2019.12.4公開課向量ppt課件

1、第二節(jié) 平面向量的基本定理及向量坐標運算1.1.平面向量基本定理平面向量基本定理(1)(1)基底：平面內(nèi)基底：平面內(nèi)_的向量的向量e1,e2e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)的所叫做表示這一平面內(nèi)的所有向量的一組基底有向量的一組基底. .(2)(2)平面向量基本定理：平面向量基本定理：如果如果e1,e2e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這個平面是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這個平面內(nèi)的任意向量內(nèi)的任意向量a,a,有且只有一對實數(shù)有且只有一對實數(shù)1,2,1,2,使使a=_.a=_.不共線不共線1e1+2e21e1+2e22.2.平面向量的坐標表示平面向量的坐標表示(1)(1)向量

2、的夾角：向量的夾角：定義：如圖，已知兩個定義：如圖，已知兩個_a a和和b b，作，作 則向量則向量a a與與b b的夾角是的夾角是或或AOB.AOB.范圍：向量范圍：向量a a與與b b的夾角的范圍是的夾角的范圍是_._.非零向量非零向量OA,OB ，ab0 0180180當當0 0時時,a,a與與b_b_；當當180180時時,a,a與與b_.b_.當當=90=90時時,a,a與與b_.b_.(2)(2)平面向量的正交分解：平面向量的正交分解：把一個向量分解為兩個互相把一個向量分解為兩個互相_的向量，叫做把向量正交分的向量，叫做把向量正交分解解. .同向同向反向反向垂直垂直垂直垂直(3)(

3、3)平面向量的坐標表示：平面向量的坐標表示：在平面直角坐標系中，分別取與在平面直角坐標系中，分別取與x x軸、軸、y y軸方向相同的兩個單位軸方向相同的兩個單位向量向量i,ji,j作為基底，由平面向量基本定理知，該平面內(nèi)的任一作為基底，由平面向量基本定理知，該平面內(nèi)的任一向量向量a a可表示成可表示成a=xi+yja=xi+yj，由于，由于a a與數(shù)對與數(shù)對(x,y)(x,y)是一一對應的，把是一一對應的，把有序數(shù)對有序數(shù)對(x,y)(x,y)叫做向量叫做向量a a的坐標，記作的坐標，記作a=_a=_，其中，其中a a在在x x軸軸上的坐標是上的坐標是x x，a a在在y y軸上的坐標是軸上的

4、坐標是y. y. (x,y)(x,y)3.3.平面向量的坐標運算平面向量的坐標運算向量的加向量的加法、減法法、減法設設a(x(x1 1，y y1 1) )，b(x(x2 2，y y2 2) )，則，則a+ +b_，a- -b_向量的向量的數(shù)乘數(shù)乘設設a=(x,y),R=(x,y),R，則，則a=_=_向量坐標向量坐標的求法的求法若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標為向量的坐標設設A(xA(x1 1，y y1 1) )，B(xB(x2 2，y y2 2) )，則，則 _(x1(x1x2x2，y1y1y2)y2)(x1(x1x2x2，y1y1y2)y

5、2)(x,y)(x,y)AB (x2(x2x1x1，y2y2y1)y1)判斷下面結(jié)論是否正確判斷下面結(jié)論是否正確( (請在括號中打請在括號中打“”或或“”).”).(1)(1)平面內(nèi)的任何兩個向量都可以作為一組基底平面內(nèi)的任何兩個向量都可以作為一組基底.( ).( )(2)(2)在在ABCABC中，向量中，向量 的夾角為的夾角為ABC.( )ABC.( )(3)(3)若若a,ba,b不共線，且不共線，且1a+1b=2a+2b1a+1b=2a+2b，則，則1=2,1=2,1=2.( )1=2.( )AB,BC (4)(4)平面向量的基底不唯一，只要基底確定后，平面內(nèi)的任何平面向量的基底不唯一，只

6、要基底確定后，平面內(nèi)的任何一個向量都可被這組基底唯一表示一個向量都可被這組基底唯一表示.( ).( )【解析】【解析】(1)(1)錯誤錯誤. .只有不共線的兩個向量才能作為平面的一只有不共線的兩個向量才能作為平面的一組基底組基底. .(2)(2)錯誤錯誤. .由向量夾角的定義知在由向量夾角的定義知在ABCABC中，向量中，向量 的夾角的夾角為為ABCABC的補角的補角. .(3)(3)正確正確. .由由1a+1b=2a+2b1a+1b=2a+2b，得，得(1-2)a+(1-2)b=0.(1-2)a+(1-2)b=0.又又a,ba,b不共線，故不共線，故1-2=1-2=0,1-2=1-2=0,從

7、而從而1=2,1=2.1=2,1=2.AB,BC (4)(4)正確正確. .由基底的定義及平面向量基本定理知正確由基底的定義及平面向量基本定理知正確. .答案答案:(1):(1) (2) (2) (3) (4) (3) (4) 1.1.若向量若向量a a(1(1，1)1)，b b( (1 1，1)1)，c c(4(4，2)2)，則，則c c( )( )(A)3a+b (B)3a-b(A)3a+b (B)3a-b(C)-a+3b (D)a+3b(C)-a+3b (D)a+3b【解析】選【解析】選B.B.設設c=xa+ybc=xa+yb，那么，那么c=3a-b.c=3a-b.xy4x3xy2y1

8、， ， ，2.2.在正方形在正方形ABCDABCD中，中， 的夾角是的夾角是( )( )(A)90(A)90 (B)45 (B)45 (C) (C) (D)0 (D)0【解析】選【解析】選C.C.由于由于ABD=45ABD=45，而，而 的夾角是的夾角是ABDABD的的補角，因此補角，因此 的夾角為的夾角為135135. .ABBD 與ABBD 與ABBD 與3.3.設向量設向量a a(1(1，3)3)，b b( (2 2，4)4)，若表示向量，若表示向量4a,3b-2a,c4a,3b-2a,c的有向線段首尾相接能構(gòu)成三角形，則向量的有向線段首尾相接能構(gòu)成三角形，則向量c c( )( )(A)

9、(4(A)(4，6) (B)(6) (B)(4 4，6)6)(C)(4(C)(4，6) (D)(6) (D)(4 4，6)6)【解析】選【解析】選C.C.設設c c(x(x，y)y)，則則4a+(3b-2a)+c=04a+(3b-2a)+c=0，4 6 2x0 x412 12 6y0y6. ， ， ，4.4.若若A(0A(0，1)1)，B(1B(1，2)2)，C(3C(3，4)4)，那么，那么 =_.=_.【解析】由題意知【解析】由題意知答案答案:(-3:(-3，-3)-3)AB2BC AB11 BC2 2 ， ，AB2BC112 2 233 . 故，例題：例題：(2019(2019天津模擬天

10、津模擬) )如圖，在如圖，在ABCABC中，中， DEBCDEBC交交ACAC于于E E，BCBC邊上的中線邊上的中線AMAM交交DEDE于于N.N.設設 用用a,ba,b表表示向量示向量2ADAB,3 AB,AC ，abAE,BC,DE DN,AM,AN. ，考向考向 1 1 平面向量基本定理及其應用平面向量基本定理及其應用【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】 DEBC DEBC，2ADAB,3 22AEAC.33BCACAB. bba由由ADEADEABCABC，得，得又又AMAM是是ABCABC的中線，的中線，DEBCDEBC，22DEBC.33 ba11DNDE.23111AMABBC.2222A

11、DNABM,ADAB321ANAM.33 又，baabaabab【互動探究】在本例題圖中，連結(jié)【互動探究】在本例題圖中，連結(jié)CDCD交交AMAM于點于點P P，假設，假設 求求,的值的值. .APAM,CPCD ，【解析】【解析】22CDADACABAC33 ，ab11AMABAC.22ACAPPCAPCPAMCD112()()2232()() .AC232 又，ababababb4205233.152 ，解得，【拓展提升】用平面向量基本定理解決問題的一般思路【拓展提升】用平面向量基本定理解決問題的一般思路(1)(1)先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示為向量先選擇一組基底，并運用該基

12、底將條件和結(jié)論表示為向量的形式，再通過向量的運算來解決的形式，再通過向量的運算來解決. .(2)(2)在基底未給出的情況下，合理地選取基底會給解題帶來方在基底未給出的情況下，合理地選取基底會給解題帶來方便便. .另外，要熟練運用平面幾何的一些性質(zhì)定理另外，要熟練運用平面幾何的一些性質(zhì)定理. .【變式訓練】如下圖，【變式訓練】如下圖，E,FE,F分別是四邊形分別是四邊形ABCDABCD的對角線的對角線AC,AC,BDBD的中點，知的中點，知AB,BC,CD,DAEF. ，求向量abcd【解析】方法一：連結(jié)【解析】方法一：連結(jié)AF,AF,ACABBC11AEAC.22BD11BFBD221AFAB

13、BF2111EFAFAE.222 ，又，ababbcbcabcabcabacDBAC,1111DFDB,AEAC222211AFDFDA.22111EFAFAE.222 方法二：，可得daabdaabdadadadabbd【典例【典例2 2】已知】已知A(-2A(-2，4)4)，B(3B(3，-1)-1)，C(-3C(-3，-4)-4)，O O為坐標為坐標原點原點. .設設 (1)(1)求求3a+b-3c.3a+b-3c.(2)(2)求滿足求滿足a=mb+nca=mb+nc的實數(shù)的實數(shù)m,n.m,n.AB,BC,CA.abc 考向考向 2 2 平面向量的坐標運算平面向量的坐標運算【解析】由已知

14、得【解析】由已知得a a(5(5，5)5)，b b( (6 6，3)3)，c c(1(1，8).8).(1)3a+b-3c(1)3a+b-3c3(53(5，5)5)( (6 6，3)3)3(13(1，8)8)(15(156 63 3，15153 324)24)(6(6，42).42).(2)mb+nc(2)mb+nc( (6m6mn n，3m3m8n)8n)(5(5，5)5)，6mn5m13m8n5n1. ，解得 ，1.(20191.(2019廣東高考廣東高考) )若向量若向量 那么那么 =( )=( )(A)(-2,-4) (B)(2,4)(A)(-2,-4) (B)(2,4)(C)(6,1

15、0) (D)(-6,-10)(C)(6,10) (D)(-6,-10)【解析】選【解析】選A. A. BA2,3 CA4,7 ，BC BCBAACBACA2,34,72, 4 . 課堂練習課堂練習2.(20192.(2019荊門模擬荊門模擬) )在平行四邊在平行四邊形形ABCDABCD中，中，ACAC與與BDBD交于點交于點O O，E E是是線段線段ODOD的中點，的中點，AEAE的延長線與的延長線與CDCD交于點交于點F.F.假設假設 ( )( )ACBDAF ，則ab 1121AB42331112CD2433ab abab ab【解析】選【解析】選B.B.由已知得由已知得DEDE EBEB，又又DEFDEFBEABEA，DFDF ABAB，即即DFDF DCDC，CFCF CDCD1111CFCDOD OC()333 22331121AF AC CF.3333 ， babaabaab3.(20193.(2019金華模擬金華模擬) )已知已知A(-3,0),B(0,2),OA(-3,0),B(0,2),O為坐標原點，點為坐標原點，點C C在在AOBAOB內(nèi)，且內(nèi)，且AOC=45AOC=45， 設設 則則的值為的值為( )( )OCOAOBR ， 112A