1.2全微分.ppt課件

1、8.3 全微分全微分8.3.1 全微分的理論全微分的理論*8.3.2 全微分的應(yīng)用全微分的應(yīng)用)(xfy )()(xfxxfy ),(無無關(guān)關(guān)的的常常數(shù)數(shù)是是與與其其中中成成立立xA xxfy在點(diǎn)在點(diǎn))( 則稱函數(shù)則稱函數(shù)xAdy 可微可微,)( xoxA dxxf)( 一元函數(shù)的全微分一元函數(shù)的全微分回憶二元函數(shù)的全微分二元函數(shù)的全微分一、全微分的定義一、全微分的定義函數(shù)若在某平面區(qū)域函數(shù)若在某平面區(qū)域D內(nèi)處處可微時(shí)內(nèi)處處可微時(shí),則稱函數(shù)為則稱函數(shù)為D D內(nèi)的可微函數(shù)內(nèi)的可微函數(shù). .dyBxAz 即即或或全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù). .之差

2、之差與與 zzd. 2 yBxAz d與一元函數(shù)類似，與一元函數(shù)類似，)( oyBxAz 的線性函數(shù)的線性函數(shù); ;高階無窮小高階無窮小. .說明說明1.1.全微分全微分yxz 與與是是dzd所以，稱所以，稱zz 是是d的線性主部，的線性主部，很小時(shí)，很小時(shí)，與與當(dāng)當(dāng)yx 。近近似似計(jì)計(jì)算算可可用用zz d 是比是比證明證明)( oyBxA , 0lim00 zyx定理定理8.2 (8.2 (必要條件必要條件1)1),(),(0000yxfyyxxfz 連連續(xù)續(xù)可可微微 不可微不可微不連續(xù)不連續(xù) ),(yxf可可偏偏導(dǎo)導(dǎo)可可微微 .dyyzxxzz 如果函數(shù)如果函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)),(yxfz 的的

3、則該函數(shù)在點(diǎn)則該函數(shù)在點(diǎn)),(yx可微分可微分, ,),(yx,必存在必存在且函數(shù)且函數(shù)),(yxfz ),(yx在在點(diǎn)點(diǎn)的全微分為的全微分為yzxz 、偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)定理定理8.3(8.3(必要條件必要條件2)2)不不可可微微不不可可偏偏導(dǎo)導(dǎo) 證證)( oyBxA ),()0,(yxfyxxf |),(|xoxA xyxfyxxfx ),(),(lim0 xz同理可得同理可得.yzB 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 y上式仍成立上式仍成立, ,此時(shí)此時(shí)|,| x yyzxxzz d),(),(yxyxfz在點(diǎn)在點(diǎn) 可微分可微分, ,),(),(yxfyyxxfz )(lim0 xxoAx A yyzxxzz

4、dzdABA 處可微處可微在在),(),(yxyxfz 說明說明yyzxxzz dyyxfxyxfyx ),(),(處處可可微微的的步步驟驟：在在判判定定),(),(yxyxfz 是是否否存存在在，、判判定定),(),(. 1yxfyxfyx若不存在，則不可微，若不存在，則不可微， 否則轉(zhuǎn)下一步；否則轉(zhuǎn)下一步；，是是否否為為判判定定0),(),(lim. 20 yyxfxyxfzyx 若為若為0 0，則可微，則可微， 否則不可微，否則不可微， 0, 00,1sin)(),(22222222yxyxyxyxyxf函函數(shù)數(shù)xfxffxx )0 , 0()0 ,0(lim)0 , 0(00 同理同理

5、, , 0)0 , 0( yf解解例例在原點(diǎn)在原點(diǎn)(0,0)(0,0)是否可微是否可微. .是是否否存存在在，、判判定定)0 , 0()0 , 0(. 1yxffxxxx )0()(1sin)0()(lim22220)()(22yx 0, 00,1sin)(),(22222222yxyxyxyxyxf0)0 , 0( yf0)0 , 0( xf，是是否否為為判判定定0)0 , 0()0 , 0(lim. 20 yfxfzyx yxfyxf 00)0 , 0()0 ,0(lim0 yfxfzyx )0 , 0()0 , 0(lim0 ),(lim0yxf 2222220)()()()(1sin)

6、()(limyxyxyx 22220)()(1sin)()(limyxyx 201sinlim 0 函數(shù)函數(shù)f(x,y)f(x,y)在原點(diǎn)在原點(diǎn)(0,0)(0,0)可微可微. . 所以所以, ,yx 00yfxfzyx )0 , 0()0 , 0(d2222220)()()()(1sin)()(limyxyxyx .000),(222222 yxyxyxxyyxf解解例例在原點(diǎn)在原點(diǎn)(0,0)(0,0)是否可微是否可微. .xfxffxx )0 , 0()0 ,0(lim)0 , 0(0 xxxx 0)0()(10lim2200 同理同理, , 0)0 , 0( yf是是否否存存在在，、判判定

7、定)0 , 0()0 , 0(. 1yxff)()(22yx 0)0 , 0( yf0)0 , 0( xf，是是否否為為判判定定0)0 , 0()0 , 0(lim. 20 yfxfzyx yxfyxf 00)0 , 0()0 ,0(lim0 yfxfzyx )0 , 0()0 , 0(lim0 ),(lim0yxf .000),(222222 yxyxyxxyyxf220)()(limyxyx 那那么么220)()(limxxxxx 21 因而因而, ,如果考慮動(dòng)點(diǎn)如果考慮動(dòng)點(diǎn) 沿直線沿直線xy 趨近于趨近于),0 , 0(220)()(limyxyxxy 220)()(limyxyx 函數(shù)

8、函數(shù)f(x,y)f(x,y)在原點(diǎn)在原點(diǎn)(0,0)(0,0)處不可處不可微微. .多元函數(shù)各偏導(dǎo)數(shù)存在多元函數(shù)各偏導(dǎo)數(shù)存在一元函數(shù)可導(dǎo)一元函數(shù)可導(dǎo)可微可微注意注意全微分存在全微分存在, 0 定理定理8.48.4充分條件）充分條件）證明證明的的如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz ,),(連續(xù)連續(xù)在在、yxyzxz .可可微微分分),(yx則該函數(shù)在點(diǎn)則該函數(shù)在點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)（自學(xué)）（自學(xué)）非必要條件非必要條件. .定理的條件是充分的，定理的條件是充分的，注意注意即可微分即可微分偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)18在原點(diǎn)在原點(diǎn)(0,0)可微可微.如如: : 0, 00,1sin)(),(22222222yxyxy

9、xyxyxf函函數(shù)數(shù)xfxffxx )0 , 0()0 ,0(lim)0 , 0(0 xxxx 220)(1sin)(lim事實(shí)上事實(shí)上,0 同樣同樣, 0)0 , 0( yf)( )0 , 0()0 , 0(yfxfzyx o22)()(yx 19)(0)(0yx 2222221cos21sin2yxyxxyxx 即函數(shù)即函數(shù) f (x, y)在原點(diǎn)在原點(diǎn)(0,0)可微可微. 但是但是, yfxfzyx)0 , 0()0 , 0(d事實(shí)上事實(shí)上, ),(yxfx , 0, 0, 0,1sin)(),(22222222yxyxyxyxyxf函函數(shù)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)在原點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)在原點(diǎn)(0,0)不連續(xù)不連續(xù)

10、. 所以所以,0)0 , 0( yf0)0 , 0( xf特別是特別是 ),(lim0 xxfxx 不存在.即即fx(x,y)在原點(diǎn)在原點(diǎn)(0,0)不連續(xù)不連續(xù).極限極限,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xy )21cos121sin2(lim220 xxxxx fy(x,y)在原點(diǎn)在原點(diǎn)(0,0)也不連續(xù)也不連續(xù).同理可證同理可證,022時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) yx函數(shù)在一點(diǎn)可微函數(shù)在一點(diǎn)可微,此題說明此題說明:在這點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)不一定連續(xù)在這點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)不一定連續(xù).)0 , 0(),(lim00 xxyxfyxf )0 , 0(),(lim00yyyxfyxf 20判別判別 f (x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0, y0)是否可微的方法是否可微

11、的方法:(1) 若若f (x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0, y0)不連續(xù)不連續(xù),或偏導(dǎo)不存在或偏導(dǎo)不存在則必不可微則必不可微;(2) 若若f (x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0, y0)的鄰域內(nèi)偏導(dǎo)存在且的鄰域內(nèi)偏導(dǎo)存在且連續(xù)必可微連續(xù)必可微;(3) 檢查檢查 )(,(),(),(00000 xxyxfyxfyxfx)(,(000yyyxfy 是否為是否為2020)()(yyxx 的高階的高階無窮小無窮小? 即檢查即檢查),(),(0000yyxfxyxfzyx 是否為是否為 的高階無窮小的高階無窮小(即極限為即極限為0)? 若為若為0, 0, 則可微則可微, ,否則不可微否則不可微. .一元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)

12、、可微的關(guān)系一元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù) 函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù) 函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)可偏導(dǎo)函數(shù)可偏導(dǎo)記為記為.dddyyzxxzz .ddddzzuyyuxxuu 習(xí)慣上習(xí)慣上, ,),(zyxfu 二元函數(shù)全微分二元函數(shù)全微分),(yxfz 三元函數(shù)全微分三元函數(shù)全微分記為記為yyzxxzz d同理同理, ,解解,2xyyexxz ,xyxeyz yyzxxzzyxyxddd2121 例例 計(jì)算函數(shù)計(jì)算函數(shù)xyexz 2在點(diǎn)在點(diǎn))2 , 1(的全微分的全微分. .所以

13、所以.d)d1(222yexe 解解),2sin(yxyxz ),2sin(2)2cos(yxyyxyz yyzxxzzddd),4(),4(),4( ).74(82 ,4),2cos( yxyxyz當(dāng)當(dāng)求求函函數(shù)數(shù)例例.d,4d時(shí)的全微分時(shí)的全微分 yx解解, 1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz 例例解解.的全微分的全微分求求zyxu udyyxyzzd xyxyzzd1 zyxyxzdln 練習(xí)練習(xí)28二、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用二、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用當(dāng)二元函數(shù)當(dāng)二元函數(shù)z = f (x, y

14、)在點(diǎn)在點(diǎn)P(x, y)的的由二元函數(shù)的全微分的定義及關(guān)于全微分存在由二元函數(shù)的全微分的定義及關(guān)于全微分存在的充分條件可知的充分條件可知, , 兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)fx(x, y), fy(x, y)連續(xù)連續(xù), 并且并且|x|, |y|都較小都較小時(shí)時(shí), 就有近似等式就有近似等式y(tǒng)yxfxyxfzzyx ),(),(d上式也可以寫成上式也可以寫成yyxfxyxfyxfyyxxfyx ),(),(),(),(29解解例例 計(jì)算計(jì)算02. 2)04. 1(的近似值的近似值. ),(yxfz設(shè)設(shè)利用函數(shù)利用函數(shù)yxyxf ),(在點(diǎn)在點(diǎn) ),(00yx處的可微性處的可微性, 可得可得 02. 2)0

15、4. 1( )02. 2,04. 1(f )2, 1(f02. 0004. 021 .08. 1 ,yx)2, 1(04. 0 x02. 0 yzf )2, 1( )2, 1(fzdyfxfyx )2, 1()2, 1(yyxfxyxfyxfyyxxfyx ),(),(),(),(|x|, |y|都較小都較小當(dāng)兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)當(dāng)兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)fx(x, y), fy(x, y)連續(xù)連續(xù),30若函數(shù)若函數(shù) f (x, y)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)具有二階偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有二階偏導(dǎo)數(shù), 那么那么 選擇題選擇題 結(jié)論正確的是結(jié)論正確的是( ).)A(22xyfyxf 必有必有(B) f (x, y)在在D內(nèi)必可微內(nèi)必可微.

16、(C) f (x, y)在在D內(nèi)必連續(xù)內(nèi)必連續(xù).(D) (A), (B), (C)三個(gè)結(jié)論都不對(duì)三個(gè)結(jié)論都不對(duì)31考研數(shù)學(xué)一考研數(shù)學(xué)一, 3分分考慮二元函數(shù)考慮二元函數(shù) f (x, y)的下面的下面4條性質(zhì)條性質(zhì): 選擇題選擇題 f (x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0 , y0)處連續(xù)處連續(xù), f (x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0 , y0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù), f (x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0 , y0)處可微處可微,f (x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0 , y0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在.若用若用“”QP 表示可由性質(zhì)表示可由性質(zhì)P推出性質(zhì)推出性質(zhì)Q,則有則有(A) . (B) .

17、 (C) . (D) . 32全微分的定義全微分的定義全微分的計(jì)算全微分的計(jì)算多元函數(shù)極限、連續(xù)、偏導(dǎo)、可微的關(guān)系多元函數(shù)極限、連續(xù)、偏導(dǎo)、可微的關(guān)系(注意注意: 與一元函數(shù)有很大的區(qū)別與一元函數(shù)有很大的區(qū)別)三、小結(jié)三、小結(jié)可微分的必要條件、可微分的必要條件、 可微分的充分條件可微分的充分條件33 對(duì)多元函數(shù)的極限、連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系對(duì)多元函數(shù)的極限、連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系:偏導(dǎo)連續(xù)偏導(dǎo)連續(xù)有偏導(dǎo)有偏導(dǎo)可微可微 連續(xù)連續(xù) 有極限有極限 對(duì)一元函數(shù)的極限、連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系對(duì)一元函數(shù)的極限、連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系:可微可微 可導(dǎo)可導(dǎo)連續(xù)連續(xù) 有極限有極限34是非題是非題, 0)0 , 0(, 0)0 ,