肆、量子力學導引

1、肆、量子力學導引4.1 量子力學的淵源 建構(gòu)新的力學 (1) 以古典力學為基礎，但揚棄其基本理念。 (2) 在古典物理能解釋的範圍，要與之相對應（correspondence principle）。 (3) 以量元常數(shù)為要件。 (4) 要調(diào)和波觀點與粒觀點，必須把波視為潛移的波，描述現(xiàn)象的或然而非必然。（Bohr, Born, Heisenberg）。 (5) 重視可觀測量(observables)。就原子而言，包括光譜的頻率（能階）、強度，及各種散射的微分截面（機率的角度分布）等。 (6)實驗的對象是群體，因而要能計算各種過程的或然率及物理量的期望值，以與實驗比較。 (7) 知即測，測即擾，

2、互補觀。量子力學的三種門道（approaches）殊途同歸創(chuàng)建者與年代名 稱繪景（picture）Heisenberg 1925矩陣力學 matrix mechanics quantum mechanics量子力學 1926機演繪景Schrödinger 1926波動力學 wave mechanics 運演繪景Feynman 1942路徑積分法 path-integral approach to QM 諸徑俱攝繪景 量子力學概念發(fā)展示意表Einstein 1905Bohr 1913Heisenberg, Born, Jordan 1925Planck 1900de Broglie 1

3、924Schrödinger 1926Schrödinger, Dirac 1926Feynman 1948Hamiltons equationsHamilton-Jacobi equationHamiltons principle1834-1835 上表中：機指operators，運指state amplitude，演指隨著時間變化。Schrödinger的門道較容易為初學者接受。Heisenberg的門道較有物理感。Feynman的門道最具算學內(nèi)涵。4.2 單質(zhì)粒的Schrödinger方程 找出關於微分方程的粗通推論（plausibility ar

4、gument） 單質(zhì)粒在勢能場中（single particle in a potential field）： 設有一波函數(shù) 當小，據(jù)de Broglie假設，而。適合的微分方程式是 。Schrödinger猜想此微分方程於一般都適用，是乃Schrödinger方程。質(zhì)粒的態(tài)（state）是該方程的解。 Schrödinger方程的一般性質(zhì)Laplacian 的意義x- y-z為任意的正交座標系 (周圍距中心六處的值與中心點值差的平均值) (以為半徑的球面上值與中心點值差的平均值) 此方程的形式是，其中=是從該系統(tǒng)的能量泛函（Hamiltonian）變來，稱為能量

5、算機（Hamiltonian operator， operator指將函數(shù)變換的機器，一般譯為算符）。對時間的微分為一次，所以隨時間的演變是命定的（deterministic），決定於的形式。H裡一起考量了質(zhì)粒的動能與其環(huán)境的勢能。 此方程對空間微分兩次，對時間微分一次，所以不是波方程（wave equation）。其解有瀰散（spreading）性質(zhì)（與k的關係非線性，波包的形狀會趨於消散）；換言之，它是有時間方向性的。它與擴散方程diffusion equation 卻也不同，因有虛數(shù)。常見的二階偏微分方程的形式Laplace equationPoisson equationHelmhol

6、tz equationwave equationdiffusion equationSchrödinger equation 本方程首次將虛數(shù)i引進物理的基礎公式，因而是複數(shù)函。為與實驗比較，取實數(shù)。Born將它詮釋為找到質(zhì)粒的或然率密度（probability density），此稱統(tǒng)計詮釋（statistical interpretation，或或然詮釋）。於是賦予歸一化（normalization）條件:。Feynman稱為態(tài)幅（state amplitude），因與或然率有關，又稱或然率幅（probability amplitude）、機率幅或運幅因為不是波，現(xiàn)今不稱波函（w

7、ave function）。 =，其相位的絕對值不能測量，但不同態(tài)間的相對值有測量上的意義，此為各種干涉實驗的基礎。Schrödinger方程：態(tài)幅演變的規(guī)律。 方程為線性（linear） 有疊加性。設與是解，則也是解，是為兩態(tài)之兼態(tài)（linear combination of states）。 此方程可分離變數(shù)（separable）。令代入，可得為常數(shù)。，而滿足 （是為time-independent Schrödingers equation，無關時間的Schrödinger方程）。eigen為德文，英譯為proper，指固有。因此，E是能量算機的本徵值（ei

8、genvalues），是能量算機的本徵函（eigenfunctions），故將E詮釋為該系統(tǒng)可居的能階（連續(xù)或分立）。又，該態(tài)的或然率密度=與時間無關，是以稱駐態(tài)（stationary state ）。駐態(tài)有特定能量。駐態(tài)的相位不時在作週期性變化?？勺C，不同能階的駐態(tài)相正交（orthogonal）： 若不同駐態(tài)有同樣能階，稱為簡併（degeneracy）。這時，增加足碼以示區(qū)別：。 若一態(tài)是不同能階兩態(tài)之兼態(tài)， ()，則 +2Re（）；換言之，或然率密度在震盪，其角頻率為。若該質(zhì)粒帶電荷，依電磁學會放出的光；這就導出了Bohr的頻率條件。 綜合以上，解問題的步驟是：（1）寫出系統(tǒng)的。（2），於

9、是 H。（3）。（4）先解得能階及駐態(tài)，各種駐態(tài)的兼態(tài)就是通解。本徵值問題在線性代數(shù)學裡，x= (x1,x2,)可視為n維宇的向量（vector）；進一步，對稱矩陣M可視為n維空間裡互相垂直的n個向量組成的架構(gòu)，這些向量就是該矩陣的本徵向量，各本徵向量的長度就是相應的本徵值。矩陣的對角化，為的是使座標系轉(zhuǎn)換到本徵向量構(gòu)成的座標系，而讓矩陣看起來最簡單除對角元素外都是0。所謂解本徵值問題，就是要找出特定的向量un，使Mun = nun，這時，un稱為M的本徵向量，n稱為M的本徵值。求解微分方程，在形式上與求解矩陣方程Mx = x相似，是要找出的本徵值E與本徵函來。換言之，在觀念上，函數(shù)（func

10、tion）可視為向量的推廣（無窮維，且為複數(shù)），微分算機（differential operator）則可視為對稱矩陣的推廣（自伴矩陣hermitian matrix）。這種算學是所謂希伯特宇向量分析（vector analysis in the Hilbert space）。準上，是動量算機的本徵函，其本徵值即。至於不同組成的波包，則既非動量的本徵態(tài)，也非位置的本徵態(tài)。 Ehrenfest 定理 相減 是或然率通量密度。 此為連續(xù)方程式，可見或然率密度如流體在流行，而總或然率維持為1。 以代入，得 前已定義 ，左邊相當於質(zhì)量或然率密度，是以可視為動量或然率密度。 若為一波包，則可證同方向的動量算機與位置算機不可對易（non-commutable）動量算機（momentum operator） 位置算機（position operator） etc. etc.好比有些矩陣可對易，有些矩陣不能對易，例如：,. 因此，波包的運動與古典力學相符合。 期望值 量子力學裡定義一物理量的期望值為，為與f相關的算機。 位置期望值 et