一元一次方程難點

1、WORD格式一元一次方程難點主要困難體現(xiàn)在兩個方面： 一是難以從實際問題中找出相等關(guān)系，列出相應(yīng)的方程； 二是對數(shù)量關(guān)系稍復雜的方程，常常理不清楚基本量，也不知道如何用含未知數(shù)的式子來 表示出這些基本量的相等關(guān)系，導致解題時無從下手。詳細說明 事實上，方程就是一個含未知數(shù)的等式。列方程解應(yīng)用題，就是要將實際問題中的一些數(shù)量關(guān)系用這 種含有未知數(shù)的等式的形式表示出來。而在這種等式中的每個式子又都有自身的實際意義，它們分別 表示題設(shè)中某一相應(yīng)過程的數(shù)量大小或數(shù)量關(guān)系。由此，解方程應(yīng)用題的關(guān)鍵就是要“抓住基本量， 找出相等關(guān)系”。所以，其實一元一次方程應(yīng)用題的解題關(guān)鍵就是：先找出等量關(guān)系，根據(jù)基本量

2、設(shè)未知數(shù)。一般是問什么設(shè)什么，但是一些特殊的題目為了使方程簡便有時會設(shè)一些中間量為未知數(shù)。初一年級涉及的主要有以下幾類：1）行程問題；2）工程問題；3）溶液配比問題；4）銷售問題；5）數(shù)字問題；6）比例問題；7）設(shè)中間變量的問題不 管是什么問題，關(guān)鍵是要了解各個具體問題所具有的基本量，并了解各個問題所本身隱含的 等量關(guān)系，結(jié)合具體的問題，根據(jù)等量關(guān)系列出方程。專業(yè)資料整理行程問題 行程問題中有三個基本量：路程、時間、速度。 等量關(guān)系為：路程 =速度×時 間； 速度 =路程 / 時間； 時間 =路程 / 速度 特殊情況是航行問題，其是行程問題中的一種特殊情況，其速度在不同的條件下會發(fā)生

3、變化。順水（風）速度 =靜水（無風）速度 +水流速度（風速）； 逆水（風）速度 =靜水（無風）速度水流速度（風速）。 由此可得到航行問題中一個重要等量關(guān)系： 順水（風）速度水流速度（風速）逆水（風）速度+水流速度（風速）靜水（無風）速度。典型例題例1 甲騎車從 A 地到 B 地，乙騎車從 B 地到 A 地，兩人都勻速前進。已知兩人在上午 8 時同時出發(fā)， 到上午 10 時，兩人相距 36 千米，到中午 12 時，兩人又相距 36 千米。求 AB兩地路程。解析：本題可以簡化為： A、 B 兩地兩人勻速相向而行， 2 小時候相距 36 千米， 4 小時候后仍相距36 千米，求 A、B 距離。而兩人

4、各自的速度是多少，是不是相等這些均沒有交代。為了有助于我們找 到等量關(guān)系，我們可以借助草圖。C甲乙甲從 A 出發(fā)去 B ，乙從 B 出發(fā)去 A ，相向而行， 2 小時后假設(shè)甲到 C，乙到 D，此時 CD 之間的距離為 36 千米。又過了兩小時后甲到 D ，乙到 C，此時 CD 之間的距離仍是 36 千米。 我們根本不知道甲乙的速度，但是我們知道一個等量關(guān)系就是甲乙的速度始終不變。那 么 設(shè) A 、 B 之 間 的 距 離 為 x 千 米 ， 那 么 2 小 時 后 ， 甲 乙 一 共 走 的 路 程 是 （ x-36 ）千米，用時 2 小時，那么甲乙的速度和是： x-3624 小 時 候 后

5、， 甲 乙 仍 相 距 36 千 米 ， 此 時 他 們 共 走 的 路 程 是 （ x+36 ） 千米，用時 4小 時 ， 那 么 甲 乙 的 速 度 和 是 ： x+364所以可以列方程為：2x - 36 x+36解 得 ： x=108 千 米例 2：一列火車從甲地開往乙地，每小時行90 千米，行到一半時耽誤了 12 分鐘，當著列火車每小 時加快 10 千米后，恰好按時到了乙地，求甲、乙兩站距離？ 此題的等量關(guān)系是：列車改變速度以后所用的總時間 = 原計劃的時間。則 可 設(shè) 甲 乙 之 間 距 離 為 x 千 米 ， 那 么 原 計 劃 的 時 間 為 （ x/90 ） 小 時實際所用時間

6、分三段，第一段用原速度90 走了一半的路程所用時間（x/2）小時，第二段是耽90誤停留的 12 分鐘（轉(zhuǎn)換成小時為（ 12/60 ）小時），第三段為加速后走另一半路程所用的時間 （ x/2 ）小 90+10時，所以可以列方程為：x( x/212 x/2) + 12 + x/2909060 90+10解得： x=360 千米。例 3：某隊伍 450 米長，以每分鐘 90 米速度前進，某人從排尾到排頭取東西后，立即返回排尾，速 度為 3 米 / 秒。問往返共需多少時間？解析：這一問題實際上分為兩個過程： 從排尾到排頭的過程是一個追及過程，相當于最后一個人追上最前面的人；從排頭回到排尾的過程則是一個

7、相遇過程，相當于從排頭走到與排尾的人相遇。在第一個過程追及 問題中，等量關(guān)系是：此人行進的路程 - 隊伍行進的路程 =隊伍長度。設(shè) 此 段 此 人 行 進 的 時 間 為 x ， 則 ：3x - 90 x = 45060解 得 x=300s 。在 第 二 個 過 程相遇問題中，等 量關(guān)系是：此人行進的路程 +隊伍行進的路程 =隊伍長度 。 設(shè) 此 段 此 人 行 進 的 時 間 為 y ，則：3y + 90 y = 45060解 得 ： y=100s 。 所以往返共用時間為 x+y=400s 。例 4：一艘輪船在甲、乙兩地之間行駛，順流航行需6 小時，逆流航行需 8 小時，已知水 流 速 度每

8、 小 時 2 km 。 求 甲 、 乙 兩 地 之 間 的 距 離 。解析：順水速度 =靜水速度 +水流速度；+水流速度。設(shè) 兩 地 之逆水速度 =靜水速度水流速度。此題的等量關(guān)系是：靜水速度順水速度水流速度逆水速度 間 距 離 為 x 千 米 ， 則-2 =x +2解 得 x=96 千 米工程問題 工程問題的基本量有：工作量、工作效率、工作時間。 關(guān)系式為：工作量 =工作效率×工 作時間； 工作時間 =工作量 / 工作效率； 工作效率 =工作量 / 工作時間。工 程 問 題 中 ，一 般 常 將 全 部 工 作 量 看 作 整 體 1 ，如 果 完 成 全 部 工 作 的 時 間

9、為 t ，則工 作 效 率 為 1/t 。 常 見 的 相 等 關(guān) 系 有 兩 種 ： 如 果 以 工 作 量 作 相 等 關(guān) 系 ， 部 分 工 作 量之和=總工作量。 如果以時間作相等關(guān)系，則完成同一 工作的時間差 =多用的時間。在工程問題中，還要注意有些問題中工作量給出了明確的數(shù)量，這時不能 看作整體 1 ，此時工作效率也即工作速度。典型例題例 1：加工某種工件，甲單獨作要 20 天完成，乙只要 10 就能完成任務(wù)，現(xiàn)在要求二人在 12 天內(nèi) 完成任務(wù)。問乙需工作幾天后甲再繼續(xù)加工才可正好按期完成任務(wù)？ 解析：將全部工作看做整體 1 ，由甲、乙單獨完成的時間可知，甲的工作效率為 1/20

10、 ，乙的工作效 率為 1/10 。問 題是乙需要單獨工作幾天后甲再工作正好完成任務(wù)，可知整個工程分成了兩部分，第 一部分由乙單獨工作，第二部分由甲單獨工作，兩部分的和是整個工作。所以可知等量關(guān)系為：乙工 作的工程量 + 甲工作的工程量 =1?？?設(shè) 乙 加 工 x 天 ，那 么 因 為 要 12 天 內(nèi) 完 成 任 務(wù) ，則 甲 工 作 的 天 數(shù) 為（ 12x ）天 。因 為乙 的 效 率 為 1/10 ，則 乙 的 工 程 量 為，則甲 的 工 程 量 為 12 - x12x/10；甲的工作效率為 1/20所 以 可 列 方 程 為 ： x + 12 - x10 12解 得 ： x=8 天

11、 。=1- 單獨老式收割的作業(yè)時間 =1例 2：收割一塊麥地，每小時割 4 畝，預計若干小時割完。收割了 2/3 后, 改用新式農(nóng)具收割，工作 效率提高到原來的 1.5 倍。因此比預計時間提前 1 小時完工。求這塊麥地有多少畝？ 解析：本題的等量關(guān)系為：老式收割與新式收割混合的作業(yè)時間可設(shè)麥地有 x 畝，那么在改用新式農(nóng)具之前的工作效率是此作業(yè)時間為 2x/3 = x 。改用新式工具后，工作效率為 1.5 作4 6業(yè)時間為 x/3 = x ，所以老式收割與新式收割混合的作業(yè)時間為： 6 184 畝 / 小時，按照此效率收割了 2x 畝，3× 4 6 畝 / 小時，工作任務(wù)為 x 畝，

12、此3，而單獨老式收割的作業(yè)18（4 6 18時間為 x ，所以根據(jù)等量關(guān)系可列方程為： 4解得 x=36 畝。例 3：10 小時注滿一池水， 需多少時間注滿水池？一水池裝有甲、乙、丙三個水管，加、乙是進水管，丙是排水管，甲單獨開需 乙單獨開需 6 小時注滿一池水，丙單獨開 15 小時放完一池水?，F(xiàn)在三管齊開， 解析：可知三個水管的工作效率如下： 甲水管的注水效率為 1/10 ； 乙水管的注水效率為 1/6 ； 丙水管的放水效率為 1/15那么當三個水管同時開時，可知其等量關(guān)系為：一定時間內(nèi)甲乙的注水工作量整體 1則 可 設(shè) 注 水 時 間 為 x 小 時 ， 則 甲 量 為 x/6 ， 丙 的

13、排 水 工 作 量 為 x/15的 注 水 工 作 量 為 x/10則可列方程為- 丙的排水工作量 =工程乙的注水工作x15+10解 得 x=5 小 時溶液配比問題溶液配比問題中有四個基本量：溶質(zhì)（純凈物）、溶劑（雜質(zhì)）、溶液（混合物）、濃度（含量） 其關(guān)系式為：溶液 =溶質(zhì) +溶劑（混合物 =純凈物 +雜質(zhì)）； 溶 質(zhì) 溶 質(zhì)純 凈 物 × 100%。 純凈物 +雜質(zhì) 溶質(zhì) +溶劑）。濃度 = 溶液 × 100% 溶質(zhì) +溶劑 × 100%； 純度（含量）=純凈物 × 100%混合物 由可得到：溶質(zhì) =濃度×溶 液=濃度×例 1：把

14、 1000 克濃度為 80 的酒精配成濃度為60 的酒精，應(yīng)加入濃度為20 的酒精多少克20%濃度100-x ）解析：等量關(guān)系是：溶質(zhì)質(zhì)量相等配比前的溶質(zhì)質(zhì)量分兩部分，第一部分為80%濃度的酒精的溶質(zhì)質(zhì)量，第二部分為濃度為的酒精的溶質(zhì)質(zhì)量。配比后的溶質(zhì)質(zhì)量為60%濃度的酒精的溶質(zhì)質(zhì)量 。則 設(shè) 加 入 溶 度 為 20%的 酒 精 x 克 ， 可 以 列 式 為 ：1000·80% + X·20% =（ 1000+X ）· 60% 計 算 得 ： x=500 克 。? 例 2：現(xiàn)有濃度為 10%及濃度為 20%的兩種氯化鈉溶液，問各取多少可配制成濃度為14%的溶液

15、 100 克？解析：本題跟上題等量關(guān)系一樣?？?設(shè) 需 10%濃 度 的 氯 化 鈉 溶 液 x 克 ， 那 么 需 20%的 氯 化 鈉 溶 液 （ 克 ， 可 列 方程 為 ：X· 10% + （100-X） · 20% =100 ·14%解 得 ： x=60 克 ， 則 需 要 20% 濃 度 的 100-60=40 克 。銷售問題與生活、生產(chǎn)實際相關(guān)的銷售類應(yīng)用題，是近年中考數(shù)學創(chuàng)新題中的一個突出類型。銷售類問題 主要體現(xiàn)為三大類： 銷售利潤問題、優(yōu)惠（促銷）問題、存貸問題。這三類問題的基本量各 不相同，在尋找相等關(guān)系時，一定要聯(lián)系實際生活情景去思考，才能

16、更好地理解問題的本質(zhì)，正確列 出方程。1）銷售利潤問題。利潤問題中有四個基本量：成本（進價）、銷售價（收入）、利潤、利潤率。基本關(guān)系式有：利潤銷售價（收入）- 成本（進價）；成本（進價）銷售價（收入）- 利潤；利潤率利潤成本（進價） 利潤成本（進價）×利潤率。在有折扣的銷售問題中，實際銷售價 =標價×折 扣率。打折問題中常以進價不變作相等關(guān)系（ 2）優(yōu)惠（促銷）問題。日常生活中有很多促銷活動，不同的購物（消費）方式可以得到不同的優(yōu)惠。這類問題中，一 般從“什么情況下效果一樣分析起”。并以求得的數(shù)值為基準，取一個比它大的數(shù)及一個比它小的數(shù) 進行檢驗，預測其變化趨勢。（ 3）存

17、貸問題。存貸問題與日常生活密切相關(guān)，也是中考命題時最好選取的問題情景之一。存貸問題中有本金、 利息、利息稅三個基本量，還有與之相關(guān)的利率、本息和、稅率等量。其關(guān)系式有： 利息本金×利率×期數(shù)； 利息稅利息×稅率 ； 本息和（本利）本金 +利息 - 利息稅? 例 1：10 件，后來又到深圳以每件 12.5 元的價格購進12 ，那么這種商品的銷售價應(yīng)定多少？為（ 10+40 ） x 元，而成本（進價）為 × 10+40某商店先在廣州以每件 15 元的價格購進某種商品 同樣商品 40 件。如果商店銷售這種商品時，要獲利解析：設(shè)銷售價每件 x 元，銷售收入則（

18、5×12.5 ）元，利潤率為 12 ，則利潤為（ 5×10+40 ×12.5 ）× 12。則可列方程為：（ 10+40 ） x （ 5 × 10+40 × 12.5 ） =（ 5 × 10+40 × 12.5 ）× 12 解得 x=14.56 元。? 例 2：某種商品因換季準備打折出售，如果按定價七五折出售，則賠 25 元，而按定價的九折出售將賺 20 元。問這種商品的定價是多少？解析：設(shè)定價為 x 元，七五折售價為 75 x 元，因為賠 25 元則利潤為 25 元， 進價則為75 x （ 25 ） =7

19、5 x+25 ；九折銷售售價為 90 x ，利潤為 20 元，進 價為 90 x 20。根據(jù)等量關(guān)系進價一定，可列方程為：75 x+25=90 x 20解得 x = 300 元。2.16 。取款? 例 3：小明假期打工收入了一筆工資，他立即存入銀行，存期為半年。整存整取，年利息為時扣除 20 利息稅。小明共得到本利 504.32 元。問半年前小明共存入多少元？解析：本題2.16中要求，期的 數(shù)未知數(shù)為是本金，可設(shè)存入的本金為 x 元，由年利率為0.5 年， 列方程則利為：息為 0.5×2.16 x ，利息稅為 20×0.5 × 2.16 x ，則可x +0.5&#

20、215;2.16 x 20×0.5 ×2.16 x=504.32解得x = 500元。? 例 4 ：某服裝商店出售一種優(yōu)惠購物卡，花 200 元買這種卡后，憑卡可在這家商店8 折購物，什么情況下買卡購物合算？解析：購物優(yōu)惠先考慮“什么情況下情況一樣”。設(shè)購物 x 元買卡與不買卡效果一樣，買卡花費金額為（ 200+80 x ）元， 不買卡花費金額為 x 元，故有：200+80 x = x解得： x = 1000 元。當 x > 1000 時，如 x=2000 買卡消費的花費為： × （元）。200+80 2000=1800 不買卡花費大于 1000 元時，買卡

21、購物合算。當 x < 1000 時，如 x=800 買卡消費的花費為：200+80 × 800=840 （元）。 不買卡花費小于 1000 元時，買卡不合算。數(shù)字問題一元一次方程應(yīng)用題中的數(shù)字問題多是整數(shù)，要注意數(shù)位、數(shù)位上的數(shù)字、數(shù)值三者間的關(guān)系：任何數(shù) =（數(shù)位上的數(shù)字×位 權(quán)）如兩們數(shù) ab = 10a + b ； 三位數(shù) abc = 100a + 10b + c? 例 1 ：一個三位數(shù)，三個數(shù)位上的和是 17 ，百位上的數(shù)比十位上的數(shù)大 7 ，個位上的數(shù)是十位 上的數(shù)的 3 倍。求這個數(shù)。解析：設(shè) 這 個 數(shù) 十 位 上 的 數(shù) 字 為 x ，則 個 位 上

22、的 數(shù) 字 為 3x ，百 位 上 的 數(shù) 字 為（ x+7 ），這個 三 位 數(shù) 則 為 100 （ x+7 ） +10x+3x 。依題意可列方程為：（ x+7 ） +x+3x=17 。解 得 ： x=2 。所 以 這 個 三 位 數(shù) 為 ： 100 （ x+7 ） +10x+3x=900+20+6=926 。? 例 2 ：一個六位數(shù)的最高位上的數(shù)字是 1 ，如果把這個數(shù)字移到個位數(shù)的右邊，那么所得的數(shù)等 于原數(shù)的 3 倍，求原數(shù)。解析：這個六位數(shù)最高位上的數(shù)移到個位后，后五位數(shù)則相應(yīng)整體前移 1 位，即每個數(shù)位上的數(shù)字被 擴大 10 倍，可將后五位數(shù)看成一個整體設(shè)未知數(shù)。設(shè)除去最高位上數(shù)字

23、1 后 的 5 位 數(shù) 為 x ， 則 原 數(shù) 為 100000+x ， 移 動 后 的 數(shù) 為 10x+1 ， 依 題 意 可 列 方程為：10x+1=3 （ 100000+x ）解 得 x = 42857 。則原數(shù)為 142857 。比例問題比例問題在生活中比較常見，比如合理安排工人生產(chǎn)，按比例選取工程材料，調(diào)劑人數(shù)或貨物等 比例問題中主要考慮總量與部分量之間的關(guān)系，或是量與量之間的比例關(guān)系。調(diào)配問題也屬于比例問題，其關(guān)鍵是要認識清楚部分量、總量以及兩者之間的關(guān)系。在調(diào)配問題 中主要考慮“總量不變”。? 例 1 ：甲、乙兩書架各有若干本書，如果從乙架拿 100 本放到甲架上，那么甲架上的書

24、比乙架 上所剩的書多 5 倍，如果從甲架上拿 100 本書放到乙架上，兩架所有書相等。問原來每架上各有多 少書？解析： 在調(diào)配問題中，調(diào)配后數(shù)量相等，即將原來多的一方多出的數(shù)量進行平分。由題設(shè)中“從甲書架拿 100 本書到乙書架，兩架書相等”，可知甲書架原有的書比乙書架上 原 有 的 書 多 200 本 。 故 設(shè) 乙 架 原 有 x 本 書 ， 則 甲 架 原 有 （ x+200 ） 本 書 。 從 乙 架 拿100 本 放 到 甲 架 上 ，乙 架 剩 下 的 書 為（ x 100 ）本 ，甲 架 書 變 為（ x+200 ） +100 本 。又甲架的書比乙架多 5 倍，即是乙架的六倍，可

25、列方程為：（ x+200 ） +100=6 （ x 100 ）解 得 x=180 ， 即 乙 書 架 原 有 180 本 書 ， 則 甲 書 架 原 有 180+200=380 本 書? 例 2 ：某車間 22 名工人參加生產(chǎn)一種螺母和螺絲。每人每天平均生產(chǎn)螺絲 120 個 或螺母 200 個，一個螺絲要配兩個螺母，應(yīng)分配多少名工人生產(chǎn)螺絲，多少名工人生產(chǎn)螺母，才能 使每天生產(chǎn)的產(chǎn)品剛好配套？解析：產(chǎn)品配套（工人調(diào)配）問題，要根據(jù)產(chǎn)品的配套關(guān)系（比例關(guān)系）正確地找到它們間得數(shù)量關(guān)系， 并依此作相等關(guān)系列出方程。本 題 中 ， 設(shè) 有 x 名 工 人 生 產(chǎn) 螺 母 ， 生 產(chǎn) 螺 母 的 個

26、數(shù) 為 200x 個 ， 則 有 （ 22 x ） 人生 產(chǎn) 螺 絲 ，生 產(chǎn) 螺 絲 的 個 數(shù) 為 120 （ 22 x ）個 。由“ 一 個 螺 絲 要 配 兩 個 螺 母 ”即“ 螺母的個數(shù)是螺絲個數(shù)的 2 倍”，可列方程為：200x=2 × 120 （ 22 x ）解 得 x=12 。即生產(chǎn)螺母的工人 12 名，生產(chǎn)螺絲的工人 10 名。?例 3 ：地板磚廠的坯料由白土、沙土、石膏、水按25 216 的比例配制攪拌而成。現(xiàn) 已將前三種料稱好，共 5600 千克，應(yīng)加多少千克的水攪拌？前三種料各稱了多少千克？解析：解決比例問題的一般方法是：按比例設(shè)未知數(shù)，并根據(jù)題設(shè)中的相等關(guān)

27、系列出方程 進 行 求 解 。本 題 中 ，由 四 種 坯 料 比 例 25 2 1 6 ，設(shè) 四 種 坯 料 分 別 為 25x 、 2x 、 x 、6x 千 克 ， 由 前 三 種 坯 料 共 5600 千 克 ， 則 可 列 方 程 為 ：25x+2x+x=5600所 以 x=200 ； 25x=5000 ； 2x=400 ； 6x=1200 。?例 4 ：教室內(nèi)共有燈管和吊扇總數(shù)為13 個。已知每條拉線管 3 個燈管或 2 個吊扇，共有這樣的拉線 5 條，求室內(nèi)燈管有多少個？解析：這是一道對開關(guān)拉線的分配問題。設(shè)燈管有 x 支，則吊扇有 13-x )個，燈管拉線x 條，吊扇拉線13 -

28、 x條，依題意“共有(為為532條拉線”，則可列方程為：13 - xx + 53 2解得 x=9? 例 5 ：出口 1 噸豬肉可以換 5 噸鋼材， 7 噸豬肉價格與 4 噸砂糖的價格相等，現(xiàn)有288 噸砂糖，把這些砂糖出口，可換回多少噸鋼材？解析：本 題可轉(zhuǎn)換成一個比例問題。由豬肉鋼材=1 5，豬肉砂糖 =74，得豬肉鋼材砂糖=7354。則 設(shè) 可 換 回 鋼 材 x 噸 ， 可 列 方 程 為 ：x 288=35 4解得 x=2520設(shè)中間變量的問題一些應(yīng)用題中，設(shè)直接未知數(shù)很難列出方程求解，而根據(jù)題中條件設(shè)間接未知數(shù)，卻較容易列出 方程，再通過中間未知數(shù)求出結(jié)果。? 例 1 ：甲、乙、丙、丁四個數(shù)的和是 43 ，甲數(shù)的 2 倍加 8 ，乙數(shù)的 3 倍，丙數(shù)的 4 倍，丁數(shù)的 5 倍減去 4 ，得到的 4 個數(shù)卻相等。求甲、乙、丙、丁四個數(shù)。? 例 2 ：某中學生足球聯(lián)賽共賽 10 輪（即每隊均需比賽 10 場），其中勝 1 場得 3 分，平 1 場 得 1 分，負 1 場得 0 分。勝利中學足球隊在這次聯(lián)賽中所負場數(shù)比平場數(shù)少 3 場，結(jié)果公得 19 分。勝利中學在這次聯(lián)賽中勝了多少場？解析：本題中若直接將勝的場次設(shè)為未知數(shù)，無法用未知數(shù)的式子表示出負的場數(shù)和平的 場 數(shù) ，