勾股定理知識講解

1、勾股定理知識講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .了解勾股定理的歷史，掌握勾股定理的證明方法;2 .理解并掌握勾股定理及逆定理的內(nèi)容；3 .能應(yīng)用勾股定理及逆定理解決有關(guān)的實際問題【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點梳理】【高清課堂 勾股定理全章復(fù)習(xí)知識要點】要點一、勾股定理1 .勾股定理：直角三角形兩直角邊 a、b的平方和等于斜邊 c的平方.(即：a2 b2 c2)2 .勾股定理的應(yīng)用勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用是：(1)已知直角三角形的兩邊，求第三邊；(2)利用勾股定理可以證明有關(guān)線段平方關(guān)系的問題；(3)求作長度為品的線段.要點二、勾股定理的逆定理1 .原命題與逆命題如果

2、一個命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個命題叫做互逆命題.如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題2 .勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長 a、b、c,滿足a2 b2 c2,那么這個三角形是直角三角形.應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個三角形是不是直角三角形的基本步驟：(1)首先確定最大邊，不妨設(shè)最大邊長為c；(2)驗證c2與a2 b2是否具有相等關(guān)系，若 a2 b2 c2,則4 ABC是以/ C為直角的直角三角形，反之，則不是直角三角形3 .勾股數(shù)滿足不定方程x2 y2 z2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達哥拉斯數(shù)） ： 顯然，以x、v、z

3、為三邊長的三角形一定是直角三角形.常見的勾股數(shù)： 3、4、5;5、12、13;8、15、17;7、24、25;9、40、41.如果（a、b c）是勾股數(shù)，當(dāng)t為正整數(shù)時，以at、bt、ct為三角形的三邊長，此三 角形必為直角三角形.觀察上面的、四組勾股數(shù)，它們具有以下特征：1 .較小的直角邊為連續(xù)奇數(shù)；2 .較長的直角邊與對應(yīng)斜邊相差1.3 .假設(shè)三個數(shù)分別為a、b c,且a b c,那么存在a2 b c成立.（例如中存在 72 = 24+25、92 = 40+ 41 等）要點三、勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)系：勾股定理與其

4、逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，兩者互為逆定理，都與直角三角形有關(guān).【典型例題】類型一、勾股定理及逆定理的簡單應(yīng)用1、已知直角三角形的兩邊長分別為6和8,求第三邊的長.【答案與解析】解：設(shè)第三邊為x .當(dāng)x為斜邊時，由勾股定理得 x2 62 82.所以 x J62 82 J36 64 V100 10.當(dāng)x為直角邊時，由勾股定理，得x2 62 82 .所以 x J82 62 J64 36 V28 2幣.所以這個三角形的第三邊為 10或2 J7 .【總結(jié)升華】題中未說明第三邊是直角邊還是斜邊，應(yīng)分類討論，本題容易誤認(rèn)為所求的第三邊為斜邊.舉一反三：【變式】在 ABC中，AB= 15, AC= 13,高

5、AA 12.求 ABC的周長.【答案】解：在 RtABD和 RtACD中，由勾股定理，得 BD2 AB2 AD2 152 122 81 .同理CD2_ 2_ 2_2_2_AC AD 131225.CD當(dāng)/ ACB> 90°時, ABC的周長為：當(dāng)/ ACM 90°時, ABC的周長為：BC= BA CD= 9-5 = 4.AB+ BC+ CA= 15+4+13=32.BC= BA CD= 9+5=14.AB+ BC+ CA= 15+ 14 + 13=42.綜上所述： ABC勺周長為32或42.、如圖所示， ABC中，Z ACB= 90° ,AC= CB, M

6、 為 AB 上一點.求證：AM 2 BM 2 2CM 2.【思路點撥】 欲證的等式中出現(xiàn)了aM作 CDL AB.【答案與解析】證明：過點C作CDL AB于D. AC = BC, CDL AB, AD = BD.ZACB= 90° ,CD = AD= DBbM>cM,自然想到了用勾股定理證明，因此需要AM2 BM22AD DMADDM一2AD 2AD DM_2_ 2DM AD2ADDM DM2(AD2 DM 2)2(CD2 DM2)在 RtACDM,CD2_2_DM CM AM 2 BM 2 2CM 2.【總結(jié)升華】 欲證明線段平方關(guān)系問題，首先聯(lián)想勾股定理， 從圖中尋找或作垂線

7、構(gòu)造包含所證線段的直角三角形，利用等量代換和代數(shù)中的恒等變換進行論證.舉一反三：【變式】已知， ABC43, AB= AC, D為BC上任一點，求證： AB2 AD2 BD CD .A解：如圖，作 AML BC于 M - AB= AG，B隹 CM, 則在RtABM中：AB2 AM2 BM 2在 RtADM中：AD2 AM2 DM 2由一得：AB2 AD2 BM2 DM 2 BM DM BM DM=（MO DM?BD= CD- BD類型二、勾股定理及逆定理的綜合應(yīng)用33、（2014秋?黎川縣期中）如圖，在正方形ABCD43, AB=4, AE=2, DF=1,請你判定 BEF 的形狀，并說明理由

8、.【思路點撥】根據(jù)勾股定理求出 Bg、Ep、Bp,根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可.【答案與解析】解： BEF是直角三角形，理由是：二.在正方形 ABCD43, AB=4, AE=2, DF=1,，/A=/ C=/ D=90 , AB=AD=DC=BC=4DE=4- 2=2, CF=4- 1=3,由勾股定理得： bE'=AB'+aE;=42+22=20, EF2=dE'+dF2=22+12=5, BF2=BC2+C，=42+32=25, bE?+ef2=bf2,/ BEF=90 ,即 BEF是直角三角形.【總結(jié)升華】本題考查了正方形性質(zhì)，勾股定理，勾股定理的逆定理的應(yīng)用，解

9、此題的關(guān)鍵是求出 bE?+ef2=bf2.舉一反三：【變式】如圖所示，已知 ABC中，/ B= 22.5 ° , AB的垂直平分線交 BC于D, BD= 6衣,AE! BC于E,求AE的長.【答案】解：連接AD DF是線段AB的垂直平分線，AD = BD= 6短,Z BAD= / B= 22.5又/ADg / B+ / BAD= 45° , A已 BC, /DA± 45° , AE=DE由勾股定理得：AE2 DE2 AD2,2AE2 (6回2,AE、如圖所示，分別以直角三角形ABC三邊為直徑向外作三個半圓，其面積分別用§、S2、S3表示，則不難

10、證明 s S2 S3 .(1) 如圖，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用§、S2、S3表示，那么s、S2、S3之間有什么關(guān)系?(不必證明)(2)如圖，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正三角形，其面積分別用§、S2、S3表示，請你確定 Sp S2、S3之間的關(guān)系并加以證明.【答案與解析】解：設(shè)Rt ABC的三邊BGCA AB的長分別為a、b、c ,則 a2 b2S1S2s3；(2) S1 S2 s3 .證明如下:顯然，Si 典c, S2 鼻,S3 gb2,444所以 S2 S3 直(a2 b2)在 c2 S 44【總結(jié)升華】本題可以在直角三角

11、形外作的三個圖形推及為等腰直角三角形、正五邊形等.C5、如果A ABC的三邊分別為a b、c,且滿足a2 b2 c2 50 6a 8b 10c, J 斷A ABC的形狀.【答案與解析】解：由 a2 b2 c2 50 6a 8b 10c,得：a2 6a 9b28b16c210c25 0(a 3)2(b4)2(c5)2 0 (a 3)2 0,(b 4)2 0,(c 5)2 0a 3, b 4, c 5.c2,22 345 , 2. 22 a b c .由勾股定理的逆定理得： ABC是直角三角形.【總結(jié)升華】勾股定理的逆定理是通過數(shù)量關(guān)系來研究圖形的位置關(guān)系的，在證明中經(jīng)常要用到.類型三、勾股定理的

12、實際應(yīng)用C6、如圖，一只螞蟻在長方體木塊的一個頂點A處，食物在這個長方體上和螞蟻相對的頂點B處，螞蟻急于吃到食物，所以沿著長方體的表面向上爬，請你計算它從 處爬到B處的最短路線長為多少？Z7|gI I II Scm尸丁尸43cm【思路點撥】 將長方體表面展開，由于螞蟻是沿長方體木塊的表面爬行，且長方體木塊底面是正方形，故它爬行的路徑有兩種情況.【答案與解析】因為兩點之間線段最短，所以最短的爬行路程就是線段AB的長度.在圖中，由勾股定理，得 AB232 112 130.在圖中，由勾股定理，得 AB262 82 100 .因為130>100,所以圖中的 AB的長度最短，為10cm,即螞蟻需要爬行的最短路線 長為10cm.【總結(jié)升華】解本題的關(guān)鍵是正確畫出立體圖形的展開圖，把立體圖形上的折線轉(zhuǎn)化為平面圖形上的直線，再運用勾股定理求解.舉一反三：【變式】（2014秋?鄭州期末）我國古代有這樣一道數(shù)學(xué)問題：“枯木一