廣義積分的收斂判別法

1、第二節(jié) 廣義積分的收斂判別法上一節(jié)我們討論了廣義積分的計(jì)算 , 在實(shí)際應(yīng)用中，我們將發(fā)現(xiàn)大量的積分是 不能直接計(jì)算的，有的積分雖然可以直接計(jì)算，但因?yàn)檫^(guò)程太復(fù)雜，也不為計(jì)算工 作者采用，對(duì)這類問(wèn)題計(jì)算工作者常采用數(shù)值計(jì)算方法或 Monte-Carlo 方法求其近 似值 . 對(duì)廣義積分而言，求其近似值有一個(gè)先決條件 積分收斂，否則其結(jié)果毫 無(wú)意義。 因此，判斷一個(gè)廣義積分收斂與發(fā)散是非常重要的定理(Cauchy收斂原理)f(x) 在 a, +)上的廣義積分f(x)dx收斂的充分必a要條件是：0, 存在 A0, 使得 b, b A 時(shí)，恒有證明：對(duì) lim f (x)dx 0使用柯西收斂原理立即得

2、此結(jié)論bb同樣對(duì)瑕積分f (x)dx( b為瑕點(diǎn)),我們有a定理(瑕積分的Cauchy收斂原理)設(shè)函數(shù)f(x)在a, b)上有定義，在其任何閉子區(qū) 間a, b-上常義可積，則瑕積分a f(x)dx收斂的充要條件是：0 ,0, 只要 01,那么積分f(x)dx收斂，如f(x)xpaCauchy判別法:,p 1,則積分a f (x)dx發(fā)散.定理如 lim xpf(x) l (0 lx,P1),則積分af (x)dx收斂.如bimxPf(x) |,P 1,f (x)dx發(fā)散.例 判斷下列廣義積分的收斂性。1ln(1-)xdxmx .dx1 xn(m0, n0)解：(1)因?yàn)? ln(1 -)x1/

3、dx收斂推出!ln(1dx收斂.(2)因?yàn)閘imxmn m xx n1 x1,所以當(dāng)nm1時(shí)，積分1m+dx收斂.當(dāng)n-m 1時(shí)，積分對(duì)于瑕積分，使用m1- n dx發(fā)散.11 xnb 1- pdx作為比較標(biāo)準(zhǔn)，我們有下列柯西判別法.a (x a)p定理 設(shè)x=a是f(x)在a,b)上的唯一奇點(diǎn)，在其任意閉區(qū)間上可積，那么Cb(1) 如 0 f(x)p (c0), p0) p h 則ba f (x)dx發(fā)散.瑕積分的Cauchy判斷法的極限形式為定理設(shè) lim (x a)p f (x) kx a如 0 kv , p1,則 bf(x)dx收斂f (x)dx 發(fā)散.1,那么如 0vk,p判別下列瑕

4、積分的斂散性。(1)1dx0 (1 x2 *)(1 k2x2)(k20)2 dx0- pqsin xcos x解:(1)1是被積函數(shù)的唯一瑕點(diǎn)因?yàn)?lim (1 x) 0與 都是被積函數(shù)的瑕點(diǎn). dx )2(1 k2)x J(1x2)(1k2x21由p 知瑕積分收斂.2散.dx先討論 4,由lim0 sin xcos x x 0當(dāng)p1時(shí)，瑕積分dxp再討論dx2pq4 sin xcos xxp11-pqsin xcos x04r廠收斂；當(dāng)p 1時(shí),瑕積分04 p dx q發(fā)sin xcos x0 sin xcos x因limx 2(2 x)p1 pqsin xcos x_ dx所以當(dāng)q1時(shí)，瑕

5、積分p dx q收斂，pq4 sin xcos x當(dāng) q 1時(shí)，瑕積分 2dx 發(fā)散.pq4sin xcos xdx綜上所述，當(dāng)p1且q1時(shí)，瑕積分01 當(dāng) -時(shí)發(fā)散.pdx q收斂；其他情況發(fā)散.sin xcos xi例 求證：若瑕積分f (x)dx收斂，且當(dāng)x 0時(shí)函數(shù)f (x)單調(diào)趨向于+ ,則lim x0x 0證明：不妨設(shè)已知f (x)=0.x (0,1, f(x) 0,且 f(x)在(0, 1)上單調(diào)減少。1 f(x)dx收斂，由柯西收斂準(zhǔn)則，0,0( 1),從而x0 f(x)2xx f (t)dt200),1v-時(shí)收斂31/證明：.Timx 0x3x(1 cosx)=lim x 0

6、3xx31 cosxlim2x 01 cosx2 x2 x1所以當(dāng)3 1時(shí)，即 丄時(shí)，瑕積分收斂.當(dāng)31,即卩-時(shí)，瑕積分發(fā)散.3 3前面討論的是非負(fù)函數(shù)的反常積分的收斂性，為了能對(duì)一般函數(shù)的反常積分的斂散性進(jìn)行討論，我們先給出下面的重要結(jié)果.定理(積分第二中值定理)設(shè)g(x)在a,b上可積，f(x)在a, b上單調(diào)，則存在Ea, b使ba f (x)g(x)dx = g(a) a f (x)dx g(b) a f (x)dx為了證明定理，我們先討論下列特殊情況.引理設(shè)f (x)在a, b上單調(diào)下降并且非負(fù)，函數(shù)g(x)在a, b上可積，則存在c a, b，使bcf (x)g(x)dx=f (

7、a) g(x)dxaax證明：作輔助函數(shù)(x)二f (a) g(t)dt,對(duì)a, b的任一分法aP:a=xoxix2 A時(shí)，有 xg(x)|4M于是，對(duì) A, AA有I=2 2由Cauchy收斂原理知f(x)g(x)dx收斂a例討論廣義積分1叱dx的斂散性,1 xg(x)二cosx1解：令 f(x)=-,x則當(dāng)x時(shí),f(x)單調(diào)下降且趨于零,AF(A)= 1 cosxdx=sin A sin1 在a,)上有界.由Dirichlet判別法知1 co空dx收斂,1 x另一方面 因1 ldx發(fā)散1讐dx收斂從而非負(fù)函數(shù)的廣義積分-讐dx發(fā)散 由比較判別法知1 妙$dx發(fā)散,1 x所以-竽dx條件收斂

8、 例討論廣義積分1如xdx的斂散性.解：由上一題知，廣義積分cosxdx收斂，而arctanx在a, + )上單調(diào)有界,1 x所以由Abel判別法知-coarctanxdx收斂。另一方面，當(dāng)x 3,)時(shí)，有前面已證-寧dx發(fā)散cosxarctanxdx 條件收斂.判別法由比較判別法知|cosxarctanxl dx發(fā)散，所以1對(duì)瑕積分也有下列形式的Abel判別法和Dirichletb定理若下列兩個(gè)條件之一滿足，則f (x)g(x)dx收斂：(b為唯一瑕點(diǎn))一b(1) (Abel判別法) f(x)dx收斂，g (x)在a, b)上單調(diào)有界 ag( x)在b (Dirichlet 判別法) F(

9、) = f(x)dx在a, b )上有界, a(0, b a上單調(diào)，且 lim g(x) 0.x b證明：(1)只須用第二中值定理估計(jì)2)的證明. 12)的斂散性1si n 例討論積分一 dx (0 p0 xp解：對(duì)于0p1 ,因?yàn)? 1由0-dx收斂知絕對(duì)收斂斂對(duì)于0 p2,因?yàn)楹瘮?shù)f (x)=x2 p，當(dāng)x 0時(shí)單調(diào)趨于0,而函數(shù)滿足所以積分 1sin1_x0 xpdx但在這種情況下,1 sin x xp事實(shí)上g(x)=1sin x2x.1 sinp于dx收斂.xdx是發(fā)散的,11 sin x xp.2 1sin xxp2cosx2xp(6)dx發(fā)散2cos10云占dx收斂，1 1因0dx

10、發(fā)散，從而當(dāng)0 p2時(shí)，積分條件收斂.最后我們討論p=2的情形,因?yàn)?1 sin10時(shí)，上式無(wú)極限，所以積分0一 dx發(fā)散.0 x值得注意的是，兩種廣義積分之間存在著密切的聯(lián)系設(shè)：f (x)dx 中 x=a 為f(x)的瑕點(diǎn)，作變換1y=,貝廿有x aba f (x)dx =f(a-)2 dy,而后者是無(wú)限 y區(qū)間上的廣義積分.習(xí)題1、論下列積分的斂散性(包括絕對(duì)收斂,條件收斂，發(fā)散)(1)In In x sin xdx ；In x sin x2dx ；-dx ；2 . 2 UA， cos xsin x(5)1 In x , dx;0x211xp 1(101xp 10 In xx)q 1 In

11、 xdx ；xq 1dx (p,q 0)；(8)- dx ； p q x xp 1 xx e dx;(9)(10)(11)p 1xp .2 dx;1 x2sinxe sin2x , p dx ； xq -x sinx廠dx (p 0);1 xpsin(x -) 嚴(yán) dx (p 0).xp12.證明：若瑕積分0f(x)dx收斂，且當(dāng)xlim x f (x)=0 .x 0(12)0時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)趨于+,則3.若函數(shù)f(x)在a,)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)flx),且無(wú)窮積分 f(x)dx與a *a4.f/(x)dx都收斂，則 lim f (x)=0 .x設(shè)f(x)在a,)上可導(dǎo)，且單調(diào)減少,limxf (x)=0,求證:5.6.7.f (x)dx收斂aa證明：若函數(shù)f(x)在a,xf/(x)dx 收斂.)上一致連續(xù),且無(wú)窮積分af (x)dx收斂，則lim f (x)=0.x求證：若無(wú)窮積分1 f(x)=o().xf (x)dx收斂,函數(shù)f(x)在a,)內(nèi)單調(diào)，則計(jì)算下列廣義二重積分的值.(1