論在數(shù)學(xué)教學(xué)中利用軸對稱求最短距離的問題(共4頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上論在數(shù)學(xué)教學(xué)中利用軸對稱求最短距離的問題摘要：近幾年教初三，在最后復(fù)習(xí)階段的教學(xué)過程中，出現(xiàn)了很多利用軸對稱求最小值的問題，個人覺得這類題型能夠充分反映學(xué)生的應(yīng)變能力，對學(xué)生的知識系統(tǒng)要求很高，雖然淮陰區(qū)近年中考題沒有遇到類似的題目，但是我覺得這不失為一個非常好的問題。在這個大問題中，我把它歸納為兩種類型:“一線兩定點”和“一線兩動點”類型。如果中考能考到這種類型的問題，我覺得很符合現(xiàn)在的教學(xué)目標(biāo)，也更貼切學(xué)生的實際情況。因此，每年的初三，我都要花幾節(jié)課的時間上這個問題的專題課，希望借此提高學(xué)生的分析能力與應(yīng)變能力。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)、軸對稱、最短距離在實際問題中，經(jīng)常會遇

2、到求兩地之間到某條路上的某點距離之和最短的問題，如果我們把這些問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，利用我們數(shù)學(xué)上的知識來解決，通常會事半功倍。我們在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，通常都會找一個最基本的知識點，然后在這個知識點上加以深化，加以完善，一點一點的拓展、加深，再加上靈活運用，那么任何問題都不是問題了。而現(xiàn)在我所論的利用軸對稱來解決最短距離的問題上，這個基本的知識點就是：“兩點之間線段最短”。如下問：（1）、如圖1，在直線異側(cè)各有點A、B,在直線上找一點p，使PA+PB最小。 圖1 圖2分析：根據(jù)“兩點之間線段最短”，可知：連接AB，與直線的交點即為P點，如圖2.此基本類型為：一線（直線）兩定點（點A、B）。（

3、2）、如圖3，在直線同側(cè)各有點A、B,在直線上找一點p，使PA+PB最小。 圖3 圖4分析：作點A關(guān)于直線的對稱點A，連接AA，則直線就是線段AA的垂直平分線，根據(jù)“垂直平分線上一點到線段兩端點的距離相等”可得，直線上任一點到點A的距離都等于到點A的距離。事實上，這個問題就可以轉(zhuǎn)化成：在直線異側(cè)各有點A、B,在直線上找一點p，使PA+PB最小。即：一線兩定點的問題。由（1）得，連接BA，與直線的交點即為點P,如圖4。由以上兩題作為基礎(chǔ)，我以“一線兩定點”為本，將找最短距離的問題分成了幾種媒介：一、以菱形為媒介的最短距離問題：如圖5，菱形ABCD中，BAD=60°，AB=4，點M是AB

4、中點，P是對角線AC上的一個動點，則PM+PB的最小值是多少？ 圖5 圖6分析：由題意知：首先找點B或者點M關(guān)于AC所在直線的對稱點。由菱形的軸對稱性不難發(fā)現(xiàn)：點D即是點B關(guān)于直線AC的對稱點，則連接DM與線段AC的交點即為P點。那么PM+PB的最小值實際上就是線段DM的長度，如圖6。解答略。二、以正方形為媒介的最短距離問題：如圖7，正方形ABCD邊長為2，ABE為等邊三角形，且點E在正方形ABCD內(nèi)部，在對角線AC上找一點P，使PD+PE最小，則這個最小值為多少？ 圖7 圖8分析：由題意知：首先找點D或者點E關(guān)于AC所在直線的對稱點。由正方形的軸對稱性不難發(fā)現(xiàn)：點B即是點D關(guān)于直線AC的對稱

5、點，則連接BE與線段AC的交點即為P點。那么PD+PE的最小值實際上就是線段BE的長度，BE=2，如圖8。解答略。三、以圓為媒介的最短距離問題：如圖9，O的半徑為2，點A、B、C在O上，OAOB，AOB=60°，P是OB上一動點，求PA+PC的最小值。 圖9 圖10分析：由題意知：首先找點A或者點C關(guān)于OB所在直線的對稱點。由圓的軸對稱性不難發(fā)現(xiàn)：延長AO交圓于點A，則點A即是點A關(guān)于直線OB的對稱點，則連接CA與線段OB的交點即為P點。那么PA+PC的最小值實際上就是線段CA的長度，如圖10。解答略。四、以二次函數(shù)為媒介的最短距離：如圖11，拋物線與x軸交與A、B兩點，與y軸交與點

6、C，對稱軸上存在一點P，使PBC周長最小，求P點坐標(biāo)。 圖11 圖12分析：由題意知：易得A(-3，0)，B(1，0)，C(0，-3)，對稱軸為：x=-1，PBC周長=BC+PB+PC，因為BC是定值，則求PBC周長的最小值實際上就是求PB+PC的最小值。然后找點B或者點C關(guān)于對稱軸的對稱點。由二次函數(shù)的軸對稱性不難發(fā)現(xiàn)：點A即是點B關(guān)于對稱軸的對稱點，則連接AC與對稱軸的交點即為P點。根據(jù)A點和C點坐標(biāo)求出直線AC的函數(shù)解析式，然后令x=-1得出y的值，即得P點坐標(biāo)，如圖12。下面在“一線兩定點”的基礎(chǔ)上，對此加深，于是就有了“一線兩動點”的內(nèi)容：五：以三角形為媒介的最短距離問題：如圖13，

7、在銳角ABC 中，AB=4，BAC=45°, BAC的角平分線交BC于D，M、N分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值是多少？ 圖13 圖14分析：由AD是BAC的角平分線得，點N關(guān)于直線AD對稱的點N一定在線段AC上，則直線AD是線段NN的垂直平分線，則MN=MN,則求BM+MN的最小值就是求BM+MN的最小值。易知點B、M、N三點共線時BM+MN最小，根據(jù)“點到直線上點的距離中垂線段最短”得：過點B作AC的垂線，垂足為N，則B N的長度就是BM+MN的最小值，也就是BM+MN的最小值。由AB N為等腰直角三角形，AB=4立得，如圖14。當(dāng)然，利用軸對稱求最短距離的問題還不

8、僅僅于此:如圖15，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OACB的頂點O在坐標(biāo)原點，頂點A、B分別在x軸、y軸上，OA=3，OB=4，D為OB中點。（1）、若E為邊OA上一個動點，當(dāng)CDE周長最小時，求點E坐標(biāo)。（2）、若E、F為邊OA上兩動點，且EF=2，當(dāng)四邊形CDEF周長最小時，求E、F坐標(biāo)。 圖15 圖16分析：（1）、很簡單，作點D關(guān)于x軸的對稱點D，連接CD與x軸的交點即為E點，然后根據(jù)點C和點D的坐標(biāo)求出一次函數(shù)解析式，令y=0，得x的值，立得，如圖16。 圖17 圖18分析：（2）、要求四邊形CDEF周長的最小值，因為線段CD、EF都是定值，所以只要求DE+CF的最小值即可。根據(jù)“兩點間線段最短”，如果能將線段DE和CF轉(zhuǎn)化到同一條直線上，那么求出的值肯定最小，于是我們想到作D關(guān)于x軸的對稱點D(0，-2)，作點G(2，-2)，則GD=2，連接CG交x軸于點F，則F點確定了，E點也就隨之而確定。這時四邊形EFGD是平行四邊形，則FG=ED=DE，此時CG就是DE+Cf的最小值，如圖18。解