試談概率與統(tǒng)計(jì)問題的晚節(jié)危情

1、 試談概率與統(tǒng)計(jì)問題的“晚節(jié)危情”保定電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院 張立輝 俗話說，家家有本難念的經(jīng). 同樣，對于數(shù)學(xué)問題而言，每一類數(shù)學(xué)問題的解題過程中都有艱難路段或危險(xiǎn)關(guān)口. 其中，解決比較復(fù)雜的概率與統(tǒng)計(jì)問題，“劃類分步”的最后一類或最后一步，往往是隱含危情的關(guān)鍵環(huán)節(jié). 因此，關(guān)注與認(rèn)知最后一步（或類）的特殊性，破解或回避有關(guān)問題的“晚節(jié)危情”，便成為此類問題解決成功的秘決與保障. 本文試對這一課題作以初步探索，希望對教與學(xué)有所幫助.一、解題“切入點(diǎn)”：關(guān)于“”的問題背景的認(rèn)知對于社會的人而言，存在決定意識；對于概率與統(tǒng)計(jì)中的隨機(jī)變量而言，（問題）背景決定意義. 因此，尋求隨機(jī)變量的分布列，首先需要

2、關(guān)注“”的問題背景. 這是認(rèn)知“”的意義的切入點(diǎn)與“定盤星”，是解題成功的首要環(huán)節(jié).例1(2005·浙江卷) 袋子A和B中裝有若干個(gè)均勻的紅球和白球，從A中摸出一個(gè)紅球的概率為，從B中摸出一個(gè)紅球的概率為P. 現(xiàn)從A中有放回地摸球，每次摸出一個(gè)，有三次摸到紅球即停止.(I)求恰好摸到5次停止的概率；()記5次之內(nèi)（含5次）摸到紅球的次數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望E.解：注意到這里“有三次摸到紅球便停止”的背景(I)事件“恰好摸到5次停止”，即“第5次摸到紅球（必然性），而前4次中有2次摸到紅球，”故這一事件概率為()隨機(jī)變量的取值為0，1，2，3.其中，“=0”表示“5次均未摸

3、到紅球”，故“=1”表示“5次中恰有1次摸到紅球”，故同理，注意到“=3”為的最后取值，特別關(guān)注問題背景之下“=3”的意義：“=3”表示“5次之內(nèi)（含5次）摸到3個(gè)紅球”這一事件，故事件“=3”包括：事件A1：第5次摸到一個(gè)紅球，而前4次中有2次摸到紅球；事件A2：第4次摸到一個(gè)紅球，而前3次中有2次摸到紅球；事件A3：前3次摸到的都是紅球，又注意到事件A1、A2、A3兩兩互斥，因此有 0123P隨機(jī)變量的分布列為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E=誠然，我們對概率與統(tǒng)計(jì)問題的認(rèn)識，不免會有薄弱或狹隘之處. 當(dāng)所提出的問題恰恰擊中自己的“軟助”，自量直面求解力不從心之時(shí)，適量運(yùn)用迂回戰(zhàn)術(shù)，化“直接求解”為“

4、間接求解”，乃是我們掩飾弱點(diǎn)，化解晚節(jié)危情的基本策略.()解法二：從問題背景意識到事件“”的復(fù)雜性，故考慮運(yùn)用“間接法”計(jì)算P（）.仿解法一得P（）=注意到事件“”與事件“”+“”+“”對立，且“”、“”、“”兩兩互斥，P（）（以下從略）.點(diǎn)評：此時(shí)的你我，或許有這樣的感慨油然而生：勉從背景識繁簡，自量“直解”難從心. 巧借“間接”來掩飾，隨機(jī)應(yīng)變信如神.二、解題“關(guān)鍵點(diǎn)”：有關(guān)“必然性”的認(rèn)知與應(yīng)用任何事物的發(fā)展與轉(zhuǎn)化都遵循著或然與必然的辯證法則. 有所不同的是，在或然與必然的表現(xiàn)與應(yīng)用之中，有的隱蔽，有的明朗；有的含蓄，有的張揚(yáng)；有的顯得淡漠，有的顯得迫切；有的只需規(guī)范求解便可水到渠成，有

5、的則需刻意設(shè)計(jì)方能修成正果. 為數(shù)眾多的概率與統(tǒng)計(jì)問題，便是這后者的典型代表. 對此認(rèn)知問題情境中某一步（特別是最后一步）的必然性，并在這一認(rèn)知基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)解題過程，乃是事關(guān)解題成敗的又一關(guān)鍵環(huán)節(jié).例2（2005江西）A、B兩位同學(xué)各有5張卡片，現(xiàn)以投擲均勻硬幣的形式進(jìn)行游戲，當(dāng)出現(xiàn)正面朝上時(shí)A贏得B一張卡片，否則B贏得A一張卡片，規(guī)定擲硬幣的次數(shù)達(dá)9次時(shí)或在此之前某人已贏得所有卡片時(shí)游戲停止. 設(shè)表示游戲終止時(shí)投擲硬幣的次數(shù).(1)求的取值范圍； (2)求的數(shù)學(xué)期望E.解：(1)設(shè)正面出現(xiàn)的次數(shù)m，反面出現(xiàn)的次數(shù)為n.由題意得(I)由(II)解得或或或由(I)、(II)得.的取值范圍為5，7，

6、9.(2)易得 欲求P（），首先認(rèn)知“=7”的內(nèi)涵：對于“=7”包含的“m=6,n=1”（A贏6次輸1次），由題設(shè)知A必然是第七次“贏”，第6次“贏”，且在前5次游戲中“贏”了4次. 因此有（A贏得所有卡片）步驟設(shè)計(jì)說明： 前五次游戲中 第6次 第七次 A贏4次 游戲中 游戲中 A贏 A贏同理，對于“=7”包含的“m=1,n=6”（B贏6次輸1次），（B贏得所有卡片）.于是可得 因此有.點(diǎn)評：在這里，對于“=7”包含的“m=6,n=1”，認(rèn)知“第七次以及第六次A贏”的必然性，誠然是解題成功的關(guān)鍵. 又注意到“=9”為的最后取值以及事件“=9”的復(fù)雜性，故運(yùn)用間接法計(jì)算P(=9). 于是，“簡化

7、運(yùn)算過程”、“回避晚節(jié)危情”的雙贏戰(zhàn)略由此實(shí)現(xiàn).三、解題“制高點(diǎn)”：解題步驟（或過程）的自主設(shè)計(jì)解題實(shí)踐，也需要經(jīng)歷一個(gè)從必然王國走向自由王國的過程. 有了上述“兩點(diǎn)”奠基，解決概率與統(tǒng)計(jì)問題便有望登上解題的“制高點(diǎn)”：認(rèn)知所給問題的特殊性，鎖定問題背景下最后一步（或關(guān)鍵一步）的必然性，進(jìn)而以高層建瓴的態(tài)勢刻意設(shè)計(jì)解題步驟，欣然獲取解題的主動權(quán). 俗話說，外行看熱鬧，內(nèi)行看門道. 一些看似平常的設(shè)計(jì)，其中卻富含著參悟的玄機(jī). 解題的“晚節(jié)危情”，借此安然度過；駕馭問題的能力，由此悄然提升.例3設(shè)甲、乙兩個(gè)盒子中各有10個(gè)小球，每次隨機(jī)地從其中一個(gè)盒子中不放回地取出1個(gè)小球. 試求(I)事件A：

8、“取10次后甲、乙兩盒都恰好剩下5個(gè)小球”的概率；(II)事件B：“一個(gè)盒子中的小球取完，而另一個(gè)盒子中恰好剩下7個(gè)小球”的概率.解：(I)將從甲盒或乙盒中的每一次取球視為一次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).設(shè)一次試驗(yàn)中“從甲盒中取出1個(gè)小球”為事件A1，“從乙盒中取出1個(gè)小球”為事件A2，則A1、A2為對立事件.(II)設(shè)B1表示“甲盒中的小球取完，而乙盒中恰好剩下7個(gè)小球”這一事件， B2表示“乙盒中的小球取完，而甲盒中恰好剩下7個(gè)小球”這一事件， 則B=B1+B2，且B1與B2為互斥事件.注意到這里一共取球13次，并且注意到第13次取值的必然性，根據(jù)題設(shè)對完成事件B1設(shè)計(jì)步驟：(i)前12次取球，從甲盒中取9次，從乙盒中取3次；(ii)第13次取球，從甲盒中取出小球.于是有 （前12次從甲盒 （第13次從甲盒 中取球的概率） 中取球的概率）同理， .易生錯解：(I) (II) 錯解原因：(I)的錯因在于未識公式中p，q的意義以及事件A1、A2對立的具體情況；(II)的錯因在于以主觀想象代替客觀效果，未能以鎖定最后一步來正確表達(dá)“取完”的含意. 點(diǎn)評：欲求P(B1)，注意到事件B1中最后一次取球的必然性，將完成事件B1設(shè)計(jì)為兩大步驟：第一步，前12次取球，從甲盒中取9次（從乙盒中取3次）；第二步，第