包絡(luò)線PPT課件

1、曲線簇的包絡(luò)曲線 一、包絡(luò)的定義一、包絡(luò)的定義定義定義1 對(duì)于給定的一個(gè)單參數(shù)曲線簇：對(duì)于給定的一個(gè)單參數(shù)曲線簇： ( , , )0,(1)F x y c ,( , , ), ,cF x y cx y c其中 是參數(shù)是的連續(xù)可微函數(shù)曲線簇(1)的包絡(luò)包絡(luò)是指這樣的曲線,它本身不包含在曲線簇(1)中,但過這曲線的每一點(diǎn)有(1)中的一條曲線和它在這點(diǎn)相切.對(duì)于給定的一個(gè)單參數(shù)曲線族：對(duì)于給定的一個(gè)單參數(shù)曲線族： 0),(:cyxFlc其中RIc為參數(shù). 若存在一條曲線, l滿足下列條件:(1) ;Iccll則稱l為曲線族0),(:cyxFlc的一條包絡(luò)線,簡(jiǎn)稱為包絡(luò).(2) 對(duì)任意的 ,00lyx

2、存在唯一的,0Ic 使得000,clyx且l與0cl在有相同的切線.00,xy或定義：或定義：例如單參數(shù)曲線簇：222)(Rycx（其中R是常數(shù)，c是參數(shù)）表示圓心為（c,0）而半徑等于R的一簇圓. 如圖從圖形可見,此曲線簇的包絡(luò)顯然為:.RyRy和xyo注:并不是每個(gè)曲線族都有包絡(luò).例如: 單參數(shù)曲線族:222cyx(其中c為參數(shù))表示一族同心圓. 如圖從圖形可見, 此曲線族沒有包絡(luò).問題問題:對(duì)于給定的單參數(shù)曲線族對(duì)于給定的單參數(shù)曲線族: ( , , )0F x y c .cI其中是參數(shù)如何判斷它是否有包絡(luò)如何判斷它是否有包絡(luò)? 如果有包絡(luò)如果有包絡(luò), 如何求如何求?根據(jù)定義, 假設(shè)該單參

3、數(shù)曲線族有包絡(luò), l則對(duì)任意的,lyx存在唯一的, Ic使得.,clyx于是得到對(duì)應(yīng)關(guān)系:,:Ilc).,(),(yxcyx從而得到二元函數(shù)lyxyxcc),(),(使得.),(, 0),(,(lyxyxcyxF若l可用參數(shù)形式表示為:),(),(),(ttytx記),()(),(tcttcc則),(, 0)(),(),(ttcttF于是,. 0dtdcFdtdFdtdFcyxl上任取一個(gè)固定點(diǎn)M, 則M在某一條曲線cl上. 由于l與cl在M點(diǎn)有相同的切線, 而l與cl在M點(diǎn)的切線的斜率分別為dxdy與,yxFF所以, 有從而. 0dtdcFc, 0dtdFdtdFyx由于在l上不同的點(diǎn)也在不

4、同的cl上,即, 0dtdc因此. 0cF現(xiàn)在因此, 包絡(luò)線l上任意一點(diǎn)M不僅要滿足, 0),(cyxF而且還要滿足. 0),(cyxFc把聯(lián)立方程組:0),(0),(cyxFcyxFc中消去參數(shù)c得到的方程F(x,y)=0所表示的曲線*l稱為曲線族 Iccl的c-判別曲線0),(0),(cyxFcyxFc的稱為曲線) 1 (0),(yxF二、包絡(luò)的求法二、包絡(luò)的求法曲線族(1)的包絡(luò)包含在下列兩方程,0),(之中而得到的曲線消去參數(shù)yxFc.判別曲線c.還有其它曲線判別曲線有時(shí)除包絡(luò)外c注注:) 1 (, 0),(cyxF解解 記, 0)(32)(),(32cxcycyxF則)3(0)()()2(0)(32)(232cxcycxcy得代入把為了消去)2()3(, c0)(32)(34cxcx即例例1 的包絡(luò).求曲線族0)(32)(32cxcy032)()(3cxcx,不是包絡(luò)容易驗(yàn)證xy 因此c-判別曲線包括兩條曲線(4)和(5),)4(xy 得從0cx得從032cx)5(92 xy032)()(3cxcx.92是包絡(luò)而直線 xyxyO例例2 求直線族:0sincospyx的包絡(luò).這里是參數(shù),p是常數(shù).解解 記, 0sincos),(pyxyxF則. 0cossin, 0s