩部分:12) 2是 時，與 高階的無窮?。? xxx 的線性函數(shù) , 是 時， 與 同階的無窮小；

28、x0 x(1)A 這闡明，當(dāng) 很小時，(2)的絕對值要比(1)的絕對值小得多，可以忽略不計，即可用2)作為 的近似值： xxxA02A 定義1 設(shè)函數(shù) 在點 的某鄰域內(nèi)有定義，假設(shè)函數(shù) 在點 處的增量 可以表示為 ，其中 是與 無關(guān)的常數(shù)， 是當(dāng) 時比 高階的無窮小，那么稱函數(shù) 在點 處可微， 稱為 在點 處的微分，記作)(xfy 0 x)(xf0 x)()(00 xfxxfy)( xoxAyx)( xo 0 xx)(xf0 xxA)(xf0 x0dx xy0dx xyA x或于是0 xxdyxAy由此引進函數(shù)微分的概念： 導(dǎo)數(shù)一種比值的極限，即函數(shù)增量與自變量增量之比當(dāng)自變量增量趨于零時的極

29、限. 微分函數(shù)增量的近似值，即自變量獲得微小增量時函數(shù)值增量的近似值. 那么，導(dǎo)數(shù)與微分之間存在什么樣的聯(lián)絡(luò)呢？可以證明，函數(shù)可以證明，函數(shù) 在點在點 處可微處可微 )(xf0 x函數(shù) 在點 處可導(dǎo)；并且有)(xf0 x)(0 xfA于是 自變量的微分：通常把自變量的增量 記為 ，稱為自變量的微分.于是xdx)(xf 可微函數(shù)：假設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)每一點都可微，那么稱該函數(shù)在 內(nèi)可微，或稱函數(shù) 是在 內(nèi)的可微函數(shù)此時， ),(ba),(ba)(xf),(ba00d( )dxxyf xx00d( )x xyf xxd( )dyf xx 函數(shù) 在 內(nèi)恣意一點 處的微分記 為 ，即)(xf),(ba

30、xd y由此有，d( )dyf xx 因此，通常把函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分的運算統(tǒng)稱為微分法在高等數(shù)學(xué)中，把研討導(dǎo)數(shù)和微分的有關(guān)內(nèi)容稱為微分學(xué) 因此，微分與導(dǎo)數(shù)嚴(yán)密相關(guān)，求出了導(dǎo)數(shù)立刻可得微分，求出了微分亦可得導(dǎo)數(shù)， 例例2 求函數(shù)求函數(shù) 當(dāng)當(dāng) ， 時的微分時的微分 12 xy1x01. 0 x2d(1)2yxxx x 解解 函數(shù)在恣意點的微分函數(shù)在恣意點的微分 110.010.01d20.02xxxxyx x 于是r2rsr 例例3 半徑為半徑為 的圓的面積為的圓的面積為 當(dāng)半徑增當(dāng)半徑增大大 時，求圓面積的增量與微分時，求圓面積的增量與微分222()2()srrrr rr d2.rssrr r 面積的微分為面積的增量解解 當(dāng)自變量 有增量 時，切線 的縱坐標(biāo)相應(yīng)地有增量xxMTtan( )dPxf xxy Q二、微分的幾何意義二、微分的幾何意義MTMT)(xfy ),(yxMtan( )f x 過曲線 上一 點 作切線 ，設(shè) 的傾角為 ，那么x 當(dāng) 有增量 時，曲線 在對應(yīng)點 處的切線的縱坐標(biāo)的增量 x),(yxMd y)(xfy d( )yf xx因此，微分 幾何上表示:)(xfy yM 用 近似替代 ,就是用曲線 在點 處的切線縱坐標(biāo)的增量近似替代曲線 的縱坐標(biāo)的增量.)(xfy dy