高三數(shù)學(xué)不等關(guān)系與不等式練習(xí)試題及答案

1、高三數(shù)學(xué)不等關(guān)系與不等式練習(xí)試題及答案作者：佚名 文章來(lái)源：網(wǎng)絡(luò) 點(diǎn)擊數(shù)： 更新時(shí)間：2014-4-18 17:46:41 一. 教學(xué)內(nèi)容：不等式高考復(fù)習(xí)一：不等關(guān)系與不等式 二. 教學(xué)目的1、復(fù)習(xí)不等式的性質(zhì)及應(yīng)用2、復(fù)習(xí)平均值不等式及其應(yīng)用 三. 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)不等式的性質(zhì)及均值不等式 四. 知識(shí)分析（一）不等式的性質(zhì)及應(yīng)用【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：不等式有關(guān)概念1. 不等式定義    用不等號(hào)（、）表示不等關(guān)系的式子叫不等式記作等等用“”或“”號(hào)連結(jié)的不等式叫嚴(yán)格不等式；用“

2、”或“”號(hào)連結(jié)的不等式叫非嚴(yán)格不等式  2. 同向不等式、異向不等式    對(duì)于兩個(gè)不等式，如果每一個(gè)的左邊都大于右邊，或每一個(gè)的左邊都小于右邊，這樣的兩個(gè)不等式叫同向不等式    對(duì)于兩個(gè)不等式，如果一個(gè)不等式的左邊大于右邊，而另一個(gè)不等式的左邊小于右邊，那么這兩個(gè)不等式叫異向不等式  3. 絕對(duì)不等式、條件不等式、矛盾不等式    （1）絕對(duì)不等式：如果不論用什么實(shí)數(shù)代替不等式中的字母它都能夠成立，這樣的不等式叫絕對(duì)不等式 

3、0;  （2）條件不等式：如果只有用某些范圍內(nèi)的實(shí)數(shù)代替不等式中的字母它才能夠成立，這樣的不等式叫條件不等式    （3）矛盾不等式：如果不論用什么樣的實(shí)數(shù)代替不等式中的字母它都不能成立，這樣的不等式叫矛盾不等式  4. 關(guān)于ab和ab的含義不等式“ab”的含義是“或者ab，或者ab”等價(jià)于“a不小于b”，即若ab或者ab之中有一個(gè)正確，則ab正確 考點(diǎn)二：實(shí)數(shù)的特征與實(shí)數(shù)比較大小  1. 實(shí)數(shù)的兩個(gè)特征（1）任意實(shí)數(shù)的平方不小于0，即。（2）任意兩個(gè)實(shí)數(shù)都可以比較大小，反之，可以比較

4、大小的兩個(gè)數(shù)一定是實(shí)數(shù)。  2. 實(shí)數(shù)比較大小的依據(jù)和方法（1）實(shí)數(shù)比較大小的依據(jù)：在數(shù)軸上不同的點(diǎn)A與點(diǎn)B分別表示兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)a與b，右邊的點(diǎn)表示的數(shù)比左邊的點(diǎn)表示的數(shù)大，從實(shí)數(shù)減法在數(shù)軸上的表示如圖，可以看出a、b之間具有以下性質(zhì)：如果是正數(shù)，那么；如果是負(fù)數(shù)，那么；如果等于零，那么，反之也成立，就是；。（2）實(shí)數(shù)比較大小的基本方法。比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，基本方法是作差，對(duì)差的正、負(fù)作出判斷，進(jìn)而得出結(jié)論。 考點(diǎn)三：不等式的性質(zhì)  1. （對(duì)稱(chēng)性）；  2. （傳遞性）；  3. （可加性）；

5、0; 4. ；  5. ，；  6. ；  7. （n是大于1的整數(shù)）；  8. （n是大于1的整數(shù)）?！痉椒ㄅc技巧】方法一：特殊值法對(duì)于某些選擇題，可采取特殊值法巧妙求解。例：已知，且，設(shè)，則（    ）A.                     B. C

6、.                     D. 答案：A解析：（特殊值法）取。由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知。，故選A。方法二：排除法利用不等式的性質(zhì)，排除掉干擾項(xiàng)從而選出正確答案，也是解題的一種有效方法技巧。例：若，下列不等式不成立的是A.             

7、        B. C.                   D. 答案：B解析：（排除法），。故知不成立的是B。故選B。方法三：比差法作差比較兩數(shù)（式）大小的依據(jù)是：；。例：比較的大小，其中。解析：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。方法四：比商法作商比較兩數(shù)（式）大小的依據(jù)：；。例：設(shè)且，試比較與的大小。解析：當(dāng)時(shí)，則，于是。當(dāng)時(shí)，則，于是。

8、綜上所述，對(duì)于不相等的正數(shù)、b，都有。 【典例精析】  例1. 適當(dāng)增加不等式條件使下列命題成立：（1）若，則；（2）若，則；（3）若，則；（4）若，則。剖析：本小題考查不等式的性質(zhì)。解析：（1）原命題改為若且，則，即增加條件“”。（2）由可得，但只有時(shí)，才有，即增加條件“”。（3）由可得，但作為真數(shù)，應(yīng)有，故應(yīng)增加條件“”。（4）成立的條件有多種（如），與定理4的推論1相關(guān)的一個(gè)是、，因此，可增加條件“”。點(diǎn)悟：解這類(lèi)開(kāi)放性試題，要求我們?cè)谏羁汤斫獠坏仁降男再|(zhì)的同時(shí)，一定要注意它們成立的條件。   例2. 若，則

9、下列命題中正確的命題是（    ）A. 均不能成立B. 均不能成立C. 不等式均不能成立D. 不等式均不能成立剖析：本小題主要考查不等式的基本性質(zhì)、敏銳的判斷力、靈活運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力。答案：B解析：。又不成立。，故不成立。由此可選B。另外，A中成立，C與D中成立，證明如下：，。故。故選B。點(diǎn)悟：解決該題，除利用不等式的基本性質(zhì)正面推導(dǎo)外，還可利用舉例驗(yàn)證排除錯(cuò)誤答案。   例3. 如果，則下列各式正確的是（    ）A. 

10、;                 B. C.                                

11、        D. 剖析：本題是在條件“”的情況下，利用不等式的性質(zhì)，判斷出成立的一個(gè)不等式。答案：D解析：對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，不成立，故應(yīng)排除A；對(duì)于B，不成立，故應(yīng)排除B；對(duì)于C，又由可知，但是的符號(hào)是不確定的，因此不成立，故應(yīng)排除C；對(duì)于D，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，又，成立，故選D。點(diǎn)悟：本題綜合利用了不等式的基本性質(zhì)、對(duì)數(shù)函數(shù)的值域、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及“作差法”。   例4. 已知，分別求、的范圍。剖析：本小題考查利用不等式的性質(zhì)，求數(shù)（式）的取值范圍。解析：。又，。

12、又。（1）當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，。綜合（1）（2）得。點(diǎn)悟：要準(zhǔn)確運(yùn)用不等式的性質(zhì)，如：同向不等式不能相減，同向不等式只有當(dāng)它的兩邊都是正數(shù)時(shí)才能相乘。【易錯(cuò)題剖析】易錯(cuò)題一：設(shè)，求的最大值和最小值。解題思路：解法一：，。設(shè)，即比較兩邊系數(shù)：。又，解法二：以下同解法一。失分警示：誤區(qū)：對(duì)同向不等式可加性推論：，前后關(guān)系不是充要條件的關(guān)系認(rèn)知不到位，錯(cuò)因由求出的值域取代由原條件求出的值域。易錯(cuò)題二：已知，求的取值范圍。解題思路：令，則。而，故有。失分警示：不能由，這是因?yàn)椴豢赡芡瑫r(shí)取到或，故結(jié)論錯(cuò)誤。同向不等式可以作加法運(yùn)算，導(dǎo)向不等式可以作減法運(yùn)算（不等號(hào)與被減不等式同向），當(dāng)同向不等式兩邊為正

13、時(shí)，可以作乘法運(yùn)算，但如果涉及到“等號(hào)能否取到”，則要看是否滿足取等號(hào)條件。這一點(diǎn)常易疏漏，請(qǐng)?zhí)貏e注意。 （二）均值不等式及其應(yīng)用【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：兩個(gè)重要不等式利用不等式的性質(zhì)，可以推出下列重要不等式：  1. 如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）。  2. 如果_，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）。稱(chēng)為a、b的算術(shù)平均數(shù)，稱(chēng)為a、b的幾何平均數(shù)。 考點(diǎn)二：靈活變式  1. ；  2. ；  3. ；  4. ；  5. 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，各式中等號(hào)成

14、立。 考點(diǎn)三：兩個(gè)重要結(jié)論  1. ，且（定值），那么當(dāng)時(shí)，有最_值。  2. ，且（定值）那么當(dāng)時(shí)，有最_值?！痉椒记伞糠椒ㄒ唬壕挡坏仁降呐錅惣记衫涸O(shè)，則M、N的最準(zhǔn)確的大小關(guān)系是（    ）A.                    B. C.    

15、0;               D. 答案：C解析：因?yàn)樽⒁獾剑遥ǘㄖ担?，知。取?”的條件是，即或，但這是不可能的。故。又因?yàn)?，注意到，（定值），知，?dāng)?shù)忍?hào)成立時(shí)，即，故。，故選C。方法二：用函數(shù)的觀點(diǎn)解決不等式問(wèn)題例：已知，試比較與的大小。解析：，易知，時(shí)，上是減函數(shù)，時(shí)，在上是增函數(shù)，方法三：三角換元例：若，則的最小值為_(kāi)。答案：解析：令，則，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），故的最小值為?！镜淅觥?#160; 例1. 已知

16、，求證：。剖析：本題考查利用均值不等式證明不等式。證明：，同理，點(diǎn)悟：證明不等式時(shí)應(yīng)根據(jù)求證式兩端的結(jié)構(gòu)，合理選擇基本不等式；本題的證明方法在證輪換對(duì)稱(chēng)不等式時(shí)具有一定的普遍性。   例2. 已知，求的最小值。剖析：本題考查利用均值不等式求最值。解析：解法一：，當(dāng)且僅當(dāng)，又，即時(shí)，上式等號(hào)成立。故當(dāng)時(shí)，。解法二：由，得（定值），又知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，。點(diǎn)悟：應(yīng)用均值不等式時(shí)熟練掌握定理成立的條件、重要不等式的變形，在運(yùn)用重要不等式證明不等式或求最值時(shí)，注意掌握“湊”（湊項(xiàng)、湊因式）的技巧，其目的一是創(chuàng)造一個(gè)應(yīng)用重要不等式的情境；二是使等號(hào)成立的條件

17、。   例3. 已知數(shù)列。（1）若，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，求的最大值，并求出對(duì)應(yīng)b的取值。剖析：本題考查利用均值不等式求變量的值。解析：（1）。（2），令，顯然，則，。當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立。由，則，又由，當(dāng)時(shí)，。點(diǎn)悟：本題以數(shù)列知識(shí)為背景，考查學(xué)生靈活運(yùn)用均值定理解決問(wèn)題的能力。   例4. （2004全國(guó)）某村計(jì)劃建造一個(gè)室內(nèi)面積為的矩形蔬菜溫室，在溫室內(nèi)，沿左、右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留1m寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3m寬的空地。當(dāng)矩形溫室的邊長(zhǎng)各為多少時(shí)，蔬菜的種植面積最大？最大種植面積是多少？剖析：本題主要考查

18、把實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，應(yīng)用不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和方法解決問(wèn)題的能力。解析：設(shè)矩形溫室的左側(cè)邊長(zhǎng)為am，后側(cè)邊長(zhǎng)為bm，則。蔬菜的種植面積。當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)。答：當(dāng)矩形溫室的左側(cè)邊長(zhǎng)為40m，后側(cè)邊長(zhǎng)為20m時(shí)，蔬菜的種植面積最大，最大種植面積為。點(diǎn)悟：在本題的求解過(guò)程中有兩個(gè)難點(diǎn)：一是建立函數(shù)關(guān)系式，二是利用均值不等式求最值要注意等號(hào)成立條件以及要會(huì)對(duì)式子進(jìn)行合理的分拆、組合等。【易錯(cuò)題剖析】易錯(cuò)題一：已知且，求的最小值。解題思路：，。當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，上式取等號(hào)，這時(shí)。故當(dāng)，時(shí)，最小值是9。另解，。上式當(dāng)且僅當(dāng)即等號(hào)成立。又。故最小值是9，此時(shí)。失分警示：誤區(qū)：，因此，的最小值是8。上面解

19、法中，連續(xù)進(jìn)行了兩次不等變形：與，且這兩次不等式中的等號(hào)不能同時(shí)成立，第一個(gè)不等式當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，第二個(gè)不等式是當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，因此不可能等于8。易錯(cuò)題二：若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為（    ）A.                      B.        

20、;         C.                      D. 答案：B解題思路：令。故。所以的最大值是。故選B。錯(cuò)因分析：誤區(qū)：連續(xù)使用不等式變形，而誤選A。取等號(hào)的條件是且，即與題設(shè)矛盾。使用均值不等式求值時(shí)，一定要注意等號(hào)成立的條件。易錯(cuò)題三：求函數(shù)的最小值。解題思路：解法一：。由，

21、得，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)取“=”號(hào)。因此y的最小值為。解法二：令，則。又在上單調(diào)遞減（單調(diào)性的證明過(guò)程略）。當(dāng)時(shí)，有最小值。失分警示：誤區(qū)：。的最小值為2。該式若取等號(hào)，需。即，不可能，所以取不到最小值。應(yīng)用均值不等式求最值要注意三個(gè)條件：（1）各項(xiàng)或各因式為正；（2）和或積為定值；（3）各項(xiàng)或各因式都能取得相等的值。即所謂“一正、二定、三相等”。 【模擬試題】一、選擇題1. 若ab，則（    ）A.a2b2          

22、0;                                  B.a2b2              

23、0;                              C.a2b2                  

24、0;                          D.以上都不對(duì)  2. 若a>b，c>d，則下列不等式恒成立的是（    ）    3. 已知a、b都為正數(shù)，則（    

25、）A.ab2                                                 

26、            B.ab2C.ab2                                     &

27、#160;                       D.ab2  4. 已知，則下列命題成立的是（    ）    5. 若a0或b0，則（    ）A.a2+b2ab     

28、;              B.a2+b2ab                     C.a2+b2ab             D.a

29、2+b2ab  6. 若，則大小順序?yàn)椋?#160;   ）      7. 若a，b是任意實(shí)數(shù)，且a>b，則（    ）      8. 已知，下列不等式恒成立的是（    ）    二、填空題9. 若f(x)3x2x1，g(x)2x2x1，則f(x)與g(x)的大小關(guān)系是f(x)_g(x).  10. 已知，則_。（填“>”，“<”或“=”）11. 設(shè)a0，1b0，則a、ab、ab2三者的大小關(guān)系為_(kāi).  12. 設(shè)，則從小到大的順序是_。  13. 若成立，則a的范圍是_。  14. 若，則a，b，c，d的大小關(guān)系是_。三、解答題15.  已知(n為奇數(shù))，試比較a2與b2的大小.16. 若，且a最大，試比較a+d與b+c的大