高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)掃描：九排列、組合、二項(xiàng)式、概率

1、九、排列、組合、二項(xiàng)式、概率：一、分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理：分類計(jì)數(shù)原理：如果完成某事有幾種不同的方法，這些方法間是彼此獨(dú)立的，任選其中一種方法都能達(dá)到完成此事的目的，那么完成此事的方法總數(shù)就是這些方法種數(shù)的和。分步計(jì)數(shù)原理：如果完成某事，必須分成幾個(gè)步驟，每個(gè)步驟都有不同的方法，而個(gè)步驟中的任何一種方法與下一步驟中的每一個(gè)方法都可以連接，只有依次完成所有各步，才能達(dá)到完成此事的目的，那么完成此事的方法總數(shù)就是這些方法種數(shù)的積。區(qū)別：如果任何一類辦法中的任何一種方法都能完成這件事，則選用分類計(jì)數(shù)原理，即類與類之間是相互獨(dú)立的，即“分類完成”；如果只有當(dāng)個(gè)步驟都做完，這件事才能完成，則選用分步

2、計(jì)數(shù)原理，即步與步之間是相互依存的，連續(xù)的，即“分步完成”。二、排列與組合：（1）排列與組合的區(qū)別和聯(lián)系：都是研究從一些不同的元素中取出個(gè)元素的問題；區(qū)別：前者有順序，后者無順序。（2）排列數(shù)、組合數(shù)：排列數(shù)的公式：注意：全排列：；記住下列幾個(gè)階乘數(shù)，1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；排列數(shù)的性質(zhì)：（將從個(gè)不同的元素中取出個(gè)元素，分兩步完成：第一步從個(gè)元素中選出1個(gè)排在指定的一個(gè)位置上；第二步從余下個(gè)元素中選出個(gè)排在余下的個(gè)位置上）（將從個(gè)不同的元素中取出個(gè)元素，分兩類完成：第一類：個(gè)元素中含有，分兩步完成：第一步將排在某一位置上，有不同的方法。第二步從余下

3、個(gè)元素中選出個(gè)排在余下的個(gè)位置上）即有種不同的方法。第二類：個(gè)元素中不含有，從個(gè)元素中取出個(gè)元素排在個(gè)位置上，有種方法。組合數(shù)的公式：組合數(shù)的性質(zhì)：（從個(gè)不同的元素中取出個(gè)元素后，剩下個(gè)元素，也就是說，從個(gè)不同的元素中取出個(gè)元素的每一個(gè)組合，都對(duì)應(yīng)于從個(gè)不同的元素中取出個(gè)元素的唯一的一個(gè)組合。）（分兩類完成：第一類：含，有種方法；第二類：不含，有種方法；）（第一步：先選出1個(gè)元素，第二步：再從余下個(gè)元素中選出個(gè)，但有重復(fù)，如先選出，再選出組成一個(gè)組合，與先選出，再選出組成一個(gè)組合是相同的，且重復(fù)了次）（分類：第一類：含，為；第二類：不含，含，為；第三類：不含，不含，含，為；）（將元素分成分成兩

4、個(gè)部分，第一部分含個(gè)元素，第二部分含個(gè)元素：在第一部分中取個(gè)元素，在第二部分不取元素，有；在第一部分中取個(gè)元素，在第二部分取1個(gè)元素，有；）（3）排列、組合的應(yīng)用：解排列組合應(yīng)用題時(shí)主要應(yīng)抓住是排列問題還是組合問題，其次要搞清需要分類，還是需要分步切記：排組分清(有序排列、無序組合)，分類分步明確排列組合應(yīng)用問題主要有三類：不帶限制條件的排列或組合題；帶限制條件的排列或組合題；排列組合綜合題；解排列組合的應(yīng)用題，通常有以下途徑：以元素為主，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素特殊元素法以位置為主，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置特殊位置法先不考慮附加條件，計(jì)算出排列或組合數(shù)，再減不合要

5、求的排列數(shù)或組合數(shù)間接法（4）對(duì)解組合問題，應(yīng)注意以下三點(diǎn)：對(duì)“組合數(shù)”恰當(dāng)?shù)姆诸愑?jì)算，是解組合題的常用方法。是用“直接法”還是“間接法”解組合題，其前提是“正難則反”。命題設(shè)計(jì)“分組方案”是解組合題的關(guān)鍵所在。（3）解排列、組合題的基本策略與方法：去雜法：對(duì)有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉。這是解決排列組合應(yīng)用題時(shí)一種常用的解題方法。分類處理：某些問題總體不好解決時(shí)，常常分成若干類，再由分類計(jì)數(shù)原理得出結(jié)論。這是解排列組合問題的基本策略之。注意的是：分類不重復(fù)不遺漏。即：每?jī)深惖慕患癁榭占?，所有各類的并集為全集。分步處理：與分類處理類似，某些問題總體不好解決時(shí)，常

6、常分成若干步，再由分步計(jì)數(shù)原理解決。在處理排列組合問題時(shí)，常常既要分類，又要分步。其原則是先分類，后分步。插入法（插空法）：某些元素不能相鄰采用插入法。即先安排好沒有限制條件的元素，然后再將有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間。“捆綁”法：要求某些元素相鄰，把相鄰的若干特殊元素“捆綁”為一個(gè)大元素，然后再與其余“普通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列，即是“捆綁法”。窮舉法：將所有滿足題設(shè)條件的排列與組合逐一排列出來。消序處理：對(duì)均勻分組問題在解決時(shí)，一定要區(qū)分開是“有序分組”還是“無序分組”，若是“無序分組”，一定要清除同均勻分組無形中產(chǎn)生的有序因素。三、二項(xiàng)式定

7、理：（1）通項(xiàng)：（2）二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：二項(xiàng)展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，即：二項(xiàng)展開式中，中間的一項(xiàng)或兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等并且最大，即當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，為；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，第項(xiàng)及項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，為；二項(xiàng)展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于，即；二項(xiàng)展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和相等，即；（3）、展開式中的系數(shù)求法（的整數(shù)且）如：展開式中含的系數(shù)為（4）二項(xiàng)式定理的應(yīng)用：求展開式中的指定的項(xiàng)或特定項(xiàng)： 如：若，展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，則的最小值是 ；求的展開式中的常數(shù)項(xiàng)。注意：三項(xiàng)或三項(xiàng)以上的展開式問題，把某兩項(xiàng)結(jié)合為一項(xiàng)，利用二項(xiàng)式

8、定理解決。求展開式中的某一項(xiàng)的系數(shù)：如：在的展開式中，的系數(shù)是 ；求展開式中的系數(shù)和：如：的所有各項(xiàng)的系數(shù)和是（賦值法：令）；（令）求二項(xiàng)式展開式的系數(shù)最大項(xiàng)的問題：求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)，通常設(shè)展開式各項(xiàng)系數(shù)分別為；設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大，則；然后求出不等式組的整數(shù)解。如：求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)。利用二項(xiàng)式定理證明整除問題及余數(shù)的求法：如：求證：能被64整除（）證明有關(guān)的不等式問題：有些不等式，可應(yīng)用二項(xiàng)式定理，結(jié)合放縮法證明，即把二項(xiàng)展開式中的某些正項(xiàng)適當(dāng)刪去(縮小)，或把某些負(fù)項(xiàng)刪去(放大)，使等式轉(zhuǎn)化為不等式，然后再根據(jù)不等式的傳遞性進(jìn)行證明。；（）如：求證：進(jìn)行近似計(jì)算：求數(shù)的次冪的近似值時(shí)

9、，把底數(shù)化為最靠近它的那個(gè)整數(shù)加一個(gè)小數(shù)(或減一個(gè)小數(shù))的形式。當(dāng)充分小時(shí)，我們常用下列公式估計(jì)近似值：；如：求的近似值，使結(jié)果精確到0.01；四、概率：（1）隨機(jī)事件的概率：必然事件：在一定條件下必然要發(fā)生的事件； 不可能事件：在一定條件下不可能發(fā)生的事件；隨機(jī)事件：在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件；事件的概率：在大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí)，事件A發(fā)生的頻率總是接近于某個(gè)常數(shù)，在它的附近擺動(dòng)，這時(shí)就把這個(gè)常數(shù)叫做事件的概率；記作；范圍：；特例：必然事件，不可能事件；（2）等可能事件的概率： 基本條件：一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的每一個(gè)結(jié)果稱為一個(gè)基本事件。等可能事件的概率：如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的

10、結(jié)果有個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個(gè)基本事件的概率都是，如果某個(gè)事件包含的結(jié)果有個(gè)，那么事件的概率；從集合角度看概率：在一次試驗(yàn)中，等可能出現(xiàn)的個(gè)結(jié)果組成一個(gè)集合，這個(gè)結(jié)果就是集合的個(gè)元素；各基本事件均對(duì)應(yīng)于集合的含有1個(gè)元素的子集，包含個(gè)結(jié)果的事件對(duì)應(yīng)于的含有個(gè)元素的子集；因此，從集合的角度看，事件的概率是子集的元素個(gè)數(shù)（記作與集合的元素個(gè)數(shù)的比值，即；（3）互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率： 互斥事件：不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件叫做互斥事件?；コ馐录母怕剩喝绻录コ?，那么事件發(fā)生的概率，等于事件分別發(fā)生的概率的和，即：；如果事件彼此互斥，那么事件發(fā)生的概率等于這 個(gè)事件分別發(fā)生的

11、概率的和，即對(duì)立事件：如果表示事件發(fā)生，表示事件不發(fā)生，那么事件與中必有一個(gè)發(fā)生，這種其中必有一個(gè)發(fā)生的互斥事件叫做對(duì)立事件；對(duì)立事件的概率：對(duì)立事件概率的和等于1，即：；（4）相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率： 相互獨(dú)立事件：事件 (或)是否發(fā)生對(duì)事件(或)發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件；注意：如果事件互相獨(dú)立，那么與，與，與都是互相獨(dú)立事件。相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率：兩個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，即如果事件相互獨(dú)立，那么這個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，即；（5）獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)：獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)：若次重復(fù)試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)結(jié)果的概率都

12、不依賴于其它各次試驗(yàn)的結(jié)果，則稱這次試驗(yàn)是獨(dú)立的。獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率：如果在一次試驗(yàn)中，某事件發(fā)生的概率為，那么在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，這個(gè)事件恰好發(fā)生次的概率：；五、統(tǒng)計(jì)：（1）抽樣方法： 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：一般地，設(shè)一個(gè)總體的個(gè)體數(shù)為，如果通過逐個(gè)抽取的方法從中抽取一個(gè)樣本，且每次抽取時(shí)各個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，就稱這樣的抽樣為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。注意：如果用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從個(gè)體數(shù)為的總體中抽取一個(gè)容量為的樣本，那么每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都等于；、抽簽法：先將總體中的所有個(gè)體（共有個(gè)）編號(hào)（號(hào)碼可以從1到），并把號(hào)碼寫在形狀、大小相同的號(hào)簽上，然后將這些號(hào)簽放在同一個(gè)箱子里，進(jìn)行均勻攪拌；抽簽時(shí)，每次從中抽

13、出1個(gè)號(hào)簽，連續(xù)抽取次，就得到一個(gè)容量為的樣本。注意：抽簽法簡(jiǎn)便易行，當(dāng)總體的個(gè)體數(shù)不多時(shí)，適宜采用這種方法。、隨機(jī)數(shù)表法：先將件產(chǎn)品編號(hào)，可以編為00，0l，02，然后在附表l隨機(jī)數(shù)表中任選一個(gè)數(shù)作為開始。得到一系列的兩位數(shù)字號(hào)碼，若大于或前面已有此號(hào)碼將它去掉，這樣可以得到一個(gè)容量為的樣本。系統(tǒng)抽樣的概念：可將總體分成均衡的幾個(gè)部分，然后按照預(yù)先定出的規(guī)則，從每一部分抽取1個(gè)個(gè)體，得到所需要的樣本，這種抽樣叫做系統(tǒng)抽樣。系統(tǒng)抽樣的步驟：、采用隨機(jī)的方式將總體中的個(gè)體編號(hào)；、將整個(gè)的編號(hào)分段(即分成幾個(gè)部分)，要確定分段的間隔；當(dāng)（N為總體中的個(gè)體數(shù)，n為樣本容量）是整數(shù)時(shí)，；當(dāng)不是整數(shù)時(shí)，運(yùn)用簡(jiǎn)單的隨機(jī)抽樣，從總體中剔除一些個(gè)體使剩下的總體中個(gè)體個(gè)數(shù)N能被n整除，這時(shí)；、在第1段用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定起始的個(gè)體編號(hào)；、按照事先確定的規(guī)則抽取樣本（通常是將加上間隔，得到第2個(gè)編號(hào)，再將加上，得到第3個(gè)編號(hào)，這樣繼續(xù)下去，直到獲取整個(gè)樣本）。分層抽樣：當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)，為了使樣本更充分地反映總體的情況，常將總體分成幾部分，然后按照各部分所占的比進(jìn)行抽樣；其中所分成的各部分叫做層。類別共同點(diǎn)各自特點(diǎn)相互聯(lián)系適用范圍簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽取的概率相等從總體中逐個(gè)抽取總體中的個(gè)體數(shù)較少系統(tǒng)