任意角的三角函數(shù)教學(xué)案例設(shè)計(jì)1

1、任意角的三角函數(shù) 教學(xué)案例設(shè)計(jì) 1 1一、 教學(xué)內(nèi)容分析：高一年普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)教科書數(shù)學(xué)（必修 4 4）（人教 版 A A 版）第 1212 頁 1.2.11.2.1 任意角的三角函數(shù)第一課時(shí)。本節(jié)課是三角函數(shù)這一章里最重要的一節(jié)課，它是本章的基礎(chǔ)，主要是從通過問題引導(dǎo)學(xué)生自主探究任意角的三角函數(shù)的生 成過程，從而很好理解任意角的三角函數(shù)的定義。在課程標(biāo)準(zhǔn)中：三角函數(shù)是基本初等函數(shù)， 它是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模 型，在數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域中具有重要的作用。課程標(biāo)準(zhǔn)還要求我們借助單位圓去理解任意角的三角函數(shù)（正弦、余弦、正切） 的定義。在本模塊中，學(xué)生將通過實(shí)例學(xué)習(xí)三角函數(shù)及其基本性質(zhì)，體會(huì)三角函

2、數(shù)在解決具有變化規(guī)律的問題中的作用。二、 學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析我們的課堂教學(xué)常用“高起點(diǎn)、大容量、快推進(jìn)”的做法，忽略了知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程， 以騰出更多的時(shí)間對(duì)學(xué)生加以反復(fù) 的訓(xùn)練，無形增加了學(xué)生的負(fù)擔(dān)，泯滅了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。我們 雖然刻意地去改變教學(xué)的方式， 但仍太多舊時(shí)的痕跡，若為了新 課程而新課程又會(huì)使得美景變成了幻影， 失去新課程自然與清純 之味。所以如何進(jìn)行普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) （實(shí)驗(yàn)）（以下簡(jiǎn) 稱課程標(biāo)準(zhǔn)）的教學(xué)設(shè)計(jì)就很值得思考探索。如何讓學(xué)生把對(duì)初 中銳角三角函數(shù)的定義及解直角三角形的知識(shí)遷移到學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)的定義中?普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）解讀中在三角函數(shù)的教學(xué) 中，教師

3、應(yīng)該關(guān)注以下兩點(diǎn)：第一、根據(jù)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)豐富的情境，例如單調(diào)彈 簧振子，圓上一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，以及音樂、波浪、潮汐、四季變化等 實(shí)例，使學(xué)生感受周期現(xiàn)象的廣泛存在， 認(rèn)識(shí)周期現(xiàn)象的變化規(guī) 律，體會(huì)三角函數(shù)是刻畫周期現(xiàn)象的重要模型以及三角函數(shù)模型 的意義。第二、 注重三角函數(shù)模型的運(yùn)用即運(yùn)用三角函數(shù)模型刻畫和 描述周期變化的現(xiàn)象（周期振蕩現(xiàn)象），解決一些實(shí)際問題，這 也是課程標(biāo)準(zhǔn)在三角函內(nèi)容處理上的一個(gè)突出特點(diǎn)。根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的指導(dǎo)思想，任意角的三角函數(shù)的教學(xué)應(yīng) 該幫助學(xué)生解決好兩個(gè)問題：其一：能從實(shí)際問題中識(shí)別并建立起三角函數(shù)的模型；其二：借助單位圓理解任意角三角函數(shù)的定義并認(rèn)識(shí)其定義 域、函

4、數(shù)值的符號(hào)。三、設(shè)計(jì)理念：本節(jié)課通過多媒體信息技術(shù)展示摩天輪旋轉(zhuǎn)及生成的圖像，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來源于生活， 數(shù)學(xué)應(yīng)用于生活，激發(fā)同學(xué)們學(xué) 習(xí)的樂趣。并通過問題的探究，體驗(yàn)“數(shù)學(xué)是過程的思想”，改變課程實(shí)施過程于強(qiáng)調(diào)接受學(xué)習(xí)，死記硬背，機(jī)械訓(xùn)練的現(xiàn)狀， 倡導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與，樂于探究，勤于動(dòng)手，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)生收集和處理信息的能力，獲得新知識(shí)的能力，分析與解決問題的能力以 及交流合作的能力。四、教學(xué)目標(biāo)：1 1 借助摩天輪的情景問題很好地融合初中對(duì)三角函數(shù)的定義，也能很好入在直角坐標(biāo)系中，很好將銳角二角函數(shù)的定 義向任意角的三角函數(shù)過渡，從通過問題引導(dǎo)學(xué)生自主探究 任意角的三角函數(shù)的生成過程，從而很好理

5、解任意角的三角 函數(shù)的定義；2.2. 從任意角的三角函數(shù)的定義認(rèn)識(shí)其定義域、函數(shù)值的符號(hào);3.3. 能初步應(yīng)用定義分析和解決與三角函數(shù)值有關(guān)的一些簡(jiǎn)單問題。五、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：1.1.教學(xué)重點(diǎn)：任意角三角函數(shù)的定義. .2.2. 教學(xué)難點(diǎn)：正弦、余弦、正切函數(shù)的定義 域. .具體設(shè)計(jì)如下：六、教學(xué)過程第一部分一一情景引入問題 1:1:如圖是一個(gè)摩天輪，假設(shè)它的中心離地面的高度為ho，它的直徑為 2R,2R,逆時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)一周需要360360秒，若現(xiàn)在你坐在座艙中，從初始位置0A0A 出發(fā)（如圖 1 1 所示），過了 3030 秒后，你離地面的高度h為多少？過了 4545 秒呢？過了t

6、秒呢？【設(shè)計(jì)意圖】：高中學(xué)生已經(jīng)具有豐富的生活經(jīng)驗(yàn)和一定的科學(xué)知識(shí)，因此選擇感興趣的、與其生活實(shí)際密切相關(guān)的素材，此情景設(shè)計(jì)應(yīng)該有助于學(xué)生對(duì)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展的理解。這個(gè)數(shù)學(xué)模型很好融合初中對(duì)三角函數(shù)的定交，也能放在直角坐標(biāo)系中， 很好地將銳角三角函數(shù)的定義向任意角三角函數(shù)過渡，揭示函數(shù)的本質(zhì)。第二部分一一復(fù)習(xí)回顧銳角三角函數(shù)讓學(xué)生自主思考如何解決問題：“過了 3030 秒后，你離地面的高度為多少？”sin：=|MP =|MPJ - | MP Rsin爲(wèi)二| PH F h0Rsin : |OP | R=h = h0Rsin :所以學(xué)生很自然得到【學(xué)生自主探究】：學(xué)生很容易得到“過了 3030 秒后

7、，過PO了 4545 秒，你離地面的高度h為多少？”h1= h0Rsi n 30h2二h0Rsin 45【教師總結(jié)】：t在銳角的范圍中，h = h0Rsin t第三部分-引入新課問題 3 3 :請(qǐng)問t的范圍呢？隨著時(shí)間的 推移， 你離地面的咼度h為多少？能不能猜想h = hRsint0？【分析】：若想做到這一點(diǎn)，就得把銳角的正弦推廣到任意角的正弦。今天我們就要來學(xué)習(xí)任意角的三函數(shù)角函數(shù)。問題 4 4 :如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P(xp,yp),能你用直角坐標(biāo)系中角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來表示銳角:的正弦函數(shù)的定義 嗎？能否也定義其它函數(shù)(余弦、正切)？【學(xué)生自主探究】：sin常吒問題 5 5:改變

8、終邊上的點(diǎn)的位置，這三個(gè)比值會(huì)改變嗎？為什么？【分析】：先由學(xué)生回答問題，教師再引導(dǎo)學(xué)生選幾個(gè)點(diǎn)，計(jì)算比值，獲得具體認(rèn)識(shí)，并由相似三角形的性質(zhì)證明?！驹O(shè)計(jì)意圖】：讓學(xué)生深刻理解體會(huì)三角函數(shù)值不會(huì)隨著終 邊上的點(diǎn)|OM |OP|XpR，tan二|MP |OM |ypXp的位置的改變而改變，只與角有關(guān)系。通過摩天輪的演示，讓學(xué)生感受到第一象限角的正弦可以跟 銳角正弦的定義一樣。問題 6 6:大家根據(jù)第一象限角的正弦函數(shù)的定義，能否也給 出第二象限角的定義呢？【學(xué)生自主探究】：學(xué)生通過上面學(xué)生定義好第二象限角后，讓學(xué)生自己算出摩天輪座艙在第150150 秒 時(shí)，離地面的高度h？通過摩天輪知道：h0R

9、sin15O0二m =h0 Rsin 300由此得到：sin 150-2【設(shè)計(jì)意圖】：通過這個(gè)，讓學(xué)生檢驗(yàn)sin:一型巳二上在第二|OP | R象限角是否正確？問題 7 7 :sin；：MP 1在第三象限角或第四象限能成立嗎？|OP|【設(shè)計(jì)意圖】：讓學(xué)生通過模型，檢驗(yàn)定義是否正確，從中 讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)正、負(fù)符號(hào)的偏差。（可以讓學(xué)生取t=210，從而h二h。Rs in 21O0,得到sin 21O0=-1，發(fā)現(xiàn)這與sin=型巳不相符，實(shí)際上是sin|MP_|）2|OP |OP|【教師總結(jié)】：我們通過個(gè)模型知道如何在某些范圍內(nèi)如何 計(jì)算自已已知知識(shí)得到sin , LMP!|OP|yPR此時(shí)離地面的

10、高度，用數(shù)學(xué)模型h二hRsint來表示，當(dāng)摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)，角度的概念也不知不覺地推廣到任意角，對(duì)于任意角的正弦不能只是依賴于角所在的直角三角形中的對(duì)邊的長 度比斜邊長度了，我更應(yīng)該用點(diǎn) P P 的橫坐標(biāo)來代替|MP |或一|MP|， 那么這樣就能夠很好表示出正弦的函數(shù)任意角的定義。第三部分一一給出任意角三角函數(shù)的定義如圖 3,3,已知點(diǎn)P(x,y)為角：終邊上的點(diǎn)，點(diǎn)P到頂點(diǎn)O的距離/兀k)2讓學(xué)生通過剛才的模型進(jìn)一步體驗(yàn)任意角三角函問題 8 8:當(dāng)摩天輪的半徑 R=R= 1 1 時(shí)，三角函數(shù)的定義會(huì)發(fā)生 怎樣的變化。【學(xué)生自主探究】:sin =y,cos x,tan =-。x教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對(duì)比

11、，學(xué)生通過對(duì)比發(fā)現(xiàn)取到原點(diǎn)的距離 為 1 1 的點(diǎn)可以使表達(dá)式簡(jiǎn)化。教師進(jìn)一步給出單位圓的定義給出下列表格，讓學(xué)生自己補(bǔ)充完整。ysin:Rxcos：Rytan：x【分析】：(:R)(:R)數(shù)的定義要點(diǎn):點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)、點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離。定義二: 三角函數(shù)定義一 ：|OP|=1|0P F R_yR定義域可以很容易得到本題答案。不妨讓學(xué)生取R=|0P|=4，能否也得到點(diǎn) P P 的坐標(biāo)，得到的三 角函數(shù)值是COS :-x* 三RRtanyy二k二xx2及時(shí)歸納總結(jié)例 1.1.（課本 P14P14 例 2 2）已知角：終邊經(jīng)過點(diǎn)Po（3,_4），求角 的正弦、余弦和正切值?！痉治觥浚鹤寣W(xué)生現(xiàn)學(xué)現(xiàn)賣，得

12、用上面的定義二就可以得到答案。例 2.2.（課本 P14P14 例 1 1）求土的正弦、余弦和正切值。3【學(xué)生自主探究】：讓學(xué)生自己思考并獨(dú)立完成。然后與課本的解答相對(duì)比一下，發(fā)現(xiàn)本題的難點(diǎn)?！窘處熤v解】：本題題意很簡(jiǎn)單，但是如何入手卻是難點(diǎn)，關(guān)鍵是對(duì)本節(jié)課的三角函數(shù)定義的要點(diǎn)有沒有領(lǐng)會(huì)清楚（任意角三角函數(shù)的定義要點(diǎn)：點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)、點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離），因此本題的重點(diǎn)之處是如何利用單位圓找到這個(gè)點(diǎn)P P，如圖 4 4可以知道.p0M-，又點(diǎn)p在第四象限，得到時(shí)于，這樣就O否與單位圓的一樣。 這樣可以讓學(xué)生更深刻體驗(yàn)三角 函數(shù)的定義。第四部分一一鞏固練習(xí)練習(xí) 1.1.例 2 2 變式求匸的正弦、余弦

13、和正切值。6練習(xí) 2 2 問題 9 9:通過觀察摩天輪的旋轉(zhuǎn)， 三角函數(shù)的角的終 邊所在象限不同，請(qǐng)說說三角函數(shù)在各個(gè)象限內(nèi)的三角函數(shù)值的 符號(hào)？獨(dú)立完成課本P15P15 的“探究”?！驹O(shè)計(jì)意圖】：練習(xí) 1 1、練習(xí) 2 2 的設(shè)計(jì)與例 2 2、例 3 3 銜接，主 要目的是幫助學(xué)生鞏固三角函數(shù)的本質(zhì)特征，引導(dǎo)學(xué)生從定義出發(fā)利用坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)特征自主探究三角函數(shù)的有關(guān)問 題的思想方法。并在特殊情形中體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法。第五部分一一小結(jié)與作業(yè)學(xué)生自我總結(jié)作業(yè)：P23P23 習(xí)題 1.2A1.2A 組 1,2,31,2,3七、教學(xué)反思上述教學(xué)設(shè)計(jì)及具體教學(xué)實(shí)施過程我認(rèn)為有以下幾點(diǎn)意義：1

14、.1.教學(xué)設(shè)計(jì)緊扣課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，重點(diǎn)放在任意角的三角函數(shù)的理解上。背景創(chuàng)設(shè)是學(xué)生熟悉的摩天輪， 認(rèn)知過程符合 學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和學(xué)生的身心發(fā)展規(guī)律具體到抽象， 現(xiàn)象到 本質(zhì)，特殊到一般，這樣有利學(xué)生的思考。2.2.情景設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型很好地融合初中對(duì)三角函數(shù)的定義，也能很好引入在直角坐標(biāo)系中， 很好將銳角三角函數(shù)的定義 向任意角的三角函數(shù)過渡，同時(shí)能夠揭示函數(shù)的本質(zhì)。3.3.通過問題引導(dǎo)學(xué)生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成 過程，讓學(xué)生在情境中活動(dòng)，在活動(dòng)中體驗(yàn)數(shù)學(xué)與自然和社會(huì)的 聯(lián)系、新舊知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，在體驗(yàn)中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的價(jià)值，它滲透了蘊(yùn)涵在知識(shí)中的思想方法和研究性學(xué)習(xí)的策略，使學(xué)生在理解數(shù)學(xué)的

15、同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步 和發(fā)展。這和課程標(biāo)準(zhǔn)的理念是一致的。4.4.標(biāo)準(zhǔn)把發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)作為 其目標(biāo)之一，在教學(xué)中不僅要突出知識(shí)的來龍去脈還要為學(xué)生 創(chuàng)設(shè)應(yīng)用實(shí)踐的空間，促進(jìn)學(xué)生在學(xué)習(xí)和實(shí)踐過程中形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高學(xué)生的直覺猜想、歸納抽象、數(shù)學(xué)地提出、 分析、解決問題的能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí) ， 使其上升為一種數(shù)學(xué)意識(shí)，自覺地對(duì)客觀事物中蘊(yùn)涵的一些數(shù)學(xué) 模式作出思考和判斷。在解答問題的過程中體驗(yàn)到從數(shù)學(xué)的角度 運(yùn)用學(xué)過的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)方法去觀察生活、分析自 然現(xiàn)象、解決實(shí)際問題的策略，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)原來就來自身 邊的現(xiàn)實(shí)世界，是認(rèn)識(shí)和解決我們生活和工作中問題的有力武器，同時(shí)也獲得了進(jìn)行數(shù)學(xué)探究的切身體驗(yàn)和能力。增進(jìn)了他們對(duì)數(shù)學(xué)的理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心。點(diǎn)評(píng)本節(jié)課以新穎背景“摩天輪”引課，從直角三角形的銳角入 手，引導(dǎo)學(xué)生嘗試探究，逐次深入引出任意角