邊坡穩(wěn)定性分析方法

1、邊坡穩(wěn)定性分析方法1.1 概述邊坡穩(wěn)定性分析是邊坡工程研究的核心問(wèn)題，一直是巖土工程研究的的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題。邊坡穩(wěn)定性分析方法經(jīng)過(guò)近百年的發(fā)展，其原有的研究不斷完善，同時(shí)新的理論和方法不斷引入，特別是近代計(jì)算機(jī)技術(shù)和數(shù)值分析方法的飛速發(fā)展給其帶來(lái)了質(zhì)的提高。邊坡穩(wěn)定性研究進(jìn)入了前所未有的階段。任何一個(gè)研究體系都是由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由宏觀到微觀，由整體到局部。對(duì)于邊坡穩(wěn)定性研究，在其基礎(chǔ)理論的前提下，邊坡穩(wěn)定分析方法從二維擴(kuò)展到三維，更符合工程的實(shí)際情況；由于一些新理論和新方法的出現(xiàn)，如可靠度理論和對(duì)邊坡工程中不確定性的認(rèn)識(shí)，邊坡穩(wěn)定分析方法由確定性分析向不確定性分析發(fā)展。同時(shí)，由于邊坡工程的復(fù)雜性，

2、邊坡穩(wěn)定評(píng)價(jià)不能依賴于單一方法，邊坡的穩(wěn)定性評(píng)價(jià)也由單一方法向綜合評(píng)價(jià)分析發(fā)展。1.2 邊坡穩(wěn)定性分析方法邊坡穩(wěn)定性分析方法很多，歸結(jié)起來(lái)可分為兩類：即確定性方法和不確定性方法 , 確定性方法是邊坡穩(wěn)定性研究的基本方法,它包括極限平衡分析法、極限分 析法、數(shù)值分析法。不確定性方法主要有隨機(jī)概率分析法等。1.2.1 極限平衡分析法極限平衡法是邊坡穩(wěn)定分析的傳統(tǒng)方法，通過(guò)安全系數(shù)定量評(píng)價(jià)邊坡的穩(wěn)定性，由于安全系數(shù)的直觀性，被工程界廣泛應(yīng)用。該法基于剛塑性理論，只注重土體破壞瞬間的變形機(jī)制，而不關(guān)心土體變形過(guò)程，只要求滿足力和力矩的平衡、Mohr-Coulomb 準(zhǔn)則。其分析問(wèn)題的基本思路：先根據(jù)經(jīng)

3、驗(yàn)和理論預(yù)設(shè)一個(gè)可能形狀的滑動(dòng)面，通過(guò)分析在臨近破壞情況下，土體外力與內(nèi)部強(qiáng)度所提供抗力之間的平衡，計(jì)算土體在自身荷載作用下的邊坡穩(wěn)定性過(guò)程。極限平衡法沒(méi)有考慮土體本身的應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系，不能反映邊坡變形破壞的過(guò)程，但由于其概念簡(jiǎn)單明了，且在計(jì)算方法上形成了大量的計(jì)算經(jīng)驗(yàn)和計(jì)算模型，計(jì)算結(jié)果也已經(jīng)達(dá)到了很高的精度。因此，該法目前仍為邊坡穩(wěn)定性分析最主要的分析方法。在工程實(shí)踐中，可根據(jù)邊坡破壞滑動(dòng)面的形態(tài)來(lái)選擇相應(yīng)的極限平衡法。目前常用的極限平衡法有瑞典條分法、Bishop 法、Janbu 法、Spencer 法、Sarma 法Morgenstern-Price法和不平衡推力法等。1.2.2 極限

4、分析法極限分析理論是在 20世紀(jì)50年代初由Durcker和Prager等人將靜力場(chǎng)和運(yùn)動(dòng)場(chǎng)結(jié)合起來(lái)并提出極值原理以后建立起來(lái)的，為土坡塑性極限分析方法開(kāi)辟了新的途徑。極限分析法應(yīng)用理想塑性體或剛塑性體處于極限狀態(tài)的極小值原理 和極大值原理來(lái)求解理想塑性體的極限荷載的一種分析方法。它在土坡穩(wěn)定分析時(shí)，假定土體為剛塑性體，且不必了解變形的全過(guò)程，當(dāng)土體應(yīng)力小于屈服應(yīng)力時(shí)，它不產(chǎn)生變形，但達(dá)到屈服應(yīng)力，即使應(yīng)力不變，土體將產(chǎn)生無(wú)限制的變形，造成土坡失穩(wěn)而發(fā)生破壞。其最大優(yōu)點(diǎn)是考慮了材料應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，以極限狀態(tài)時(shí)自重和外荷載所做的功等于滑裂面上阻力所消耗的功為條件，結(jié)合塑性極限分析的上、下限定理求得

5、邊坡極限荷載與安全系數(shù)。門玉明68 應(yīng)用塑性力學(xué)中的極限分析法原理，推導(dǎo)了滑動(dòng)面為折線形狀土坡穩(wěn)定性極限分析公式，采用了屈服準(zhǔn)則的概念，考慮了與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系相適應(yīng)的流動(dòng)法則，求出了滑動(dòng)面為折線時(shí)的土坡穩(wěn)定性分析公式（上限解 ）。通過(guò)實(shí)例分析證明，這一公式可有效地用于斜坡的穩(wěn)定性評(píng)價(jià)。陳祖煜等69 系統(tǒng)分析了土力學(xué)理論中的極限分析上、下限解，認(rèn)為邊坡穩(wěn)定極限分析的垂直條分法和斜條分法分別建立于塑性力學(xué)下限和上限原理之上，常用的斯賓塞法、Morgenstern-Price法等總在提供一個(gè)偏安全的解，同時(shí)認(rèn)為上、下限解的安全系數(shù)偏差在3% 左右。如果極限分析的上限解理論能在數(shù)學(xué)上得到證明，將對(duì)工程上

6、一直采用的豎直條分法提出具有深遠(yuǎn)意義的改進(jìn)，這對(duì)邊坡穩(wěn)定性分析具有更實(shí)際的價(jià)值。李小強(qiáng)等70 依據(jù)平衡體系勢(shì)能變化最小的原理，從整個(gè)邊坡的勢(shì)能變化求得一個(gè)滿足勢(shì)能的最小位移，并直接求出滑面上的法向力分布，用此分布可求出合理的安全系數(shù)。陳佳等71在危巖體崩塌穩(wěn)定性極限分析上限法分析中，從變形協(xié)調(diào)條件出發(fā)，通過(guò)建立優(yōu)化的斜分條機(jī)動(dòng)許可速度場(chǎng)，依據(jù)外力功率和內(nèi)能耗散率相平衡的原理以此得到危巖體崩塌 的穩(wěn)定系數(shù)。1.2.3 數(shù)值分析法數(shù)值分析方法也是目前巖土力學(xué)計(jì)算中使用較普遍的分析方法。它分析邊坡 穩(wěn)定的本質(zhì)是單元離散，即通過(guò)計(jì)算網(wǎng)格將巖體分成若干個(gè)小單元體。對(duì)于二維 問(wèn)題可采用三節(jié)點(diǎn)三角形單元、四

7、節(jié)點(diǎn)四邊形單元等；三維情況主要運(yùn)用四節(jié)點(diǎn) 四面體單元、六節(jié)點(diǎn)五面體單元、八節(jié)點(diǎn)六面體單元等。離散后，將任一可能滑 動(dòng)面分成若干微段，根據(jù)每一微段的方位，通過(guò)應(yīng)力張量變換，運(yùn)用追蹤法或位 移法或強(qiáng)度比值法或平面應(yīng)力投影法來(lái)求得相應(yīng)微段的正應(yīng)力和切向剪應(yīng)力，再 建立力矩平衡。該法以土坡在失穩(wěn)之前伴隨的較大變形為依據(jù)，將穩(wěn)定和變形緊密的聯(lián)系起 來(lái)。并考慮到土的非線性本構(gòu)關(guān)系，然后求出每一計(jì)算單元的應(yīng)力及應(yīng)變，根據(jù) 不同的強(qiáng)度指標(biāo)確定破壞區(qū)的位置及其擴(kuò)展情況，并設(shè)法將局部破壞和整體破壞 聯(lián)系起來(lái)。求得合適的臨界滑裂面位置，最后根據(jù)極限平衡法推求整體的穩(wěn)定性 系數(shù)。離散化的思想始終貫穿在這種方法之中，因

8、此，該方法是一種典型的數(shù)值計(jì)算方法，一般需要通過(guò)巖土工程數(shù)值模擬來(lái)實(shí)現(xiàn)。應(yīng)該明確，雖然數(shù)值方法在模擬土坡變形破壞機(jī)理等方面有著獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)，且不需要假定滑動(dòng)面，但由于土體的不均質(zhì)性和復(fù)雜性，該方法的應(yīng)用目前仍受到一定的限制。主要包括有限元法(FEM) 、邊界元法(BEM) 、離散元法(DEM) 、快速拉格朗日分析法(FLAC)、塊體理論(BT)和數(shù)值流形法(NMM)等1.2.4 隨機(jī)概率分析法隨機(jī)概率分析法在邊坡穩(wěn)定性分析中的出現(xiàn)約在20 世紀(jì) 70 年代初 , 一方面是由于一些新理論和方法如可靠性理論、模糊數(shù)學(xué)、灰色預(yù)測(cè)系統(tǒng)、分形幾何、人工智能等的出現(xiàn)；另一方面是由于在邊坡工程中涉及的大量不確

9、定性因素越來(lái)越被人們認(rèn)識(shí)到, 如巖體性質(zhì)、荷載等物理方面的不確定性取樣、試驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)不確定性計(jì)算模型的不確定性和人為過(guò)失造成的不確定性等, 這些不確定性造成的影響盡管通過(guò)提高巖石測(cè)試和計(jì)算技術(shù)的精度能在一定程度上減少, 但局部試驗(yàn)的精確性、確定性并不能消除巖石性狀宏觀判斷上的隨機(jī)性和模糊性, 而且不可能無(wú)限度提高單項(xiàng)試驗(yàn)的精度、規(guī)模和完善確定性計(jì)算方法?；趯?duì)巖體的復(fù)雜性和工程的復(fù)雜性的認(rèn)識(shí), 對(duì)邊坡工程的不確定性和非線性研究已成為當(dāng)今邊坡工程穩(wěn)定性分析研究的趨勢(shì)。邊坡穩(wěn)定性隨機(jī)概率分析法主要包括可靠性法和模糊分析方法。可靠性分析引入邊坡，通過(guò)計(jì)算邊坡的可靠性指標(biāo)和破壞概率，充分地反映了各種不確

10、定性因素對(duì)邊坡的影響情況，能夠更全面地體現(xiàn)邊坡的穩(wěn)定情況，避免了安全系數(shù)使用過(guò)程中的絕對(duì)化。模糊分析方法認(rèn)為邊坡性質(zhì)及穩(wěn)定性的界限是不清楚的，具有相當(dāng)?shù)哪：?，因此可采用模糊理論?duì)邊坡穩(wěn)定性進(jìn)行研究。劉明等72用模糊劃分矩陣與 Bayse方法相結(jié)合，給出由小樣本試驗(yàn)數(shù)據(jù)確定巖土參數(shù)的概率分布。模糊理論是應(yīng)用模糊變換原理和最大隸屬度原則，綜合考慮被評(píng)事物或其屬性的相關(guān)因素，進(jìn)而進(jìn)行等級(jí)或級(jí)別評(píng)價(jià)。該方法難點(diǎn)在于相關(guān)因素及各因素的邊界值的確定。1.3 邊坡穩(wěn)定性極限平衡分析法1.3.1 瑞典條分法瑞典條分法是由 W.Fellenious 等人于1927年提出的，也稱為費(fèi)倫紐斯法。它主要是針對(duì)平面問(wèn)

11、題，假定滑動(dòng)面為圓弧面。根據(jù)實(shí)際觀察，對(duì)于比較均質(zhì)的土質(zhì)邊坡，具滑裂面近似為圓弧面，因此瑞典條分法可以較好的解決這類問(wèn)題。但該法不考慮各土條之間的作用力，將安全系數(shù)定義為每一土條在滑面上抗滑力矩之和與滑動(dòng)力矩之和的比值，一般求出的安全系數(shù)偏低1020%。其基本原理如下：-可編輯修改-b） 土條上的力a）滑動(dòng)面上的力和力臂圖4.1瑞典條分法計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖4.I所示邊坡，取單位長(zhǎng)度土坡按平面問(wèn)題計(jì)算，設(shè)可能的滑動(dòng)面是 圓弧AD ,其圓心為 O,半徑為Ro將滑動(dòng)土體 ABCD分成許多豎向土條，土條寬度一般可取 b=0.1 R,作用在土條i上的作用力有（見(jiàn)圖4.1）:土條的自重Wi,其大小、作用點(diǎn)位置及

12、方向均已知。滑動(dòng)面ef上的法向反力 Ni及切向反-可編輯修改-力Ti,假定Ni、Ti作用在滑動(dòng)面 ef的中點(diǎn)，他們的大小均未知。土條兩側(cè)的 法向力Ei、Ei+i及豎向剪切力 Xi、Xi+i ,其中Ei和Xi可由前一個(gè)土條的平衡條件求得，而Ei+i和Xi + i的大小未知，Ei的作用點(diǎn)也未知。可以看出，土條i的作用力中有5個(gè)未知數(shù)，但只能建立3個(gè)平衡條件方程,故為靜不定問(wèn)題。為了求得 Ni、Ti的值，必須對(duì)土條兩側(cè)作用力的大小和位置做出適當(dāng)假定。瑞典條分法是不考慮土條兩側(cè)的作用力,也即假設(shè)E和Xi的合力等于Ei+i和Xi+i的合力，同時(shí)它們的作用線重合，因此土條兩側(cè)的作用力相互抵消。這時(shí)，土條i

13、僅有作用力 Wi、Ni及Ti,根據(jù)平衡條件可得:Ni Wi cos(4.1)TiWi sin(4.2)滑動(dòng)面ef上土的抗剪強(qiáng)度為:1i i tan i ci(Ni tanli(4.3)、1、i ci) - (Wi tan i q) li式中：i土條i滑動(dòng)面的法線(亦即圓弧半徑)與豎直線的夾角;li土條i滑動(dòng)面ef的弧長(zhǎng);i 一滑動(dòng)面上土的粘聚力及內(nèi)摩擦角。土條i上的作用力對(duì)圓心 O產(chǎn)生的滑動(dòng)力矩 M s及穩(wěn)定力矩 M r分別為:Ms TiR WRsin i(4.4)整個(gè)土坡相應(yīng)于滑動(dòng)面 AD的穩(wěn)定性系數(shù)為:MrMsn(W cos i tan i cili) i 1 nWi sin ii 1(4

14、.5)1.3.2 Bishop 法瑞典條分法作為條分法中的最簡(jiǎn)單形式在工程中得到了廣泛運(yùn)用，但實(shí)踐表明，該方法計(jì)算出的安全系數(shù)偏低。實(shí)際上，若不考慮土條間的作用力，則無(wú)法滿足土條的穩(wěn)定。隨著邊坡分析理論與實(shí)踐的發(fā)展，許多學(xué)者致力于條分法的改進(jìn)。畢肖普(A.W.Bishop, 1955)提出了安全系數(shù)的普遍定義，將土坡穩(wěn)定安全系數(shù)Fs定義為各分條滑動(dòng)面抗剪強(qiáng)度之和f與實(shí)際產(chǎn)生的剪應(yīng)力之和p之比，即Fs(4.6)這不僅使安全系數(shù)的物理意義更加明確，而且使用范圍更為廣泛，為以后非圓弧滑動(dòng)分析及土條分界面上條間力的各種假定提供了有利條件。Bishop法假定各土條底部滑動(dòng)面上的抗滑安全系數(shù)均相同，即等于

15、整個(gè)滑動(dòng)面的平均安全系數(shù)，取單位長(zhǎng)度邊坡按平面問(wèn)題計(jì)算，如圖4.2所示。設(shè)可能的滑動(dòng)圓弧為 AC,圓心為 O,半徑為 Ro將滑動(dòng)土體分成若干土條，取其中的任何一條（第i條）分析其受力情況，土條圓弧弧長(zhǎng)為lio 土條上的作用力如瑞典條分法，其中孔隙水壓力UiliOa）滑動(dòng)面上的力和力臂b） 土條上的力圖4.2 Bishop法計(jì)算簡(jiǎn)圖對(duì)i 土條豎向取力的平衡得:(4.7)WXi sin i (Ni uili)cos i 0式中：丁幣一土條i底面的抗剪力;邊坡穩(wěn)定的逆可靠度分析方法土條i底面的有效法向反力；Xi 一作用土條兩側(cè)的切向力差。當(dāng)土體尚未破壞時(shí)，土條滑動(dòng)面上的抗剪強(qiáng)度只發(fā)揮了一部分，若以有

16、效應(yīng)力表示，由 Mohr-Coulomb 準(zhǔn)則，得土條滑動(dòng)面上的抗剪力為(4.8)fili citan ifi -FT "iFT式中：G土條i有效粘聚力；i 土條i有效內(nèi)摩擦角。代入式(3.7),可解得Ni為(4.9)1chNi(WiXi Uili 皆sin i)m iFstan i tan i式中 m cos i(1 )Fs然后就整個(gè)滑動(dòng)土體對(duì)圓心O求力矩平衡，此時(shí)相鄰?fù)翖l之間側(cè)壁作用力的力矩將相互抵消，而各土條的N i及uili的作用線均通過(guò)圓心，故有(4.10)WixiTfiR 0由以上各式可得1Gbi W uiliXi) tan(4.11)mFsiWi sin i此為Bish

17、op條分法計(jì)算邊坡穩(wěn)定安全系數(shù)的普遍公式，Bishop證明，若忽略土條兩側(cè)的剪切力，所產(chǎn)生的誤差僅為1%,由此可得到安全系數(shù)的新形式-11 -cb (Wi Uili) tanFsWi sin i(4.12)-可編輯修改-與瑞典條分法一樣，對(duì)于給定滑動(dòng)面對(duì)滑動(dòng)體進(jìn)行分條，確定土條參數(shù)。由于式中m也含有Fs值，故需要迭代求解。首先假定一個(gè)安全系數(shù)Fs=1 ,求出m 后代入計(jì)算公式得出安全系數(shù) Fs,若計(jì)算的Fs與假定的Fs不等，則重新計(jì)算，知道前后兩次 Fs值滿足所要求的精度為止。通常迭代34即可求得合理的安全系數(shù)1.3.3 Janbu 法在實(shí)際工程中常常會(huì)遇到非圓弧滑動(dòng)面的突破穩(wěn)定分析，如土坡下

18、面有軟弱夾層，或土坡位于傾斜巖層面上，滑動(dòng)面形狀受到夾層或硬層影響而呈現(xiàn)非圓弧形狀。此時(shí)若采用前述圓弧滑動(dòng)面法分析就不適應(yīng)。下面介紹N.揚(yáng)布(Janbu ,1954 , 1972 )提出的非圓弧普通條分法(GPS),也稱為簡(jiǎn)布法。如圖4.3所示土坡，滑動(dòng)面任意，劃分土條后，其假定：滑動(dòng)面上的切向力Ti等于滑動(dòng)面上土所發(fā)揮的抗剪強(qiáng)度f(wàn)i ,即Ti= fi li=( N itan 6+Cili)/Fs ;土條兩側(cè)法向力 E的作用點(diǎn)位置為已知，且一般假定作用于土條地面以上1/3高度處。分析表明，條間力作用點(diǎn)的位置對(duì)土坡穩(wěn)定安全系數(shù)影響不大。a）滑體示意圖b） 土條上的力圖4.3 Janbu法條分法的

19、計(jì)算簡(jiǎn)圖取任一土條如上圖所示，hti為條間力作用點(diǎn)的位置，加為推力線與水平線的夾角。需求的未知量有：土條底部法向反力 Ni （n個(gè)）；法向條問(wèn)力之差 Ei （n個(gè)）;切向條間力Xi（n-1個(gè)）及安全系數(shù)Fso可通過(guò)對(duì)每一土條力和力矩平衡建立3n個(gè)方程求解。對(duì)每一土條取豎向力的平衡，則N i cos iWiXii sin i或者Ni (WiXi )sec iT fi tan i(4.13)再取水平向力的平衡，有Ei Nisin i Tfi cos i = (WiXi) tan i Tfi sec i(4.14)由圖4.3可以看出土條條塊側(cè)面的法向力E,顯然有EiEi , E2EiE2依次類推，有

20、:EiEii 1(4.15)對(duì)土條中點(diǎn)取力矩平衡，并略去高價(jià)微量，則XibiEibi tan ti hti Ei或者Xi Eitan ti hti Ei/bi再由整個(gè)土坡Ei 0可得州 Xi)tan iTfi sec i 0(4.16)(4.17)根據(jù)安全系數(shù)的定義和摩爾-庫(kù)倫破壞準(zhǔn)則Tfifi licih sec i Ni tan iFs(4.18)1Tfi (Gh 州Fs聯(lián)合求解式(4.13)及式(4.18),得(4.19)1 Xi)tan i)- m itan i tan i、式中： m cos i(1 )Fs將式(4.19)代入式(4.17),得(ch mi(Xi)tan i)(WX)

21、sin i(4.20)顯見(jiàn)，Janbu法中邊坡穩(wěn)定安全系數(shù)的求解仍需采用迭代法，可按以下步驟進(jìn)行；m i代入(1)先設(shè)Xi 0(相當(dāng)于簡(jiǎn)化的畢肖普總應(yīng)力法)，并假設(shè)Fs=1 ,算出邊坡穩(wěn)定的逆可靠度分析方法式(4.20)求得Fs,若計(jì)算Fs值與假定值相差較大，則由新的Fs值再求mi和Fs,反復(fù)逼近至滿足精度要求，求出Fs的第一次近似值。(2)將 Xi 0和Fs的第一次近似值代入由式(4.19)求出相應(yīng)的丁幣；再由式(4.14),求相應(yīng)的Ei。n(3)用式(4.15) Ei Ei分別求條塊間的法向力。 i 1(4)將Ei和Ei代入式(4.16)求得X i及Xi 0(5)用新求的 Xi重復(fù)步驟1

22、,求出Fs的第二次近似值，并以此值重復(fù)上述計(jì)算每一土條的 、 E Xi,直到前后計(jì)算的Fs值達(dá)到某一要求的計(jì)算精度也簡(jiǎn)布條分法可以滿足所有的靜力平衡條件，但推力線的假定必須符合條間力的合理要求(即滿足土條間不產(chǎn)生拉力和剪切破壞)。目前在國(guó)內(nèi)外應(yīng)用較廣，但也必須注意，在某些情況下，其計(jì)算結(jié)果又可能不收斂。邊坡真正的安全系數(shù)還要計(jì)算很多滑動(dòng)面.進(jìn)行比較，找出最危險(xiǎn)的滑動(dòng)面.其安全系數(shù)才是真正的安全系數(shù)。工作量相當(dāng)浩繁。一般要編成程序在計(jì)算機(jī)上計(jì)算。1.3.4郎畏勒法對(duì)于任意形狀的滑動(dòng)面，如圖 4.4所示，在這個(gè)滑動(dòng)面上各點(diǎn)的曲率半徑不同。郎畏勒法根據(jù)畢肖普(Bishop)法的原理推導(dǎo)出了適用于任意

23、形狀滑動(dòng)面的邊-# -坡穩(wěn)定性安全系數(shù)計(jì)算公式NPi-可編輯修改-b)條塊上的作用力a)滑動(dòng)面上的力和力臂圖4.4郎畏勒法計(jì)算簡(jiǎn)圖郎畏勒法假定一個(gè)任意指定的極點(diǎn)O,滑動(dòng)面上各作用力繞點(diǎn)O的抵抗力矩應(yīng)當(dāng)?shù)扔诨瑒?dòng)體自重Wi和各土條上外荷載 Pi引起的滑動(dòng)力矩，即(4.21)1 , 2(WXiPyi) Nifi Tfiai -d au2式中：Xi, yi,au分別為土條 Wi、Pi及靜水壓力對(duì)的極點(diǎn)O力臂。Wi水位線以下的條塊取浮重,水位以上取土的天然重量。又由Mohr-Coulomb準(zhǔn)則可得(4.22)JcJitan iTfi(NiuJi)-Fs FsFs將式(4.22)代入式(4.21)得Fsc

24、ili (N i uili )tan(WXRyJ Nifii ai1 . 2-d au(4.23)取土條豎向力的平衡，有Pi cosWi (Xi Xi 1)wbiZi1wli4 cos i (Ni uili )cos i ciliNi tan i sinFs(4.24)式中：族為水的重度，Ni= Ni Uili為土條滑弧底面有效法向力從式(4.24)可得到條塊滑弧底面有效法向力NiPcos i W( (Xi Xi 1) uih b tan iNi Fmai(4.25).,tan i tan i式中： m i cos i Fs將式(4.25)代入式(4.23)可得Gli(Pi cos iWiXi

25、 uili)tanFs(WixiPyi)Pi cos i W Xi (uili tanaii m&tan i fi)- Fsmai(4.26)式中:Xi Xi Xi 1 ,如果是圓弧滑動(dòng)面的話，就變成了Bishop 法。考慮滑動(dòng)土體的整體平衡有Xi Xi 1Ei Ei 10 d2 wT(4.27)由平行于土條底面的斜面力的平衡，有fi(Pi cos i Ei Ei 1) cos i(Pi cos i wXiwbi4)sin(4.28)從而EiEi 1 fi sec i P 典ji-(Wicos iXi 溫乙)tan i(4.29)聯(lián)立式(4.22)、式(4.23)和式(4.26)可得f

26、i1Gb (Pi cos i WXiFsUi bi)tan(4.30)式中：m Gb (Pi cos i W(Xi uibi)tan i將式(4.30)和式(4.29)代入式(4.27),可得m sec iFsP sin( i i)cos(WiXi)tan i 0(4.31)如同畢肖普方法一樣。實(shí)踐表明，如令Xi Xi+1 =0，計(jì)算誤差不大,而計(jì)算方法大為簡(jiǎn)化。從而由(4.26)可得f F sQ2 Qiqbi (Pi cos iW uili) tan iPiMWiXiP cos i W (uili tan iamaitan ifiQbi)- Fs m(4.32)1.3.5 Spencer 法

27、斯賓塞(Spencer ,1967)法是E.Spencer提出的一種極限平衡分析法。假定任意滑動(dòng)面，且 E與Xi之間有一個(gè)固定的常數(shù)關(guān)系，即各條間的合力方向相互平行，從而減少了 n-1個(gè)未知量。3 A tanEiEi 1(4.33)如圖4.5所示，根據(jù)垂直土條底部方向力的平衡，有Ni (Pr P)sin( i ) cos i 0(4.34)再根據(jù)土條底部方向力的平衡，有(4.35)a)條塊上的作用力b)求解簡(jiǎn)圖圖 4.5 Spencer法分條上的作用力Tfi (P i P)cos( i ) Wcos i 0當(dāng)土體尚未破壞時(shí)，土條滑動(dòng)面上的抗剪強(qiáng)度只發(fā)揮了一部分，若以有效應(yīng)力表示，由 Mohr-

28、Coulomb準(zhǔn)則，可得土條滑動(dòng)面上的抗剪力為TfiK (Ni、tan iUili)Fs(4.36)上列各式整理后有Pic一secFsi m Wi sin itan ；cos( i )1-tan( i )Fs(4.37)其中，mtan i-(Wfcos iFsubsec i)其次,對(duì)整個(gè)滑動(dòng)土體來(lái)說(shuō)，為了保持整個(gè)滑動(dòng)土體的平衡，必有力的平衡方程，即(Pi Pi 1)cos0(PiP1)sin0(4.38)因?yàn)?是一個(gè)常數(shù)，sin 8和cos 8不可能為0,因此式(3.38)實(shí)際上是同一個(gè)平衡條件，即(4.39)(R R 1)cos( i ) R 0(4.40)(P Pl) 0同樣，對(duì)整個(gè)滑動(dòng)土

29、體，還必須滿足力矩平衡條件，即Ri即為式中：Ri為各土條底部中點(diǎn)離轉(zhuǎn)動(dòng)中心的距離。如果取滑動(dòng)面為圓柱面, 圓弧半徑，而且對(duì)所有土條都是常數(shù)，因此上式可寫(xiě)成(4.41)(R Pi)cos( i ) 0將式(4.37)分別代入式(4.39)和(4.41),可得qbi-secFsi m Wisin ii 1 cos( i )1； 0tan i-tan( i ) Fs(4.42)qbisec i m W sin i(4.43)8和Fs兩個(gè)F 0tan i1-tan( i )Fs當(dāng)土坡的幾何形狀及滑動(dòng)面已定，同時(shí)土質(zhì)指標(biāo)又已知時(shí)，只有未知數(shù)。用式(4.42)與(4.43)可以求出兩個(gè)未知數(shù)Fs和依斯賓塞

30、法具體步驟如下：(1)任選滑動(dòng)面，劃分土條，量得各土條的高h(yuǎn)i及條底傾角度。(2)選若干9,由式(4.42)和式(4.43)分別求出Fsf (滿足力平衡方程的Fs)和Fsm (滿足力矩平衡方程的Fs)。(3)作出Fsf 8及Fsm 8曲線，如圖4.5所示，兩條曲線的交點(diǎn)為兩式均滿足白Fs和&(4)再以此Fs和8代入式(4.37),可從上往下逐條求出條間力的合力、方向力、剪切力，然后根據(jù)分界面上土的抗剪強(qiáng)度指標(biāo)，求出抗剪安全系數(shù)Fv和條間力作用點(diǎn)的位置(可對(duì)條底中點(diǎn)求矩而得)，作為檢驗(yàn)。(5)重新假定滑動(dòng)面，重復(fù)上述步驟，從中求得Fs, min o1.3.6其他方法1.3.6.1 Mor

31、genstern-Price 法Morgenstern-Price法對(duì)任意曲線形狀的滑裂面進(jìn)行分析，推導(dǎo)出了既滿足力平衡又滿足力矩平衡條件的微分方程，是國(guó)際公認(rèn)的最嚴(yán)密的邊坡穩(wěn)定性分析方法。雖獲得了數(shù)學(xué)形式上的嚴(yán)格，但計(jì)算起來(lái)很不方便，一些學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn)，陳昌富67在他們的基礎(chǔ)上，不改變其基本假定，建立了便于計(jì)算的非微分形式的Morgenstern-Price 法。如圖4.6所示，作用在土條上的作用力有： 土條的自重Wi。條塊底面的法向反力 Ni、抗剪力Tfi及孔隙水壓力uilio土條兩側(cè)的法向力Ei、Ei+1及豎向剪切力Xi、Xi+1。土條重心作用著水平地震慣性力KGi, K稱為地震加速

32、度。Lbi_|FaiV'liPi集中荷載推力線滑動(dòng)面a)滑動(dòng)面上的力和力臂圖 4.6 Morgenstern-PriceXi +1Ei+1 x -zi+1aiPiXKWWb)條塊上的作用力法計(jì)算簡(jiǎn)圖取土條底面切向力的平衡，有Tfi(F； cos i Wi Xi Xi 1)sin i (P sini KWi EiEi 1) cos(4.44)ciliTfi(NiFs(4.45)Ni (P cos i Wi Xi Xi 1)cos i(Pisin i KWiEiEi 1)sin(4.46)根據(jù)安全系數(shù)的定義和摩爾-庫(kù)倫破壞準(zhǔn)則tan iUili)iFs取土條底面法向力的平衡，有E和X存在以

33、下函在Morgenstern-Price 法中，假定各條塊之間的條問(wèn)力 數(shù)關(guān)系:X f(x)E(4.47)式中：入為任意常數(shù)；f(x)為條間力函數(shù)，它與邊坡坡面形狀和滑動(dòng)面形態(tài)有關(guān)，當(dāng)f(x)為常數(shù)，即為 Spencer法；如取f(x)=0 ,即為Bishop法。其中x為線性歸一化后滑動(dòng)體水平方向的坐標(biāo)。聯(lián)立式(4.44)式(4.47),最終可得條間力E的遞推公式Ai 脂 GM AK) GR Di二L - Ei：一二Ai fi 1BiAi fi lBii=1,2，n(4.48)式中： A cos i an-sin i , Bisin iFstan i cos iFstan i /Ci sin(

34、 i i) cos(Fsuili tan i Gbi) , DiI：Fs cos i若定義條間力矩為條間力對(duì)條間界面與滑動(dòng)面的交點(diǎn)的力矩，從而可得條問(wèn)力矩為Mi EiZMi1 Ei 1Zi 1(4.49)因而得條間力矩遞推公式b一 bMi 1 M i (tan i i fi)EiL(tan i22,1i fi 1)Ei 1KWihi Phi sin2i (4.50)由式(4.48)和式(4.50)可得一非線性方程組，未知量為 人和Fs,解此方程組便可解得安全系數(shù)Fs。求解上述方程組應(yīng)滿足邊界條件Ei Ea,M1 Ma EaZaEn1 Eb,Mn1 Mb EbZb式中：Ea, Eb, Ma, M

35、 b分別為端部條間力和力矩。這樣，式(4.48)和式(4.50)組成的方程組可簡(jiǎn)化為如下形式g1( ,Fs) En1 Eb 0g2( ,Fs) Mn1 Mb 0(4.51)(4.52)(4.48)和(4.50)其中，En+1和Mn+1分別稱為不平衡推力和不平衡力矩，分別由式 遞推求得。方程組（4.52）只含有 人和Fs,可利用 Newton-Raphson 法求解。1.3.6.2 Sarma 法Sarma法（薩爾瑪法）取用了一個(gè)在每土條的重心作用的水平地震慣性力系數(shù)K來(lái)判斷邊坡穩(wěn)定性的安全系數(shù)。Sarma法假想在每一土條重心作用著一個(gè)水平地震慣性力 KWi,由于它的作用，使滑裂面恰好達(dá)到極限狀

36、態(tài)，也就是使滑裂面上的穩(wěn)定安全系數(shù)Fs=1 ,此時(shí)水平地震加速度K稱為臨界地震加速度，以Kc表示。Kc作為判斷土坡穩(wěn)定程度的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。當(dāng)實(shí)際的K>Kc時(shí)，即為Fs<1 ,反之，F(xiàn)s<1 。同時(shí)，Sarma法還在假定沿兩相鄰?fù)翖l的垂直分界面，所有平行于土 條底面的斜面均處于極限平衡狀態(tài)這個(gè)前提下，推導(dǎo)出切向條間力X的分布，從而使超靜定問(wèn)題變成靜定的。1.3.6.3 不平衡推力法不平衡推力法，又稱為剩余推力法或傳 遞系數(shù)法，是我國(guó)工程技術(shù)人員創(chuàng)造的一種 實(shí)用滑坡穩(wěn)定分析方法。該法適用于計(jì)算折線形滑面及當(dāng)遇到有軟弱夾層問(wèn)題時(shí)，如在半填半挖路基中，填方部分一般順山勢(shì)填筑，山坡面即為交

37、接面，山坡剖面通常為折線形。如圖4.7所示，邊坡的坡面和滑動(dòng)面均為任意形狀，假定條間力的合力作用方向與上一土條的底面相平行，其作用點(diǎn)位于土條相鄰分界面的中點(diǎn)。然后根據(jù)平行于土條底面和垂直于土條底面兩個(gè)方向的合力等于零以及最前緣一塊的剩余推力為零進(jìn)行求解，滑動(dòng)面的破壞服從Mohr-Coulomb 準(zhǔn)則。但分析只滿足靜力平圖4.7不平衡推力法分條上的作用力衡條件，但是不滿足力矩平衡條件。(4.53)先由垂直于條底方向上力的平衡條件有Ni Wi cos i Pisin(i) 0(4.54)再由垂直于條底方向上力的平衡條件有Ni Pi Wi cos i Picos( i ii) 0又因，.,(4.55

38、)Tfi C7 (M uJi)BFsFs由式(4.53)、式(4.54)、式(4.55)、消去Ni、丁幣，得到滿足力極限平衡得方程PWisin ici liFstan i州 cos i uili)P 1 iFs(4.56)式中：i傳遞系數(shù),i cos(tan i1) sin( i 1 i);FsP一凈?；?，i條以Pi作用于(i+1)條，推動(dòng)第(i+1)條下滑，Pi在土條界面上作為滑體內(nèi)力，總是成對(duì)出現(xiàn)的，具方向一般指向界面為正，背向界面為負(fù)。對(duì)于上面的計(jì)算公式通常有兩種解法，即強(qiáng)度儲(chǔ)備法和超載法，又稱不平衡 推力法和簡(jiǎn)化不平衡推力法，在此只介紹工程上常用的簡(jiǎn)化法，也就是在目前的巖土工程勘察規(guī)范(GB 50021-2001)等推薦使用的方法。P FsWi sin i cili (Wi cos i uili)tan i Pi 1 i(4.57)計(jì)算中，當(dāng)Pi為負(fù)值時(shí)，下一條計(jì)算時(shí)取 Pi-1 =0(因?yàn)闂l間不承受拉力)。計(jì) 算時(shí)，可假設(shè)一個(gè) Fs,由上向下逐條計(jì)算 Pn,如Pn