立體幾何題型總結(jié)

1、AE, SD所成的角的余弦值為（）立體幾何點(diǎn)線面的位置關(guān)系公理1：如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么他們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。1、公理的理解與應(yīng)用例1已知,為不同的平面，A、B、M N為不同的點(diǎn)，a為直線，下列推理錯(cuò)誤的是（）A.Aa,A,Ba,B ,aB.M,M,N,N, I MNC.A,AIAD.A、B、M,A、B、M,且A、B、M不共線、重合例2下列條件中，能得到平面/平面 的是（）A.存在一條直線,a/,a/B.存在一條直線a，a，a/C.存在兩條平行直線a，b，

2、a，b，a/，b/D.存在兩條異面直線a，b，a，a/，b/例3對(duì)于直線m, n和平面，下列命題中的真命題是（）A.如果m,n,m,n是異面直線,那么n/B.如果m,n,m,n是異面直線,那么n和 相交C.如果m,n/,m,n共面,那么m/nD.如果m/ /,n/,m, n共面，那么m/n例4已知正四棱錐S ABCD的側(cè)棱長與底面邊長都相等，E是S B的 中 點(diǎn) ， 則別與平面 交于E、F、G H必在同一直線上。3、直線與直線之間的關(guān)系例6給出下列四個(gè)命題：1垂直于同一直線的兩條直線互相平行；2平行于同一直線的兩條直線平行；3若直線a,b,c滿足a / b,b c,則a c；4若直線li,l2

3、是異面直線，則與li2都相交的兩條直線是異面直線。其中假命題的個(gè)數(shù)是（）A、1B、2 C、3D、4立體幾何-空間中的平行問題公理4:平行于同一直線的兩條直線互相平行定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)于平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。定理：平面外一條直線與此平面的一條直線平行，則該直線與此平面平行定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。定理：一個(gè)平面與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。A. iB.遼C癥D-3332、共線、共面、共點(diǎn)問題例5如圖所示，四邊形ABCD中， 已知AB/ CD,AB, BC,DC, AD（或延長線）分A定理：如果兩個(gè)

4、平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么他們的交線平行。證明平行的方法：線線平行：相似，全等；平行線判斷定理（內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)等），（高中階段一般不考，只作為轉(zhuǎn)化的一個(gè)橋梁） 線面平行：依定義采用反證法；根據(jù)定理證明（線/線 線/面）；面面平行的性質(zhì)定理（面/面 線/面）面面平行的：依定義采用反證法；用判斷定理或推論；用“垂直與同一條直線的兩個(gè)平面平行”這一性質(zhì)證明。1平行關(guān)系的概念例1若a、b為異面直線，直線c/a,貝Uc與b的位置關(guān)系是A.相交B.異面C. 平行D.異面或相交例2垂直于冋一平面的兩條直線疋A.平行B.相交C異面D.以上都有可能2、線面平行例3在空間四邊形ABCD中，E,F

5、分別是AB和BC上的點(diǎn)，若AE: EB=CF FB=1：3,則對(duì)角線AC和平面DEF的位置關(guān)系是（）A、平行B、相交C、在內(nèi)D、不能確定例4如圖所示，在正方體ABCD A1B1C1D1中，E、F分別是棱BCC1D1的中點(diǎn)。求證：EF /平面BDD1B1.例5如圖所示，P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，E、F分別在PA BD上，且PE EA=BF FD.求證：EF /平面PBC例6有下列幾個(gè)命題1平面內(nèi)有無數(shù)個(gè)點(diǎn)到平面 的距離相等，且/;2I a, I b，且a/b（,為平面；a,b為直線），則/；3平面內(nèi)一個(gè)三角形三邊分別平行于平面內(nèi)的一個(gè)三角形的三邊，則/;4平面內(nèi)一個(gè)平行四邊形的兩邊分

6、別與平面內(nèi)的一個(gè)平行四邊形的兩邊對(duì)應(yīng)平行，則/。其中正確的有_的重心。如圖所示，B為ACD所在平面外一點(diǎn)，M,N,G分別為ABC,ABD,BCD(1)求證平面MN/平面ACD(2)求SMNG:SADC.EF例8ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P事平面ABCD外一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G,過G做AP作平面交平面BDM于GH求證：AP/ GH立體幾何第四講-空間中的垂直問題定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。定理：一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直。定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。定理：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直

7、。三垂線定理：如果在平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，則它也和這條直線垂直。三垂線逆定理：如果：如果在平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線垂直，則它也和這條直線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直。最小角定理：斜線和它在平面的射影所成角（即線面角），是斜線和這個(gè)平面的最小角，并 滿足設(shè)A為面上一點(diǎn)，過A的直線A0在面上的射影為AB, AC為面上的一條直 線，那么/OAC/BAC,/OAB三角的余弦關(guān)系為：cos OAC cos BAC cos OAB （cos BAC和cos OAB只能是銳角，通俗點(diǎn)說就是，cos平面斜線與平面直線夾角（OAC）=cos斜線射影 與平面直線夾角（BAC）x

8、cos平面斜線與斜線射影夾角（OAB）.又叫最小角 定理或爪子定理，可以用于求平面斜線與平面內(nèi)直線成的最小角.證明垂直的方法：線線垂直：三垂線定理；線面垂直判斷定理；勾股定理等線面垂直：判斷定理；面面垂直的性質(zhì)面面垂直：判斷定理題型一：對(duì)空間中垂直的概念的理解例1:對(duì)于任意的直線l與平面 ，在平面 內(nèi)必有直線m，使m和I()A平行B相交C垂直D互為異面直線例2、用a、b、c表示三條不同的直線，y表示平面，給出下列命題：若a/b,b/c,貝V a/c；若a丄b,b丄c,則a丄c；若a/y,b/y，貝U a/b；若a丄y,b丄y，貝U a/b.A.B.C.D.題型二：線線垂直例3：如圖，四面體AB

9、CD中，AB CD, AC BD,求證：AD BC(三垂線逆定理)題型三：線面垂直例4:如圖，在棱長為a的正方體ABCD A.BQQ,中，E、F、G分別是CB、CD、CCi的中點(diǎn)。(1)求證：平面AB1D1/平面EFG；(2)求證：EF平面AA1C。ACAE例5：如圖，在三棱柱ABC AEG中，側(cè)面ABB1A1,ACC1A1均為正方形，/BAC=90,點(diǎn)D是棱B1C1的中點(diǎn).(I)求證：AD丄平面BB1C1C；(n)求證：AB1/平面ADC；題型四：面面垂直 例6:如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)。(1)求證：BCAE EF、FA為折痕，折疊這個(gè)正方形，使點(diǎn)

10、個(gè)四面體，如圖(2)所示.(1)求證：APL EF;(2)求證：平面APEL平面APFB知識(shí)梳理空間平面與平面的位置關(guān)系1空間兩平面的位置關(guān)系 ：平行、相交宀護(hù)方位置大糸定義圖示符號(hào)語言交點(diǎn)個(gè)數(shù)兩個(gè)平面相交斜交有一條公共直線（不垂直）a無數(shù)個(gè)垂直相交如果兩個(gè)相交平面所成 二面角為直二面角，那么兩個(gè)平面互相垂直a無數(shù)個(gè)兩個(gè)平面平行如果兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面平行/沒有2、空間兩平面平行名稱文字語言符號(hào)語言圖形面面平行的定義沒有公共點(diǎn)/如果一個(gè)平面內(nèi) 有兩條相交直線 都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè) 平面平行a,ba b O/a/ ,b/面面平行的判丁中 疋疋理垂直于冋一直線l,l/1- -

11、的兩平面平行平行于同一平面的兩平面平行兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：(1)如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線直線都平行于另一個(gè)平面;(2)如果兩個(gè)平行平面都與第三個(gè)平面相交，那么交線平行。3、空間兩平面垂直名稱文字語言符號(hào)語言圖形面面垂直的定義如果兩個(gè)相交平面所成的二面角為直二面角面面垂直 的判定定理如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直a, a卜2_ /兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直， 那么過其中一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)作它的交線的垂線與另一個(gè)平面垂直。4、空間角的概念二面角作法圖形示例及步驟:方法定義法垂面法三垂線定理及逆定理步驟在棱上取一特殊 點(diǎn)，分別兩

12、個(gè)面內(nèi) 找棱的垂線。(通 常兩面是等腰三 角行，或?qū)ΨQ的全等三角形)找一個(gè)垂直于二面 角的棱的垂面，那 么它于二面角的面 的交線所成的角是 二面角的平面角1、從二面角的一個(gè)面內(nèi)的一點(diǎn)作另一個(gè)面的垂線PF,2、 從垂足作棱的垂線FE,3、 連接PE,由三垂線定理得PEF是二面角的平面角補(bǔ)充/綜合練習(xí)1、過正方形ABCD勺頂點(diǎn)A,引PA丄平面ABCD若PA = AB,則平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是（）（A）30（B）45（C）60（D）902、四面體ABCD中,BD J2，其余棱長均為1,則二面角ABC- D的大小是_3、正方體ABCD ABiGDi中，二面角CiBD A的大小是_4

13、、RtABC的斜邊在平面a內(nèi)，直角頂點(diǎn)C是a外一點(diǎn)，AC BC與a所成角分別為30和45，則平面ABC與a所成角為_如圖，在四棱錐P ABCD中，底面ABCD是矩形.已知3, AD 2, PA 2,PD 2 2, PAB 60（1）證明AD平面PAB;（1）求異面直線PC與AD所成的角的大小;（3）求二面角P BD A的大小.EAB圖形D6、如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SD丄平面ABCD,SD= AD=a,點(diǎn)E是線段SD上任意一點(diǎn)。(1) 求證：AC丄BE(2)若二面角C-AE-D的大小為600，求線段ED的長。7、已知S是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn),SC 5.(1)求二面角B

14、SC D的大?。?2) 求SA與平面SBD所成的角。8、四面體ABCD中,AB= 3,AC=AD= 2，且BACCAD(1)求二面角A-CD-B的大小；(2)求異面直線AC與BD所成角的大小。9、在長方體ABCD ABGD,中，AB 2,BC BB,1,BQ與BC,交ABCSA 平面 ABCD,AB 3,DAB 60。C(1)求證：BQ平面ABC,D,(2)求二面角B,AD,O的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示);ABCD- AiBiCiD中，AtAAi=1,AB= 2,點(diǎn)E是AB上的動(dòng)點(diǎn)。(1)若直線Di E與EC垂直，試確定點(diǎn)E的位置，并說明理由;(2)在(1)的條件下求出異面直線AD與EC所

15、成的角；(3)在(1)的條件下求二面角DiEC D的大小。10、如圖在長方體日2、如圖，禾口為平面,l, A , B,AB=5,AB在棱I上的射影分別為A, B,立體幾何-距離問題空間中的距離：點(diǎn)線距離（定義法、等體積法、向量法、空間坐標(biāo)法） 離；異面直線的距離（公垂線）題型一：點(diǎn)面距離 例1:已知正四棱柱ABCD A1B1C1D1的地面邊長為1,則棱場為2,點(diǎn)E為CC,的中點(diǎn),求點(diǎn)D1到平面BDE的距離。2:在ABC中,AB=15，BCA 120，若占八、 、7D距離都是14,則1311練習(xí)：1、在棱長為1的正方體ABCDA BQ1D1中,E,F分別為棱AA，BB1的中點(diǎn)，G為棱AB1上的一

16、點(diǎn)，且AGDEF的距離為（1）.則點(diǎn)G到平面A. 3B.C.D.;線面距離；面面距AA= 3,BB=2.若二面角丨的大小為題型二：線面距離:例3：在長方體ABCD B1C1D1中,AB=2，AD AA1=1,E、F分別為AB CD的中點(diǎn),求直線AF到平面CD1E的距離。題型三：面面距離:例4：在棱長為4的正方體ABCD A1B1C1D1中，M N、E、F分別是A1D1, A）B1,C1D1,B1C1的中點(diǎn)，求平面AMNW平面BDEF間的距離。題型三：綜合類型:例5：（2010北京）如圖，正方體ABCD-ABIC1。1的棱長為2，動(dòng)點(diǎn)E、F在棱AB1上，動(dòng)點(diǎn)P, Q分別在棱AD CD上,若EF=

17、1,AE=X,DQ=y，求，點(diǎn)B到平面 的距離為DiAEBDP = z（x,y,z大于零），則四面體PEFQ的體積A.與x,y,z都有關(guān)B.與x有關(guān)，與y,z無關(guān)C.與y有關(guān)，與x,z無關(guān)D.與z有關(guān)，與x,y無關(guān)如圖，在四棱錐OOA底面ABCD,OA 2,M為OA的中點(diǎn),（I）證明：直線MN |平面OCD;（n）求異面直線AB與MD所成角的大??；（川）求點(diǎn)B到平面OCD的距離。例7：在四面體ABCD中，面和面BCD都是邊長為2a的等邊三角形，且AD=2a。設(shè)M N分別是棱AB CD的中點(diǎn)。求：M N在四面體表面上的最短距離。例6: (2008安徽理18本小題滿分12分）ABCD中，底面ABC

18、D四邊長為1的菱形，ABC立體幾何-夾角角問題知識(shí)點(diǎn)：夾角的分類：線線夾角線面夾角面面夾角三者在計(jì)算或證明時(shí)的轉(zhuǎn)換關(guān)系：面面*線面*線線計(jì)算三種夾角的方法：勾股定理、向量、坐標(biāo)等，對(duì)于夾角問題我們一般分為三個(gè)步驟，找角，證明所找的角，計(jì)算所找角的大?。ㄇ杏洸豢烧页鰜碇蟛蛔C明就開始計(jì)算）題型一：異面直線的夾角問題例1、在四棱錐PABC中，底面ABCD是一直角梯形,BAD 90 , AD / BC ,AB BC aAD 2a, PA底面ABCD, PD與底面成30角.（1）若AE PD,E為垂足，求證：BE PD；求異面直線NE與AM所成角的余弦值（2）在（1）的條件下，求異面直線AE與CC所成

19、角的正切值;例2、如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，MD平面ABCD，NB平面ABCD，且MD=NB=,1 E為BC的中點(diǎn)ABMAB例3、已知正四面體ABCD中，各邊長均為a，如圖所示，E,F分別為AD,BC的中點(diǎn),連接AF,CE，求異面直線AF ,CE所成角的余弦值。練習(xí):1、已知三棱柱ABC AB1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等,Ai在底面ABC上的射影為BC的中點(diǎn)，則異面直線AB與CCi所成的角的余弦值為()(B)4(C) V4(D)2、(12分)如圖，在正方體ABCD ABCD中,E,F分別是AB,BC的中點(diǎn)。(1)若M為BB的中點(diǎn)，證明：平面EMF/平面ABCD(2)求異面直線EF

20、與AD所成的角AB題型二：線面夾角例4、設(shè)M N是直角梯形ABCD兩腰的中點(diǎn)，DE AB于E（如圖）。現(xiàn)將ADE沿DE折起，使二面角A DE B為45,此時(shí)點(diǎn)A在平面BCDS的射影恰為點(diǎn)B,則M N的兩線與平面BCDB所成角的大小等于_例5、如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PAL底面ABCD AC=2j2,PA=AD=2 E是PC上的一點(diǎn)， 設(shè)二面角A-PB-C為90,求PD與平面PBC所成角的大小。例6、已知三棱柱ABCAB1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等，Ai在底面ABC內(nèi)的射影為ABC的中心，貝U ABi與底面ABC所成角的正弦值等于（）A.D.例7、如圖，直三棱柱ABC A

21、1B1C1中，AB AC,D、E分別是AA1,B,C的中點(diǎn),DE平面BCCi.(1)證明：AB=AC(2)設(shè)二面角A-BD-C為60，求B.C與平面BCD所成的角的大小練習(xí)：1已知三棱柱ABC AEG的側(cè)棱與底面邊長都相等，A|在底面ABC內(nèi)的射A.-BJC乜D.-3333題型三：面面夾角:例8如圖，在VABC中,15B=90o,AG15,D E兩點(diǎn)分別在AB AC上.AD AEDB EC2,DE=3.現(xiàn)將VABC沿DE折成直二角角，求：二面角使A-EC-B的大小的ABC的中心，貝UAB!與底面ABC所成角的正弦值等于()余弦值。例9:四邊形ABCD為等腰梯形，AB / CD,DAB 60,F

22、C面ABCD,AEBD,CB CD CF.(1)求證：BD面AED;求二面角F BD C的余弦值例10、女口圖，在四棱錐P ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB=3,AD=2,PD=2一2,PAB=60(1)證明：AD平面PAB(2)求異面直線PC與AD所成的角的大小(3)求二面角P-BD-A的大小P練習(xí):1如圖，二面角l的大小是60,線段AB.B l,AB與l所成的角為30.則AB與平面所成的角的正弦值是2、如圖，正方體ABCD ABiCiDi的棱線長為1，線段BQi上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E, F，且EF，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）2（AAC BE（B）EF /平面ABCD（C三棱錐A BEF的體積

23、為定值（D異面直線AE,BF所成的角為定值、知識(shí)點(diǎn)精析立體幾何-空間向量及其運(yùn)算考點(diǎn)一、空間向量及其加法與數(shù)乘運(yùn)算1、定義：在空間，我們把具有大小和方向的量叫作空間向量，向量的大小叫作向量的長度或模?？臻g向量也可用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的模,若向量a的起點(diǎn)是A,uuu終點(diǎn)是B，則向量a也可記作AB，其模記為uuua或AB2、幾個(gè)特殊向量(1)零向量：規(guī)定長度為o的向量記作零向量，記作0.當(dāng)有向線段的起點(diǎn)A與終點(diǎn)B重合uuu時(shí)，AB=o.(2)單位向量：模長為1的向量稱為單位向量。(3)相反向量：與向量a長度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為一a。(4)相等向量：方向相同

24、且模相等的向量稱為相等向量。a ；加法結(jié)合(a b) c a (b c)；數(shù)乘分配律(a b) a b考點(diǎn)二、共線向量與共面向量1共線向量(1)定義：與平面向量一樣，如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合,則這些向量叫共線向量或平行向量，記作a / /br(3)推論：如果I為經(jīng)過已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量a的直線，那么對(duì)于空間任一點(diǎn)0，點(diǎn)P在直線i上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t,等式OP OAtai； 其中a叫做直線i的方向uun uuu uuruuu uun uuu向量，如圖所示：由？ OP OA tAB，OP OA tAB (1中如令t1 則 0 胃1(OA是線段AB的中點(diǎn)公式.2

25、 2(示同一向量或相等向量。空間任意兩個(gè)向量都可以平移到同一平面內(nèi),3、空間向量的基礎(chǔ)運(yùn)算UJUTuuu uuu(1)加法：OC OA OBa+b,JJJ JJJ JJJ(2)減法：BA OA OBa-b.如圖所示。在空間，同向且等長的有向線段表3)運(yùn)算律：加法交換律(2)表示：a/b?存在實(shí)數(shù)，使auuu uuu個(gè)向量。2、共面向量(1)定義：通常把平行于同一平面的向量，叫做共面向量.c都叫做基向量.對(duì)于基底a b C 除了應(yīng)知道a,b,c不共面外，還應(yīng)明確：(1)空間不是0;(3)個(gè)基底是由不共面的三個(gè)向量構(gòu)成.一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量.(推論：設(shè)O, A, B,C是不共面的四點(diǎn)，

26、則對(duì)空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x,y,z,uuu uuu uuuUULT使OP xOA yOB zOC)考點(diǎn)三、空間兩個(gè)向量的數(shù)量積1、空間向量夾角：空間兩個(gè)向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a,b,在空間任取一點(diǎn)O，作ULLUULT TTrOA a,OB b，則AOB叫做向量a與b的夾角，記作；，b2、定義：a br3、性質(zhì)：a二、典例講解題型一 向量的基礎(chǔ)運(yùn)算(2)表示：如圖，如果兩個(gè)向量I是存在實(shí)數(shù)對(duì)X、U T y,p xa3、空間向量基本定理：如果三個(gè)向量b,c不共面，那么對(duì)空間任一向量Up，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組X,y,z，使prxar叫做空間的一個(gè)基底.a,任意三個(gè)不共面的向

27、量都可以作為空間向量的一個(gè)基底;基底中的三個(gè)向量Ki者rca bcos(a，b)叫做向量a與b的數(shù)量積r r a a r r a a2 2r r a a o o r r b br r a a r r練習(xí)、如圖所示，已知空間四邊形OABC，點(diǎn)M , N分別為OA, BC的中點(diǎn)，且(3)推論：空間一點(diǎn)P位于平面UUUTUULTUUUTMP xMA yMB 或?qū)臻gUUUTUUU ITUUUOP (1 x y)OM xOALUUUUUULUULULT例1、直三棱柱ABC- ABQ中，若CAa,CBb,CC1c,則AB()A.a b cB.abcC.a b cD.a b cOA a, OB b,OC c，用a,b, c表示向量MN題型二：共線與共面問題例2、在下列命題中：若a、b共線，則a、b所在的直線平行；若a、b所在的直線是 異面直線，則a、b一定不共面；若a、b、c三向量兩兩共